新高考数学一轮复习讲义命题方向全归类第2讲函数与导数(2022-2023年高考真题)(原卷版+解析)

第2讲函数与导数一．选择题1．（2023•甲卷）曲线在点处的切线方程为A． B． C． D．2．（2023•乙卷）已知是偶函数，则A． B． C．1 D．23．（2023•上海）已知，记在，的最小值为，在，的最小值为，则下列情况不可能的是A．， B．， C．， D．，4．（2023•天津）函数的图象如图所示，则的解析式可能为A． B． C． D．5．（2023•新高考Ⅰ）设函数在区间单调递减，则的取值范围是A．， B．， C．， D．，6．（2023•天津）已知函数的一条对称轴为直线，一个周期为4，则的解析式可能为A． B． C． D．7．（2023•新高考Ⅱ）已知函数在区间上单调递增，则的最小值为A． B． C． D．8．（2023•新高考Ⅱ）若为偶函数，则A． B．0 C． D．19．（2022•乙卷）已知函数，的定义域均为，且，．若的图像关于直线对称，（2），则A． B． C． D．10．（2022•乙卷）如图是下列四个函数中的某个函数在区间，的大致图像，则该函数是A． B． C． D．11．（2022•新高考Ⅱ）已知函数的定义域为，且，（1），则A． B． C．0 D．1二．多选题12．（2023•新高考Ⅰ）噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中常数是听觉下限阈值，是实际声压．下表为不同声源的声压级：声源与声源的距离声压级燃油汽车10混合动力汽车10电动汽车1040已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车处测得实际声压分别为，，，则A． B． C． D．13．（2023•新高考Ⅱ）若函数既有极大值也有极小值，则A． B． C． D．14．（2022•新高考Ⅰ）已知函数，则A．有两个极值点 B．有三个零点 C．点是曲线的对称中心 D．直线是曲线的切线15．（2022•新高考Ⅰ）已知函数及其导函数的定义域均为，记．若，均为偶函数，则A． B． C．（4） D．（2）三．填空题16．（2023•甲卷）若为偶函数，则．17．（2023•甲卷）若为偶函数，则．18．（2023•上海）已知函数，则函数的值域为．19．（2023•天津）若函数有且仅有两个零点，则的取值范围为．20．（2023•乙卷）设，若函数在上单调递增，则的取值范围是．21．（2022•新高考Ⅰ）若曲线有两条过坐标原点的切线，则的取值范围是．22．（2022•新高考Ⅱ）曲线过坐标原点的两条切线的方程为．23．（2022•乙卷）已知和分别是函数且的极小值点和极大值点．若，则的取值范围是．24．（2022•天津）设，对任意实数，记，．若至少有3个零点，则实数的取值范围为．25．（2022•浙江）已知函数则．26．（2022•乙卷）若是奇函数，则．27．（2022•北京）设函数若存在最小值，则的一个取值为0．四．解答题28．（2023•新高考Ⅱ）（1）证明：当时，；（2）已知函数，若为的极大值点，求的取值范围．29．（2023•乙卷）已知函数．（1）当时，求曲线在点，（1）处的切线方程；（2）是否存在，，使得曲线关于直线对称，若存在，求，的值，若不存在，说明理由；（3）若在存在极值，求的取值范围．30．（2023•新高考Ⅰ）已知函数．（1）讨论的单调性；（2）证明：当时，．31．（2022•天津）已知，，函数，．（1）求函数在，处的切线方程；（2）若和有公共点．（ⅰ）当时，求的取值范围；（ⅱ）求证：．32．（2022•上海）．（1）若将函数图像向下移后，图像经过，，求实数，的值．（2）若且，求解不等式．33．（2022•浙江）设函数．（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）已知，，曲线上不同的三点，，，，，处的切线都经过点．证明：（ⅰ）若，则（a）；（ⅱ）若，，则．（注是自然对数的底数）34．（2022•甲卷）已知函数，，曲线在点，处的切线也是曲线的切线．（1）若，求；（2）求的取值范围．35．（2022•北京）已知函数．（Ⅰ）求曲线在点，处的切线方程；（Ⅱ）设，讨论函数在，上的单调性；（Ⅲ）证明：对任意的，，有．36．（2022•甲卷）已知函数．（1）若，求的取值范围；（2）证明：若有两个零点，，则．