2023-2024学年九年级数学上册单元速记·巧练（北师大版）第3章 概率的进一步认识（知识归纳+题型突破）（解析版）-2023-2024学年学年九年级数学上学期单元精讲·速记·巧练（北师大版）

第3章概率的进一步认识（知识归纳+题型突破）1.进一步认识频率与概率的关系，加深对概率的理解；2.会用列表和画树状图等方法计算简单事件发生的概率；3.能利用重复试验的频率估计随机事件的概率；4.学会运用概率知识解决简单的实际问题.一、用树状图或表格求概率1.树状图当一次试验要涉及3个或更多个因素时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图，也称树形图、树图.树形图是用树状图形的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法.要点：(1)树形图法适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题；(2)在用树形图法求可能事件的概率时，应注意各种情况出现的可能性务必相同.2.列表法当一次试验要涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法.列表法是用表格的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法.要点：（1）列表法适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题；（2）列表法适用于涉及两步试验的随机事件发生的概率.3.用列举法求概率的一般步骤（1）列举（列表、画树状图）事件所有可能出现的结果，并判断每个结果发生的可能性是否都相等；（2）如果都相等，再确定所有可能出现的结果的个数n和其中出现所求事件A的结果个数m；（3）用公式计算所求事件A的概率.即P（A）=.二、用频率估计概率1.频率与概率的定义频率：在相同条件下重复n次试验，事件A发生的次数m与试验总次数n的比值.概率：事件A的频率接近与某个常数，这时就把这个常数叫做事件A的概率，记作P（A）.2.频率与概率的关系事件的概率是一个确定的常数，而频率是不确定的，当试验次数较少时，频率的大小摇摆不定，当试验次数增大时，频率的大小波动变小，并逐渐稳定在概率附近.可见，概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值.要点：（1）频率本身是随机的，在试验前不能确定，无法从根本上来刻画事件发生的可能性的大小，在大量重复试验的条件下可以近似地作为这个事件的概率；（2）频率和概率在试验中可以非常接近，但不一定相等；（3）概率是事件在大量重复试验中频率逐渐稳定到的值，即可以用大量重复试验中事件发生的频率去估计得到事件发生的概率，但二者不能简单地等同，两者存在一定的偏差是正常的，也是经常的.3.利用频率估计概率当试验的可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等时，一般用统计频率的方法来估计概率.要点：用试验去估计随机事件发生的概率应尽可能多地增加试验次数，当试验次数很大时，结果将较为精确.题型一列举法求概率【例1】抛掷两枚硬币，出现“一正一反”的概率是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】有正正，正反，反正，反反四种结果，所以P（一正一反）=，故选C．巩固训练：1．从，0，，，3.5这五个数中，随机抽取1个，则抽到无理数的概率是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】解：这里的无理数有，，共2个，∴．故选：B．【点睛】本题主要考查了列举法求概率，解决问题的关键是熟练掌握用列举法求概率的方法．2．从1，2，3，4，5五个数中任意取出2个数做加法，其和为偶数的概率是（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】列举出所有情况，找出和为偶数的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．【解析】从1，2，3，4，5五个数中任意取出2个数做加法，有10组：1＋2，1＋3，1＋4，1＋5，2＋3，2＋4，2＋5，3＋4，3＋5，4＋5，和为偶数的有4组：1＋3，1＋5，2＋4，3＋5，∴和为偶数的概率为，故选：C．【点睛】本题考查列举法求概率，采用列举法求概率解题的关键是找出所有存在的情况，涉及到概率公式：概率＝所求情况数与总情况数之比．题型二列表法或树状图法求概率【例2】下列说法正确的是（

）A．口袋中有3个白球，2个黑球，1个红球，它们除颜色外都相同，因为袋中共有3种颜色的球，所以摸到红球的概率是B．掷一枚硬币两次，可能的结果为两次都是正面，一次正面一次反面，两次都是反面，所以掷出两次都是反面的概率为C．天气预报“明天降水概率为10%”，是指“明天有10%的时间会下雨”D．随意掷一枚均匀的骰子，偶数点朝上的概率是【答案】D【分析】根据概率公式可对A、D进行判断；利用画树状图法求概率可对B进行判断，根据概率的意义可对C进行判断．【解析】解：A、摸到红球的概率＝，所以A选项错误；B、画树状图为：共有4种等可能的结果数，其中掷出两次都是反面的结果数为1，所以掷出两次都是反面的概率＝，故B选项错误；C、天气预报“明天降水概率为10%”，是指有10%的可能性下雨，所以C选项错误；D、随意掷一枚均匀的骰子，偶数点朝上的结果数为2、4、6，所以偶数点朝上的概率＝，故D选项正确．故选：D．【点睛】本题考查了概率的意义，概率公式，列表法与树状图法求概率：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．巩固训练：1．在一个不透明的袋子里装有一个黑球和一个白球，它们除颜色外都相同，随机从中摸出一球，记下颜色后放回袋中，充分摇匀后，再随机摸出一球，两次都摸到白球的概率是（

