新华师大版八年级下册初中数学全册教案

第16章分式

16.1.1分式

教学目标：

1、经历实际问题的解决过程，从中认识分式，并能概括分式；

2、使学生能正确地判断一个代数式是否是分式；

3、能通过回忆分数的意义，类比地探索分式的意义及分式的值如某一特定情况的条件，渗

透数学中的类比，分类等数学思想。

教学重点：

探索分式的意义及分式的值为某一特定情况的条件。

教学难点：

能通过回忆分数的意义，探索分式的意义。

教学过程：

一、做一做

(1)面积为2平方米的长方形的一边长为3米，则它的另一边长为米；

(2)面积为S平方米的长方形的一边长为。米，则它的另一边长为米：

(3)一箱苹果的售价为p元，总重用千克，箱重〃千克，则每千克苹果的售价是一元.

二、概括：

形如4(4、8是整式，且8中含有字母，8翔)的式子，叫做分式.其中A叫做分式的分

B

子,B叫做分式的分母.

整式和分式统称为有理式，

三、例题：

例1下列各有理式，哪些是整式？哪些是分式？

⑴L⑵々⑶工⑷包工

x2x+y3

解：属于整式的有(2)、(4)；属于分式的有：(1)、(3).

注意：在分式中，分母的值不能是0.如果分母的值是0,那么分式没有意义.例如，在分

S9

式一中，在分式-----中，m^n.

am-n

例2当X取什么值时，下列分式有意义?

(1)

x—\2x+3

分析：耍使分式有意义，必须且只需分母不等于0.

解：(1)分母犬一19，即xri.所以，当X*时，分式」一有意义.

%—1

(2)分母2x+3r0,即尤六］3.所以，当x齐3三时，分式x—-2有意义.

222x+3

四、练习：

1.判断下列各式哪些是整式，哪些是分式？

9x+4,1,212,I,_L.

x205y2x-9

2.当x取何值时，下列分式有意义？

(1)-^―(2)(3)

x+23-2xx--4

3.当x为何值时，分式的值为0?

(1)x+7(2)_(3)♦-1

5x21-3x

五、小结：

什么是分式？什么是有理式？

六、教学反思:

16.1.2分式的基本性质

教学目标：

1、掌握分式的基本性质，掌握分式的约分方法，熟练进行约分，并了解最简分式的意义。

2、使学生理解分式通分的意义，掌握分式通分的方法及步骤。

教学重点：

让学生知道约分、通分的依据和作用，学会分式约分与通分的方法。

教学难点：

1、分子、分母是多项式的分式约分。

2、几个分式的最简公分母的确定。

教学过程：

一、概括

分式的基本性质

分式的分子与分母都乘(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变.

用式子表示是：个=£_丝,2=2上巴(其中M是不等于0的整式)。

BBxMBB+M

与分数类似，根据分式的基本性质，可以对分式进行约分和通分.

二、例题

1、例3约分

-I6x2y3--4

20xy4X2-4X+4

分析分式的约分，即要求把分子与分母的公因式约去.为此，首先要找出分子与分母

的公因式.

解.⑴_]6/y3_..4孙3.4x__4x⑵-2-4_(x+2)(x-2)_x+2

20xy44-xy3-5y5yx2-4x+4(x-2)2x-1

约分后，分子与分母不再有公因式.分子与分母没有公因式的分式称为曩简分立

2、例4通分

1

(1)-z—，——；(2)----，----；(3)----

abakrx-yx+yx-yx2+xy

解：(1)，一与的最简公分母为〃2左，所以

crbab

1bI_laa

a2ba2b-ba2b2'ab2ab2-aa2b2

(2)二一与」一的最简公分母为(x-y；(x+y),即/一产，所以

x-yx+y

1_1-(x4-y)_x+y1_1•(%-y)_x-y

x-y(x-y)(x+y)x2-y2'x+y(x+y)(x-y)x2-y2'

请同学们根据这两小题的解法，完成第(3)小题。

三、小结：

(1)请你分别用数学语言和文字表述分式的基本性质；

(2)分式的约分运算，用到了哪些知识？

让学生发言，互相补充，归结为：①因式分解；②分式的基本性质；③分式中符号变换规律;

约分的结果是，一般要求分子、分母不含“一

(3)把几个异分母的分式，分别化成与原来分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分。

分式通分，是让原来分式的分子、分母同乘一个适当的整式，根据分式的基本性质，通分前

后分式的值没有改变。通分的关键是确定几个分式的公分母，从而确定各分式的分子、分母

要乘什么样的"适当整式”，才能化成同一分母。确定公分母的方法，通常是取各分母所有因

式的最高次基的积做公分母，这样的公分母叫做最简公分母。

五、教学反思：

16.2分式的运算

16.2.1分式的乘除

教学目标：

1、让学生通过实践总结分式的乘除法，并能较熟练地进行式的乘除法运算；

2、使学生理解分式乘方的意义，掌握乘方的运算规律，并能进行分式的乘方运算.

