2023-2024学年九年级数学上册单元速记·巧练（北师大版）第5章 投影与视图（单元重点综合测试）（解析版）-2023-2024学年九年级数学上册单元速记·巧练（北师大版）

第5章投影与视图（单元重点综合测试）一、单选题1．下列哪种影子不是中心投影（

）A．皮影戏中的影子 B．晚上在房间内墙上的手影C．舞厅中霓红灯形成的影子 D．太阳光下林荫道上的树影【答案】D【分析】根据中心投影的性质，找到不是灯光的光源即可．【解析】解：中心投影的光源为灯光，平行投影的光源为阳光与月光，在各选项中只有B选项得到的投影为平行投影，所以太阳光下林荫道上的树影不是中心投影.故选D．【点睛】解决本题的关键是理解中心投影的形成光源为灯光．2．如图中的几何体的主视图是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】试题分析：此几何体的主视图由四个正方形组成，下面一层三个正方形，且有边有两层．故选D．考点：简单组合体的三视图．3．下图是一个螺母，它的左视图是（

）

A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】找出从左侧看到的图形即可．【解析】解：该螺母为非实体，那么左视图应该为：故选：D．【点睛】本题考查三视图，建立空间想象能力是解题的关键．4．小刚身高1.7m，测得他站立在阳光下的影子长为0.85m，紧接着他把手臂竖直举起，测得影子长为1.1m，那么小刚举起的手臂超出头顶（）A．0.5m B．0.55m C．0.6m D．2.2m【答案】A【分析】、根据在同一时刻，物体的实际高度和影长成比例，求解即可【解析】设小刚举起的手臂超出头顶是xm，则有，解得：x=0.5．故选：A．5．如图是由两个小正方体和一个圆锥体组成的立体图形，其主视图是【】A． B． C． D．【答案】B【解析】主视图是从正面看得到的视图，从正面看上面圆锥看见的是：三角形，下面两个正方体看见的是两个正方形．故选B．6．如图是某圆锥的主视图和左视图，该圆锥的侧面积是（）A．25π B．24π C．20π D．15π【答案】C【解析】分析：求得圆锥的底面周长以及母线长，即可得到圆锥的侧面积．详解：由题可得，圆锥的底面直径为8，高为3，∴圆锥的底面周长为8π，圆锥的母线长为=5，∴圆锥的侧面积=×8π×5=20π，故选C．点睛：本题主要考查了由三视图判断几何体以及圆锥的计算，圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．7．如图所示是两根标杆在地面上的影子，根据这些投影，在灯光下形成的影子是（

）A．①和② B．②和④ C．③和④ D．②和③【答案】D【分析】根据光线相交的是灯光光线，光线平行的不是灯光光线逐个判断．【解析】连接并延长每个标杆影子的末端与标杆的顶端，射线相交的是灯光下形成的影子，不相交的不是灯光下形成的影子．故选：D．【点睛】本题考查了中心投影，熟练掌握中心投影的定义是解决此类问题的关键．8．如图所示，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1米，继续往前走3米到达E处时，测得影子EF的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯A的高度AB等于（