）A． B． C．1 D．【答案】D【分析】根据题意，列出表格，可得4种等可能结果，其中两次都摸到白球的有1种，再根据概率公式计算，即可求解．【解析】解：根据题意，列出表格，如下：黑白黑黑黑白黑白黑白白白一共得到4种等可能结果，其中两次都摸到白球的有1种，∴两次都摸到白球的概率是．故选：D【点睛】本题主要考查了利用树状图或列表法求概率，明确题意，准确画出树状图或列出表格是解题的关键．2．甲、乙、丙三位同学分别用背面完全相同、大小一致的卡片在下面制成了表示自己生肖的图案，将三张卡片背面朝上洗匀，三人各抽一次（抽后放回，洗匀后第二人再抽），三个人抽到的生肖卡恰好是自己制作的卡片的概率为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意，三人各抽一次（抽后放回），甲乙丙三人都是从3张卡片抽一张，画出树状图即可得出答案．【解析】设甲的生肖为A，乙的生肖为B，丙的生肖为C，梳妆图如下：共有27种等可能情况，其中符合三个人抽到的生肖卡恰好是自己制作的卡片的有1种，所以，三个人抽到的生肖卡恰好是自己制作的卡片的概率=，故选：D．【点睛】本题考查了画梳妆图或列表求概率，根据题意画出梳妆图是解决本题的关键．3．甲口袋中有2个白球、1个红球，乙口袋中有1个白球、1个红球，这些球除颜色外无其他差别.分别从每个口袋中随机摸出1个球.下列事件中，概率最大的是（

）A．摸出的2个球颜色相同 B．摸出的2个球颜色不相同C．摸出的2个球中至少有1个红球 D．摸出的2个球中至少有1个白球【答案】D【分析】先画出树状图表示所有等可能的结果，再根据概率公式分别计算每种情况的概率，据此解答．【解析】解：画树状图如下，所有等可能的结果共6种，摸出2个球颜色相同的概率为：；摸出2个球颜色不相同的概率为：；摸出2个球中至少有1个红球的概率为：；摸出2个球中至少有1个白球的概率为：；所以概率最大的是摸出2个球中至少有1个白球，故选：D．【点睛】本题考查列表法或树状图表示概率，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．4．两张图片除画面不同外无其他差别，将它们从中间剪断得到四张形状相同的小图片，再把这四张小图片均匀混合在一起，从四张小图片中随机摸取一张，接着再随机摸取一张，则这两张小图片恰好合成一张完整图片的概率是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】将四张小图片分别记作A、B、C、D，首先利用列表法展示所有可能的结果数，再找出两张小图片恰好合成一张完整图片的结果数，然后根据概率公式求解．【解析】解：将四张小图片分别记作A、B、C、DABCDAABACADBBABCBDCCACBCDDDADBDC共有12种情形，其中两张小图片恰好合成一张完整图片的情况数目有4种，所以两张小图片恰好合成一张完整图片的概率为故选B【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比．5．不透明的布袋里装有红、蓝、黄三种颜色小球共40个，它们除颜色外其余都相同，其中红色球20个，蓝色球比黄色球多8个．（1）求袋中蓝色球的个数．（2）求摸出1个球是黄色球的概率．（3）现再将2个黄色球放入布袋，搅匀后，求摸出1个球是黄色球的概率．【答案】（1）袋中蓝色球的个数是14个；（2）摸出1个球是黄色球的概率；（3）摸出1个球是黄色球的概率是【分析】（1）蓝色球的个数=（40-红色球20个+8）÷2；（2）根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率；（3）先求出黄色球的个数，再除以全部情况的总数，即可求解．【解析】解：（1）（40-20+8）÷2=14（个）．答：袋中蓝色球的个数是14个；（2）（20-14）÷40=．故摸出1个球是黄色球的概率；（3）（20-14+2）÷（40+2）=．故摸出1个球是黄色球的概率是．【点睛】本题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．6．农历正月十五是我国的传统节日——元宵节，这一天人们有吃汤圆的习俗．今年的元宵节，圆圆爸爸给圆圆准备了一碗汤圆，其中一个汤圆是花生馅的，一个汤圆是豆沙馅的，还有两个汤圆是芝麻馅的，这四个汤圆除了馅以外，其他都一样．(1)圆圆吃了其中两个汤圆，求这两个汤圆都是芝麻馅的概率；(2)圆圆吃了三个汤圆后，剩下的汤圆是芝麻馅的概率是．【答案】(1)(2)【分析】（1）由题意知，可列表如下，然后计算求解即可；（2）由题意知，第四个汤圆有花生馅，豆沙馅，芝麻馅，芝麻馅4种等可能的情况，根据概率的计算公式求解即可．【解析】（1）解：由题意知，可列表如下花生豆沙芝麻芝麻花生（花生，豆沙）（花生，芝麻）（花生，芝麻）豆沙（豆沙，花生）（豆沙，芝麻）（豆沙，芝麻）芝麻（芝麻，花生）（芝麻，豆沙）（芝麻，芝麻）芝麻（芝麻，花生）（芝麻，豆沙）（芝麻，芝麻）吃的两个汤圆共有12种等可能的情况，都是芝麻馅的汤圆共有4种情况∴吃的两个汤圆中，都是芝麻馅的概率为．（2）解：第四个汤圆有花生馅，豆沙馅，芝麻馅，芝麻馅4种等可能的情况，∴是芝麻馅的概率为故答案为：．【点睛】本题考查了列举法求概率，概率的计算公式．解题的关键在于熟练掌握求概率的方法．题型三游戏的公平性【例3】学校将举办主题为“爱成都・迎大运”知识竞赛活动，班决定在甲乙两人中选择一人参加，并采用如下游戏确定参加人员．如图，一个均匀的转盘被平均分成10等份，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数字．转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字．甲乙两人参与游戏：一人转动转盘，另一人猜数，若所猜数字与转出的数字相符，则猜数的人获胜，否则转动转盘的人获胜．猜数的方法从下面三种中选一种：①猜“是奇数”或“是偶数”；②猜“是3的倍数”或“不是3的倍数”；③猜“是大于6的数”或“不是大于6的数”．如果由乙转动转盘，甲猜数，那么为了尽可能获胜，试说明甲应选择哪一种猜数方法？怎样猜？

