2023-2024学年九年级数学上册单元速记·巧练（北师大版）第2章 一元二次方程 单元复习提升（易错与拓展）（原卷版）

第2章一元二次方程单元复习提升（易错与拓展）易错点01一元二次方程的概念【指点迷津】注意a≠0；化简到一元二次方程的一般式再做判断与解题．典例1．下列方程是一元二次方程的是（

）A． B．C． D．跟踪训练1．若关于x的方程是一元二次方程，则m的值是（）A． B． C． D．易错点02忽视因式分解法解一元二次方程时等式右边要为0.【指点迷津】因式分解法解一元二次方程时等式右边要为0.典例2．解下列方程：(1)(2)跟踪训练1．一元二次方程的根是（

）A． B．C．， D．，跟踪训练2．解方程：(1)；(2)．易错点03根据根的判别式求参数时忽视a≠0【指点迷津】解一元二次方程及其相关应用时，不要忽视一元二次方程本身成立的条件，或者一些隐含条件.典例3．若关于x的一元二次方程有实数根，则实数k的取值范围是（

）A． B． C．且 D．且跟踪训练1．已知关于x的一元二次方程有实数根，求a的取值范围．跟踪训练2．已知关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是．易错点04忽视因式分解法在一元二次方程实际应用中的巧妙解法.【指点迷津】因式分解在解题时往往可以加快解题速度，节约考试时间.典例4．一个两位数是一个一位数的平方，把这个一位数放在这个两位数的左边所成的三位数，比把这个一位数放在这个两位数的右边所成的三位数大，求这个两位数．跟踪训练1．某商场销售一批衬衫，进货价为每件元，按每件元出售，一个月内可售出件．已知这种衬衫每件涨价元，其销售量要减少件．为了减少库存量，且在月内赚取元的利润，售价应定为每件多少元？跟踪训练2．如图，一农户要建一个矩形鸡舍，为了节省材料鸡舍的一边利用长为a米的墙，另外三边用长为27米的建筑材料围成，为方便进出，在垂直墙的一边留下一个宽1米的门．设米时，鸡舍面积为S平方米．(1)求S关于x的函数表达式及x的取值范围．(2)在（1）的条件下，当为多少时，鸡舍的面积为90平方米？(3)若住房墙的长度足够长，问鸡舍面积能否达到100平方米？拓展01根的判别式与根与系数的关系的综合应用典例1．对于一元二次方程，下列说法：①若a＋b＋c＝0，则方程必有一根为x＝1；②若方程有两个不相等的实根，则方程无实根；③若方程两根为，且满足，则方程，必有实根，；④若是一元二次方程的根，则其中正确的（

）A．①② B．①④ C．②③④ D．①③④跟踪训练1．下列给出的四个命题，真命题的有（

）个①若方程两根为-1和2，则；②若，则；③若，则方程一定无解；④若方程的两个实根中有且只有一个根为0，那么，．A．4个 B．3个 C．2个 D．1个拓展02根与系数的关系难点分析典例2．如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于“倍根方程”的说法，正确的有（填序号）．①方程是“倍根方程”；②若是“倍根方程”，则；③若满足，则关于x的方程是“倍根方程”；④若方程是“倍根方程”，则必有．跟踪训练1．韦达是法国杰出的数学家，其贡献之一是发现了多项式方程根与系数的关系，如一元二次方程的两实数根分别为，则方程可写成，即，容易发现根与系数的关系：．设一元三次方程三个非零实数根分别，现给出以下结论：①，②；③；④，其中正确的是（写出所有正确结论的序号）．拓展03一元二次方程的综合应用典例3．如图1，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点B的坐标是，连接．若动点从点出发沿着线段以个单位每秒的速度向终点运动，设运动时间为秒．(1)求线段的长．(2)连接，当为等腰三角形时，过点作线段的垂线与直线交于点，求点的坐标；(3)已知点为的中点，连接，点关于直线的对称点记为(如图2)，在整个运动过程中，若点恰好落在内部(不含边界)，请直接写出的取值范围．跟踪训练1．探索发现如图（1），在正方形中，为边上不与重合的点，过点三点分别作的垂线，垂足分别为．

