苏科版八年级数学上册专题4.2立方根【七大题型】(举一反三)同步特训(学生版+解析)

专题4.2立方根【七大题型】【苏科版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1立方根的性质与数轴的综合】 1【题型2根据立方根的性质求字母的值】 2【题型3根据立方根的定义解方程】 2【题型4与立方根有关的计算】 2【题型5算术平方根、平方根、立方根的综合应用】 3【题型6利用立方根的定义解决实际问题】 3【题型7利用立方根探究规律】 4【知识点立方根的概念及性质】（1）一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根。即如果x3=a，那么x叫做a的立方根，记作。即。（2）正数的立方根是正数；负数的立方根是负数；0的立方根是0.【题型1立方根的性质与数轴的综合】【例1】（2023春·江苏泰州·八年级靖江市靖城中学校考期中）如图，a，b，c是数轴上三个点A、B、C所对应的实数．试化简：b2+a−b−3a+b3−b−c．【变式1-1】（2023春·上海·八年级专题练习）已知点A是614的算术平方根，点B的立方是−827，在数轴上描出点A和点B，并求出A【变式1-2】（2023春·四川成都·八年级成都嘉祥外国语学校校考期中）如图，数轴上的点A所表示的数为x，则x2【变式1-3】（2023春·八年级单元测试）把下列各数在数轴上表示，并用“＜”号把它们连接起来．−3，0，−4，3−125【题型2根据立方根的性质求字母的值】【例2】（2023春·全国·八年级期中）已知a2=-32，【变式2-1】（2023春·浙江宁波·八年级浙江省鄞州区宋诏桥中学校考期中）若实数a，b满足(1)若a，b都是整数．请写出一对符合条件的(2)若a，b都是分数．请写出一对符合条件的【变式2-2】（2023春·山东济宁·八年级统考期中）若a2=9，b3=−8，且ab>0，则A．−1 B．1 C．5 D．−1或5【变式2-3】（2023春·全国·八年级专题练习）解答下列各题：（1）已知31−a2（2）若31−2b与33b−5互为相反数，求【题型3根据立方根的定义解方程】【例3】（2023春·吉林·八年级校联考期中）求x的值：(x+4)3【变式3-1】（2023·八年级单元测试）(1)若(x－3)2＝169，则x的值为________；(2)若(2x－1)3＝－8，则x的值为________.【变式3-2】（2023春·吉林白城·八年级校联考阶段练习）已知一个正数的两个不同的平方根分别是a+7与3a−11．(1)求a的值；(2)求关于x的方程ax【变式3-3】（2023春·八年级课时练习）求下列各式中x的值．(1)x−13(2)x3(3)14【题型4与立方根有关的计算】【例4】（2023·全国·八年级专题练习）如图，小明设计了一个计算程序，当输入x的值为-5时，则输出的值为（

）A．-1 B．-2 C．-3 D．3【变式4-1】（2023春·四川成都·八年级校考期中）计算：38【变式4-2】（2023春·全国·八年级期中）若某自然数的立方根为a，则它前面与其相邻的自然数的立方根是（

）A．a−1 B．3a−1 C．3a3【变式4-3】（2023春·全国·八年级专题练习）定义新运算：对任意实数a、b，都有a△b=a−b2，例如，3△4=3−4【题型5算术平方根、平方根、立方根的综合应用】【例5】（2023春·浙江宁波·八年级统考期中）已知−8的平方等于a，b的平方等于121，c的立方等于−27，d的算术平方根为5．（1）写出a，b，c，d的值；（2）求d+3c的平方根；（3）求a−b【变式5-1】（2023春·河南商丘·八年级统考期中）2a−1的平方根为±3，3a−b+1的立方根为2，则32a+2b+1的值为（