【答案】为了尽可能获胜，甲应选第②种猜法，猜“不是3的倍数”【分析】分别求出三种方法中所有的概率，进行比较，即可得出结论．【解析】解：方法①中∵奇数有1，3，5，7，9，共5个∴（是奇数）∵偶数有2，4，6，8，10，共5个∴（是偶数）方法②中∵3的倍数有3，6，9，共3个∴（是3的倍数）∵不是3的倍数的有1，2，4，5，7，8，10，共7个∴（不是3的倍数）方法③中∵大于6的有7，8，9，10，共4个∴（是大于6的数）∵不大于6的有，1，2，3，4，5，6，共6个∴（不是大于6的数）∵三种方法中不是3的倍数的概率最大∴为了尽可能获胜，甲应选第②种猜法，猜“不是3的倍数”．【点睛】本题考查利用概率解决游戏公平性的问题．熟练掌握概率的公式，正确的进行计算，是解题的关键．巩固训练：1．4张相同的卡片上分别写有数字1、2、3、4，将卡片背面朝上，洗匀后从中任意抽取1张，将卡片上的数字作为被减数；一只不透明的袋子中装有标号为1、2、3的3个小球，这些球除标号外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，将摸到的球的标号作为减数.（1）求这两个数的差为0的概率；（2）游戏规则规定：当抽到的这两个数的差为非负数时，甲获胜；否则，乙获胜.这样的规则公平吗？如果不公平，请设计一个公平的规则，并说明理由.【答案】（1）（两个数的差为0）；（2）游戏不公平，设计规则：当抽到的这两个数的差为正数时，甲获胜；否则，乙获胜，理由见解析.【分析】（1）利用列表法列举出所有可能，进而求出概率；（2）利用概率公式进而得出甲、乙获胜的概率即可得出答案．【解析】（1）用列表法表示为：被减数差减数1234101232-10123-2-101由列表法或树状图可知：共有12种等可能的结果，其中“两个数的差为0”的情况有3种，∴（两个数的差为0）；（2）由列表法或树状图可知：共有12种等可能的结果，其中“两个数的差为非负数”的情况有9种，∴（两个数的差为非负数）；其中“两个数的差为负数”的情况有3种，∴（两个数的差为负数），∴游戏不公平.设计规则：当抽到的这两个数的差为正数时，甲获胜；否则，乙获胜.因为（两个数的差为正数），∴（两个数的差为非正数）.【点睛】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个参与者取胜的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．2．第二十四届冬奥会于2022年2月20日在北京闭幕，北京成为全球首个既举办过夏季奥运会又举办过冬季奥运会的城市．如图，是四张关于冬奥会运动项目的卡片，卡片的正面分别印有A．“花样滑冰”、B．“高山滑雪”、C．“单板滑雪大跳台”、D．“钢架雪车”（这四张卡片除正面图案外，其余都相同）．将这四张卡片背面朝上，洗匀．(1)从中随机抽取一张，抽得的卡片恰好为“花样滑冰”的概率为；(2)若先从中随机抽取一张，记录这张卡片上图案的运动项目后放回，背面朝上，洗匀．再从中随机抽取一张，请你用列表或画树状图的方法，求这两次抽取的卡片图案上是“单板滑雪大跳台”和“钢架雪车”运动项目的概率．【答案】(1)；(2)．【分析】（1）由概率公式解答；（2）用列表法表示所有等可能的结果，再计算两次抽取的卡片图案上是“单板滑雪大跳台”和“钢架雪车”运动项目的概率．【解析】（1）从中随机抽取一张，抽得的卡片恰好为“花样滑冰”的概率为，故答案为：；（2）用列表法表示所有可能出现的结果如下：ABCDAAABACADABABBBCBDBCACBCCCDCDADBDCDDD共有16种能可能出现的结果情况，其中两次抽取的卡片图案上是“单板滑雪大跳台”和“钢架雪车”运动项目的有2种结果，所以两次抽取的卡片图案上是“单板滑雪大跳台”和“钢架雪车”运动项目的概率为．【点睛】本题考查概率的简单计算，准确用列表法或树状图表示出事件的所有等可能结果是解题关键．题型四几何概率【例4】．某游戏的规则为：选手蒙眼在一张如图所示的正方形黑白格子纸（九个小正方形面积相等）上描一个点，若所描的点落在黑色区域，获得笔记本一个；若落在白色区域，获得钢笔一支．选手获得笔记本的概率为（

