数量关系基础入门详细讲解

数量关系基础入门详细讲解TOC\o"1-3"\h\u8231第一章数量关系概述 第一章数量关系概述第一节数量关系简介一、考试大纲和真题举例《公务员考试录用公共科目考试大纲》中对数量关系的定义是：数量关系主要测查报考者理解、把握事物间量化关系和解决数量关系问题的能力，主要涉及数据关系的分析、推理、判断、运算等。常见的题型有：数字推理、数学运算等。真题1：（2010年数字推理题）0,0,6,24,60,120()A.180

B.196

C.210

D.216真题2：（2016年数学运算题）某高校艺术学院分音乐系和美术系两个系别，已知学院男生人数占人数的30％，且音乐系男女生人数之比为1：3，美术系男女生人数之比为2：3，问音乐系和美术系的总人数之比为多少？A．5：2B．5：1C．3：1D．2：1二、数量关系简介根据大纲和真题，我们知道，数量关系有两种类型的题目，一种是像真题1这种的数字推理题，还有一种是像真题2这种的数学运算题。这两种题目需要根据题目中给出的算式或数量间关系的文字描述，利用数学知识准确迅速地计算、推测出结果。很多考生，尤其数学基础薄弱的考生感觉数量关系非常难，其实如果认真分析和研究真题就会发现数量关系的难度并不是很高，具体原因有：第一，数量关系考到的数学知识大多集中在中小学和高中的基本数学知识上，比如奇偶数、公约数公倍数、数列等；第二，数量关系题目的解题方法并非无法掌握，其实数量关系有常用的几种解题方法，比如列方程、代入排除等，这些解题方法只要掌握好，对于解题来说非常有帮助且效果很好；第三，数量关系每年的题目虽然不同，但是基本考查的都是一些常见的题型，掌握这些常见题型并多加练习能使做题正确率得到提高。所以建议考生认真复习数量关系，此模块是考生拉开分差的关键。第二节数量关系考情一、题量年份数学运算部分数字推理部分2010年10道5道2011年10道0道2012年10道0道2013年10道0道2014年10道0道2015年10道0道2016年10道0道数量关系中数学运算题目每年都稳定在10道，但数字推理题目从2010年开始再没有考查过，所以建议考生一定要复习数学运算部分，并且本教材也只讲解数学运算部分。对于数字推理部分考生可以根据自己的情况去适当复习。二、数学运算部分的题型分布2011年2012年2013年2014年2015年2016年计算问题3道3道3道2道3道3道利润问题1道1道2道0道1道2道几何问题2道3道1道1道0道1道工程问题0道1道0道0道1道0道行程问题1道1道1道2道2道1道容斥问题0道1道0道0道1道0道排列组合0道0道0道1道0道0道概率问题1道0道1道0道1道0道最值问题1道0道1道2道1道0道日期问题0道0道1道2道0道2道计数问题0道0道0道0道0道1道通过上面的表格，我们发现，数量运算部分的题型分布非常零散，每年都会从各种题型中抽查几类题型，所以每年考查的10道数学运算题其实就是各种题型的混合。考生只要将以上题型复习到位，无论考查哪几种题型都可有的放矢。同时，正是因为题型种类多，很多考生放弃了数学运算部分的题目，但这恰恰是拉开考生分差的关键。第三节数学运算内容概览数学运算通过三章的内容进行讲解。第二章主要讲解有关算术基础知识的内容，这部分内容是学习、理解和掌握后续章节的基础。这一章通过奇偶数、质数合数、公约数公倍数、整除、比例、数列这六节的内容，将常用、常见、常考的算术基础知识进行详细梳理和讲解。第三章给出了解决数学运算题目常用的五种方法，即代入排除法、数字特性法、特值法、方程法、十字交叉法。这一章是学习、掌握、理解各种题型的基础，而且在实际考试中也经常用到。第四章是内容最多的一章，对数学运算中常考的十一种题型进行详细解释和梳理，并结合算术基础知识和常用解题方法进行深入具体的认识。第四节数量运算备考建议数学运算部分很多考生喜欢通过题海战术去复习，这样的复习方法并非放之四海皆准的方法。首先，数学运算涉及的数学知识虽然只是中小学的基础知识，但知识体系相对是比较庞杂的，如果只做题而不系统的总结这些知识，那么很多考生掌握的可能并不牢固，题目发生变化可能又不会了；其次，数学运算的题型是可以归类的，而且不同题型的特点、特征差别很大，考生如果不加总结，即使出现相似的题目，依然不会；最后，数学运算的解题方法虽然并不多，但是不同的解题方法对不同题目的适用程度并不一样，比如有的题目用方程法可能比代入排除法更高效，考生对此如果没有认识，解题时可能出现用不合适的方法解题。综上所述，数学运算的复习需要时间和耐心，只有掌握好基本的数学知识、理解常用的解题方法、掌握好常考的题型才能让数学运算题目的复习有成果。对于数学，一定要做练习题，但不一定是题海。做题的目的是为了更好的辨别题目，更好的掌握基础知识，更熟练的使用解题方法。第二章算术基础知识本章主要讲解奇偶数、质数和合数、公约数和公倍数等基础的算术知识，部分知识在考试中会直接考查，比如质数与合数；部分知识是掌握各种解题技巧和各种题型的基础，比如整除的知识；还有些知识是快速解题（即所谓的秒杀）的重要突破口，比如奇偶数的知识。第一节奇偶数一、概念如果一个整数除以2，余数为0，那么这个整数就是偶数，比如2、4、6都是偶数；如果一个整数除以2，余数不为0，那么这个整数就是奇数，比如1、3、5都是奇数。注意：奇数和偶数必须是整数。特别注意：因为0除2的余数为0，所以0是偶数。二、奇偶律奇数和偶数相加、相减、相乘时，存在一定的规律，具体如下表。规律示例奇数奇数偶数偶数±偶数偶数奇数±偶数奇数规律总结：两个数相加减时，如果这两个数都是偶数或者都是奇数，那么结果一定是偶数；如果这两个数一个是奇数，一个是偶数，那么结果一定是奇数。1（奇数）+1（奇数）=2（偶数）；1（奇数）-1（奇数）=0（偶数）；2（偶数）+6（偶数）=8（偶数）；1（奇数）+2（偶数）=3（奇偶）；1（奇数）-0（偶数）=1（奇数）；奇偶偶数奇奇奇数偶偶偶数规律总结：两个数相乘时，如果这两个数都是奇数，那么结果一定是奇数；如果两个数中有一个数是偶数，另一个数无论是奇数还是偶数，结果一定是偶数。1（奇数）2（偶数）=2（偶数）；1（奇数）1（奇数）=1（奇数）；2（偶数）2（偶数）=4（偶数）；三、奇偶数在考试中的应用奇偶数的知识在考试中经常用于题目的快速求解，尤其是奇偶律用于秒杀题目有时非常有效。具体应用情况如下。1.用于方程的快速求解如果题干当中存在方程或者根据题干能列出方程，但是这些方程求解起来较慢或者较困难，那么就可以考虑使用奇偶数的知识，结合选项给出的数字，进行快速求解。注意：用奇偶数的知识求解方程，必须保证方程中的未知数都是整数！【例1】（2015年真题）每年三月某单位都要组织员工去A、B两地参加植树活动。已知去A地每人往返车费20元，人均植树5棵；去B地每人往返车费30元，人均植树3棵。设到A地员工有x人，A、B两地共植树y棵，y与x之间满足y=8x-15，若往返车费总和不超过3000元，那么，最多可植树多少棵?A.498B.400C.489D.500解析：题目最终求的是“最多可植树多少棵”，而根据题干条件“A、B两地共植树y棵”，可知植树的棵数最多为y棵，且y=8x-15，并且未知数x和y都是整数。我们发现要解这个方程是比较困难的，所以考虑结合选项使用奇偶数的知识进行快速求解。根据奇偶性，8x中8是偶数，所以8x一定是偶数；8x-15中15为奇数，所以8x-15为奇数；所以最多可植的棵数y是一个奇数。选项中只有C项是奇数。所以正确答案为C项。点评：这道题如果用传统的方法求解速度可能较慢，但如果使用奇偶数的知识，尤其奇偶律，题目的解答达到了秒杀的效果。