A．−3 B．3 C．±3 D．不确定【变式5-2】（2023春·八年级单元测试）简答：(1)设a3+64+|b3-27|=0,求(a+b)(2)已知225的算术平方根是a,-512的立方根是b,求2a-【变式5-3】（2023春·山东济宁·八年级统考期中）已知：一个正数x的两个平方根分别是a+3与2a−15，2b−1=13(1)求x的值；(2)求a+b−1的立方根．【题型6利用立方根的定义解决实际问题】【例6】（2023·浙江·八年级假期作业）如图的零件是由两个正方体焊接而成，已知大正方体和小正方体的体积分别为125cm3和27cm3，现要给这个零件的表面刷上油漆，那么所刷油漆的面积是（A．161 B．186 C．195 D．204【变式6-1】（2023春·浙江金华·八年级校考阶段练习）如图所示的正方形纸板是由两张大小相同的长方形纸板拼接而成的，已知一张长方形纸板的面积为162cm2．(1)求正方形纸板的边长；(2)若将该正方形纸板进行裁剪，然后拼成一个体积为343cm3的正方体无盖笔筒，请你判断该硬纸片是否够用？若够用，求剩余的硬纸片的面积；若不够用，求缺少的硬纸片的面积．【变式6-2】（2023春·安徽淮南·八年级统考阶段练习）要生产一种容积为36π升的球形容器，这种球形的半径是多少分米？（球的体积公式是V=43π【变式6-3】（2023春·全国·八年级专题练习）图1是由27个同样大小的立方体组成的魔方，体积为27(1)求出这个魔方的棱长．(2)图2是这个魔方的一个面，图中的阴影部分是一个正方形，求出阴影部分的面积及其边长．【题型7利用立方根探究规律】【例7】（2023春·广东珠海·八年级珠海市九洲中学校考期中）据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个整数的立方是59319，求这个整数．华罗庚脱口而出：“39.”邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙．你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请按照下面的问题试一试：（1）由103=1000，1003（2）由59319的个位上的数是9，你能确定359319（3）如果划去59319后面的三位319得到数59，而33=27，43（4）已知19683，110592都是整数的立方，请你按照上述方法确定它们的立方根．【变式7-1】（2023春·广东汕尾·八年级华中师范大学海丰附属学校校考期中）探索规律：(1)计算：①3−125=_________，②3−8=________，(2)归纳：由（1）的计算可得3−a(3)利用（2）探索出的规律，解答下题．若3x−1与32x−3互为相反数，求【变式7-2】（2023·全国·八年级假期作业）观察下列规律回答问题：3−0.001=−0.1，3−1=−1，3−1000=−10(1)则30.000001=；3106=(2)已知3x=1.587，若3y=−0.1587，用含x的代数式表示y(3)根据规律写出3a与a【变式7-3】（2023春·广西南宁·八年级统考期中）阅读理解，观察下列式子：①31②38③327④364……根据上述等式反映的规律，回答如下问题：(1)【观察与发现】：根据以上式子反映的规律，请再写出一个类似的等式：．(2)【分析与归纳】：根据等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳为一个这样的真命题：对于任意两个有理数a，b，若，则(3)【拓展与应用】：根据上述归纳的真命题，解答下列问题：若3x−1与32x专题4.2立方根【七大题型】【苏科版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1立方根的性质与数轴的综合】 1【题型2根据立方根的性质求字母的值】 3【题型3根据立方根的定义解方程】 5【题型4与立方根有关的计算】 7【题型5算术平方根、平方根、立方根的综合应用】 9【题型6利用立方根的定义解决实际问题】 11【题型7利用立方根探究规律】 13【知识点立方根的概念及性质】（1）一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根。即如果x3=a，那么x叫做a的立方根，记作。即。（2）正数的立方根是正数；负数的立方根是负数；0的立方根是0.【题型1立方根的性质与数轴的综合】【例1】（2023春·江苏泰州·八年级靖江市靖城中学校考期中）如图，a，b，c是数轴上三个点A、B、C所对应的实数．