）.A． B． C． D．【答案】D【解析】试题分析：因为一共有9个小正方形，其中黑色小正方形有5个，所以选手获得笔记本的概率为，故选D.考点：简单事件的概率.巩固训练：1．分别向如图所示的四个区域投掷一个小球，小球落在阴影部分的概率最小的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】结合图形求出各个阴影部分所占的比例即为小球落在阴影部分的概率，进行比较即可．【解析】解：A、小球落在阴影部分的概率为；B、小球落在阴影部分的概率为；C、小球落在阴影部分的概率为；D、小球落在阴影部分的概率为；小球落在阴影部分的概率最小的是A，故选：A．【点睛】题目主要考查概率的基本计算方法，理解题意，掌握概率的基本计算方法是解题关键．2．如图，若随机向正方形网格内投针，则针尖落在阴影部分的概率为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用割补法求得阴影面积，再根据几何概率计算求值即可；【解析】解：将上边和左边的弓形面积补到下边和右边可得阴影面积为5×5=25，该图形总面积为8×8=64，∴针尖落在阴影部分的概率=，故选：D．【点睛】本题考查了几何概率：事件的概率可以用部分线段的长度（部分区域的面积）和整条线段的长度（整个区域的面积）的比来表示．题型五概率的应用【例5】．在智力竞答节目中，某参赛选手答对最后两题单选题就能利通关，两题均有四个选项，此选手只能排除第1题的一个错误选项，第2题完全不会，他还有两次“求助”机会（使用可去掉一个错误选项），为提高通关概率，他的求助使用策略为（

）A．两次求助都用在第1题 B．两次求助都用在第2题C．在第1第2题各用一次求助 D．两次求助都用在第1题或都用在第2题【答案】D【分析】根据题意，分类讨论，列举或画出树状图列出等可能的情况，根据概率公式求出每一种情况下的概率，即可判断．【解析】解：①若两次求助都用在第1题，假设D选项是第1题的正确选项，选手可以排除的是A选项，使用两次求助时存在三种等可能的情况：第一种：求助排除AB选项，还剩CD两个选项，答对的概率是，第二种：求助排除AC选项，还剩BD两个选项，答对的概率是，第三种：求助排除BC选项，只剩D一个选项，答对的概率是1，因此第一题答对的概率为：，第2题答对的概率为，故此时该选手通关的概率为：；②若在第1第2题各用一次求助，假设D选项是第1题的正确选项，选手可以排除的是A选项，使用一次求助时存在三种等可能的情况：第一种：求助排除A选项，还剩BCD三个选项，答对的概率是，第二种：求助排除B选项，还剩CD两个选项，答对的概率是，第三种：求助排除C选项，还剩BD两个选项，答对的概率是，因此第一题答对的概率为：，第2题使用一次求助后，还剩3个选项，其中只有一个正确选项，因此答对的概率为，故此时该选手通关的概率为：；③两次求助都用在第2题，画树状图如下：上层A、B、C表示第一题剩下的三个选项，下层A、B表示第二题剩下的二个选项，

共有6种等可能的结果，其中该选手通关的可能只有1种，故此时该选手通关的概率为：.∵，∴两次求助都用在第1题或都用在第2题时，该选手通关的概率大，故选：D．【点睛】此题考查的是求概率问题，掌握画树状图的方法、概率公式和分类讨论的数学思想是解决此题的关键．巩固训练：1．2018（第七届）绵阳之春国际车展将于2018年4月18日-22日在绵阳国际会展中心盛大举行．某品牌汽车为了推广宣传，特举行“趣味答题闯关赢大奖”活动，参与者需连续闯过三关方能获得终极大奖．已知闯过第一关的概率为，连续闯过两关的概率为，连续闯过三关的概率为，已经连续闯过两关的参与者获得终极大奖的概率为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】设已经连续闯过两关并获得终极大奖的概率为，由获得终极大奖是在连续闯过两关的基础上再闯过第三关，则存在概率关系：连续闯过两关的概率与过第三关的概率之积等于连续闯过三关的概率，由此等量关系可得方程，解方程即可．【解析】设已经连续闯过两关并获得终极大奖的概率为，由题意得，，解得：．故选：D．【点睛】本题考查了概率的求法，清楚连续闯两关的概率与过第三关的概率之积等于连续闯三关的概率是解答本题的关键．2．养鱼池养了同一品种的鱼，要大概了解养鱼池中的鱼的数量，池塘的主人想出了如下的办法：“他打捞出80尾鱼，做了标记后又放回了池塘，过了三天，他又捞了一网，发现捞起的90尾鱼中，带标记的有6尾．”你认为池塘主的做法（