3、引导学生通过分析、归纳，培养学生用类比的方法探索新知识的能力.

教学重点：

分式的乘除法、乘方运算

教学难点：

分式的乘除法、混合运算以及分式的乘法、除法、乘方运算中符号的确定。

教学过程：

一、复习与情境导入

1、(1)什么叫做分式的约分？约分的依据是什么？

(2)下列各式是否正确？为什么？

-x+y

①多=一;②一-=0;

x+y

-a+ba+b1

③——r:----r；

-a-ba-b-x+yx+y

2、尝试探究：计算:

回忆：如何计算。十。?

64

a2a

(1)―；-------；(2)从中可以得到什么启示。

b33a

概括：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母.如果得到的不

是最简分式，应该通过约分进行化简.

分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.(用式子表示如右图

所示)a.cac

b*d=_—_

bd

acadad

—-r—=—•—=__

bdbcbe

二、例题:

例1计算:

(1)火ay2a2xya2yz

(2)

byb2x产+斤.

a2xay")a2x-ay2_。3a2xya2yz_a2xyb2x2__x3

by2b2xby2-b2xhyb2z2b2x2b2z2a2yzz'

x-2X2-9

x+3x2-4.

x—2(x+3)(x-3)_x-3

解：原式

x+3(x+2)(%—2)x+2

三、思考

怎样进行分式的乘方呢？试计算：

(1)(—)3；(2)(―)上(女是正整数).

mm

mmmmm-m-m

⑵（K）*==〃•〃[•〃=.

mm-m-Lm

仔细观察所得的结果，试总结出分式乘方的法则.

四、小结：

1、怎样进行分式的乘除法？

2、怎样进行分式的乘方？

五、教学反思：

16.2.2分式的加减

教学目标：

1、使学生掌握同分母、异分母分式的加减，能熟练地进行同分母，异分母分式的加减运算。

2、通过同分母、异分母分式的加减运算，复习整式的加减运算、多项式去括号法则以及分

式通分，培养学生进行分式运算的能力。

3、渗透类比、化归数学思想方法，提高学生的解题能力。

教学重点：

让学生熟练地掌握同分母、异分母分式的加减法。

教学难点：

分式的分子是多项式的分式减法的符号法则，去括号法则应用。

教学过程：

一、实践与探索

1、回忆：同分母的分数的加减法法则：

同分母的分数相加减，分母不变，把分子相加减。

2'试一试：回忆：如何计算由、工+工,

斗留小匕J力23(一46

aa；~a^~~ab［从中可以得到什么启示？

3、总结一下怎样进行分式的加减法？

二、概括

同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减;

异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减.

三、例题

1、例3计算：(x+y)2厂

xyxy

324

2、例4计算:

x-4x2-16

分析:.这里两个分式的分母不同，要先通分.为此，先找出它们的最简公分母.

注意到/-16=(x+4)(%—4),所以最简公分母是(x+4)(x-4).

x-4x2-16

324=3(x+4)24=3(x+4)—24

x-4(x+4)(x-4)(x+4)(x-4)(x+4)(x-4)(x+4)(x-4)

_3x-123(x4)3

(x+4)(x-4)(x+4)(x-4)x+4'

四、小结：

1、同分母分式的加减法：类似于同分母的分数的加减法;

2、异分母分式的加减法步骤：

①正确地找出各分式的最简公分母。

求最简公分母概括为：(1)取各分母系数的最小公倍数；(2)凡出现的以字母为底的暴的因

式都要取；(3)相同字母的基的因式取指数最大的。取这些因式的积就是最简公分母。

②准确地得出各分式的分子、分母应乘的因式。

③用公分母通分后，进行同分母分式的加减运算。

④公分母保持积的形式，将各分子展开。

⑤将得到的结果化成最简分式或整式。

五、教学反思：

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16.3可化为一元一次方程的分式方程(1)

教学目标：

1、使学生理解分式方程的意义，会按一般步骤解可化为一元一次方程的分式方程.

2、使学生理解增根的概念，了解增根产生的原因，知道解分式方程需验根并掌握验根的方

法.

