山东省威海荣成市16校（五四制）2023-2024学年七年级下学期期中考试数学试卷(含解析)

数学期中一、单项选择（共10题，计30分）1.下列方程：①；②；③；④；⑤；⑥，其中是二元一次方程的是（）A.① B.①④ C.①③ D.①②④⑥答案：B解析：①，该方程含有两个未知数，且含未知数的项的次数为１的整式方程，所以它是二元一次方程；②，该方程含未知数的项的次数为２，所以它不是二元一次方程；③，该方程不是整式方程，所以它不是二元一次方程；④，化简得，该方程含有两个未知数，且含未知数的项的次数为１的整式方程，所以它是二元一次方程；⑤，该方程含未知数的项的次数为２，所以它不是二元一次方程；⑥，该方程不是整式方程，所以它不是二元一次方程，综上，是二元一次方程的是①④，故选：B．2.下列命题错误的是（）A.等腰三角形两腰上的中线相等 B.等腰三角形的中线与高重合C.等腰三角形两腰上的高相等 D.等腰三角形两底角平分线相等答案：B解析：解：如图1，在中，，、分别是、边上的中线，则可知，且，在和中，，所以等腰三角形两腰上中线相等，故A正确，不符合题意；等腰三角形有底边上的中线、高和顶角的角平分线互相重合，故B错误，符合题意；如图2，在中，，、分别是边上的高，可得，、分别是边上的高，，在和中，，所以等腰三角形两腰上的高相等，故C正确，不符合题意；如图3，在中，，、分别平分和，则可知，在和中，，所以等腰三角形两底角平分线相等，故D正确，不符合题意；故选：B3.如图，在中，，平分，则的度数为（）A. B. C. D.答案：C解析：∵，平分，∴，∵，∴，故选：C．4.如图，政府计划在三个村庄附近建立一所小学，且小学到三个村庄的距离相等，则小学应建在（）A.三边垂直平分线的交点 B.三条角平分线的交点C.三条高所在直线的交点 D.三条中线的交点答案：A解析：∵小学到三个村庄的距离相等，∴小学应该修建在的三边的垂直平分线的交点，故选：A．5.如图，已知，下列条件中不能使的是（）A. B. C. D.答案：D解析：解：∵，∴，A．添加，可得，根据能判定，故A选项不符合题意；B．添加，利用能判定，故B选项不符合题意；C．添加，利用能判定，故C选项不符合题意；D．添加，只有两个条件，不能判定，故D选项符合题意．故选：D．6.在探究证明“三角形的内角和是180°”时，综合实践小组的同学作了如图所示的四种辅助线，其中能证明“的内角和是180°”的有（）A1个 B.2个 C.3个 D.4个答案：C解析：解：①．由，则，．由，得，故符合题意．②．由，则，．由，得，故符合题意．③．由于，则，无法证得三角形内角和是，故不符合题意．④．由，得，．由，得，，那么．由，得，故符合题意，共有：①②④符合条件，故选：C．7.小明为了估算玻璃球的体积，做了如下实验：在一个容量为的杯子中倒入的水；再将同样的玻璃球逐个放入水中，发现在放第5个时水未满溢出，但当放入第6个时，发现水满溢出．根据以上的过程，推测这样一颗玻璃球的体积范围是（）A以上，以下 B.以上，以下C.以上，以下 D.以上，以下答案：C解析：解：根据题意，设一颗玻璃球的体积为，则有：，解得：，∴一颗玻璃球的体积在以上，以下，故选：C．8.现代办公纸张通常以等标记来表示纸张的幅面规格，一张纸可截成2张纸或4张纸，现计划将100张纸裁成纸和纸，两者共计300张，设可裁成纸张，纸张，根据题意，可列方程组（）A. B.C. D.答案：D解析：解：根据题意得：，故选：D9.①如图1，，则；②如图2，，则；③如图3，，则；④如图4，直线，点O在直线上，则．以上结论正确的是（）A.①②③④ B.③④ C.①②④ D.①②答案：C解析：如图，过点E作，∴，∵，∴，∴，∴，①正确；设交于点Q，∵，∴，∵，∴，即，②正确；如图，过点E作，∴，∵，∴，∴，∴，③错误；延长到点M，交于点M，∵，∴，∵，∴，④正确；结论正确的是①②④，故选：C．10.我们知道等边三角形的每个内角都是．如图，将三个大小不同的等边三角形的一个顶点重合放置，若，．则的度数为（）A.10° B.20° C.30° D.40°答案：C解析：解：如图：∵等边三角形的每个内角都是60°，∴，∵，．∴，则∵∴故选：C二．填空题（共6题，计18分）11.如图，点M，N分别在上，，将沿折叠后，点A落在点处，若，则__．答案：116解析：∵，将沿折叠后，点A落在点处，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，∴，故答案为：116．12.如图，设是已知线段，经过点B作，使，连接，在上截取；在上截取．已知线段的长为2，则线段的长为_________________．答案：##解析：解：线段的长为2，，又，，由勾股定理得：，，，故答案为：．13.如图，一次函数的图像经过点与，则关于的不等式的解集是______．答案：解析：解：一次函数的图象经过点与，则由图可知关于x的不等式的解集是，故答案为：．14.