）A．有道理，池中大概有1200尾鱼 B．无道理C．有道理，池中大概有7200尾鱼 D．有道理，池中大概有1280尾鱼【答案】A【分析】设池中大概有鱼x尾，然后根据题意可列方程，进而问题可求解．【解析】解：设池中大概有鱼x尾，由题意得：，解得：，经检验：是原方程的解；∴池塘主的做法有道理，池中大概有1200尾鱼；故选A．【点睛】本题主要考查分式方程的应用及概率，熟练掌握分式方程的应用及概率是解题的关键．题型六频率与概率的关系【例6】．下列说法中，正确的是（

）A．随机事件的发生具有偶然性，即使反复试验也没有规律可循B．随机事件的发生具有规律性，第一次试验往往代表最后结果C．试验的次数越少，频率的分布越集中，逐渐稳定在一个数附近D．试验的次数越多，频率的分布越集中，逐渐稳定在一个数附近【答案】D【分析】根据随机事件和利用频率估计概率分别对每一项进行分析，即可得出答案．【解析】A、随机事件的发生具有偶然性，但反复试验也有规律可循，故本选项错误；B、随机事件的发生具有规律性，第一次试验不一定代表最后结果，故本选项错误；C、试验的次数越少，频率的分布越不集中，不一定稳定在一个数附近，故本选项错误；D、试验的次数越多，频率的分布越集中，逐渐稳定在一个数附近，故本选项正确；故选：D．【点睛】此题考查了随机事件和利用频率估计概率，熟练掌握在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近．巩固训练：1．投掷一枚质地均匀的硬币次，正面向上次，下列表达正确的是（）A．的值一定是 B．的值一定不是C．越大，的值越接近 D．随着的增加，的值会在附近摆动，呈现出一定的稳定性【答案】D【分析】根据频率与概率的关系以及随机事件的定义判断即可．【解析】解：投掷一枚质地均匀的硬币正面向上的概率是，而投掷一枚质地均匀的硬币正面向上是随机事件，是它的频率，随着的增加，的值会在附近摆动，呈现出一定的稳定性；故选：．【点睛】本题考查对随机事件的理解以及频率与概率的联系与区别．解题的关键是理解随机事件是有可能发生的事件．2．从一定高度抛一个瓶盖1000次，落地后盖面朝下的有550次，则下列说法错误的是（

）A．盖面朝下的频数为550 B．该试验总次数是1000C．盖面朝下的频率为0.55 D．盖面朝下的概率为0.5【答案】D【分析】根据频数、频率及用频率估计概率解答即可．【解析】解：A、盖面朝下的频数是550，此选项正确；B、该试验总次数是1000，此选项正确；C、盖面朝下的频率是，此选项正确；D、1000次试验的盖面朝下的频率为0.55，则盖面朝下概率约为0.55，此选项错误；故选：D．【点睛】本题考查了利用频率估计概率的知识，解答此题关键是用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．3．掷一枚质地均匀的硬币m次，正面向上n次，则的值（

）A．一定是 B．随着m的增大，在附近摆动，呈现一定的稳定性C．一定不是 D．随着m的增大，越来越接近【答案】B【分析】利用频率估计概率求解即可．【解析】解：掷一枚质地均匀的硬币m次，正面向上n次，则的值随着m的增大，在附近摆动，呈现一定的稳定性，故选：B．【点睛】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率.4．在做抛硬币试验时，抛掷n次，若正面向上的次数为m次，则记正面向上的频率．下列说法正确的是（）A．P一定等于 B．P一定不等于C．多抛一次，P更接近 D．随着抛掷次数的逐渐增加，P稳定在附近【答案】D【分析】根据频率与概率的关系作答．【解析】解：硬币只有正反两面，投掷时正面朝上的概率为根据频率与概率的关系可知投掷次数逐渐增加，稳定在附近故选：D【点睛】本题考查了利用频率估计概率.大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是事件的概率．题型七用频率估计概率【例7】．在一个不透明的盒子中装有红球、白球、黑球共40个，这些球除颜色外无其他差别，在看不见球的条件下，随机从盒子中摸出一个球记录颜色后放回．经过多次试验，发现摸到红球的频率稳定在30%左右，则盒子中红球的个数约为（

）A．12 B．15 C．18 D．23【答案】A【分析】由题意可设盒子中红球的个数x，则盒子中球的总个数x，摸到红球的频率稳定在30%左右，根据频率与概率的关系可得出摸到红球的概率为30%，再根据概率的计算公式计算即可．【解析】解：设盒子中红球的个数x，根据题意，得：解得x=12，所以盒子中红球的个数是12，故选：A．【点睛】本题主要考查了利用频率估计概率以及概率求法的运用，利用概率的求法估计总体个数，利用如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P(A)=；频率与概率的关系生：一般地，在大量的重复试验中，随着试验次数的增加，事件A发生的频率会稳定于某个常数p，我们称事件A发生的概率为p．巩固训练：1．甲、乙两名同学在一次用频率去估计概率的实验中，统计了某一结果出现的频率绘出的统计图如图所示，则符合这一结果的实验可能是（