试化简：b2【答案】-2b-c．【分析】根据数轴上点的位置判断出绝对值里和根号下式子的符号，利用绝对值的代数意义化简，去括号合并即可得到结果．【详解】解：根据题意得：b＜0，a-b＞0，a+b＜0，b-c＜0，则原式=-b+a-b-a-b+b-c=-2b-c．【点睛】此题考查了开平方，开立方绝对值化简运算，判断出绝对值里边式子的正负是解本题的关键．【变式1-1】（2023春·上海·八年级专题练习）已知点A是614的算术平方根，点B的立方是−827，在数轴上描出点A和点B，并求出A【答案】画图见解析；两点距离196【分析】根据算术平方根和立方根的定义计算求值即可；【详解】解：∵点A是254∴点A所对应的数为52∵点B的立方是−8∴点B所对应的数为−2在数轴上描出点A和点B为：因此AB之间的距离为：52-（−23答：A与B两点的距离为196【点睛】本题考查了算术平方根：如果一个正数的平方等于a，那么这个正数叫做a的算术平方根；立方根：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根（或三次方根），正数只有一个正的立方根，负数只有一个负的立方根，零的立方根为零；数轴上两点距离=右边的数-左边的数．【变式1-2】（2023春·四川成都·八年级成都嘉祥外国语学校校考期中）如图，数轴上的点A所表示的数为x，则x2【答案】−2【分析】根据数轴上点的特点和相关线段的长，即知表示0的点和A之间的线段的长，进而可推出点A所表示的数，代入x2【详解】解：由图可知，x=−2x2-8立方根是3−8【点睛】本题主要考查的就是数轴上点所表示的数，立方根，属于基础题型．【变式1-3】（2023春·八年级单元测试）把下列各数在数轴上表示，并用“＜”号把它们连接起来．−3，0，−4，3−125【答案】见解析【分析】先利用绝对值的性质、有理数的乘方、平方根与立方根，将各数进行整理，并标在数轴上，再从左到右用“＜”号把它们连接即可．【详解】解：−3=3，−4=−2，3将各数表示在数轴上为：用“＜”号把它们连接起来为：3−125【点睛】本题考查数轴上的点表示数、平方根与立方根、绝对值的性质、利用数轴比较大小等知识，先将各数进行整理是解决本题的关键．【题型2根据立方根的性质求字母的值】【例2】（2023春·全国·八年级期中）已知a2=-32，【答案】6或30【分析】根据立方根的性质可得3a-2b=-(a+b)，从而得到b=4a．然后再代入，即可求解．【详解】解：∵a2∴a=±3．∵33∴33∴3a-2b=-(a+b)，解得b=4a．当a=3时，b=12，此时2a当a=-3时，b=-12，此时2a综上所述，代数式2a【变式2-1】（2023春·浙江宁波·八年级浙江省鄞州区宋诏桥中学校考期中）若实数a，b满足(1)若a，b都是整数．请写出一对符合条件的(2)若a，b都是分数．请写出一对符合条件的【答案】(1)a=1,b=−27（答案不唯一）(2)a=1【分析】（1）根据a，b为整数，利用平方根及立方根定义找出符合题意（2）根据a，b都是分数利用平方根及立方根定义找出符合题意【详解】（1）解：∵a+1+∴a=1,b=−27符合题意，（2）∵a+14∴a=1【点睛】本题考查了算术平方根、立方根的运算，掌握算术平方根、立方根的意义是解题的关键．【变式2-2】（2023春·山东济宁·八年级统考期中）若a2=9，b3=−8，且ab>0，则A．−1 B．1 C．5 D．−1或5【答案】A【分析】先根据平方根和立方根的定义得到a=±3，b=−2，再由ab>0得到a=−3，由此即可得到答案．【详解】解：∵a2=9，∴a=±3，b=−2，∵ab>0，∴a=−3，∴a−b=−3−−2故选A．【点睛】本题主要考查了平方根和立方根，正确根据平方根和立方根的定义求出a、b的值是解题的关键．【变式2-3】（2023春·全国·八年级专题练习）解答下列各题：（1）已知31−a2（2）若31−2b与33b−5互为相反数，求【答案】（1）a=0或±1或±2；（2）【分析】（1）直接利用立方根的性质分析得出答案；（2）利用相反数、立方根的性质求出b的值，代入计算即可求解．【详解】解：（1）立方根等于它本身的数有0，1，−1.