37．（2022•乙卷）已知函数．（1）当时，求的最大值；（2）若恰有一个零点，求的取值范围．38．（2022•新高考Ⅰ）已知函数和有相同的最小值．（1）求；（2）证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．39．（2022•新高考Ⅱ）已知函数．（1）当时，讨论的单调性；（2）当时，，求的取值范围；（3）设，证明：．40．（2022•乙卷）已知函数．（1）当时，求曲线在点，处的切线方程；（2）若在区间，各恰有一个零点，求的取值范围．第2讲函数与导数一．选择题1．（2023•甲卷）曲线在点处的切线方程为A． B． C． D．【答案】【解析】因为，，故函数在点处的切线斜率，切线方程为，即．故选：．2．（2023•乙卷）已知是偶函数，则A． B． C．1 D．2【答案】【解析】的定义域为，又为偶函数，，，，，．故选：．3．（2023•上海）已知，记在，的最小值为，在，的最小值为，则下列情况不可能的是A．， B．， C．， D．，【答案】【解析】由给定区间可知，．区间，与区间，相邻，且区间长度相同．取，则，，区间，，可知，，故可能；取，则，，，区间，，，可知，，故可能；取，则，，，区间，，，可知，，故可能．结合选项可得，不可能的是，．故选：．4．（2023•天津）函数的图象如图所示，则的解析式可能为A． B． C． D．【答案】【解析】由图象可知，图象关于轴对称，为偶函数，故错误，当时，恒大于0，与图象符合，故错误．故选：．5．（2023•新高考Ⅰ）设函数在区间单调递减，则的取值范围是A．， B．， C．， D．，【答案】【解析】设，对称轴为，抛物线开口向上，是的增函数，要使在区间单调递减，则在区间单调递减，即，即，故实数的取值范围是，．故选：．6．（2023•天津）已知函数的一条对称轴为直线，一个周期为4，则的解析式可能为A． B． C． D．【答案】【解析】：若，则，令，，则，，显然不是对称轴，不符合题意；：若，则，令，，则，，故是一条对称轴，符合题意；，则，不符合题意；，则，不符合题意．故选：．7．（2023•新高考Ⅱ）已知函数在区间上单调递增，则的最小值为A． B． C． D．【答案】【解析】对函数求导可得，，依题意，在上恒成立，即在上恒成立，设，则，易知当时，，则函数在上单调递减，则．故选：．8．（2023•新高考Ⅱ）若为偶函数，则A． B．0 C． D．1【答案】【解析】由，得或，由是偶函数，，得，即，，得，得．故选：．9．（2022•乙卷）已知函数，的定义域均为，且，．若的图像关于直线对称，（2），则A． B． C． D．【答案】【解析】的图像关于直线对称，则，，，，故为偶函数，（2），（2），得．由，得，代入，得，故关于点中心对称，（1），由，，得，，故，周期为4，由（2），得（2），又（3）（1），所以（1）（2）（3）（4），故选：．10．（2022•乙卷）如图是下列四个函数中的某个函数在区间，的大致图像，则该函数是A． B． C． D．【答案】【解析】首先根据图像判断函数为奇函数，其次观察函数在存在零点，而对于选项：令，即，解得，或或，故排除选项；选项：当时，，，因为，，故，且当时，，故，而观察图像可知当时，，故选项错误．选项，中，当时，，故排除选项．故选：．11．（2022•新高考Ⅱ）已知函数的定义域为，且，（1），则A． B． C．0 D．1【答案】【解析】令，则，即，，，，则，的周期为6，令，得（1）（1）（1），解得，又，（2）（1），（3）（2）（1），（4）（3）（2），（5）（4）（3），（6）（5）（4），，（1）（2）（3）（4）．故选：．二．多选题12．（2023•新高考Ⅰ）噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中常数是听觉下限阈值，是实际声压．下表为不同声源的声压级：声源与声源的距离声压级燃油汽车10混合动力汽车10电动汽车1040已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车处测得实际声压分别为，，，则A． B． C． D．【答案】【解析】由题意得，，，，，，，可得，正确；，错误；，正确；，，正确．故选：．13．（2023•新高考Ⅱ）若函数既有极大值也有极小值，则A． B． C． D．