（1）求证：；（2）求证：．迁移拓展如图（2），在正方形中，为直线上一点，过点作的垂线，垂足为，若，直接写出的长．一、单选题1．下列是一元二次方程的是（

）A． B．C． D．2．关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值为（

）A．1 B．1或 C． D．0.53．解方程）最适当的方法是（）A．直接开方法 B．配方法 C．公式法 D．分解因式法4．下列方程中，有两个不相等的实数根的是（）A． B． C． D．5．用配方法解一元二次方程，下面配方正确的是（

）A． B． C． D．6．方程的解为，，若方程，它的解是（

）．A． B． C． D．7．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（）A．且 B． C． D．且8．新能源汽车节能、环保，越来越受消费者喜爱，各种品牌相继投放市场，我国新能源汽车近几年销量全球第一，2020年销量为50.7万辆，销量逐年增加，到2022年销量为125.6万辆．设年平均增长率为，可列方程为（）A． B．C． D．9．已知，是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，且满足，则的值是（

）A．﹣3或1 B．3或﹣1 C．3 D．110．对于一元二次方程，下列说法：①若，则；②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；③若是方程的一个根，则一定有成立；④若是一元二次方程的根，则其中正确的：（

）A．只有① B．只有①② C．①②③ D．只有①②④二、填空题11．的二次项系数是、常数项是．12．关于x的方程是一元二次方程，则m＝．13．已知x2－6x+8＝0的两个根分别是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的面积是．14．已知x2＝2x+15，则代数式=．15．要组织一次篮球联赛，赛制为单循环比赛（每两队之间都赛一场），计划安排15场比赛，应邀请多少个队参加比赛？设应邀参加比赛的球队有x个，则可以列方程为．16．已知关于的方程的解都是整数，则整数的值为．17．已知：关于x的方程a(x+k)+2022=0的解是x1=-2，x2=1(a、k均为常数，a≠0)．（1）关于x的方程a(x+k+2)+2022=0的根是；（2）关于x的方程a(x+3k)+2022=0的根为．18．已知一元二次方程和它的两个实数根为，下列说法：①若a，c异号，则方程一定有实数根；②若，则方程一定有两异实根；③若，则方程一定有两实数根；④若，由根与系数的关系可得其中正确的结论是：（填序号）．三、解答题19．用适当的方法解一元二次方程（1）；（2）；（3）；（4）．20．已知关于的方程.（1）当为何值时，方程只有一个实数根？（2）当为何值时，方程有两个相等的实数根？（3）当为何值时，方程有两个不相等的实数根？21．已知关于x的一元二次方程．(1)求证：不论k为何值，这个方程都有两个实数根；(2)若此方程的两根均整数，求整数k的值，22．已知：关于x的方程，有两个不相等的实数根，(1)求实数m的取值范围，(2)若方程的两个实数根满足，求出符合条件的m的值．23．如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12米的住房墙，另外三边用25米长的建筑材料围成的，为了方便进出，在垂直于住房墙的一边留一扇1米宽的门．当所围矩形与墙垂直的一边长为多少时，猪舍面积为80平方米？24．阅读材料题：我们知道，所以代数式a2的最小值为0，学习了多项式乘法中的完全平方公式，可以逆用公式，即用来求一些多项式的最小值．例如：求的最小值问题．解：∵，又∵，∴∴的最小值为﹣6．请应用上述思想方法，解决下列问题：(1)探究：；(2)代数式有最（填“大”或“小”）值为；(3)如图，长方形花圃一面靠墙（墙足够长），另外三面所围成的棚栏的总长是20m，棚栏如何围能使花圃面积最大？最大面积是多少？25．当m，n为实数，且满足时，就称点为“状元点”．已知点A（0，7）和点M都在直线上，点B，C是“状元点”，且B在直线AM上．(1)求b的值及判断点F（2，6）是否为“状元点”；(2)请求出点B的坐标；(3)若，求点C的横坐标的取值范围．26．对于任意一个三位数k，如果k满足各个数位上的数字都不为零，且十位上的数字的平方等于百位上的数字与个位上的数字之积的4倍，那么称这个数为“喜鹊数”．例如：k＝169，因为62＝4×1×9，所以169是“喜鹊数”．(1)已知一个“喜鹊数”k＝100a+10b+c（1≤a、b、c≤9，其中a，b，c为正整数