【例2】（补充例题）某国对居民收入实行下列税率方案：每人每月不超过3000美元的部分（包括3000美元）按照1%税率征收，超过3000美元不超过6000美元的部分（包括6000美元）按照x%税率征收，超过6000美元的部分按y%税率征收(x，y为整数)。假设该国某居民月收入为6500美元，支付了120美元所得税，则y为多少?A.6B.3C.5D.7解析：根据题目可列出方程：3000×1%+3000×x%+500×y%=120。化简方程可得：6x+y=18。x、y都是整数。但是方程求解很困难，所以考虑使用奇偶数的知识。因6x中6为偶数，所以6x一定为偶数；y=18-6x中18是偶数，所以18-6x也是偶数，排除B、C、D，选择A。点评：很多题目都会存在列出方程，但因为题干条件不够充分，导致方程求解很困难。这时，如果方程中的未知量x、y、z等是整数，就可以考虑使用奇偶数的知识结合选项进行求解。2.如果题目中的条件基本上是关于某些量的和、差、平均，比如“甲与乙的和是...”、“甲与乙的差是...”、“甲和乙一共是...”、“甲比乙多（少）...”、“甲、乙、丙的平均值是...”。而且题目最后求的是其中某个量或者某几个量的和、差。对于这种情况的题目，也可以考虑使用奇偶数的知识进行求解。【例3】（补充例题）四年级有4个班，不算甲班其余三个班的总人数是131人；不算丁班其余三个班的总人数是134人；乙、丙两班的总人数比甲、丁两班的总人数少1人，问这四个班共有多少人？A．177B．178C．264D．265解析：由“不算甲班其余三个班的总人数是131人；不算丁班其余三个班的总人数是134人；乙、丙两班的总人数比甲、丁两班的总人数少1人”可知题目条件基本上是关于人数的和、差，且最后求的是人数的和。所以考虑使用奇偶数的知识进行求解。因为“乙、丙两班的总人数比甲、丁两班的总人数少1人”，设甲、丁两班的人数为x，甲、乙、丙、丁四个班总人数为2x-1,根据奇偶律，四个班总人数应该是奇数，排除B、C两项，又因为“不算甲班其余三个班的总人数是131人；不算丁班其余三个班的总人数是134人”，而131+134=265，其中重复计算了乙丙两个班的总人数，所以总人数≠265，排除D项。正确答案为A项。点评：通过奇偶数的知识，尤其奇偶律，对于解决题目条件基本是关于和、差的数学运算题有时候非常奏效。【例4】（补充例题）小王参加了五门百分制的测验，每门成绩都是整数。其中语文94分，数学的得分最高，外语的得分等于语文和物理的平均分，物理的得分等于五门的平均分，化学的得分比外语多2分，并且是五门中第二高的得分。问小王的物理考了多少分（）A．94B．95C．96D．97解析：由“外语的得分等于语文和物理的平均分，物理的得分等于五门的平均分，化学的得分比外语多2分”可知题目条件基本上是关于整数的平均值、差，且最后求解的是其中某个人的分数。所以考虑使用奇偶数的知识进行求解。因为“语文94分，外语的得分等于语文和物理的平均分”,所以物理得分=2×外语得分-语文得分，因为2×外语得分为偶数，语文得分94为偶数，所以物理得分为偶数，排除B项和D项；又因为“数学的得分最高、化学得分第二高，物理得分等于五门的平均分”，所以物理得分不可能等于语文得分，即94分，所以排除A项。所以正确答案为C项。点评：本题中，如果物理得分等于94分，那么外语得分也为94分，则五门成绩的平均分大于94分，而五门成绩的平均分就是物理得分，前后矛盾，所以A项是错误的。通过本题我们发现，题目条件基本是关于平均值、差的情况，通过奇偶数的知识进行求解还是比较快的。第二节质数、合数一、概念质数：一个整数，如果只有1和它本身两个因数，则为质数。比如5=1x5，所以5只有1和它本身两个因数，5是质数。合数：一个整数，如果除了1和它本身两个因数外，还有其它因数则为合数。比如6=1x6=2x3，所以6除了1和它本身两个因数外，还有2和3两个因数，6是合数。二、性质1.偶数中只有2是质数，其它全是合数。2.1既不是质数也不是合数。3.0是自然数。三、质因数分解任何一个合数（比如30）都能分解成若干个质数相乘的形式（比如30=2x3x5），这些质数（2、3、5）称为这个数（30）的质因数，这个过程称为质因数分解。质因数分解可以通过短除法来实现，其基本步骤是：从最小的质数2开始，去除要分解的数，直到不能除尽，然后换更大的质数继续进行，直到得到一个质数为止。举例如下：462=2x3x7x11462=2x3x7x11四、质数与合数在考试中的应用质数与合数的相关知识一般会在考试中作为知识点直接考查。【例1】（补充例题）一个质数的3倍与另一个质数的2倍之和等于20，那么这两个质数的和是多少？A.9B.8C.7D.6解析：由题可设两个质数分别为x和y，则可得3x+2y=20。根据奇偶律可知，和为20，则3x和2y必然是偶数，3x为偶数那么x必然是偶数，2y是偶数y可能是奇数也可能是偶数，又因为x和y都是质数，所以x既是质数又是偶数，则x必然等于2，则y等于7。所以正确答案为A项。点评：质数与合数作为直接考查的知识点，考生一定要清楚什么是质数什么是合数。否则遇到题干中提到质数、合数的情况会难以入手。【例2】（补充例题）设有三个自然数，分别是一位数、两位数和三位数，这三个数的乘积为2004，则三数之和为()。A.100B.180C.179D.178解析：因为2004是三个数相乘的结果，要求这三个数的和，首先得知道这三个数分别为多少。所以应用质数与合数的知识，对2004进行质因数分解，2004=2×2×3×167。因为乘数中有一个是两位数，所以这个两位数2×2×3=12，则一位数和三位数分别是1和167，2004=1×12×167。所以三个数之和为1+12+167=180。故正确答案为B。点评：本题考查了质因数分解，考生一定要清楚，质因数分解要说明的是任何一个合数（比如本题中的2004）都可以分解成多个质数相乘的形式。第三节公约数和公倍数一、最大公约数12除以2的余数等于0，我们就说2就是12的约数，同时，2也是18的约数，则2就是12和18公共的约数，简称公约数。同时，3、6也是12和18的公约数。在12和18的所有公约数中，最大的那个公约数即最大公约数。求两个或两个以上数的最大公约数一般使用短除法，下面举例说明其求解过程。用你能发现的公约数去作除数，进行除法，直到所得的两个商互质。最大公约数等于所有除数之积。所以12和18的最大公约数为：2x3=6。互质：1是任何整数的约数，则1是任意两个整数的公约数。当两个数没有比1大的公约数时，就称这两个数互质，比如3和8两个数就是互质的。二、最小公倍数6是2的倍数，6也是3的倍数，则6是2和3的一个公共倍数，简称公倍数。同时，12、18、24也是2和3的公倍数，即2和3有无限多个公倍数，其中最小的那个公共倍数即最小公倍数。求两个或者两个以上数的最小公倍数一般也使用短除法，下面举例说明其求解过程。用你能发现的公约数去作除数，进行除法，直到所得的两个商互质。最小公倍数等于所有除数及最后的商相乘之积。所以56和70的最小公倍数为：2x7x4x5=280。三、公约数与公倍数在考试中的应用公约数与公倍数的相关知识一般会作为知识点在考试中直接考查。【例1】（2011年真题）有甲、乙、丙三辆公交车于上午8:00同时从公交总站出发，三辆车再次回到公交总站所用的时间分别为40分钟、25分钟和50分钟,假设这三辆公交车中途不休息，请问它们下次同时到达公交总站将会几点？A.11点整B.11点20分C.11点40分D.12点整解析：甲、乙、丙都是上午8:00同时出发，若下次同时到达公交站，则他们各自用的总时间是一样的，所以只需要求出40、25、50的最小公倍数即可。求解如下：最小公倍数是5x5x2x4x1x1=200。