当1−a2=0时，a当1−a2=1时，a当1−a2=−1时a所以a的值为0或±1或±2（2）因为31−2b与3所以1−2b+3b−5=0，所以b=4.所以1−b【点睛】本题考查相反数，立方根和算术平方根的性质，要掌握一些特殊数字的特殊性质，如1，-1和0．【题型3根据立方根的定义解方程】【例3】（2023春·吉林·八年级校联考期中）求x的值：(x+4)3【答案】x=0【分析】根据立方根的定义求解．【详解】(x+4)(x+4)3x+4=4x=0【点睛】本题考查了立方根，掌握立方根的定义是解题的关键，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．【变式3-1】（2023·八年级单元测试）(1)若(x－3)2＝169，则x的值为________；(2)若(2x－1)3＝－8，则x的值为________.【答案】16或－10−【分析】由平方根及立方根的定义即可求解.【详解】∵(x－3)2＝169，∴x-3=13或x-3=-13，即x=16或－10；∵(2x－1)3＝－8，∴2x－1=-2，x=-12【点睛】此题考查了平方根和立方根的定义，熟练掌握这两个定义是解答问题的关键.【变式3-2】（2023春·吉林白城·八年级校联考阶段练习）已知一个正数的两个不同的平方根分别是a+7与3a−11．(1)求a的值；(2)求关于x的方程ax【答案】(1)a=1(2)x=5【分析】（1）根据一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数列式求解即可；（2）根据立方根的定义求解即可．【详解】（1）解：∵一个正数的两个不同的平方根分别是a+7与3a−11，∴a+7+3a−11=0，解得：a=1．（2）解：当a=1时，x3−125=0，即解得：x=5．【点睛】本题主要考查了平方根的性质、立方根的定义等知识点，掌握一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数是解题的关键．【变式3-3】（2023春·八年级课时练习）求下列各式中x的值．(1)x−13(2)x3(3)14【答案】(1)x(2)x=−(3)x=【分析】（1）直接利用立方根的定义求解即可；（2）方程先变形为x3（3）方程先变形为2x+33【详解】（1）解：x−13∴x−1=−2，∴x=（2）解：x3∴x3∴x=−5（3）解：14∴2x+33∴2x+3=6，∴x=3【点睛】本题考查了立方根以及解方程，正确掌握立方根的定义是解题的关键．【题型4与立方根有关的计算】【例4】（2023·全国·八年级专题练习）如图，小明设计了一个计算程序，当输入x的值为-5时，则输出的值为（

）A．-1 B．-2 C．-3 D．3【答案】C【分析】根据流程图按步骤求解即可．【详解】解：根据流程图可得3===-2-1=-3．故选C．【点睛】本题考查了根据流程图计算和立方根的运算，解决本题的关键是看懂流程图并正确的计算．【变式4-1】（2023春·四川成都·八年级校考期中）计算：38【答案】5【分析】根据立方根的意义求出立方根，再进行减法运算即可．【详解】解：38故答案为：52【点睛】本题考查求一个数的立方根，正确计算是解题的关键．【变式4-2】（2023春·全国·八年级期中）若某自然数的立方根为a，则它前面与其相邻的自然数的立方根是（

）A．a−1 B．3a−1 C．3a3【答案】C【分析】先求出该自然数，再求出与其相邻的自然数的立方根即可．【详解】解：∵某自然数的立方根为a，∴该自然为a3∴它前面与其相邻的自然数的立方根是3a故选C．【点睛】本题考查求一个数的立方根．熟练掌握立方根的定义：一个数x的立方为a，则x叫做a的立方根，是解题的关键．【变式4-3】（2023春·全国·八年级专题练习）定义新运算：对任意实数a、b，都有a△b=a−b2，例如，3△4=3−4【答案】−2【分析】根据题目所给的定义新运算，先求出2△1的值，再求出2△1△3的值，最后求出2△1【详解】解：∵a△b=a−b∴2△1∴1△3=1−3∴3故答案为：−2．【点睛】本题考查了新定义运算，立方根的求法，解题的关键是根据题意得到算式，然后由立方根的运算法则进行求解即可．