）A．4.5米 B．6米 C．7.2米 D．8米【答案】B【分析】根据同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似解答．【解析】解：如图所示，GC⊥BC，AB⊥BC，∵，当王华在CG处时，Rt△DCG∽Rt△DBA，即，当王华在EH处时，Rt△FEH∽Rt△FBA，即，∴，∵CG＝EH＝1.5米，CD＝1米，CE＝3米，EF＝2米，设AB＝x，BC＝y，∴，解得y＝3，则，解得，x＝6米．即路灯A的高度AB＝6米．故选：B．【点睛】本题综合考查了中心投影的特点和规律以及相似三角形性质的运用．解题的关键是利用中心投影的特点可知在这两组相似三角形中有一组公共边，利用其作为相等关系求出所需要的线段，再求公共边的长度．9．如图表示一个由相同小立方块搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置上小立方块的个数，那么该几何体的主视图为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】从正面看可看到每列正方体的最多个数分别为2，2，1，表示为平面图形【解析】解：俯视图中的每个数字是该位置小立方体的个数，分析其中的数字，得主视图有3列，从左到右的列数分别是2，2，1．故选C．【点睛】本题灵活考查了三种视图之间的关系以及视图和实物之间的关系，同时还考查了对图形的想象力．10．若干小立方块搭一个几何体，如果使其主视图和俯视图如图所示，那么搭建一个这样的几何体，最少需要（）块小立方块．A．8 B．9 C．10 D．11【答案】D【分析】根据三视图的知识可得，几何体的底层确定有7个立方块，而第二层最少有2个立方块，第三层最少要2个，故这个几何体最少要7+2+2个．【解析】解：综合主视图和俯视图，这个几何体最少要7+2+2＝11个小立方块，因此搭建一个这样的几何体，最少需要11小立方块．故选：D．【点睛】本题考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖”就更容易得到答案．二、填空题11．如图，路灯距离地面8米，身高1.6米的小明站在距离灯的底部（点O）20米的A处，则小明的影子AM长为米．【答案】5【分析】由已知易得：△MBA∽△MCO，利用相似三角形的相似比可得出小明的影长．【解析】根据题意，易得△MBA∽△MCO，根据相似三角形的性质可知，即，解得AM=5．∴小明的影长为5米．【点睛】本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比可得出小明的影长.12．如图，同一时刻小诚和大树的影子长分别为和，已知小诚身高，则大树的高度为m．

【答案】3【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似；【解析】根据相同时刻的物高与影长成比例，设树的高度为，则解得，故这棵树的高是3米，故答案为：3．【点睛】本题主要考查同一时刻物高和影长成正比，考查利用所学知识解决实际问题的能力．13．在相同时刻太阳光线是平行的，如果高米的测杆影长3米，那么此时影长米的旗杆的高度为m【答案】【分析】根据平行投影的性质列方程求解即可．【解析】设旗杆的高度为x米∵测杆的高度：测杆的影长=旗杆的高度：旗杆的影长，∴，解得：米故答案为：【点睛】此题考查平行投影，解题关键是根据平行投影可得比例式，进而列出方程求解．14．小亮在上午8时、9时、12时、17时四次到室外的阳光下观察一棵树的影子随太阳变化的情况，他发现这四个时刻这棵树影子的长度各不相同，那么影子最长的时刻为；影子最短的时刻是．【答案】17时12时【分析】根据利用光线与地面的夹角的变换进行判断．【解析】解：上午8时、9时、12时、17时，太阳光线与地面的夹角不同，其中17时太阳光线与地面的夹角最小，所以此时树的影子最长；12时太阳光线与地面的夹角最大，所以此时树的影子最短，故答案为：17时；12时．【点睛】本题考查了平行投影，由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影，从早晨到傍晚物体的指向是：西一西北一北一东北一东，影长由长变短再变长．15．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（结果保留π）．

【答案】【分析】由三视图可知该几何体是个半圆柱，且半圆柱的底面半径是2，高是4，根据表面积的计算公式求解即可．【解析】解：故答案为：．【点睛】本题考查的是一道由三视图求几何体的表面积的题目，关键是由三视图判断出几何体的形状．16．如图，长方体的一个底面ABCD在投影面P上，M，N分别是侧棱BF，CG的中点，矩形EFGH与矩形EMNH的投影都是矩形ABCD，设它们的面积分别是S1，S2，S，则S1，S2，S的关系是（用“=、＞或＜”连起来）【答案】S1=S＜S2【分析】根据长方体的概念得到S1=S，根据矩形的面积公式得到S＜S2，得到答案．【解析】解：∵立体图形是长方体，∴底面ABCD∥底面EFGH．∵矩形EFGH的投影是矩形ABCD，∴S1=S．∵EM＞EF，EH=EH，S＜S2，∴S1=S＜S2．故答案为S1=S＜S2．【点睛】本题考查了平行投影和立体图形，平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影．17．如图，一个正方体由27个大小相同的小立方块搭成，现从中取走若干个小立方块，得到一个新的几何体．若新几何体与原正方体的表面积相等，则最多可以取走个小立方块．【答案】16【分析】根据新几何体的三视图,取走后得到的面与原来的几何体相同解答即可．【解析】若新几何体与原正方体的表面积相等，则新几何体的面与原来的几何体的面相同，所以最多可以取走16个小立方块，只需要保留正中心三个正方体，四个角各两个，保留11个小正方体.故答案为16【点睛】本题主要考查了几何体的表面积，理解三视图是解答本题的关键．用到的知识点为：主视图，左视图与俯视图分别是从物体的正面，左面，上面看得到的图形．18．用若干大小相同的小立方块搭一个几何体，使得从左面和从上面看到的这个几何体的形状图如图所示．请从A，B两题中任选一题作答．我选择题．答案是。