）A．掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率B．抛一枚硬币，出现正面的概率C．任意写一个整数，它能被3整除的概率D．从一个装有2个白球和1个红球的袋子中任取一球，取到白球的概率【答案】C【分析】根据统计图可知，试验结果在0.33附近波动，即其概率，计算四个选项的概率，约为0.33者即为正确答案．【解析】解：A、掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率为，故此选项不符合题意；B、掷一枚硬币，出现正面朝上的概率为，故此选项不符合题意；C、任意写一个整数，它能被3整除的概率为，故此选项符合题意；D、从一个装有2个白球和1个红球的袋子中任取一球，取到白球的概率为，故此选项不符合题意．故选：C．【点睛】本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率所求情况数与总情况数之比．同时此题在解答中要用到概率公式．2．如图是用计算机模拟抛掷一枚啤酒瓶盖试验的结果，下面有四个推断，其中最合理的（）A．当投掷次数是时，计算机记录“凸面向上”的频率是，所以“凸面向上”的概率是B．若再次用计算机模拟此实验，则当投掷次数为时，“凸面向上”的频率一定是C．随着试验次数的增加，“凸面向上”的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“凸面向上”的概率是D．当投掷次数是次以上时，“凸面向上”的频率一定是．【答案】C【分析】根据图形和各个小题的说法可以判断是否正确，从而可以解答本题．【解析】解：A、当投掷次数是时，计算机记录“凸面向上”的频率是，所以“凸面向上”的频率是，概率不一定是，故A选项不符合题意；B、若再次用计算机模拟此实验，则当投掷次数为时，“凸面向上”的频率不一定是，故B选项不符合题意；C、随着试验次数的增加，“凸面向上”的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“凸面向上”的概率是，故C选项符合题意；D、当投掷次数是次以上时，“凸面向上”的频率不一定是，故D选项不符合题意．故选：C．【点睛】本题主要考查了利用频率估计概率，解答本题的关键是明确概率的定义，利用数形结合的思想解答．3．某水果超市为了吸引顾客来店购物，设立了一个可以自由转动的转盘，开展有奖购物活动．顾客购买商品满元就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在“一袋苹果”的区域就可以获“一袋苹果”的奖品；指针落在“一盒樱桃”的区域就可以获得“一盒樱桃”的奖品．下表是该活动的一组统计数据：转动转盘的次数落在“一袋苹果”区域的次数落在“一袋苹果”区域的频率下列说法不正确的是（

）A．当很大时，估计指针落在“一袋苹果”区域的频率大约是B．转动转盘次，一定有次获得“一盒樱桃”C．如果转动转盘次，指针落在“一盒樱桃”区域的次数大约有次D．假如你去转动转盘一次，获得“一袋苹果”的概率大约是【答案】B【分析】根据图表可求得指针落在“一袋苹果”区域的概率，另外概率是多次实验的结果，因此不能说转动转盘10次，一定有3次获得“一盒樱桃”．【解析】解：A、频率稳定在0.7左右，故用频率估计概率，指针落在“一袋苹果”区域的频率大约是0.70，故A选项不符合题意；B、随机事件，结果不确定，故B选项符合题意；C、指针落在“一盒樱桃”区域的概率为0.30，转动转盘2000次，指针落在“一盒樱桃”区域的次数大约有2000×0.3=600次，故C选项不符合题意；D、转动转盘一次，获得“一袋苹果”的概率大约是0.70，故D选项不符合题意；故选：B．【点睛】本题要理解用面积法求概率的方法，注意概率是多次实验得到的一个相对稳定的值．4．2022年3月12日是我国第44个植树节，某林业部门为了考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，在同等条件下，对这种幼树进行大量移植，并统计成活情况，下表是这种幼树移植过程中的一组统计数据：幼树移植数（棵）100100050008000100001500020000幼树移植成活数（棵）________8934485722489831344318044幼树移植成活的频率0.8700.8930.897________0.8980.8960.902(1)请你帮助计算并填写好表格中所缺数据，估计该种幼树在此条件下移植成活的概率是________；（结果精确到0.1）(2)若某林业部门今年在该地区共移植这种幼树10万棵，则该地区成活约________棵这种幼树．【答案】(1)87，0.903，0.9(2)9万【分析】（1）大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率；（2）用（1）中的概率乘以总数即可．【解析】（1）解：，，幼树移植数20000棵时，成活的频率为0.902，估计幼树移植成活的概率为0.902，精确到0.1，即为0.9．故答案为：87，0.903，0.9．（2）由（1）可知，这批幼树的成活率约为0.9，（棵）．故答案为：9万．【点睛】本题考查了用大量试验得到的频率来估计事件的概率，大量反复试验下频率稳定值即为概率．5．在一个不透明的口袋里装有若干个相同的红球，为了估计袋中红球的数量，七年级（2）班学生在数学实验室分组做摸球试验：每组先将10个与红球大小、形状完全相同的白球装入袋中，搅匀后从中随机摸出一个球并记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下面是全班各小组的汇总数据统计表：摸球次数15030060090012001500摸到白球的频数63123247365484603摸到白球的频率(1)表中的________；(2)请估计当摸球次数s很大时，摸到白球的频率将会接近________（精确到）(3)试估算摸到红球的概率是________（精确到）(4)试估算这个不透明的口袋中红球的个数．【答案】(1)(2)(3)(4)这个不透明的口袋中红球有15个【分析】（1）根据题目表中的数据，直接计算摸到白球的频率即可得到答案；（2）从表中的统计数据可知，摸到白球的频率稳定在左右；（3）先利用频率估计概率可得摸到白球的概率，再利用1减去摸到白球的概率即可得；（4）根据红球的概率公式得到相应方程求解即可．【解析】（1）解：由表中数据可知摸到白球的频率；故答案为：；（2）解：由表格中计算的频率过程可知，当摸球次数s很大时，摸到白球的频率将会接近；故答案为：；（3）解：由题意得：摸到白球的概率为，则摸到红球的概率是，故答案为：；（4）解：设红球的个数为x，根据题意，得：，解得：，经检验是原方程的解，答：这个不透明的口袋中红球有15个．【点睛】本题考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比，组成整体的几部分的概率之和为1．题型八概率在统计中的应用【例8】．为了解国家“双减”政策的落实情况，我市某校随机调查了部分学生在家完成作业的时间，按时间长短划分为，，，四个等级，并将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．根据图中所给信息解答下列问题：