3、使学生领会“转化”的思想方法，认识到解分式方程的关键在于将它转化为整式方程来解.

4、培养学生自主探究的意识，提高学生观察能力和分析能力。

教学重点：

使学生理解分式方程的意义，会按一般步骤解可化为一元一次方程的分式方程.

教学难点：

使学生理解增根的概念，了解增根产生的原因，知道解分式方程需验根并掌握验根的方法.

教学过程：

一、问题情境导入

轮船在顺水中航行80千米所需的时间和逆水航行60千米所需的时间相同.已知水流的

速度是3千米/时，求轮船在静水中的速度.

分析

设轮船在静水中的速度为x千米/时，根据题意，得&-=0_.(1)

x+3x-3

概括

方程(1)中含有分式，并且分母中含有未知数，像这样的方程叫做分式方程.

思考

怎样解分式方程呢？有没有办法可以去掉分式方程中的分母把它转化为整式方程呢？试动

手解一解方程(1).

方程(1)可以解答如下：

方程两边同乘(x+3)(x-3),约去分母，得80(x-3)=60(x+3).

解这个整式方程，得x=21.

所以轮船在静水中的速度为21千米/时.

概括

上述解分式方程的过程，实质上是将方程的两边乘同一个整式，约去分母，把分式方程

转化为整式方程来解.所乘的整式通常取方程中出现的各分式的最简公分母.

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二、例题:

1_2

1、例1解方程:

x-1x2-1

解：方程两边同乘((-I),约去分母，得x+l=2.

解这个整式方程，得41.

解到这儿，我们能不能说产1就是原分式方程的解(或根)呢？细心的同学可能会发现,

当户1时，原分式方程左边和右边的分母(x-1)与(/一1)都是0,方程中出现的两个分

式都没有意义，因此，不是原分式方程的解，应当舍去.所以原分式方程无解.

我们看到，在将分式方程变形为整式方程时，方程两边同乘一个含未知数的整式，并约

去了分母，有时可能产生不适合原分式方程的解(或根)，这种根通常称为增根.因此，在解

分式方程时必须进行检验.

，句切、山10030

2、例2解方程：---=-----.

xx-1

解：方程两边同乘x(x-7),约去分母，得100(x-7)=30x.

解这个整式方程，得x=10.

检验：把户10代入x(x-7),得10x(10-7)8

所以A10是原方程的解.

三、小结：

⑴、什么是分式方程？举例说明；

⑵、解分式方程的一般步骤:在方程的两边都乘最简公分母，约去分母,化为整式方程.解

这个整式方程，验根，即把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是0,若结果不是0,

说明此根是原分式方程的根；若结果是0,说明此根是原分式方程的增根，必须舍去.

⑶、解分式方程为什么要进行验根？怎样进行验根？

四、教学反思：

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16.3可化为一元一次方程的分式方程(2)

教学目标：

1、进一步熟练地解可化为一元一次方程的分式方程。

2、通过分式方程的应用教学，培养学生的数学应用意识。

教学重点：

让学生学习审清题意设未知数，列分式方程。

教学难点：

在不同的实际问题中，设元列分式方程。

教学过程：

一、复习并导入问题

1、复习练习

解下列方程：(1)-3-r=—4+^X--2；(2)-2+3-=7

x+1x+1x+322x+6

2、列方程解应用题的一般步骤？

概括：这些解题方法与步骤，对于学习分式方程解应用题也适用。这节课，我们将学习

列分式方程解应用题。

二、实践与探索：列分式方程解应用题

例3某校招生录取时，为了防止数据输入出错，2640名学生的成绩数据分别由两位程

序操作员各向计算机输入一遍，然后让计算机比较两人的输入是否一致.己知甲的输入速度

是乙的2倍，结果甲比乙少用2小时输完.问这两个操作员每分钟各能输入多少名学生的成

绩？

解：设乙每分钟能输入x名学生的成绩，则甲每分钟能输入2%名学生的成绩，根据题

解得x=ll.

经检验，x=ll是原方程的解.并且x=ll,2x=2xll=22,符合题意.

答：甲每分钟能输入22名学生的成绩，乙每分钟能输入11名学生的成绩.

强调：既要检验所求的解是否是原分式方程的解，还要检验所求得的解是否符合题意.