A．搭成该几何体的小立方块最少有___________个．B．根据所给的两个形状图，要画出从正面看到的形状图，最多能画出___________种不同的图形．【答案】67【分析】选择A：从左视图和俯视图出发确定每一列或每一层正方体最少的个数即可得到答案；选择B：根据题意可知从正面看一共分为两层，下面一层有3个正方体，上面一层可以有1个小正方体，可以有2个小正方形，可以有3个小正方体，据此求解即可．【解析】解：选择A：从左面看，左边第1列最少有1个小正方体，中间一列最少有1个小正方体，最右边一列最少有2个小正方形，从上面看，最上面一层，最少有1个小正方体，中间一层最少有一个小正方体，最下面一层最少有3个正方体，最多有6个小正方体，∴搭成该几何体的小立方块最少有6个小正方体，最多有8个小正方体；故答案为：6；选择B：从正面看一共分为两层，下面一层有3个正方体，上面一层可以有1个小正方体，可以有2个小正方形，可以有3个小正方体，当上面一层有3个小正方体时，可以画3个正视图，当上面一层有2个小正方形时，可以画3个正视图，当上面一层有1个小正方形时，可以画1个正视图，∴一共可以画种不同的图形，故答案为：7．【点睛】本题主要考查了小正方体组成的几何体的三视图，正确理解题意读懂三视图是解题的关键．三、解答题19．把下列物体与它们的投影连接起来．【答案】见解析【分析】根据投影的定义解答即可．【解析】解：如图：【点睛】本题主要考查了投影，理解投影的定义成为解答本题的关键．20．如图所示的几何体是一个圆台，试画出其三视图.【答案】见解析【分析】主视图和左视图都是等腰梯形，俯视图是圆环，依此画出即可.【解析】如图所示.【点睛】考查了作图-三视图，主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．21．有两根木棒AB，CD在同一平面上直立着，其中AB这根木棒在太阳光下的影子BE如图所示，请你在图中画出这时木棒CD的影子．【答案】图形见解析.【解析】试题分析：首先连接，过点作的平行线；然后再过点作的平行线，相交于点，即为所求.试题解析：如图所示.22．如图是一个几何体从三个方向看所得到的形状图．(1)写出这个几何体的名称；(2)画出它的一种表面展开图；(3)若从正面看的高为4cm，从上面看三角形的边长都为3cm，求这个几何体的侧面积．【答案】（1）三棱柱；（2）见解析;（3）36cm2.【分析】（1）根据三视图的特点，即可解决问题；（2）画出正三棱柱的侧面展开图即可；（3）侧面展开图是矩形，求出矩形的面积即可；【解析】解：（1）几何体的名称是三棱柱；（2）表面展开图为：（3）3×4×3＝36cm2，∴这个几何体的侧面积为36cm2【点睛】本题考查三视图、几何体的侧面展开图等知识，解题的关键是理解三视图、看懂三视图，属于中考常考题型．23．如图，为了测量山峰AB的高度，在D处和户处竖立标杆DC和FE，标杆的高度都是4m，两杆相隔50m，并且A，B，C，D和EF都在同一平面内，从标杆DC退后2m到G处，可看到山峰和标杆顶点C在同一直线上，标杆EF退后4m到H处可看到山峰A和标杆顶点E在同一直线上，求山峰AB的高度.【答案】104m【分析】根据题意可得出△CDG∽△ABG，△EFH∽△ABH，再根据相似三角形的对应边成比例即可得出结论．【解析】∵AB⊥BH，CD⊥BH，EF⊥BH，∴AB∥CD∥EF，∴△CDG∽△ABG，△EFH∽△ABH，∴，∵CD=EF=4m，DG=2m，FH=4m，∴，，∴，∴BD=50m，∴解得AB=104m，即山峰AB的高度为104m.