所以在200分钟时甲、乙、丙三车同时回到公交车站，即11点20分。所以正确答案为B项。点评：公约数与公倍数作为直接考查的知识点，考生首先一定要清楚公约数、公倍数、最大公约数、最小公倍数的概念，以及求最大约数和最小公倍数的方法。其次，考生要能辨别清楚题目是否在考查公约数与公倍数，要想能清楚的辨别，建议考生多做一些考查公约数与公倍数的题目，积累一定的辨别经验。【例2】（补充例题）有两种中药分别重25千克和15千克，将这两种中药分别平均分成若干份，并且两种药每份的重量也相等，那么请问至少分成多少份？A.3B.5C.8D.19解析：根据题目，每一份的重量应该既是25的约数，也是15的约数。要想分成的份数尽可能地少，每一份的重量应尽可能地大。即每一份的重量应是25和15的最大公约数，是5。总份数是（25+15）÷5=8。所以正确答案为C项。点评：本题考查了最大公约数，关键是要能辨别出题目考查了这个知识点，所以此类题目要多做练习，积累题目的辨别经验。第四节整除一、概念一个整数（比如20）除以另一个非零整数（比如5），商为整数（比如4），且余数为零，我们就说一个整数（比如20）能被另一个整数（比如5）整除。二、整除的重要结论1.如果，且如果c（比如3）与d互质（比如4），那么就可得到a能被c（比如3）整除，b能被d（比如4）整除或者可以说a是c（比如3）的倍数，b是d（比如4）的倍数。2.如果，且如果c（比如3）与d互质（比如4），那么就可得到a+b能被c+d（比如3+4）整除或者可以说a+b是c+d（3+4）的倍数。3.如果，且如果c（比如4）与d互质（比如3），那么就可得到a-b能被c-d（比如4-3）整除或者可以说a-b是c-d（4-3）的倍数。4.如果数a能被b整除，数b能被c整除，则数a能被c整除。（传递性）【示例】42能被14整除，14能被7整除，42能被7整除。5.如果数a能被c整除，数b能被c整除，则a+b、a-b均能被c整除。（可加减性）【示例】9能被3整除，18能被3整除，9+18=27也能被3整除。三、整除的判定如果在具体计算之前，你预知正确答案可以被某个整除，那你只需要通过判断哪个选项可以被这个数整除即可。根据整除判定的规律，可以将整除判定分为以下几种情况：1.看尾数判定的情况能被2整除的判定依据末一位的数能被2整除能被5整除的判断依据末一位的数能被5整除能被4整除的判定依据末两位的数能被4整除能被25整除的判定依据末两位的数能被25整除能被8整除的判断依据末三位的数能被8整除能被125整除的判断依据末三位的数能被125整除能被整除的判定依据末n位的数能被整除能被整除的判定依据末n位的数能被整除2.看全部判定的情况能被3整除的判定依据所有数位上的数加和的结果能被3整除能被9整除的判断依据所有数位上的数加和的结果能被9整除在判断较大的数字能否被3或9整除时，我们可以采用“弃3、弃9“法来简化运算。所谓“弃3、弃9“是指任意数位的数字加和的结果如果为3或9，就可以先舍弃不要，看最后是否有任意数位的数字加和的结果，不是3或9，不能被3或9整除，是3或9则能被整除。【示例】519368204549276能被9整除吗？解析：如果按判定依据将所有数位上的数字相加运算量较大，则可以用“弃3、弃9“法。最终得到不能被9整除。3.看拆分判断的情况能被合数整除的判定依据将合数拆分为两个互质的数。则同时能被互质的两个数整除的数就能被合数整除能被6整除的判定依据同时能被2和3整除的数能被12整除的判定依据同时能被3和4整除的数能被35整除的判定依据同时能被5和7整除的数4.看差值判定的情况被7（11、13）整除的判定依据将一个数从右往左数，将奇数位上的数与偶数位上的数分别相加，然后将两个数的和相减，差值能被7、11、13整除（包括差值为0）四、整除在考试中的应用整除在考试中应用的比较广泛，当题目中出现倍数关系、百分数关系、比列关系、分数关系、平均数关系、这五种关系时，可考虑使用整除这一节的知识。题目中常见的关键词有“倍”、“商”、“整除”、“平均”、“每”、“比”、“比例”、“百分数”、“分数”等。【例1】（2014年真题）某单位组织参加理论学习的党员和入党积极分子进行分组讨论，如果每组分配7名党员和3名入党积极分子，刚好剩下4名党员未安排;如果每组分配5名党员和2名入党积极分子，则还剩下2名党员未安排，问参加理论学习的党员比入党积极分子多多少人?A.16B.20C.24D.28解析：题目中出现了分组，即平均的关系。所以考虑使用整除的知识求解。由“如果每组分配5名党员和2名入党积极分子，则还剩下2名党员未安排”，可以设分成了x组，则党员的人数为（5x+2）名，入党积极分子为2x，因此参加理论学习的党员比入党积极分子多（3x+2）名，即减去2是3的倍数，四个选项只有B项减去2后是3的倍数。所以正确答案为B项。点评：这道题目是比较典型的分组题，在这类分组的题目中因为每组人数和总人数都必须是整数，所以求人数时可以优先考虑使用整除的知识进行排除。【例2】（2016年真题）2014年父亲、母亲的年龄之和是年龄之差的23倍，年龄之差是儿子年龄的1/5，5年后母亲和儿子的年龄都是平方数。问2014年父亲的年龄是多少？（年龄都按整数计算）A．36岁B．40岁C．44岁D．48岁解析：题目中出现倍数关系，且要求年龄是整数，考虑使用整除的知识求解。由“2014年父母年龄之差是儿子年龄的1/5,”可得儿子年龄是5的倍数，而儿子5年后年龄也必然是5的倍数，而5的倍数且为平方数的只能为25，则可得到现在儿子的年龄为20岁，年龄差即为20×1/5=4岁，年龄和为4×23=92岁，则父亲年龄+母亲年龄=92，|父亲年龄-母亲年龄|=4，假设父亲年龄比母亲年龄大，则可得父亲年龄-母亲年龄=4，联立求解可得父亲年龄=48，母亲年龄=44，此时母亲年龄五年后为49岁，是平方数，满足条件。故父亲年龄为48岁。故正确答案为D。点评：这道题目中典型的体现了倍数关系存在时，用整除的知识求解非常方便快捷。【例3】（补充例题）两个派出所某月内共受理案件160起，其中甲派出所受理的案件中有17%是刑事案件，乙派出所受理的案件中有20%是刑事案件。问乙派出所在这个月中共受理多少起非刑事案件（）A．48B．60C．72D．96解析：题目中出现了百分数关系，考虑使用整除的知识进行求解。由“甲派出所受理的案件中有17%是刑事案件”可知，甲所受理的案件数应为100的倍数（根据整除结论（1）得），而总数为160，则甲所受理的案件数为100起，乙所为60起。乙所受理的非刑事案件数为60×80%=48（起）。正确答案为A项。点评：这道题目典型的体现了使用整除的结论对题目进行求解，几乎达到了秒杀的效果。第五节比例一、概念比例即数量之间的对比关系，就是用份数之比来代替两个相关联的实际量之比，以反映这两个关联量之间的关系。比如某校有男生333人，女生555人，则该校的男女比例为3:5，这个比例就是用3份和5份分别代替了男生人数和女生人数，即3份代表男生的人数，5份代表女生的人数，反映了男生和女生人数间的关系。二、比例计算的基础知识在比例计算中涉及比例量、差值量、总量和实际量。比例量是指两个有关联的量之间的比例，差值量是指两个比例之间做差的结果，总量是指两个比例求和的结果，实际量是指比例量、差值量、总量实际代表的数值。具体通过下面的例题来理解。【示例】甲的速度和乙的速度之比为5:3，甲的速度比乙的速度快4m/s，则甲的速度为多少？解析：首先列出甲和乙速度的比例量、差值量、总量和实际量如下：比例量差值量总量5:35-3=25+3=8实际量10m/s：6m/s4m/s16m/s因为差值量为2，即2份，这2份代表的实际值为4m/s，则1份代表2m/s。