(1)扇形统计图中________，________；(2)求等级所对应的扇形圆心角的度数，并将条形统计图补充完整；(3)为更好地落实国家“双减”政策，从等级的甲、乙、丙、丁4名学生中，随机抽取2名学生参加“双减”座谈，请用列表法或画树状图法求恰好抽到甲和丙两人的概率．【答案】(1)10；5(2)，图见解析(3)【分析】（1）由C等级的人数及其所占百分比可得总人数，分别用A、D等级人数除以总人数即可求解；（2）总人数减去A、C、D等级的人数求得B等级的人数，据此补全图形，用B等级的人数除以总人数求出B等级人数所占百分比，最后用乘以B等级人数所占百分比即可；（3）画树状图列出所有等可能结果，再利用概率公式计算可得．【解析】（1）解：本次调查的总人数为（人）．等级所占的百分比为，等级所占的百分比为，故答案为：10；5；（2）等级的人数为，∴等级所对应的扇形圆心角的度数为，条形统计图如图所示：

（3）画树状图为：

共有12种结果，每种结果出现的可能性相同，其中恰好抽到甲和丙两人的结果有2种，∴（抽到甲和丙两人），∴恰好抽到甲和丙两人的概率为．【点睛】本题主要考查条形统计图以及列表法与树状图法．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据，熟知各项目数据个数之和等于总数．当有两个元素时，可用树形图列举，也可以列表列举．巩固训练：1．某校为了解学生平均每天阅读时长情况，随机抽取了部分学生进行抽样调查，将调查结果整理后绘制了以下不完整的统计图表（如下图所示）．学生平均每天阅读时长情况统计表平均每天阅读时长x/min人数学生平均每天阅读时长情况扇形统计图

根据以上提供的信息，解答下列问题：(1)本次调查共抽取了______名学生，统计表中______．(2)求扇形统计图中学生平均每天阅读时长为“”所对应的圆心角度数．(3)若全校共有名学生，请估计平均每天阅读时长为“”的学生人数，(4)该校某同学从《朝花夕拾》《红岩》《骆驼祥子》《西游记》四本书中选择两本进行阅读，这四本书分别用相同的卡片，，，标记，先随机抽取一张卡片后不放回，再随机抽取一张卡片，请用列表法或画树状图法，求该同学恰好抽到《朝花夕拾》和《西游记》的概率．【答案】(1)100，30(2)(3)名(4)【分析】（1）将组的人数除以其百分比即可求出抽取的人数；将抽取的人数乘以组的百分比即可求出的值；（2）将组的人数除以抽取的人数，再乘以即可求出扇形统计图中学生平均每天阅读时长为“”所对应的圆心角度数；（3）将组的人数除以抽取的人数，再乘以即可估计平均每天阅读时长为“”的学生人数；（4）用列表法或画树状图法列举出所有等可能的结果，从中找出恰好抽到《朝花夕拾》和《西游记》的结果，再利用等可能事件的概率公式求出即可．【解析】（1）解：∵组的人数为，占比为，且，∴本次调查共抽取了名学生；∵组占比，，∴，故答案为：，．（2）解：∵样本中平均每天阅读时长为“”有名，且，∴扇形统计图中学生平均每天阅读时长为“”所对应的圆心角度数为．（3）解：∵样本中平均每天阅读时长为“”的学生人数为人，且（名），∴估计平均每天阅读时长为“”的学生人数为名．（4）解：《朝花夕拾》《红岩》《骆驼祥子》《西游记》这四本书分别用相同的卡片，，，标记，画树状图如下：