【点睛】本题考查的是相似三角形的应用，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键．24．如图，某光源下有三根杆子，甲杆GH的影子为GM，乙杆EF的影子一部分落在地面EA上，一部分落在斜坡AB上的AD处.（1）请在图中画出形成影子的光线，确定光源所在的位置R，并画出丙杆PQ在地面的影子.（2）在（1）的结论下，若过点F的光线，斜坡与地面的夹角为60°，m，m，请求出乙杆EF的高度：（结果保留根号）.【答案】(1)见解析；（2）m.【分析】（1）根据甲杆GH的影子GM，乙杆EF的影子一部分照在地面上EA，一部分照在斜坡AB上AD，得出光源的位置，进而画出PQ在地面上的影子；（2）利用∠DAS=60°，得出∠S=30°，即可得出ES=AS+AE=2+2=4，再利用勾股定理求出即可．【解析】（1）如图所示，QN即为PQ在地面的影子．（2）分别延长FD，EA交于点S.在中，∠ADS=90°，∵，∴.∵，∴，，∴.在中，∵，，∴，由勾股定理得m.【点睛】此题主要考查了中心投影以及勾股定理的应用，根据已知得出光源位置是解题关键．25．如图是小亮晚上在广场散步的示意图，图中线段表示站立在广场上的小亮，线段表示直立在广场上的灯杆，点表示照明灯的位置.（1）在小亮由B沿所在的方向行走的过程中，他在地面上的影子的变化情况为______；（2）请你在图中画出小亮站在处的影子；（3）当小亮离开灯杆的距离时，身高（）为的小亮的影长为，问当小亮离开灯杆的距离时，小亮的影长是多少？【答案】（1）逐渐变短；（2）详见解析；（3）【分析】(1)根据光是沿直线传播的道理可知在小亮由B处沿BO所在的方向行走到达O处的过程中,他在地面上的影子长度的变化情况为变短(2)连接PA并延长交直线BO于点E,则线段BE即为小亮站在AB处的影子(3)根据灯的光线与人、灯杆、地面形成的两个直角三角形相似解答即可【解析】(1)因为光是沿直线传播的,所以当小亮由B处沿BO所在的方向行走到达O处的过程中,他在地面上的影子长度的变化情况为变短;(2)如图所示,BE即为所求(3)先设OP=x,则当OB=4.2米时,BE=1.6米，∴∴x=5.8米当OD=6米时,设小亮的影长是y米,∴∴y=(米)即小亮的影长是米．【点睛】本题考查中心投影，相似三角形的应用，解题关键在于掌握作图法则26．在平整的地面上，有若干个完全相同的棱长为1cm的小正方体堆成一个几何体，如图所示：（1）这个几何体是由个小正方体组成，请画出这个几何体的三视图；（2）如果在这个几何体露在外面的表面喷上黄色的漆，每平方米用2克，则共需克漆；（3）若现在你手头还有一些相同的小正方体，如果保持俯视图和左视图不变，最多可以再添加________个小正方体．【答案】（1）10；三视图见解析；（2）64；（3）4.【分析】（1）根据三视图的定义，画出图形即可解决问题；（2）求出这个几何体的表面积即可解决问题；（3）俯视图和左视图不变，构成图形即可解决问题．【解析】（1）这个几何体有10个立方体构成，三视图如图所示；故答案为10．（2）这个几何体的表面有38个正方形，去了地面上的6个，32个面需要喷上黄色的漆，∴表面积为32cm2，32×2=64克，∴共需64克漆．故答案为64．（3）如果保持俯视图和左视图不变，最多可以再添加1+2+1=4（个）．【点睛】本题考查了作图﹣三视图，解题的关键是理解题意，学会正确作出三视图，属于中考常考题型．27．