三、小结：

列分式方程解应用题的一般步骤：

(1)审清题意；

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(2)设未知数(要有单位)；

(3)根据题目中的数量关系列出式子，找出相等关系，列出方程;

(4)解方程，并验根，还要看方程的解是否符合题意；

(5)写出答案(要有单位)。

五、教学反思：

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16.4.1零指数嘉与负整数指数塞

教学目标：

1、使学生掌握不等于零的零次辱的意义。

2、使学生掌握"-"=口("0,“是正整数)并会运用它进行计算。

3、通过探索，让学生体会到从特殊到一般的方法是研究数学的一个重要方法。

教学重点、难点：

不等于零的数的零次事的意义以及理解和运用负整数指数暴的性质是本节课的重点也是难

点。

教学过程：

一、复习并导入问题

问题1在介绍同底数幕的除法公式时，有一个附加条件：m>n,即被除数

的指数大于除数的指数.当被除数的指数不大于除数的指数，即机=〃或川<”时，情况怎样

呢？

二、探索1：不等于零的零次第的意义

先考察被除数的指数等于除数的指数的情况.例如，考察下列算式:52£2,103X03,炉M5(存0)

一方面,如果仿照同底数幕的除法公式来计算,得52+52=52-2=5。，103^03=1()3一3=]00,

/子炉—a5-5—以々/)).

另一方面，由于这几个式子的被除式等于除式，由除法的意义可知，所得的商都等于1.

概括：jG%零次第]

由此启发，我们规定：5°=1,10°=1,a°=\(«#0).厂A没有意义

这就是说：任何不等于零的数的零次幕都等于L—

三、探索2：负整数指数第

我们再来考察被除数的指数小于除数的指数的情况，例如考察下列算式：

52+55,1CP+107,

一方面，如果仿照同底数基的除法公式来计算，得

52+55=52'5=5-3,1。3+107=10+7=10-4.

另一方面，我们可利用约分，直接算出这两个式子的结果为

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37

52+55=-=F-----r=—;10^-10=­7=—z------T=-T-.

5552X5353IO7103xl04104

概括：

由此启发，我们规定：5-3=1，10-4=工

53104

一般地，我们规定：(存0,〃是正整数).

a

这就是说，任何不等于零的数的一〃(〃为正整数)次第，等于这个数的〃次第的倒数.

四、例题:

1、例1计算：(1)3-2；(2)x10-'.

2、例2用小数表示下列各数:

(1)IO4；(2)2.1X105.

解：⑴1()4=Ro。。］

104

1

(2)2.1xl0-5=2.1x=2.1x0.00001=0.000021.

五、探索

现在，我们已经引进了零指数辱和负整数指数累，指数的范围已经扩大到了全体整数.

那么，在“哥的运算”中所学的幕的性质是否还成立呢？与同学们讨论并交流一下，判断下列

式子是否成立.

(1)a2-a~3=«2+<-3)；(2)(“J尸=)"3；

(3)(a-3)2=#3)x2.⑷。2+〃-3=42-(-3).

六、小结：

1、引进了零指数基和负整数指数基，指数的范围扩大到了全体整数，基的性质仍然成立。

同底数累的除法公式am^an=am-n(a^tO,m>n)

当帆二〃时，,严：相=；当机<〃时，amjran=.

2、任何数的零次累都等于1吗？(注意：零的零次塞无意义。)

3、规定以一"=£，其中4,〃有没有限制，如何限制。

七、教学反思：

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16.4.2科学记数法

教学目标：

1、会用科学计数法表示一些绝对值小于1的数；

2、运用科学计数法解决实际问题。

教学重点：

会用科学记数法表示一些绝对值小于1的数。

教学难点：有精确度要求的科学计数法。

教学过程：

一、复习并导入问题

二、探索：科学记数法

我们曾用科学记数法表示一些绝对值较大的数，即利用10的正整数次哥，把一个绝对

值大于10的数表示成axion的形式，其中〃是正整数，1WI。I<10.例如，864000可以写

成8.64x105

类似地，我们可以利用10的负整数次暴，用科学记数法表示一些绝对值较小的数，即

将它们表示成ax10川的形式，其中"是正整数，1W|a|<10.例如，上面例2(2)中的0.000

021可以表示成2.1X10-5.

例1：一个纳米粒子的直径是35纳米，它等于多少米？请用科学记数法表示.

分析我们知道：1纳米=—g米.

109

由=1CP可知，1纳米=1()-9米.所以35纳米=35x10-9米.

而35x10-9=(3,5x10)xlO-9=35xl01+(-9,=3.5xl0-8,

所以这个纳米粒子的直径为3.5x10*米.

三、小结：

科学记数法不仅可以表示一个绝对值大于10的数，也可以表示一些绝对值较小的数.