那么甲的比例量为5，即5份，则甲为10m/s；乙为3，即3份，则乙为6m/s；总量同理可得实际值为16m/s。三、比例的统一1.含义比例的统一是指将份数不一样的比例统一成份数一样的比例。比如已知甲：乙为2:3，乙：丙为5:6，则甲：乙：丙是多少？在这个问题中，乙在甲：乙和乙：丙中所代表的份数不一样，所以只有将份数统一才能求得甲：乙：丙是多少？2.核心思想和方法比例统一的核心思想就是比例量每一份所代表的实际量一样才能作比较。而要将比例统一，核心的方法就是先得找到不变的实际量作为桥梁，一般情况下通过求最小公倍数得到，然后将其它的比例量相应的做出变化即可。比如已知甲：乙为2:3，乙：丙为5:6，则甲：乙：丙是多少？在这个问题中，首先找到乙为公共量，即乙是不变的量，所以找出乙对应的3和5的最小公倍数，即15，然后甲和丙相应的扩大5倍和3倍，即可得甲：乙为10:15，乙：丙为15:18，则甲：乙：丙为10:15:18。四、比例在考试中的应用如果题目中出现了比例、分数、倍数、百分数、倍数等时，如果用整除的知识无法解决，那么就可以考虑用比例的知识。对于行程问题、工程问题、利润问题等题型有时也会用到比例的知识求解。【例1】（2014年真题）某单位利用业余时间举行了3次义务劳动，总计有112人次参加。在参加义务劳动的人中，只参加1次、参加2次和3次全部参加的人数之比为5:4:1。问该单位共有多少人参加了义务劳动?A.70B.80C.85D.102解析:由题目“只参加1次、参加2次和3次全部参加的人数之比为5:4:1”，则参加的总人数为10份，即参加的总人数是10的倍数，可以排除C、D两项，但A项和B项都是10的倍数，所以考虑使用比例的知识求解。由于参加人数之比为5:4:1，则对应人次之比为5:8:3，即人次总共是16份，而总的人次是112人次，所以每一份代表112/16=7人次。所以只参加1次，参加2次和3次全部参加的人次分别为35、56、21，对应人数分别为35、28、7人，故总人数为70人。因此，答案选择A选项。点评：人次和人数在数学运算中不能混淆，以此题为例，只参加1次的人数等于只参加1次的人次，而参加2次的人次是参加2次的人数的2倍。【例2】（2014年真题）某有色金属公司四种主要有色金属总产量的1/5为铝，1/3为铜，镍的产量是铜和铝产量之和的1/4，而铅的产量比铝多600吨，问该公司镍的产量为多少吨?A.600B.800C.1000D.1200解析：由题目“金属总产量的1/5为铝，1/3为铜，镍的产量是铜和铝产量之和的1/4”考虑使用比例的知识求解。“金属总产量的1/5为铝，1/3为铜”，即铝的产量与金属总产量的比例为1:5，铜的产量与金属总产量的比例为1:3。金属总产量是两个比例共同的量，但在两个比例中的值不一样，所以进行统一，即铝的产量：金属总产量×，铜的产量：金属总产量×。所以金属总产量为15份，其中铝占了3份，铜占了5份。由“镍的产量是铜和铝产量之和的1/4”可得镍的产量为2份，则铅的产量为5份。最后，铅比铝多2份，且“铅的产量比铝多600吨”，则2份代表600吨，而镍占了2份，所以镍的产量为600吨。所以正确答案为A项。点评：本题的解析虽然较长，但是理解起来相对是比较容易的，最重要的是通过比例的知识使题目的求解更加快速、高效。第六节等差和等比数列一、概念数列从第二项起，每一项与前一项的差都相等，这个数列就叫作等差数列。这个相等的差叫这个等差数列的公差。比如：2,4,6,8,10就是一个公差为3的等差数列。等差数列第一项叫作首项，第n项用表示，前n项的和用表示。数列从第二项起，每一项与前一项的比都相等，这个数列就叫做等比数列，这个相等的比叫这个等比数列的公比。比如：2,4,8,16,32...就是一个公比为2的等比数列。等比数列第一项叫作首项，第n项用表示，前n项的和用表示。（注意：等比数列的公比不能等于0，首项也不能等于0）。二、公式1.等比数列的基本公式分类公式示例通项等比数列首项为3，公比为4，则=48求和等比数列首项为2，公比为3，则=802.等差数列的基本公式分类公式示例通项等差数列首项为2，公差为3，则=2+(5-1)x3=14公差等差数列第5项为24，第3项为14，则公差为（24-14）/(5-3)=5项数等差数列首项为15，末项为3，公差为4，项数为[（15-3）/4]+1=4平均数等差数列2，4，6，8，10，12，14数列各项的平均数=（2+14）÷2=8该数列项数为奇数，平均数=中项=8对称等差数列2,4,6,8,10...=12等差数列的四要素：首项、末项、项数、公差，知道其中3个，就能确定第4个。关键是要能选用合适的公式，快速计算。3.等差数列求和公式分类公式示例一般求和等差数列首项为1，公差为3，则=6x1+[6x(6-1)/2]x3=51中项求和等差数列首项为2，第3项为6，则=6x5=30平均数求和等差数列首项为2，第6项为24，则=[（2+24）/2]x6=78等差数列求和要根据已知条件选择适当的公式快速计算。当数列项数为奇数时，优先考虑中项求和公式；已知首项和末项，优先考虑平均数求和公式4.常见数列求和公式分类数列各项求和公式奇数列1，3,5,7，...，2n-1...偶数列2,4,6,8...2n...平方数列,,立方数列,,三、等差数列和等比数列在考试中的应用等差数列在考试中一般是作为一个知识点直接进行考查。等比数列在数学运算中的考查的比较少见。【例1】(2016年真题)某商店10月1日开业后，每天的营业额均以100元的速度上涨，已知该月15号这一天的营业额为5000元，问该商店10月份的总营业额为多少元？A．163100B．158100C．155000D．150000解析：由“每天营业额以100元的速度上涨可知”，10月份营业额成一个公差为100的等差数列；由该月15号的营业额为5000元得知，=5000，=5100。10月共31天，由等差数列求和公式：，可得总共等于31x5100=158100元。故正确答案为B。点评：本题非常简单，但是很多考生因为不清楚等差数列的求和公式，甚至没有辨别出此题考查的是等差数列而放弃了这道题。所以建议考生多做一些有关数列的练习题，达到熟练辨别题目和熟练使用公式的效果。【例2】（补充例题）某成衣厂对9名缝纫工进行技术评比，9名工人的得分恰好成等差数列，9人的平均得分是86分，前5名工人的得分之和是460分，那么前7名工人的得分之和是多少（）A．602B．623C．627D．631解析：根据等差数列之和=平均数x项数=中项x项数。可知第五名得分为86分，第三名得分是前5名的中项，得分为460÷5=92（分），第四名是第三名和第五名的平均数，得分为（92+86）÷2=89（分），同时，第四名又是前七名的中项，前七名的总分为89×7=623（分）。所以正确答案为B项。点评：只要掌握好数列的求和公式，本题非常容易求解。第三章常用解题方法本章讲解数学运算在解题中常用的解题方法，比如代入排除法、特值法、方程法等，掌握这些解题方法对于快速、准确得到答案至关重要。数学运算中的题目在解答时有两种顺序，第一种是根据题目条件计算出答案，然后与选项对比，这种顺序的出发点是题目条件，主要用的是方程法、公式法等中小学常用的解题方法。第二种是根据选项给出的结果代入题目中的条件，判断是否符合题目中的要求，这种顺序的出发点是所给的选项，主要用的是代入排除法、数字特性法等。第一节代入排除法一、适用范围对于以下几种情况的题目可以考虑使用代入排除法：第一种情况，题目中选项信息充分，即题目有几个量，选项就有几个量对应；第二种情况，题目所给出的条件过于复杂或者选项数据太大，导致从题目入手没有思路或者运算很困难；第三种情况，根据题目列出的方程、式子不易求解。