在《九章算术》的“方程”一章里，一次方程组是由算筹布置而成，如图1，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x，y的系数与相应的常数，图1的算筹图用我们现在的所熟悉的方程组形式表达就是，则图2所示的算筹图所表示的方程组的解为__________．答案：解析：解：图2所示的算筹图所表示的方程组为，解得：；故答案：．15.已知关于的不等式组的整数解有3个，则的取值范围是______．答案：解析：解：，，解得，，，解得，，∴，∵关于不等式组的整数解有3个，∴，故答案为：．16.在等腰三角形中，，的垂直平分线交直线于点E，连接，如果，那么的度数为___．答案：或解析：当点E在线段上时，∵垂直平分，∴，∴，∵，∴，∵，∴；当点E在线段的延长线上时，∵垂直平分，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴；故答案为：或．三．解答题（共8题，计72分）17.解下列的二元一次方程组、不等式组（1）；（2）；（3）；（4），并写出的所有整数解．答案：（1）（2）（3）（4），整数解为0，1，2小问1解析：，，得，解得，把代入①，得，∴方程组的解为；小问2解析：，，得，整理，得，，得，解得，把代入②，得，∴方程组的解为；小问3解析：，解①得，解②得，∴不等式组的解集为；小问4解析：，解①得，解②得，∴不等式组的解集为，整数解为0，1，2．18.（1）我们规定．关于，的二元一次方程，若满足，则称这个方程为“幸福”方程．例如：方程，其中，满足，则方程是“幸福”方程，把两个“幸福”方程合在一起叫“幸福”方程组．根据上述规定，回答下列问题，①判断方程“幸福”方程（填“是”或“不是”）；②若关于的二元一次方程是“幸福”方程，求的值；③若是关于的“幸福”方程组的解，求的值．（2）对于实数我们定义一种新运算（其中均为非零常数）．等式右边是通常的四则运算，由这种运算得到的数我们称之为线性数，记为，其中叫做线性数的一个数对．若实数都取正整数，我们称这样的线性数为正格线性数，这时的叫做正格线性数的正格数对．①若，则，；②已知，若正格线性数求满足不等式组的所有的值．答案：（1）①是；②的值是5；③11；（2）①5，3；②的值有3，4，5，6解析：（1）①∵方程，其中，，∴，方程是“幸福”方程，故答案为：是；②关于，的二元一次方程是“幸福”方程，，解得，的值是5；③方程组是“幸福”方程组，∴，解得，原方程组为，是关于，的“幸福”方程组的解，，两式相加，解得，．即的值为11．（2）解：①，，，故答案为：5，3；②，∴，∴，解得：，和均为为正整数，的值有3，4，5，6．19.如图，在中，D是的垂直平分线上一点，过点D作，垂足为点E，F，．求证：点D在的平分线上．答案：见解析解析：证明：连接，∵，∴，在与中，∵，∴，∴，平分，∴点D在的平分线上．20.如图，在中，边的垂直平分线交于点D，边的垂直半分线交于点E，与相交于点O，连接，若的周长为，的周长为．（1）求线段的长；（2）连接，求线段长；（3）若，求的度数．答案：（1）6厘米（2）4厘米（3）20度小问1解析：∵边的垂直平分线交于点D，边的垂直半分线交于点E，∴,∴，∵的周长为，即，∴；小问2解析：连接，∵边的垂直平分线交于点D，边的垂直半分线交于点E，∴,∵的周长为，即，，∴；小问3解析：∵，∴，∵,∴，∴，∴．21.某住宅小区计划购买并种植甲、乙两种树苗共株已知甲种树苗每株元，乙种树苗每株元．（1）若购买树苗共用元，问甲、乙两种树苗应各买多少株？（2）据统计，甲、乙两种树苗每株树苗对空气的净化指数分别为和，若要保证该小区的空气净化指数之和不低于，则甲树苗最多可以买多少株？答案：（1）甲种树苗买株，则乙种树苗买株（2）225株小问1解析：解：设甲种树苗买株，则乙种树苗买株，，，，答：甲种树苗买株，则乙种树苗买株．小问2解析：设买株甲种树苗，株乙种树苗时该小区的空气净华指数之和不低于，，，，解得：，即最多买株甲种树苗．22.某综合实践小组设计了一个简易发射器，其示意图如图1所示，发射杆始终平分同一平面内两条固定轴所成的，且，，发射中心D能沿着发射杆滑动，、为橡皮筋．（1）证明：；（2）当由图2中的等边变成直角的过程中，发射中心D向下滑动的距离是多少?答案：（1）见解析（2）发射中心D向下滑动的距离是．小问1解析：证明：连接，∵，平分，∴是线段的垂直平分线，∵点D在上，∴；小问2解析：解：∵，是等边三角形，∴，∵是直角三角形，且，，∴，∴，∴．答：发射中心D向下滑动的距离是．23.如图，直线：与直线：相交于点，与x轴分别交于A，B两点．（1）求直线的表达式，并结合图象直接写出关于x，y的方程组的解；（2）求的面积；（3）若垂直于x轴的直线与直线，分别交于点C，D，线段的长为2，求a的值．答案：（1），（2）（3）或小问1解析：解：把点代入，得，．把点P坐标代入，得，，直线的表达式为，则方程组的解为；小问2解析：解：：，：，，，，；小问3解析：解：直线与直线的交点C为，与直线的交点D为．，，即，∴或，或．24.如图，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