在应用中，要注意。必须满足，10IaI<10.其中〃是正整数。

四、课后反思：

五、教学反思：

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17.1变量与函数(1)

教学目标

1.掌握常量和变量、自变量和因变量(函数)基本概念.

2.了解表示函数关系的三种方法：解析法、列表法、图象法，并会用解析法表示数量关系.

过程性目标

1.通过实际问题，引导学生直观感知，领悟函数基本概念的意义.

2.引导学生联系代数式和方程的相关知识，继续探索数量关系，增强数学建模意识，列出函

数关系式.

教学过程

一、创设情境

在学习与生活中，经常要研究一些数量关系，先看下面的问题.

⑴这天的6时、10时和14时的气温分别为多少？任意给出这天中的某一时亥J,说出这一时

刻的气温.

(2)这一天中，最高气温是多少？最低气温是多少？

(3)这一天中，什么时段的气温在逐渐升高？什么时段的气温在逐渐降低？

解：(1)这天的6时、10时和14时的气温分别为-1℃、2℃、5℃.

(2)这一天中，最高气温是5℃,最低气温是一4℃.

(3)这一天中，3时〜14时的气温在逐渐升高.0时〜3时和14时〜24时的气温在逐渐

降低.

从图中我们可以看到，随着时间f(时)的变化，相应地气温7(℃)也随之变化.那么在生活

中是否还有其它类似的数量关系呢？

二、探究归纳

问题2小蕾在过14岁生日的时候，看到了爸爸为她记录的各周岁时的体重，如下表：

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周岁1234567891()II1213

体重(kg)7.912.215.618.420.723.025.628.531.234.037.641.244.9

观察上表，说说随着年龄的增长，小蕾的体重是如何变化的？在哪一段时间内体重增加

得较快？

解：随着年龄的增长，小蕾的体重也随着增长，且在1-2岁增加得较快.

问题3收音机刻度盘的波长和频率分别是用米(m)和千赫兹(kHz)为单位标刻的.下面是一

些对应的数值：

波长/(m)30050060010001500

频率邓Hz)1000600500300200

观察上表回答：

(1)波长/和频率/数值之间有什么关系？

(2)波长/越大，频率/就.

解：(1)/与/的乘积是一个定值，即『=300000,或者说7=3°,00.

(2)波长/越大，频率f就越小.

问题4圆的面积随着半径的增大而增大.如果用/■表示圆的半径，S表示圆的面积，则S与

，之间满足下列关系：S=.

利用这个关系式，试求出半径为1cm、1.5cm、2cm、2.6cm>3.2cm时圆的面积，并

将结果填入下表：

・・・

半径r(cm)11.522.63.2

・・・

圆面积S(cm2)

由此可以看出，圆的半径越大，它的面积就.

解：S=7rr.

半径r(cm)11.522.63.2•••

圆面积S(cm2)3.147.06512.5621,226432,1536•••

圆的半径越大，它的面积就越大.

在上面的问题中，我们研究了一些数量关系，它们都刻画了某些变化规律.这里出现了

各种各样的量，特别值得注意的是出现了一些数值会发生变化的量.例如问题1中，刻画气

温变化规律的量是时间f和气温T,气温T随着时间t的变化而变化，它们都会取不同的数

值.像这样在某一变化过程中，可以取不同数值的量，叫做变量(variable).

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上面各个问题中，都出现了两个变量，它们互相依赖，密切相关.一般地，如果在一个

变化过程中，有两个变量，例如X和y,对于X的每一个值，y都有唯一的值与之对应，我

们就说x是自变量(independentvariable),y是因变量(dependentvariable),此时也称y是x

的函数(function).

表示函数关系的方法通常有三种：

(1)解析法，如问题3中的/=3°：°0°,问题4中的S=%产，这些表达式称为函数的关系

式.

(2)列表法，如问题2中的小蕾的体重表，问题3中的波长与频率关系表.

(3)图象法，如问题1中的气温曲线.

问题的研究过程中，还有一种量，它的取值始终保持不变，我们称之为常量(constant),如

问题3中的300000,问题4中的兀等.

在研究函数时，必须注意自变量的取值范围.实际问题中，自变量的取值必须符合实际

意义.例如，上述问题4中，自变量r表示圆的半径，不能为负数和零，即它的取值范围为

一切正实数.