二、具体用法将选项作为一个常量或者作为题目的一个条件，代入到题干的数量关系中，通过验算，计算出这个选项是否符合题干的要求，如果符合，即为正确答案，如果不符合，再代入下一个选项去做尝试，直至找到正确答案。三、真题举例【例1】（2013年真题）A、B两桶中共装有108公斤水。从A桶中取出1/4的水倒入B桶，再从B桶中取出1/4的水倒入A桶，此时两桶中水的重量刚好相等。问B桶中原来有多少公斤水？（）A.42B.48C.50D．60解析：由题目“A、B两桶中共装有108公斤水”,而选项给出了B桶原来有多少公斤水，则A桶原来有多少公斤水也可以知道，所以题目中选项的信息非常充分，可以考虑使用代入排除法。由题意，最后两桶水中各有54公斤水。代入D项，则B桶原来有60公斤水，A桶原来有48公斤水，按照题目的进行操作，发现最后A和B两个桶里的水相等，都是54公式，所以符合题意。正确答案为D项。点评：选项的代入顺序考生也可以适当注意，给出两点建议（仅供参考）。第一，一般建议从整数选项代入；第二，个别题目有大小导向，比如题目问“最多（至少）有多少”，则从最大（最小）的数开始代入。【例2】(补充例题）在一堆桃子旁边住着5只猴子。深夜，第一只猴子起来偷吃了一个，剩下的正好平均分成5份，它藏起自己的一份，然后去睡觉。过了一会儿，第二只猴子起来也偷吃了一个，剩下的也正好平均分成5份，它也藏起自己的一份，然后去睡觉，第三个、第四、五只猴子也都依次这样做。问那堆桃子最少有多少个？A.4520B.3842C.3121D.2101解析：本题选项数据太大计算复杂，且题目所给条件也复杂，考虑使用代入排除法。根据第一个条件，吃掉1个剩下的平均分成5份，可知答案应该减1可以被5整除，排除A、B选项；再根据题目的问法最少有多少个，所以从最小的开始代入，先看D项，2101-1=2100，被5整除后得到的是420，用2100-420=1680；1680-1=1679不能再被5整除，排除D项。所以正确答案为C项。点评：题目最后问最少多少个，所以代入时考虑从最小的选项开始代入，确实节省了代入排除的时间。【例3】（补充例题）有一支参加阅兵的队伍正在进行训练，这支队伍的人数是5的倍数且不少于1000人，如果按每横行排4人编队，最后少3人，如果按每横排3人编队，最后少2人；如果按每横排2人编队，最后少1人。请问，这支队伍最少有多少人？（）A.1045B.1125C.1235D.1345解析：这道题目给出了总人数的情况和总人数分不同情况排队的情况，很多考生可能会考虑列方程，但列方程求解非常复杂，所以考虑使用代入排除法。因为题目最后问最少有多少人，所以从最小的值1045代入。首先，题目要求总人数是5的倍数且不少于100人，1045符合；其次，由“每横行排4人编队，最后少3人”可得，总人数加3是4的倍数，1045符合；再者，由“如果按每横排3人编队，最后少2人”可得，总人数加2是3的倍数，1045符合；最后由“如果按每横排2人编队，最后少1人”可得，总人数加1是2的倍数，1045符合。所以正确答案为A项。第二节数字特性法一、适用范围如果题目的条件符合第一章中“奇偶数在考试中的应用”和“整除在考试中的应用”的要求，则可以考虑使用数字特性法进行求解。数字特性法常用于方程的快速求解和结合选项对答案进行快速排除，它是代入排除法的一个重要补充。二、具体用法根据题目的条件和选项，利用奇偶数和整除的知识对选项进行筛除从而确定正确选项。三、真题举例【例1】（2012年真题）某公司三名销售人员2011年的销售业绩如下：甲的销售额是乙和丙销售额的1.5倍，甲和乙的销售额是丙的销售额的5倍，已知乙的销售额是56万元，问甲的销售额是（）。

A.140万元

B.144万元

C.98万元

D.112万元解析：题目中出现了倍数，考虑数字特性法。由题目“甲的销售额是乙和丙销售额的1.5倍”可得：甲=1.5(乙+丙），即甲：（乙+丙）=3:2，由整除的性质可知，甲的销售额是3的倍数，只有B项符合条件。再由题目“甲和乙的销售额是丙的销售额的5倍，已知乙的销售额是56万元”可得：甲+56=5丙，由整除的知识可知，甲加上56是5的倍数，符合条件的只有B项。综上所述，正确答案为B项。【例2】（补充例题）在某公司年终晚会上，所有员工分组表演节目。如果按7男5女搭配分组，则只剩下8名男员工；如果按9男5女搭配分组，只剩下40名女员工。该公司用工总数为（）人A.446B.488C.508D.576解析：题目中出现了分组，即平均，考虑使用数字特性法。由“如果按7男5女搭配分组，则只剩下8名男员工”，可以设共有x组，则总人数为12x+8,即总人数减去8一定是12的倍数（同时是3和4的倍数），排除A、C、D项，正确答案为B项。第三节特值法一、适用范围如果题目中的条件存在以下情况，可以考虑使用特值法。第一种情况是题目中没有出现具体的值，题目中的量都是以倍数、分数、比例、百分数的形式给出的。第二种情况是在A=BxC（比如路程=速度x时间）这样的三量关系中，题目只给出其中一个量的具体值，其它量只是用比例关系表示甚至根本没有提到；常见的题型有行程问题、利润问题、工程问题等。二、具体用法在题目中未知量的值无论取多少都不影响结果的前提下，可以将未知的量设为便于计算的特殊值，比如设为1，从而快速得到答案。建议尽量给题目中不变的未知量设特值，以连接所有题干条件，从而简化运算。一般常设工作总量、总路程、总价钱为所给数字的公倍数，设效率、成本、进价为简单数，比如1、10、100。三、真题举例【例1】（2012年真题）某网店以高于进价10%的定价销售T恤，在售出2/3后，以定价的8折将余下的T恤全部售出，该网店预计盈利为成本的（）。A.3.2%

B.不赚也不亏

C.1.6%

D.2.7%解析：题目中没有给出具体的值，题目中的量都是以百分数和比例关系给出的，所以考虑使用特值法。T恤的进价和总数不变，设一件T恤进价（即成本）为10，T恤的总数为3，则所有T恤的成本为30。根据题目“某网店以高于进价10%的定价销售T恤”可得一件T恤的定价为11。根据题目可得所有T恤卖完的收入为2x11+11x0.8x1=30.8，则该网店的盈利为30.8-30=0.8。所以盈利为成本的0.8/30=0.027，即2.7%。所以正确答案为D项。【例2】（补充例题）甲、乙二人从同一地点同时出发，绕西湖匀速背向而行，35分钟后甲、乙二人相遇。已知甲绕西湖一圈需要60分钟，则乙绕西湖一圈需要（）分钟。A.25B.70C.80D.84解析：题目中只给出了时间这个量的具体值，但路程和速度这两个量的值未给出，可以考虑使用特值法。西湖的周长不变，则可以设西湖的周长为已知量的公倍数，即60和35的公倍数420，则甲的速度为420/60=7，乙的速度为(420-35x7)/35=5，则乙绕西湖一圈的时间为420/5=84。所以正确答案为D项。【例3】（补充例题）2010年某种货物的进口价格是15元/公斤，2011年该货物的进口量增加了一半，进口金额增加了20%。问2011年该货物的进口价格是多少元/公斤（）A．10B．12C．18D．24解析：题目中只给出了单价这个量的具体值，但进口量和进口金额这两个量的值未给出，可以考虑使用特值法。假设2010年进口量为4斤，根据题目可得2011年进口量为6斤。则2010年的进口金额为60元，2011年的进口金额为60x（1+20%）=72元。所以2011年进口价格是72/6=12元/斤。正确答案为B项。第四节方程法一、适用范围如果题目中存在明显的等量关系（比如甲是乙的2倍）就可以通过等量关系列出方程（比如甲=2乙）来求解。在不考虑解题效率的前提下，其实数学运算的大部分题型，都可以使用方程法来解答。等量关系一般有以下两种形式。