【题型5算术平方根、平方根、立方根的综合应用】【例5】（2023春·浙江宁波·八年级统考期中）已知−8的平方等于a，b的平方等于121，c的立方等于−27，d的算术平方根为5．（1）写出a，b，c，d的值；（2）求d+3c的平方根；（3）求a−b【答案】（1）a=64,b=±11,c=−3,d=25；（2）它的平方根为±4；（3）-35【分析】（1）根据乘方、算术平方根、平方根与立方根定义得出a，b，c，d的值；（2）把c，d的值代入d+3c中求值，再求平方根即可；（3）把a，b，c，d的值；代入a−b【详解】（1）由题意得，a=64,b=±11,c=−3,d=25；（2）当c=−3,d=25时，d+3c=25+3×(−3)=25−9=16，因此它的平方根为±4；（3）当a=64,b=±11,c=−3,d=25时，a−b【点睛】本题考查了平方根，立方根，算术平方根的定义，求出a、b、c、d的值是解题的关键．【变式5-1】（2023春·河南商丘·八年级统考期中）2a−1的平方根为±3，3a−b+1的立方根为2，则32a+2b+1的值为（

A．−3 B．3 C．±3 D．不确定【答案】B【分析】根据平方根定义立方根定义列式求出a，b，代入求解即可得到答案；【详解】解：∵2a−1的平方根为±3，3a−b+1的立方根为2，∴2a−1=(±3)2=9解得：a=5，b=8，∴32a+2b+1故选B；【点睛】本题考查平方根的定义，立方根的定义，解题的关键是根据定义列式求解．【变式5-2】（2023春·八年级单元测试）简答：(1)设a3+64+|b3-27|=0,求(a+b)(2)已知225的算术平方根是a,-512的立方根是b,求2a-【答案】(1)1;(2)6.【分析】（1）根据算术平方根及绝对值的非负性可求出a及b的值，进而可得出答案；（2）首先根据算术平方根和立方根的定义求得a、b的值，然后将a、b的值代入化简即可．【详解】(1)

由题意知:a3+64=0,b3-27=0,解得a=-4,b=3.∴(a+b)2=(-4+3)2=(-1)2=1.(2)

∵225=15=a,3-512=-8=∴2a-【点睛】本题主要考查的是算术平方根、立方根的定义.根据算术平方根和立方根的定义求得a、b的值是解题的关键．【变式5-3】（2023春·山东济宁·八年级统考期中）已知：一个正数x的两个平方根分别是a+3与2a−15，2b−1=13(1)求x的值；(2)求a+b−1的立方根．【答案】(1)x=49(2)3【分析】（1）根据平方根的定义可得a+3+2a−15=0，求出a即可解决问题；（2）先由算术平方根的定义求出b，即可求出a+b−1，再根据立方根的定义解答．【详解】（1）解：因为一个正数x的两个平方根分别是a+3与2a−15，所以a+3+2a−15=0，解得：a=4，所以正数x=3+4（2）解：因为2b−1=13所以2b−1=169，所以b=85，所以a+b−1=4+85−1=88，所以a+b−1的立方根是388【点睛】本题考查了平方根和立方根的知识，属于基础题型，熟知二者的概念及性质是解题的关键．【题型6利用立方根的定义解决实际问题】【例6】（2023·浙江·八年级假期作业）如图的零件是由两个正方体焊接而成，已知大正方体和小正方体的体积分别为125cm3和27cm3，现要给这个零件的表面刷上油漆，那么所刷油漆的面积是（A．161 B．186 C．195 D．204【答案】B【分析】先求出大正方体和小正方体的棱长，再求出零件的表面积即可求解．【详解】解：∵大正方体的体积为125cm3，小正方体的体积为∴大正方体的棱长为5cm，小正方体的棱长为3∴大正方体的每个表面的面积为25cm2，小正方体的每个表面的面积为∴这个零件的表面积为：25×6+9×4=186cm∴要给这个零件的表面刷上油漆，则所需刷油漆的面积为186cm故选：B．【点睛】本题考查立方根，表面积．理解题意是解题的关键．【变式6-1】（2023春·浙江金华·八年级校考阶段练习）如图所示的正方形纸板是由两张大小相同的长方形纸板拼接而成的，已知一张长方形纸板的面积为162cm2．(1)求正方形纸板的边长；(2)若将该正方形纸板进行裁剪，然后拼成一个体积为343cm3的正方体无盖笔筒，请你判断该硬纸片是否够用？