三、实践应用

例1下表是某市2017年统计的中小学男学生各年龄组的平均身高：

年龄组(岁)789101112131415161718

平均身高(cm)117121125130135142148155162167170172

(1)从表中你能看出该市14岁的男学生的平均身高是多少吗？

(2)该市男学生的平均身高从哪一岁开始迅速增加？

(3)上表反映了哪些变量之间的关系?其中哪个是自变量?哪个是因变量？

解：(1)平均身高是155cm；

(2)约从14岁开始身高增加得特别迅速；

(3)反映了该市男学生的平均身高和年龄这两个变量之间的关系，其中年龄是自变量，平均

身高是因变量.

例2写出下列各问题中的关系式，并指出其中的常量与变量，指出自变量的取值范围：

(1)圆的周长C与半径r的关系式；

(2)火车以60千米/时的速度行驶，它驶过的路程s(千米)和所用时间f(时)的关系式；

(3)〃边形的内角和S与边数n的关系式.

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解：(1)C=2乃r,2乃是常量，八C是变量，r>0；

(2)5=60/,60是常量,八s是变量，仑0；

(3)5=(〃-2)x180,2、180是常量，〃、S是变量，n>3.

四、交流反思

1.函数的概念包含：

(1)两个变量；

(2)两个变量之间的对应关系.

2.在某个变化过程中，可以取不同数值的量，叫做变量；数值始终保持不变的量，叫做

常量.例如x和y,对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与之对应，我们就说r是自变量，y

是因变量.

3.函数关系的三种表示方法：

(1)解析法；

(2)列表法；

(3)图象法.

4.函数的取值范围：

在研究函数时，必须注意自变量的取值范围.实际问题中，自变量的取值必须符合实际

意义.

五、检测反馈

1.举3个日常生活中遇到的函数关系的例子.

2.分别指出下列各关系式中的变量与常量：

(1)三角形的一边长为5cm,它的面积5©峭)与这边上的高〃(cm)的关系式是S=-h；

2

(2)若直角三角形中的一个锐角的度数为a,则另一个锐角”与a间的关系式是£=90—

a；

(3)若某种报纸的单价为a元，x表示购买这种报纸的份数，则购买报纸的总价y(元)与x

间的关系是：

3.写出下列函数关系式，并指出式中的自变量与因变量：

(1)每个同学购一本代数教科书，书的单价是2元，求总金额丫(元)与学生数〃(个)的关

系；

(2)计划购买50元的乒乓球，求所能购买的总数〃(个)与单价a(元)的关系.

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4.填写如图所示的乘法表，然后把所有填有24的格子涂黑.若用x表示涂黑的格子横向

的乘数，y表示纵向的乘数，试写出y关于x的函数关系式.

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17.1变量与函数(2)

教学目标

1.掌握根据函数关系式直观得到自变量取值范围以及实际背景对自变量取值的限制.

2.掌握根据函数自变量的值求对应的函数值.

过程性目标

1.使学生在探索、归纳求函数自变量取值范围的过程中，增强数学建模意识；

2.联系求代数式的值的知识，探索求函数值的方法.

教学过程

一、创设情境

问题1

(1)填写如图所示的加法表，然后把所有填有10的格子涂黑，看看你能发现什么？

(2)如果把这些涂黑的格子横向的加数用x表示，纵向的加数用y表示，试写出y与x的函数

关系式.

解：如图能发现涂黑的格子成一条直线.函数关系式：y=10—x.

问题2试写出等腰三角形中顶角的度数y与底角的度数x之间的函数关系式.

解：y与x的函数关系式：y=180—2x.

问题3如图，等腰直角AABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为10cm,AC与MN

在同一条直线上，开始时点A与点M重合，让△ABC向右运动，最后点A与点N重合.试

写出重叠部分面积ycm2与MA的长度xcm之间的函数关系式.

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解：y与X的函数关系式：y=

二、探究归纳

思考：(1)在上面的问题中所出现的各个函数中，自变量的取值有限制吗？如果有，写出它

的取值范围.

(2)在上面问题1中，当涂黑的格子横向的加数为3时，纵向的加数是多少？当纵向的加数

为6时，横向的加数是多少？

分析：问题1,观察加法表中涂黑的格子的横向的加数的数值范围.

问题2,因为三角形的内角和是180。,所以等腰三角形的底角的度数x不可能大于或等于90。.

问题3,开始时点A与点M重合，的长度为0cm,随着△ABC不断向右运动的过程中，

MA的长度逐渐增长，最后点4与点N重合时，MA的长度达到10cm.

解：(1)问题1,自变量x的取值范围是：上烂9；

问题2,自变量x的取值范围是：0<xV90；

问题3,自变量x的取值范围是：0SE10.

(2)当涂黑的格子横向的加数为3时，纵向的加数是7；当纵向的加数为6时，横向的加数是

4.