第一种是在题干中提到一些关键词，比如“A和B相等”、“A是B的3倍”、“A比B多”等，这些都是列方程所需要的等量关系；第二种是在行程问题、工程问题、利润问题等问题中的公式也可以作为列方程的等量关系，比如行程问题中，“路程=速度x时间”就可以作为该类题目列方程的等量关系。二、具体用法1.首先一定要找到并分析清楚题目中有哪些等量关系以及各个量之间的关系。2.设未知数，一般建议设中间量或所求量。3.把其它未知量用未知数表示。4.利用等量关系，列方程求解。三、真题举例【例1】（2013年真题）某产品售价为67.1元，在采用新技术生产节约10%成本之后，售价不变，利润可比原来翻一番。则该产品最初的成本为_____元。A.51.2B.54.9C.61D.62.5解析：由“采用新技术生产节约10%成本之后，售价不变，利润可比原来翻一番”可知题目存在等量关系，所以考虑使用方程法。设最初的成本为x元，则原来的利润为67.1-x；则采用新技术后的成本为（1-10%）x，采用新技术后的利润为67.1-（1-10%）x。由题目中的等量关系列出方程：2x(67.1-x）=67.1-（1-10%）x。求解方程可得x=61。所以正确答案为C项。【例2】（补充例题）某单位原有45名职工，从下级单位调入5名党员职工后，该单位的党员人数占总人数的比重上升了6个百分点，如果该单位又有2名职工入党，那么该单位现在的党员人数占总人数的比重为多少（）A．40%B．50%C．60%D．70%解析：由“比重上升了6个百分点”可得到等量关系，即调入5名党员后的比重=原来比重+6%。所以考虑使用方程法。设原有45名员职工中有x个党员，则原来党员占原来总人数的比重为x/45，调入5名党员后的比重为（x+5）/（5+45）。由等量关系列方程（x+5）/（5+45）=x/45+6%，解得x=18。最后计算新入党的2名职工的情况，比重为（18+5+2）/50=0.5，即50%。所以正确答案为B项。点评：此题虽然求得是比重，但是题目中不断出现党员人数的关系，所以将最初党员人数设为未知数能将题目中的条件连接起来，从而能列出方程。所以在设未知数时不一定要设所求量，也可以设中间量。总之，设未知数要本着方便列方程和方便计算的原则去做，这样可以加快做题的速度。【例3】（补充例题）一容器内有浓度为30%的糖水。若再加入30千克水与6千克糖，则糖水浓度变为25%。问原来糖水中含糖多少千克？A.15B.18C.21D.24解析：设容器内原来有x千克糖水，则现在有（x+6+30）千克糖水，则现在糖水中有（30%x+6）千克糖水。由公式：溶液x浓度=溶质，可列出方程，（x+6+30）×25%=（30%x+6）。解得x=60.所以原来糖水中含糖30%×60=18千克。所以正确答案为B项。点评：本题最后求得是糖多少千克，即求得是溶质，但设原来的糖水为未知数，即溶液为未知数可以避免出现除法运算，使计算更快。所以设未知数要本着方便计算和方便列方程的原则。本题的等量关系是利用了常用公式，所以对于常用公式，我们也可以将其作为方程的等量关系。第五节十字交叉法一、适用范围如果题目给出的条件中出现了几个平均量（比如男生的平均分是20，女生的平均分是30，全班的平均分是23），即平均量的混合，则可以考虑使用十字交叉法。平均量实质上是指一个分数，平均量的混合就是分数的混合。比如速度就是一个平均量，速度实质上是分子为路程分母为时间的分数，两个速度的和速度就是速度的混合。所以对于浓度混合、利润率混合、折扣混合、增长率的混合、平均数混合等常见的题目可以考虑使用十字交叉法。二、具体用法十字交叉法就是利用下图中的规律解决平均量混合问题的。1.十字交叉法中大值、中值、小值的要求：十字交叉法中的中值必须是有大值和小值混合而成的，所以中值的大小一定介于大值和小值之间。而且大值、中值、小值的单位必须一致，比如大值是速度，则中值和小值也必须是速度。2.分母1和分母2:真比中的分母1和分母2是指是指大值、中值、小值的单位中的分母。3.真比和简比的关系：真比和简比是相等的。4.交叉平均量的求法:在求交叉平均量时一定要用大的减去小的。为了让大家更具体的理解十字交叉法，下面通过一道例题进行说明。【示例】某单位举行普法知识竞赛，若该单位总的平均分为87分，其中男同志的平均分为83分，女同志的平均分为93分，请问该单位男同志30名，请问女同志有多少名？解析：利用十字交叉法解题如下图所以可得女同志人数：男同志人数=4:6，男同志有30名，则女同志有20名。三、真题举例【例1】（2016年真题）某高校艺术学院分音乐系和美术系两个系别，已知学院男生人数占人数的30％，且音乐系男女生人数之比为1：3，美术系男女生人数之比为2：3，问音乐系和美术系的总人数之比为多少？A．5：2B．5：1C．3：1D．2：1解析：由“音乐系男女生人数之比为1：3”可得音乐系男生与音乐系总人数之比为1：4，即音乐系男生占音乐系总人数的25%；由“美术系男女生人数之比为2：3”可得美术系男生与美术系总人数之比为2:5，即美术系男生占美术系总人数的40%；且题目已知两个学院男生人数占总数的30%，所以是一道平均量混合的题目，可以使用十字交叉法。所以正确答案为D项。【例2】（补充例题）在环保知识竞赛中，男选手的平均得分为80分，女选手的平均得分为65分，全部选手的平均得分为72分。已知全部选手人数在35到50之间，则全部选手人数为（）A.48B.45C.43D.40解析：由“男选手的平均得分为80分，女选手的平均得分为65分，全部选手的平均得分为72分”可知涉及3个平均量混合，所以考虑使用十字交叉法。通过十字交叉法解得男选手与女选手的人数之比为7:8，因此总人数应该是15的倍数，根据题意总人数在35至50之间，可知总人数为45人，所以正确答案为B项。第四章常考题型数学运算中涉及的知识点、公式、规律等较多、较杂，导致很多考生复习起来效率低下且收获较少，备考难度大，为了帮助考生更高效的复习，将题目按考查的知识点的不同分类，从而掌握不同题型的知识点，把握第三章各种解题技巧在不同题型中的应用就非常重要,本章就是基于以上考虑而设置，希望能通过对常考题型的梳理，让考生更高效的掌握杂乱的知识点和更熟练的掌握各种解题技巧。第一节计算问题计算问题是每年必考的一类题目，比如，2016年公务员行测考试中数学运算共10道题目，而计算问题就考查了3道。所以计算问题是必须掌握的一类题目，而且这类题目相对是比较简单的。一、基础知识计算问题涉及的知识点包括：奇偶数、质数与合数、公约数与公倍数、整除、比例、数列、周期以及中小学最基本的加减乘除运算、平均数、不等式等。所以计算问题的知识点相对比较简单，而且除了周期，其它知识点在第二章中已经做过讲解，在此补充一下周期的相关知识。（一）周期简介有一些现象会按照一定的规律不断重复出现。如人的生肖：鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪就是按照一定得规律不断重复出现的；每周有7天，从星期一开始到星期日结束，总是以7天为一个循环，不断重复出现的。在数学中，一些数和图形的变化也是周而复始地循环出现的。我们把这种特殊的规律性问题称为周期问题。（二）周期题目的求解思路第一步：确定一个周期内的循环量；第二步：总量÷一个周期内的循环量=周期数·····余数；第三步：根据周期数、余数和题目要求确定答案。下面举例说明周期问题的解题思路，如下：【示例】假设今天是星期一，问再过2012天是星期几?解析：对于该问题第一步能确定的是一个周期内的循环量是7天，即今天是星期一的基础上再过七天还是星期一，再过14天仍然是星期一，再过7的倍数天还是星期一。