【答案】【解析】函数定义域为，且，由题意，方程即有两个正根，设为，，则有，，△，，，，即．故选：．14．（2022•新高考Ⅰ）已知函数，则A．有两个极值点 B．有三个零点 C．点是曲线的对称中心 D．直线是曲线的切线【答案】【解析】，令，解得或，令，解得，在上单调递增，在上单调递减，且，有两个极值点，有且仅有一个零点，故选项正确，选项错误；又，则关于点对称，故选项正确；假设是曲线的切线，设切点为，则，解得或，显然和均不在曲线上，故选项错误．故选：．15．（2022•新高考Ⅰ）已知函数及其导函数的定义域均为，记．若，均为偶函数，则A． B． C．（4） D．（2）【答案】【解析】为偶函数，可得，关于对称，令，可得，即（4），故正确；为偶函数，，关于对称，故不正确；关于对称，是函数的一个极值点，函数在，处的导数为0，即，又的图象关于对称，，函数在，的导数为0，是函数的极值点，又的图象关于对称，，关于的对称点为，，由是函数的极值点可得是函数的一个极值点，，进而可得，故是函数的极值点，又的图象关于对称，，关于的对称点为，，，故正确；图象位置不确定，可上下移动，即每一个自变量对应的函数值不是确定值，故错误．解法二：构造函数法，令，则，则，，满足题设条件，可得只有选项正确，故选：．三．填空题16．（2023•甲卷）若为偶函数，则．【答案】2．【解析】根据题意，设，若为偶函数，则，变形可得在上恒成立，必有．故答案为：2．17．（2023•甲卷）若为偶函数，则．【答案】2．【解析】根据题意，设，其定义域为，若为偶函数，则，变形可得，必有．故答案为：2．18．（2023•上海）已知函数，则函数的值域为．【答案】，．【解析】当时，，当时，，所以函数的值域为，．故答案为：，．19．（2023•天津）若函数有且仅有两个零点，则的取值范围为．【答案】，，，．【解析】①当时，，不满足题意；②当方程满足且△时，有即，，，此时，，当时，不满足，当时，△，满足；③△时，，，，记的两根为，，不妨设，则，当时，，且，，，但此时，舍去，，，且，但此时，舍去，故仅有1与两个解，于是，，，，．故答案为：，，，．20．（2023•乙卷）设，若函数在上单调递增，则的取值范围是．【答案】的取值范围是，．【解析】函数在上单调递增，在上恒成立，即，化简可得在上恒成立，而在上，故有，由，化简可得，即，，解答，故的取值范围是，．故答案为：，．21．（2022•新高考Ⅰ）若曲线有两条过坐标原点的切线，则的取值范围是．【答案】，，．【解析】，设切点坐标为，，切线的斜率，切线方程为，又切线过原点，，整理得：，切线存在两条，方程有两个不等实根，△，解得或，即的取值范围是，，，故答案为：，，．22．（2022•新高考Ⅱ）曲线过坐标原点的两条切线的方程为．【答案】，．【解析】当时，，设切点坐标为，，，切线的斜率，切线方程为，又切线过原点，，，切线方程为，即，当时，，与的图像关于轴对称，切线方程也关于轴对称，切线方程为，综上所述，曲线经过坐标原点的两条切线方程分别为，，故答案为：，．23．（2022•乙卷）已知和分别是函数且的极小值点和极大值点．若，则的取值范围是．【答案】．【解析】对原函数求导，分析可知：在定义域内至少有两个变号零点，对其再求导可得：，当时，易知在上单调递增，此时若存在使得，则在单调递减，，单调递增，此时若函数在和分别取极小值点和极大值点，应满足，不满足题意；当时，易知在上单调递减，此时若存在使得，则在单调递增，，单调递减，且，此时若函数在和分别取极小值点和极大值点，且，故仅需满足，即：，解得：，又因为，故综上所述：的取值范围是．24．（2022•天津）设，对任意实数，记，．若至少有3个零点，则实数的取值范围为．【答案】，．【解析】设，，由可得．要使得函数至少有3个零点，则函数至少有一个零点，则△，解得或．①当时，，作出函数、的图象如图所示：此时函数只有两个零点，不满足题意；②当时，设函数的两个零点分别为、，要使得函数至少有3个零点，则，所以，，解得；③当时，，作出函数、的图象如图所示：由图可知，函数的零点个数为3，满足题意；④当时，设函数的两个零点分别为、，要使得函数至少有3个零点，则，可得，解得，此时．综上所述，实数的取值范围是，．故答案为：，．25．（2022•浙江）已知函数则．【答案】；．【解析】函数，，；作出函数的图象如图：由图可知，若当，时，，则的最大值是．故答案为：；．26．（2022•乙卷）若是奇函数，则．