若够用，求剩余的硬纸片的面积；若不够用，求缺少的硬纸片的面积．【答案】(1)18(2)够用，剩余79平方厘米【分析】（1）根据正方形的面积公式进行解答；（2）由正方体的体积公式求得正方体的棱长，然后由正方形的面积公式进行解答．【详解】（1）依题意得：162×2=18（2）依题意得：3343则剪切纸板的面积=7×7×5=245(cm2)，剩余纸板的面积=324−245=79(cm2)即剩余的正方形纸板的面积为79平方厘米．【点睛】本题考查了立方根，算术平方根，解题的关键是熟悉正方形的面积公式和立方体的体积公式．【变式6-2】（2023春·安徽淮南·八年级统考阶段练习）要生产一种容积为36π升的球形容器，这种球形的半径是多少分米？（球的体积公式是V=43π【答案】这种球形的半径是3分米【分析】根据球的体积公式列式求解即可；【详解】解：设这种球形的半径是R，由题意，得：43∴R3∴R=3答：这种球形的半径是3分米；【点睛】本题考查立方根．熟练掌握立方根的定义是解题的关键．【变式6-3】（2023春·全国·八年级专题练习）图1是由27个同样大小的立方体组成的魔方，体积为27(1)求出这个魔方的棱长．(2)图2是这个魔方的一个面，图中的阴影部分是一个正方形，求出阴影部分的面积及其边长．【答案】(1)3(2)5；5【分析】（1）立方体的体积等于棱长的3次方，开立方即可得出棱长；（2）根据魔方的棱长为3，所以小立方体的棱长为1，阴影部分由大正方形的面积减去四个三角形的面积即可；开平方即可求出边长．【详解】（1）解：3∴这个魔方的棱长是3．（2）∵魔方的棱长为3，∴小立方体的棱长为1，∴S∴阴影部分的边长是5【点睛】本题考查的是立方根及算术平方根在实际生活中的运用，解答此题的关键是根据立方根求出魔方的棱长．【题型7利用立方根探究规律】【例7】（2023春·广东珠海·八年级珠海市九洲中学校考期中）据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个整数的立方是59319，求这个整数．华罗庚脱口而出：“39.”邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙．你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请按照下面的问题试一试：（1）由103=1000，1003（2）由59319的个位上的数是9，你能确定359319（3）如果划去59319后面的三位319得到数59，而33=27，43（4）已知19683，110592都是整数的立方，请你按照上述方法确定它们的立方根．【答案】（1）两位数；（2）9；（3）3；（4）27，48【分析】（1）根据59319大于1000而小于1000000，即可确定59319的立方根是两位数；（2）根据一个数的立方的个位上的数就是这个数的个位上的数的立方的个位上的数，据此即可确定；（3）根据数的立方的计算方法即可确定；（4）根据（1）（2）（3）即可得到答案．【详解】解：（1）∵1000＜59319＜1000000，∴10＜3∴359319（2）只有个位上的数是9的数的立方的个位上的数依然是9，∴359319的个位上的数是9（3）∵27＜59＜64，∴3＜59∴359319的十位上的数是3（4）经过分析可得，19683的立方根是两位数，19683的立方根的个位上的数字是7，十位上的数字是2，故19683的立方根是27；同理可得，110592的立方根是48．【点睛】本题主要考查了立方根以及数的立方，理解一个数的立方的个位上的数就是这个数的个位上的数的立方的个位上的数是解题的关键．【变式7-1】（2023春·广东汕尾·八年级华中师范大学海丰附属学校校考期中）探索规律：(1)计算：①3−125=_________，②3−8=________，(2)归纳：由（1）的计算可得3−a(3)利用（2）探索出的规律，解答下题．若3x−1与32x−3互为相反数，求【答案】(1)①-5，5；②-2，2(2)−(3)x=【分析】（1）根据立方根的定义解答即可；（2）根据（1）总结规律即可解答；（3）根据（