在第一步的基础上根据一个周期内的循环量7天和总量2012天，可知2012÷7=287…3，即再过287个7天，此时仍然是星期一，然后在星期一的基础上再过3天，就可以得到最终的答案就是星期四。通过这一道简单的题目可以发现对于周期问题，首先得知道它一个周期内的循环量，对于有的题目一个周期内的循环量立马就能看出来(例如星期、生肖等问题)，而有的题目还需要我们去求出一个周期内的循环量才行。其次就是知道周期数和余数是多少，再在原基础上往后推迟相应的余数即可。二、计算问题常用解题技巧计算问题相对比较简单，有些题目直接计算即可，有些题目可能会用到代入排除法、数字特性法、方程法、十字交叉法。三、真题举例【例1】（2015年真题）随着台湾自由行的开放，农村农民生活质量的提高，某一农村的农民自发组织若干位同村农民到台湾旅行，其旅行费用包括：个人办理赴台手续费，在台旅行的车费平均每人503元，飞机票平均每人1998元，其他费用平均每人1199元，已知这次旅行的总费用是92000元，总的平均费用是4600元，问：赴台的总人数和个人办理赴台手续费分别是多少？A.20人，900元B.21人，650元C.20人，700元D.22人，850元解析：由题意，总人数=总费用÷人均费用=92000÷4600=20人。个人办理赴台手续费=4600-503-1998-1199=900元。因此，本题答案选择A选项。点评：该题考查了平均数计算的知识和中小学的减法运算，非常简单，也是一道典型的计算问题。【例2】（2011年真题）某单位招待所有若干间房间，现在安排一支考察队的队员住宿，若每间住3人，则有2人无房可住；若每间住4人，则有一间房间不空也不满，则该招待所的房间最多有：A.4间B.5间C.6间D.7间解析：假设房间数为x，那么4（x-1）+1≤3x+2≤4（x-1）+3，很容易得到3≤x≤5。也就是说x的最大值是5，所以选择B选项。【例3】(2015年真题）设有编号为1、2、3、…、10的10张背面向上的纸牌，现有10名游戏者，第1名游戏者将所有编号是1的倍数的纸牌翻成另一面向上的状态，接着第2名游戏者将所有编号是2的倍数的纸牌翻成另一面向上的状态，……，第n名（n≤10）游戏者，将所有编号是n的倍数的纸牌翻成另一面向上的状态，如此下去，当第10名游戏者翻完纸牌后，那些纸牌正面向上的最大编号与最小编号的差是（）A.2B.4C.6D.8解析：约数倍数计算类。逐个分析每个数字（1～10）的约数个数，10的约数有1、2、5、10，因此10共被翻转四次，仍然背面向上；9的约数有1、3、9，共被翻转三次，正面向上。1的约数只有1，因此向上。因此正面向上的最大编号和最小编号分别为9、1，差值为8。D项正确。【例4】（补充例题）书架的某一层上有136本书，且是按照“3本小说、4本教材、5本工具书、7本科技书、3本小说、4本教材……”的顺序循环从左至右排列的。问该层最右边的一本是什么书（）A．小说B．教材C．工具书D．科技书解析：136本书是按照“3本小说、4本教材、5本工具书、7本科技书”的顺次循环排列的，每个循环有3+4+5+7=19（本）书。136÷19=7……3，因此最右边一本书是小说。第二节利润问题利润问题是行测中的常考题型，这类问题难度不大。考生只要掌握好利润问题相关的概念（比如售价、利润、利润率等）和计算公式（比如利润的计算公式、利润率的计算公式等），恰当的利用各种解题技巧，遇到这类问题还是可以快速解出的。利润问题有三种常见题型：常规利润型、分段计费型和统筹费用型，其中常规利润型是所有利润问题的基础，即常规利润型中的概念、计算公式是分段计费型和统筹费用型的基础，分段计费型和统筹费用型是对利润问题的细分。一、常规利润型1.基础知识（1）利润常考公式项目计算公式示例利润利润=售价（收入）-进价（成本）一件衣服售价是50元，进价是40元，利润=50-40=10元利润率利润率=利润/成本（进价）×100%一件衣服的进价是40元，利润是10元，利润率=10/40×100%=25%售价（收入）售价（收入）=进价（成本）×（1+利润率）一件衣服的进价是40元，利润率是25%，售价=40×（1+25%）=50元进价（成本）进价（成本）=售价（收入）/（1+利润率）一件衣服的售价是50元，利润率是25%，进价=50/(1+25%)=40元（2）打折常考公式项目计算公式示例折扣打折=（现价/原价）×10一只笔现价是4元，原价是5元，折扣=（4/5）×10=8折折扣率折扣率=（1-现价/原价）×100%一只笔现价是4元，原价是5元，折扣率=（1-4/5）×100%=20%现价现价=（原价×折扣）/10一支笔原价是5元，现在打8折，则现价=（5×8）/10=4元原价原价=（现价/折扣）×10一支笔打8折后以4元的价格出售，则原价=（4/8）×10=5元2.常规利润型常用解题技巧常规利润问题经常用到的解题技巧有：方程法和特值法。3.真题举例【例1】（2016年真题）某种商品原价25元，每半天可销售20个。现知道每降价1元，销量即增加5个。某日上午将该商品打八折，下午在上午价格的基础上再打八折出售，问其全天销售额为多少元？A．1760B．1940C．2160D．2560解析：由题意可得，商品每降价1元销量增加5个。上午商品打八折出售，下午商品在上午价格的基础上再打八折，列表可得：售价销量（半天）销售额原计划2520上午25×0.8=2020+5×5=4520×45=900下午20×0.8=1620+9×5=6516×65=1040所以，商品全天销售额=900+1040=1940元。故正确答案为B。【例2】（补充例题）老王两年前投资的一套艺术品市价上涨了50%，为尽快出手，老王将该艺术品按市价的八折出售，扣除成交价5%的交易费用后，发现与买进时相比赚了7万元。问老王买进该艺术品花了多少万元（）A．42B．50C．84D．100解析：设老王买进该艺术品时花了x元，根据题干中等量关系可以列出方程：x（1＋50%）×0.8×（1－5%）=x＋7，解方程求得x=50，即该艺术品的成本为50万元。所以正确答案为B项。【例3】（补充例题）某水果店新进一批时令水果，在运输过程中腐烂了1/4，缺货时又损失了1/5，剩下的水果当天全部售出，计算后发现还获利10%，则这批水果的售价是进价的（）倍。A.1.6B.1.8C.2D.2.2解析：题目中只已知利润率为10%，但售价、利润、水果数量全都未知，考虑使用特值法。设水果的总数为20，每个水果的进价是1元，则所有水果的成本为20元。根据题目可得剩下的水果数量为：20-20×1/4-20×1/5=11，则剩下的水果售完后的总收入为：20×（1+10%）=22元，所以剩下的水果每个的售价为22/11=2元。所以这批水果的售价是进价的2倍。正确答案为C项。二、分段计费型1.基础知识如果利润问题中出现前后单价、收费方式、计费标准等不一致的情况，即需要分段计算。2.分段计费型常用的解题技巧分段计费型常用的解题技巧有方程法和特值法，但最关键的是要理解题目中的分段计费的标准。3.真题举例【例1】（2016年真题）某地居民用水价格分二级阶梯，户年用水量在0~180（含）吨的水价5元/吨；180吨以上的水价7元/吨。户内人口在5人以上的，每多1人，阶梯水量标准增加30吨。老张家5人，老李家6人，去年用水量都是210吨。问老李家的人均水费比老张家少约多少元？（ ）A．12B．35C．47D．60解析：由题目“户年用水量在0~180（含）吨的水价5元/吨；180吨以上的水价7元/吨”可知，水费在180吨之上和之下的收费标准不一样，所以是分段计费型。由题目条件可得：老张家5口人，基用水量为180吨，超出30吨，共计需要水费：180×5+（210-180）×7=1110元，人均222元；老李家6口人，基础用水量210吨，共计需要水费210×5=1050元，人均175元；人均水费相差222-175=47元。