上面例子中的函数，都是利用解析法表示的，又例如：s=60r,SfRL

在用解析式表示函数时，要考虑自变量的取值必须使解析式有意义.在确定函数中自变量的

取值范围时，如果遇到实际问题，不必使实际问题有意义.例如，函数解析式S=4?2中自变

量R的取值范围是全体实数，如果式子表示圆面积S与圆半径R的关系，那么自变量R的取值

范围就应该是R>0.

对于函数y=x(30—x),当自变量x=5时，对应的函数y的值是y=5x(30-5)=5x25=125.

125叫做这个函数当x=5时的函数直

三、实践应用

例1求下列函数自变量x的取值范围：

(l)>-=3x-l；(2)y=2x2+7；(3)y=—；(4)y=Jx-2.

x+2

分析：用数学式子表示的函数，一般来说，自变量只能取使式子有意义的值.例如，在(1),

(2)中，x取任意实数，3x—1与常+7都有意义；而在(3)中，x=-2时，」一没有意义；

x+2

在(4)中，x<2时，Jx-2没有意义.

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解：(l)x的取值范围是任意实数：(2)x的取值范围是任意实数；

(3)x的取值范围是在一2；(4)x的取值范围是x>2.

归纳：四个小题代表三类题型.(1),(2)题给出的是只含有一个自变量的整式；(3)题给出的是

分母中只含有一个自变量的式子；(4)题给出的是只含有一个自变量的二次根式.

例2分别写出下列各问题中的函数关系式及自变量的取值范围：

(1)某市民用电费标准为每度0.50元，求电费)，(元)关于用电度数x的函数关系式；

(2)已知等腰三角形的面积为20cm2,设它的底边长为x(cm),求底边上的高>(cm)关于x的

函数关系式；

⑶在一个半径为10cm的圆形纸片中剪去一个半径为《cm)的同心圆，得到一个圆环.设圆环

的面积为S(cm2),求S关于，的函数关系式.

解：(l)y=0.50x,x可取任意正数；

40

(2)y=—，x可取任意正数；

x

(3)5=100乃一万产，r的取值范围是0<r<10.

例3在上面的问题(3)中，当AM=lcm时，重叠部分的面积是多少？

解：设重叠部分的面积为ycm?,历4的长为xcm,y与x之间的函数关系式为

2

V=­1X.

2

当X=1时，V=—XI2=—.

-22

所以当M4=lcm时，重叠部分的面积是'em?.

2

例4求下列函数当x=2时的函数值：

(l)y=2x-5；(2)y=-3x2；

2____

(3)y=——-；(4)y=.

x-\

分析：函数值就是y的值，因此求函数值就是求代数式的值.

解：⑴当x=2时，^=2x2-5=-!；

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(2)当x=2时，y=-3x22=-12；

2

(3)当x=2时，y=------=2；

2-1

(4)当x=2时，y=V2-2=0.

四、交流反思

1.求函数自变量的取值范围的两个依据：

(1)要使函数的解析式有意义.

①函数的解析式是整式时，自变量可取全体实数；

②函数的解析式分母中含有字母时，自变量的取值应使分母不等于零；

③函数的解析式是二次根式时，自变量的取值应使被开方数大于零.

(2)对于反映实际问题的函数关系，应使实际问题有意义.

2.求函数值的方法：把所给出的自变量的值代入函数解析式中，即可求出相应的函数值.

五、检测反馈

1.分别写出下列各问题中的函数关系式，并指出式中的自变量与函数以及自变量的取值范

围：

(1)一个正方形的边长为3cm,它的各边长减少xcm后，得到的新正方形的周长为ycm.求y

和x间的关系式；

(2)寄一封质量在20克以内的市内平信，需邮资0.60元，求寄"封这样的信所需邮资M元)

与n间的函数关系式；

(3)矩形的周长为12cm,求它的面积S(cm2)与它的一边长x(cm)间的关系式，并求出当一边

长为2cm时这个矩形的面积.

2.求下列函数自变量x的取值范围：

(l)y=—Zv—5x2；(3)y=x(x+3)；

6xr------

(3)y---------；(4)y=j2x-l.

x+3

3.一架雪橇沿一斜坡滑下，它在时间/(秒)滑下的距离s(米).由下式给出：s=10/+2产.假如滑

到坡底的时间为8秒，试问坡长为多少？

4.当x=2及x=—3时，分别求出下列函数的函数值：

x+2

(l)y=(x+l)(x-2)；(2)y=2x2-3x+2；(3)y=--.

x-\

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17.2函数的图象

第一课时函数的图象(一)

教学目标

使学生理解函数的图象是由许多点按照一定的规律组成的图形，能够在平面直角坐

标系内画出简单函数的图象.