【答案】；．【解析】，若，则函数的定义域为，不关于原点对称，不具有奇偶性，，由函数解析式有意义可得，且，且，函数为奇函数，定义域必须关于原点对称，，解得，，定义域为且，由得，，，故答案为：；．27．（2022•北京）设函数若存在最小值，则的一个取值为0．【答案】0，1．【解析】当时，函数图像如图所示，不满足题意，当时，函数图像如图所示，满足题意；当时，函数图像如图所示，要使得函数有最小值，需满足，解得：；当时，函数图像如图所示，不满足题意，当时，函数图像如图所示，要使得函数有最小值，需，无解，故不满足题意；综上所述：的取值范围是，，故答案为：0，1．四．解答题28．（2023•新高考Ⅱ）（1）证明：当时，；（2）已知函数，若为的极大值点，求的取值范围．【分析】（1）分别构造函数，，利用导数研究函数的单调性与最值，即可证明；（2）分类讨论二阶导函数的符号，从而可得一阶导函数的符号，从而得原函数的单调性，从而可得极值点，即可得解．【详解】（1）证明：设，，则，，在上单调递减，，在上单调递减，，即，，，，设，，则，在上单调递增，，，即，，，，综合可得：当时，；（2），，且，，①若，即时，易知存在，使得时，，在上单调递增，，在上单调递增，这显然与为函数的极大值点相矛盾，故舍去；②若，即或时，存在，使得，时，，在，上单调递减，又，当时，，单调递增；当时，，单调递减，满足为的极大值点，符合题意；③若，即时，为偶函数，只考虑的情况，此时，时，，在上单调递增，与显然与为函数的极大值点相矛盾，故舍去．综合可得：的取值范围为，，．29．（2023•乙卷）已知函数．（1）当时，求曲线在点，（1）处的切线方程；（2）是否存在，，使得曲线关于直线对称，若存在，求，的值，若不存在，说明理由；（3）若在存在极值，求的取值范围．【解析】（1）时，（1），，（1），曲线在点，（1）处的切线方程为．（2），定义域为，，，要使函数的图像关于对称，则由，且，可知，即的图像关于对称，则（1），，得，解得．综上，，；（3），要使在存在极值点，则方程有正根，记，，，①当时，，故在上单调递增，，不符合题意；②当时，，故在上单调递减，，不符合题意；③当时，令，，令，，故在上单调递增，，不符合题意；易知时，，故只需，记，，，故在上单调递增，（2），故取，，有，即，符合题意；综上所述，时，在存在极值点．30．（2023•新高考Ⅰ）已知函数．（1）讨论的单调性；（2）证明：当时，．【分析】（1）先求出导函数，再对分和两种情况讨论，判断的符号，进而得到的单调性；（2）由（1）可知，当时，，要证，只需证，只需证，设（a），，求导可得，从而证得．【详解】（1），则，①当时，恒成立，在上单调递减，②当时，令得，，当时，，单调递减；当，时，，单调递增，综上所述，当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在，上单调递增．证明：（2）由（1）可知，当时，，要证，只需证，只需证，设（a），，则（a），令（a）得，，当时，（a），（a）单调递减，当，时，（a），（a）单调递增，所以，即，所以得证，即得证．31．（2022•天津）已知，，函数，．（1）求函数在，处的切线方程；（2）若和有公共点．（ⅰ）当时，求的取值范围；（ⅱ）求证：．【解析】（1），，，，函数在处的切线方程为；（2）（ⅰ），，又和有公共点，方程有解，即有解，显然，在上有解，设，，，当时，；当，时，，在上单调递减，在，上单调递增，，且当时，；当时，，，，的范围为，；（ⅱ）证明：令交点的横坐标为，则，由柯西不等式可得，又易证时，，，，，故．32．（2022•上海）．（1）若将函数图像向下移后，图像经过，，求实数，的值．（2）若且，求解不等式．【解析】（1）因为函数，将函数图像向下移后，得的图像，由函数图像经过点和，所以，解得，．（2）且时，不等式可化为，等价于，解得，当时，，，解不等式得，当时，，，解不等式得；综上知，时，不等式的解集是，，时，不等式的解集是，．33．（2022•浙江）设函数．（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）已知，，曲线上不同的三点，，，，，处的切线都经过点．证明：（ⅰ）若，则（a）；（ⅱ）若，，则．（注是自然对数的底数）【解析】（Ⅰ）函数，，，由，得，在，上单调递增；由，得，在上单调递减．