一共有种等可能的情况，其中恰好抽到《朝花夕拾》即和《西游记》即有种可能的情况，∴．【点睛】本题考查扇形统计图，用样本估计总体，用列表法和画树状图法求等可能事件的概率，能从统计图表中获取有用信息，掌握用列表法和画树状图法求等可能事件的概率的方法是解题的关键．2．自从2021年7月国家出台“双减”政策以来，全国各地纷纷响应落实该政策．某学校在课后托管时间里开展了“音乐、体育、演讲、美术”四项社团活动，学校从全校1200名学生中随机抽取了部分学生进行“你最喜欢哪一种社团活动”的问卷调查每人必选且只选一种，并根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图，根据图中信息，解答下列问题：(1)参加调查的学生共有______人；条形统计图中m的值为______；扇形统计图中的度数为______；(2)根据调查结果，请估计该校1200名学生中最喜欢“音乐”社团的约有多少人；(3)现从“演讲”社团里表现优秀的甲、乙、丙、丁四名同学中随机选取两名参加演讲比赛，请求出恰好选中甲和乙两名同学的概率．【答案】(1)60，11，(2)(3)【分析】（1）利用即可求出参加问卷调查的学生人数．根据，即可得出答案；（2）用该校总人数乘以样本中最喜欢“音乐”社团的占比即可．（3）画树状图列出所有等可能的结果，再找出恰好选中甲、乙两名同学的结果，利用概率公式可得出答案．【解析】（1）人，，，故答案为：60，11，；（2）（人），参加调查的学生共有60人；条形统计图中m的值为11；扇形统计图中的度数为；根据调查结果，可估计该校1200名学生中最喜欢“音乐”社团的约有200人；故答案为：（3）画树状图如图：共有12种等可能的结果，其中恰好选中甲、乙两名同学的结果有2种，恰好选中甲、乙两名同学的概率为.【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体、列表法与树状图法，熟练掌握条形统计图与扇形统计图、用样本估计总体以及列表法与树状图法求概率是解答本题的关键．3．为培养学生热爱美，发现美的艺术素养，我校开展了艺术选修课．学生根据自己的喜好选择一门艺术项目：A书画，B摄影，C泥塑，D纸艺．张老师随机对该校部分学生的选课情况进行调查后，制成了如图所示的两幅不完整的统计图．

根据统计图表提供的信息，解答下列问题：(1)张老师调查的学生人数是_____，其中选择“泥塑”选修课在的扇形统计图中圆心角的度数为_____；(2)若该校学生共有900人，请估计全校选修“摄影”的学生人数；(3)现有4名学生，其中2人选修书画，1人选修摄影，1人选修泥塑，张老师要从这4人中任选2人了解情况，请用树状图或列表的方法，求所选2人都是选修书画的概率．【答案】(1)72，(2)200人(3)【分析】（1）根据喜欢B，C，D的人数及所占比例即可求出调查的学生总数，选择“泥塑”的人数与总人数之比乘以360度即为对应的圆心角的度数；（2）该校学生总数乘以选修“摄影”的学生人数所占比例即可求解；（3）画树状图，共有12种等可能的结果，找出符合条件的结果数，再由概率公式计算即可．【解析】（1）解：张老师调查的学生人数为：（人），选择“泥塑”选修课在的扇形统计图中圆心角的度数为：，故答案为：72，；（2）解：（人），答：估计全校选修“摄影”的学生人数为200人；（3）解：把选修书画的2人记为A，B，选修摄影的1人记为C，选修泥塑的1人记为D，画树状图如下：

共有12种等可能的结果，其中所选2人都是选修书画的结果有2种，因此所选2人都是选修书画的概率为．【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图、利用样本估计总体、列表或画树状图法求概率等，解题的关键是将条形统计图与扇形统计图中的信息进行关联．4．春节期间，根据国乒故事改编的《中国乒乓之绝地反击》展现了面对困境，中国男乒如何走出低谷的励志故事．在此精神的鼓舞下，某中学准备组织一场乒乓球友谊赛．为了了解本校学生对乒乓球技巧的掌握情况，中国乒乓先从七年级和八年级学生中各随机抽取10人进行测试，满分100分，成绩分析过程如下：Ⅰ收集数据：测试成绩如下：七年级：84、65、80、100、80、95、73、78、80、80八年级：85、100、75、60、85、100、95、60、85、70Ⅱ整理、描述数据：七年级12a2八年级223b分析数据平均数中位数众数七年级81.5c80八年级81.585d根据以上信息，回答下列问题：(1)______；______；______；______；(2)请对七、八年级各抽取的10名同学的竞赛成绩作出评价（“众数”“中位数”或“平均数”中的一个方面评价即可）．(3)从以上20名学生中选出成绩最好的5人，随机抽取2名学生作展示，请用列表或画树状图的方法