所以正确答案为C项。【例2】（2013年真题）某商场开展购物优惠活动：一次购买300元及以下的商品九折优惠；一次购买超过300元的商品，其中300元九折优惠，超过300元的部分八折优惠。小王购物第一次付款144元，第二次又付款310元。如果他一次性购买并付款，可以节省多少元？A.16B.22.4C.30.6D.48解析：由题目“一次购买300元及以下的商品九折优惠；一次购买超过300元的商品，其中300元九折优惠，超过300元的部分八折优惠。”可知是分段计费型。根据题目首先要清楚分段计费的规则，如下：商品价格计费规则实际付款小于或等于300元打九折商品价格×0.9大于300元300元打九折，超过300元的部分打八折300×0.9+（商品价格-300）×0.8根据分段计算规则，可以得到小王分两次付款的商品的价格如下：实际付款商品价格144元144/0.9=160元310元300+(310-300×0.9)/0.8=350元所以分两次购买的商品的价格总共为160+350=510元。所以这些商品如果一次性付款的话，实际付款为300×0.9+（510-300）0.8=438元，所以比分两次付款省了144+310-438=16元。所以正确答案为A 项。【例3】（补充例题）商店进了100件同样的衣服，售价定为进价的150%，卖了一段时间后价格下降20%继续销售，换季时剩下的衣服按照售价的一半处理，最后这批衣服盈利超过25%。如果处理的衣服不少于20件，问至少有多少件衣服是按照原售价卖出的？（）A.7B.14C.34D.47解析：由题目可知售价前后不一样，所以是分段计费型。但题目中除了衣服总数量100、处理的衣服20和利润率25%，进价、售价、按原售价卖出的衣服都未知，所以考虑使用特值法。设衣服的进价是100，原价售出的衣服有x件。根据题目条件可得到其分段计费的规则如下：进价及衣服数量售价及售出衣服数量降价即售出衣服数量换季价及售出衣服数量10015012075100件X件100-20-x件20件根据以上分析可以列出方程为：150x+120×（80-x）+75×20≧100×100（1+25%），解得x≧46.5，所以x只能取47。正确答案为D项。三、统筹费用型1.基础知识如果题目要求费用最少、利润最大等，那么这种问题就属于统筹费用型，需要综合考虑对比各种情况，选择出能满足要求的最优化的方案。2.统筹费用型解题技巧统筹费用型题目常用方程法求解，但最关键的是要能找到最优化的方案。3.真题举例【例1】（2011年真题）某公司要买100本便签纸和100支胶棒，附近有两家超市。A超市的便签纸0.8元一本，胶棒2元一支且买2送1.B超市的便签纸1元一本且买3送1,胶棒1.5元一支，如果公司采购员要在这两家超市买这些物品，则他至少要花多少元钱？A.183.5B.208.5C.225D.230解析：题目要求至少花多少钱，即费用最少是多少，所以属于统筹费用型。根据题目条件，A超市货物单价：便签：0.8元/本；胶棒：3个4元，每个1.3元；B超市货物单价便签：4个3元，每个0.75元；胶棒：1.5元/个；根据单价，100本便签在B超市买，4个便签1组买，可分为25组，总共花的钱数为：25×3=75元;100个胶棒在A超市买，3个胶棒1组买，可分为33组余1个胶棒，总共花的钱数为：33×4+1.5=133.5元;（剩余的一个胶棒在B超市买）。所以总共花了：75+133.5=208.5元。所以正确答案为B项。【例2】（补充例题）一厂家生产销售某新型节能产品。产品生产成本是168元，销售定价为238元。一位买家向该厂家预订了120件产品，并提出产品销售价每降低2元，就多订购8件。则该厂家在这笔交易中能获得的最大利润是（）元。A.17920 B.13920C.10000D.8400解析：题目要求利润最大，所以属于统筹费用型。设厂家降价x次，获得利润y元，故y=（238-168-2x）×(120+8x），化简可得y=-16+320x+8400=-16+10000，当x=10时，取得最大值10000元。所以正确答案为C项。第三节几何问题几何问题在行测考试中考查的频率很高，几乎每年都会出现至少1道题目。几何问题与常见的数学问题还是有区别的。这类题对考生的空间想象和创造力有要求，比如立体几何就需要考生有较好的空间想象力，而平面几何就需要考生能将图形拆、补割等，即创造力。但和常见的数学问题一样，掌握概念、公式和解题技巧对于解决几何问题同样是有效的，所以本章涉及的概念、公式以及几何问题独特的解题技巧就需要考生格外重视。根据几何问题考查的图形特点和知识点，我们可以将几何问题分为平面几何型、立体几何型、几何性质型和几何计数型四类。分类掌握不同题型可以使考生的复习和备考更加高效。一、平面几何型1.基础知识图形图例周长公式面积公式三角形正方形长方形梯形一般不考平行四边形圆扇形2.解题技巧根据平面几何型题目所给图形的特征，我们将解题技巧分为两种，如下：如果所给图形是规则图形，那么一般按照规则图形对应的计算公式直接计算或者根据规则图形的公式列方程计算。如果所给图形是不规则图形，那么可以通过分割、补齐、平移等手段将其转化为规则图形，然后按规则图形的解题方法求解。3.真题举例【例1】（补充例题）在正方形草坪的正中有一个长方形池塘，池塘的周长是草坪的一半，面积是除池塘之外草坪面积的1/3，则池塘的长和宽之比为()。A.1:1B.2:1C.4:1D.：（2-）解析：题目的条件中给出的图形是规则图形，所以考虑使用公式直接求解或者列方程。但题目没有给出具体的值，所以设池塘的面积为1，则除去池塘之外的草坪面积为3，则正方形草坪的面积为4，则正方形草坪的边长为2。设池塘的长为x，宽为y。根据题意可以列出方程：xy=1和2（x+y）=4，解得x=1，y=1。所以正确答案为A项。【例2】（补充例题）下图中的甲和乙都是正方形，BE=20厘米，EF=10厘米。那么，阴影部分ABC的面积是多少平方厘米？A.200B.220C.230D.250解析：题目给出的图形是一个不规则的图形，所以考虑将图形转变为规则图形来求解。将整个图形补齐，使其成为一个长方形，作图如下。则三角形ABC的面积就等于长方形BGKF的面积减去三角形AGB、三角形BCF、三角形ACK的面积。即三角形ABC的面积=20×30-1/2×20×20-1/2×30×10-1/2×30×10=200平方厘米。正确答案为A项。【例3】（补充例题）下列图形均是由正方形与圆形所构成的，图形中阴影部分的面积最大的是（）。A最大B.B最大C.C最大D.都一样大解析：题目中所给的图形的阴影部分是不规则图形，所以考虑将其转化为规则图形。对于A图可以分割为两部分，即所有阴影部分和空白部分的圆形，而这两部分的面积和等于一个正方形的面积，所以阴影部分的面积=正方形的面积-空白部分圆形的面积==4-π。同理可得B图阴影部分的面积=4-π；C图阴影部分的面积=π-2。所以正确答案为C项。【例4】（2010年真题）如下图，长为1米的细绳上系有小球，从A处放手后，小球第一次摆到最低点B处共移动了多少米？A.1+1/3πB.1/2+1/2πC.2/3πD.1+2/3π解析：根据题目可得到小球的运动轨迹如下图：即A点至C点，因为绳子对小球没有拉力，所以小球的运动是垂直下落的；C点开始，绳子被拉直，所以绳子对小球有拉力，所以C点至B点小球的运动轨迹是扇形的一段弧长。要计算小球一共移动了多少米，分别计算出AC的长度和CB的弧长即可。AC在三角形ACO中，AO=BO，角AOC=60度，所以三角ACO是等边三角形，所以AC=A0=CO=1；对于C点到B点的长度按