如图，在一个长40m，宽30m的长方形小操场上，王刚从A点出发，沿着A→B→C的路线以3m/s的速度跑向C地.当他出发4s后，张华有东西需要交给他，就从A地出发沿王刚走的路线追赶，当张华跑到距B地m的D处时，他和王刚在阳光下的影子恰好重叠在同一条直线上.此时，A处的小旗在阳光下的影子也恰好落在对角线AC上.求：（1）他们的影子重叠时，两人相距多少米（DE的长）？（2）张华追赶王刚的速度是多少？【答案】（1）m.（2）m/s.【分析】（1）利用平行投影的性质，确定AC∥DE，利用三角形相似（△ACB∽△DEB）求解即可；（2）利用勾股定理求出BE的长，然后求出王刚的时间，减去4得到张华的时间，再根据速度=路程÷时间列式计算即可求解．【解析】（1）根据题意可知：DE∥AC，∴△ACB∽△DEB∴，在Rt△ABC中，AB=40m，BC=30m，BD=2m，∵在一个长40m、宽30m的长方形小操场上，∴AC=50m，∴，解得（m）.∴他们的影子重叠时，两人相距米．（2）根据题意得∴DE2=BD2+BE2，∴，∴s王=AB+BE=42m，∴，∴t张=t王-4=10s，∴s张=AD=AB-BD=40-2=m，v张=（m/s）.．∴张华追赶王刚的速度是m/s．【点睛】本题考查了相似三角形的性质及勾股定理在实际生活中的运用，解答此类问题的关键是根据题意列出方程求解．28．小明是魔方爱好者，他擅长玩各种魔方，从二阶魔方到九阶魔方，他都能成功复原．有一天，小明突然想到一个问题，在九阶魔方中，到底含有多少个长方体呢？为此，我们先来解决这样一个数学问题：如图，图1是一个长、宽、高分别为a，b，c（a≥2，b≥2，c≥2，且a，b，c是正整数）的长方体，被分成了a×b×c个棱长为1的小立方体．这个几何体中一共包含多少个长方体（包括正方体）？（参考公式：1+2+3…+n）．问题探究：为探究规律，我们采用一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，再逐次递进，最后得出一般性的结论．探究一：如图2，该几何体有1个小立方体组成，显然，该几何体共有1个长方体．如图3，该几何体有2个小立方体组成，那么它一共包含1+2＝3个长方体．如图4，该几何体有3个小立方体组成，那么它一共包含个长方体．如图5，该几何体﹣共包含210个长方体，那么该几何体共有个小立方体组成．探究二：如图6，该几何体有4个小立方体组成，那么它一共包含（1+2）×（1+2）＝9个长方体．如图7，该几何体有6个小立方体组成，那么它一共包含个长方体．如图8，该几何体共有2m个小立方体组成，那么该几何体一共有个长方体．探究三：如图1，该几何体共有个a×b×c小立方体组成，那么该几何体共有个长方体．探究四：我们现在可以解决小明开始的问题了．在九阶魔方（即a＝b＝c＝9）中，含有个长方体．探究五：聪明的小明在学习了三种视图后，又提出一个新的问题：在图1中，若a＝6，b＝4，c＝5，如果拿走一些小立方体后，剩下几何体的三种枧图与原图1的三种视图完全一样，那么最多可以拿走个小立方体；此时，剩下的几何体的表面积是．【答案】探究一：6，20；探究二：18；探究三：；探究四：；探究五：72，124或142或158或164【分析】探究一：先输出图4的长方体个数，然后得出规律有n小正方体组成的几何体有个长方体，由此求解即可；探究二：由探究一可知图6中长一共有1+2=3条线段，宽有1+2=3条线段，高有1条线段，那么它一共包含（1+2）×（1+2）×1＝9个长方体，图7中长一共有1+2+3条线段，宽有1+2=3条线段，高有1条线段，图7中它