教学过程

一、引入课题

问题：右边的气温曲线图给了我们许多信息，例如，哪一时刻的气温最高，哪一时刻的

气温最低，早上6点的气温是多少？也许许多同学都可以看出fT(t)

来，那么请同学们说说你是如何从上面的气温曲线图中知道a,

这些信息的.待同学回答完毕，教师给予解释：寸......*ZK皿

,4-：、时也

在上面的图形中，有一个直角坐标系，它的横轴表示时间；-j也骂胸例小乎一

它的纵轴表示气温，这一气温曲线图实质上给出某日气温尸二

T(℃)与时间t(时)的函数关系，因为对于一日24小时的任

何一刻，都有惟一的温度与之对应。例如，上午10时的气温

是2℃,表现在曲线上，就可以找到这样的对应点，它的坐标(10,2),也就是说，当t=10

时，对应的函数值T=2.由于坐标平面上的点与有序实数对是一一对应的关系，因此，气

温曲线图是由许许多多的点(t,T)组成的。

二、函数的图象

1.函数的图象是由直角坐标系中的一系列点组成，图象上的每一点的坐标(x,y)代表了函数

的一对对应值，即把自变量x与函数值y的每一对对应值分别作为点的横坐标和纵坐标，在

直角坐标系中描出相应的点，这些点组成的图形，就是这个函数的图象。

2.画函数的图象

例1.画出函数y=x'的图象

分析：要画出一个函数的图象，关键是要画出图象上的一些点，为此，要取一些自变量

的值，并求出对应的函数值.

第一步，列表。第二步，描点。第三步，连线。

用光滑曲线依次把这些点连起来，便可得到这个函数的图象。

三、课堂练习

四、小结

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1.函数图象上的点的坐标是函数的自变量与函数值的一对对应值。2.根据列表、描点、

连线这三个步骤画出函数的图象.

五、教学反思：

第二课时函数的图象（二）

教学目标

通过观察函数的图象，深刻领会函数中两个变量的关系，能够从所给的图象中获取信息，从

而解答一些简单的实际问题.

教学过程

一、从所给的函数图象中获取信息

例1、王教授和孙子小强经常一起进行早锻炼，主要活动

是爬山.有一天，小强让爷爷先上，然后追赶爷爷；右图中

两条线段分别表示小强和爷爷离开山脚的距离y（米）与爬

山所用时间x（分）的关系（从小强开始爬山时计时），看图回

答下列问题：

1.小强让爷爷先上多少米？

2.山顶距离山脚多少米?谁先爬上山顶?

3.小强经过多长时间追上爷爷?

分析：从题意可以知道，线条①表达了小强离开山脚的距离与爬山所用时间的关系，线

条②表达了爷爷离开山脚的距离与爬山所用时间的关系（这两条线并不是小强与爷爷的爬山

路线）。刚开始计时时，爷爷己经在小强的前方60米处，小强让爷爷先上60米；从上图来

看，山顶距离山脚300米，因为小强登上山顶用的时间比爷爷用的少，所以，小强比爷爷先

登上山顶；小强经过8分钟追上爷爷。

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例2.如图表示某学校秋游活动时・，学生乘坐旅游车所行走的路程与

时间的关系的示意图，请根据示意图回答下列问题:

1.学生何时下车参观第一风景区?参观时间有多长?

2.11:00时该车离开学校有多远?

3.学生何时返回学校，返回学校时车的平均速度是多少?

分析：从图象上可以看出，该校学生上午8点出发，8点到9点、

到16点这些时段路程有发生变化，说明学生是在路途中，而9点到10点半、11点半到14

点这两个时段的路程没有发生变化，说明学生在参观景区或休息。如果同学们能够从图象上

获取这些信息，对于上述的几个问题就容易得到解决。

二、课堂练习

三、小结

本节课进一步认识函数的图象，懂得如何从函数的图象中获取我们所要的信息，希望同学们

多观察图象，应用所学的知识来获得信息，解决问题.

四、教学反思：

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课题名称17.3.1一次函数

教学目标1.经历探索的过程，发展学生的抽象思维能力.

2.理解一次函数和正比例函数的概念.

3.能根据已知条件，写出简单的一次函数表达式，进一步发展学生的数

学应用能力.

教学重点理解一次函数和正比例函教学难点能根据条件写出简单的函数

数的概念.表达式

创设问题情境