（Ⅱ）证明：过有三条不同的切线，设切点分别为，，，，，，，，2，，方程有3个不同的根，该方程整理为，设，则，当或时，；当时，，在，上为减函数，在上为增函数，有3个不同的零点，（e）且（a），，且，整理得到且，此时，，且，此时，，整理得，且，此时，（a），设（a）为上的减函数，（a），．当时，同讨论，得：在，上为减函数，在上为增函数，不妨设，则，有3个不同的零点，（a），且（e），，且，整理得，，，，设，则方程即为：，即为，记，则，，为有三个不同的根，设，，要证：，即证，即证：，而，且，，，即证，即证，即证，记，则，在为增函数，，，设，，则，在上是增函数，（1），，即，若，，则．34．（2022•甲卷）已知函数，，曲线在点，处的切线也是曲线的切线．（1）若，求；（2）求的取值范围．【解析】（1）由题意知，，，，则在点处的切线方程为，即，设该切线与切于点，，，则，解得，则（1），解得；（2），则在点，处的切线方程为，整理得，设该切线与切于点，，，则，则切线方程为，整理得，则，整理得，令，则，令，解得或，令，解得或，则变化时，，的变化情况如下表：01000单调递减单调递增单调递减单调递增则的值域为，，故的取值范围为，．35．（2022•北京）已知函数．（Ⅰ）求曲线在点，处的切线方程；（Ⅱ）设，讨论函数在，上的单调性；（Ⅲ）证明：对任意的，，有．【解析】（Ⅰ）对函数求导可得：，将代入原函数可得，将代入导函数可得：，故在处切线斜率为1，故，化简得：；（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）有：，，令，令，设，恒成立，故在，单调递增，又因为，故在，恒成立，故，故在，单调递增；解法二：由（Ⅰ）有：，，设，，则，由指数函数的性质得上上是增函数，且，，当时，，单调递增，且当时，，在，单调递增．（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）有在，单调递增，又，故在，恒成立，故在，单调递增，设，，由（Ⅱ）有在，单调递增，又因为，所以，故单调递增，又因为，故，即：，又因为函数，故，得证．36．（2022•甲卷）已知函数．（1）若，求的取值范围；（2）证明：若有两个零点，，则．【解析】（1）的定义域为，，令，解得，故函数在单调递减，单调递增，故（1），要使得恒成立，仅需，故，故的取值范围是，；（2）证明：由已知有函数要有两个零点，故（1），即，不妨设，要证明，即证明，，，即证明：，又因为在单调递增，即证明：，构造函数，，，构造函数，，因为，所以，故在恒成立，故在单调递增，故（1）又因为，故在恒成立，故在单调递增，又因为（1），故（1），故，即．得证．37．（2022•乙卷）已知函数．（1）当时，求的最大值；（2）若恰有一个零点，求的取值范围．【解析】（1）当时，，则，易知函数在上单调递增，在上单调递减，在处取得极大值，同时也是最大值，函数的最大值为（1）；（2），①当时，由（1）可知，函数无零点；②当时，易知函数在上单调递增，在上单调递减，又（1），故此时函数无零点；③当时，易知函数在上单调递增，在单调递减，且（1），，又由（1）可得，，即，则，，则，当时，，故存在，使得，此时在上存在唯一零点；④当时，，函数在上单调递增，又（1），故此时函数有唯一零点；⑤当时，易知函数在上单调递增，在上单调递减，且（1），又由（1）可得，当时，，则，则，此时，故存在，使得，故函数在上存在唯一零点；综上，实数的取值范围为．38．（2022•新高考Ⅰ）已知函数和有相同的最小值．（1）求；（2）证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．【解析】（1）定义域为，，，若，则，无最小值，故，当时，，当时，，函数在上单调递减，当时，，函数在上单调递增，故，的定义域为，，，令，解得，当时，，函数在上单调递减，当时，，函数在，上单调递增，故，函数和有相同的最小值，，化为，令，，则，，恒成立，在上单调递增，又（1），（a）（1），仅有此一解，．（2）证明：由（1）知，函数在上单调递减，在上单调递增，函数在上单调递减，在上单调递增，设，则，当时，，所以函数在上单调递增，因为（1），所以当时，（1）恒成立，即在时恒成立，所以时，，因为，函数在上单调递增，（1），函数在上单调递减，所以函数与函数的图象在上存在唯一交点，设该交点为，，