2023-2024学年九年级数学上册单元速记·巧练（北师大版）第1章 特殊平行四边形 单元复习提升（易错与拓展）（原卷版）

第1章特殊平行四边形单元复习提升（易错与拓展）易错点01特殊平行四边形的判定与性质【指点迷津】理解性记忆每种特殊平行四边形的判定与性质；活学活用理解平行四边形的判定与性质；构建框图理解菱形、矩形、正方形的相同与区别．典例1．菱形具有而矩形不一定有的性质是（

）A．对角相等 B．邻角互补 C．对角线互相平分 D．四条边都相等跟踪训练1．下列命题中正确的是（

）A．对角线相等的四边形是矩形．B．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形C．对角线互相垂直的四边形是菱形D．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形跟踪训练2．▱ABCD添加下列条件后，仍不能使它成为矩形的是（

）A．AB⊥BC B．AC=BD C．∠A=∠B D．BC=CD跟踪训练3．顺次连结对角线相等的四边形各边中点所得的四边形必定是（

）A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．等腰梯形易错点02忽视勾股定理在特殊平行四边形中的应用【指点迷津】在特殊平行四边形中寻找或构建直角三角形，利用勾股定理获取解题所需图形中的数量关系与位置关系.典例2．已知矩形两条对角线所成的一个角为，矩形的短边长，则长边长，对角线长．跟踪训练1．如图，在菱形中，对角线，的长分别为6，8，过点A作于点E，则的长为．跟踪训练2．如图，矩形中，，P是边上的动点，于点E，于点F，则的值为：．

跟踪训练3．如图，正方形和正方形中，点N在上，，，D是的中点，那么的长是．易错点03全等三角形、特殊三角形的性质在特殊平行四边形中的应用【指点迷津】在特殊平行四边形中寻找或构建全等三角形、等腰（等边）、直角三角形典例3．如图，四边形是正方形，以为边向外作等边，则°．跟踪训练1．如图，在菱形中，M，N分别在上，且，与交于点O，连接．若，则的度数为度．跟踪训练2．如图，菱形的对角线、相交于点，于点，连接，若，则．

跟踪训练3．如图，为的中位线，点在上，且为直角，若．，则的长为．

跟踪训练4．如图，在中，，，以为斜边作．使，，E、F分别是的中点，连接，则的长为．易错点04动态几何在特殊平行四边形中的应用【指点迷津】注意图形变化前后线段长度、角度的等量关系，以及所隐藏的一些位置关系，常用辅助线的作法等.典例4．如图，四边形是菱形，，点是射线上一动点，把沿直线折叠，其中点D的对应为点，连接，若为等边三角形，则．

跟踪训练1．如图，将矩形沿折叠，使点D部在点B处，点C落在点处，P为折痕上的任意一点，过点P作，，垂足分别为G，H．若，，则（1）；（2）则．跟踪训练2．如图，把矩形纸片放入平面直角坐标系中，使分别落在x轴、y轴上，连接，将纸片沿折叠，使点B落在点D的位置，与y轴交于点E，若，则点E的坐标为．跟踪训练3．如图，矩形的边长为4，将沿对角线翻折得到，与交于点E，再以为折痕，将进行翻折，得到．若两次折叠后，点恰好落在的边上，则的长为．跟踪训练4．在综合实践课上，小明把边长为，的菱形纸片沿着对角线剪开如图1所示，然后固定纸片，把纸片沿的方向平移得到，连，，，如图2所示，在平移过程中：（1）当点平移至中点时，则．（2）若时，则四边形的面积为．易错点05特殊平行四边形的综合应用【指点迷津】综合分析，题目已知可能推导哪些题意所需的结论；题目所求又需要哪些已知.典例5．如图，菱形的对角线、相交于点，过点作且，连接、，连接交于点．

(1)求证：；(2)若菱形的边长为，，求的长．跟踪训练1．如图，将一张矩形纸片沿直线折叠，使点落在点处，点落在点处，直线交于点，交于点．

(1)求证：四边形为菱形；(2)若的面积与的面积比为，，求的长．跟踪训练2．如图1，在正方形中，F是线段上的一点，连接，过点C作，交的延长线于点E，对角线、相交于点O，连接、．

(1)求证：．(2)当点F在线段上移动时（不与端点重合），如图2所示，的度数是否发生变化？请说明理由．(3)请直接写出线段，与之间的数量关系：______．”拓展01特殊平行四边形的综合判断题典例1．如图，正方形中，，点E在边上，且，将沿对折型，延长交于点G，连，下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论有(

)个．

A．2 B．3 C．4 D．5跟踪训练1．如图，在正方形中，，若点在对角线上运动，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接、．点在上，且．给出以下四个结论：

①，②，③线段的最小值是，④面积的最大是16．其中正确的是（

）

A．①②③④ B．①②④ C．①②③ D．①③④跟踪训练2．如图，在一张矩形纸片中，，点E，F分别在边上，将纸片沿直线折叠，点C落在边上的点H处，点D落在点G处，有下列四个结论：①四边形是菱形；②平分；③线段长的取值范围是；④当点H与点A重合时，2，其中，正确的是（

）

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④跟踪训练3．如图（1），点P为菱形对角线上一动点，点E为边上一定点，连接，，．图（2）是点P从点A匀速运动到点C时，的面积y随的长度x变化的关系图象（当点P在上时，令），则菱形的周长为（

）A． B． C．20 D．24跟踪训练4．如图，在菱形纸片中，，E是边的中点，将菱形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在直线上的点G处，折痕为，与交于点H，有如下结论：①；②；③；④，上述结论中，所有正确结论的序号是（

）A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④拓展02特殊平行四边形的材料信息探究题典例2．综合与实践：在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动，现有矩形纸片，，．

(1)操作发现操作一：如图1，将矩形纸片沿对角线折叠，使点B落在点处，将纸片展平再次折叠，使点A与点C重合，折痕为，然后展平得到图2，则以点A，F，C，E为顶点的四边形是什么特殊四边形？并说明理由；(2)实践探究操作二：如图3，在矩形纸片中，点G为的中点，将纸片沿折叠，使点B落在点处，连接．①判断与折痕的位置关系，并说明理由；②求的长．(3)拓展应用将矩形纸片裁剪为，，在图3的情形下，若G为上任意一点，其他条件不变，当点A与点距离最小时，直接写出BG的长．跟踪训练1．阅读材料：在数轴上，表示一个点；在平面直角坐标系中，表示一条直线；以二元一次方程的所有解为坐标的点组成的图形就是一次函数的图象，它也是一条直线．如图1，在平面直角坐标系中，不等式表示一个平面区域，即直线及其左侧的部分；如图2，不等式也表示一个平面区域，即直线及其下方的部分．请根据以上材料回答问题：(1)图3阴影部分（含边界）表示的是___________（填写不等式）表示的平面区域；(2)如图4，请求出表示阴影部分平面区域（含边界）的不等式组；(3)如图5，点A在x轴上，点B的坐标为（0，1），且，点P为内部一点（含边界），过点P分别作，，，垂足分别为C，D，E，若，则所有点P组成的平面区域的面积为___________．一、单选题1．矩形，菱形，正方形都具有的性质是（

）A．对角线相等 B．对角线互相平分C．对角线平分一组对角 D．对角线互相垂直2．如图，在菱形中，对角线，相交于点，若，则的度数为（

）A． B． C． D．3．下列四个命题中，真命题是（

）A．对角线垂直且相等的四边形是菱形B．对角线互相垂直平分的四边形是正方形C．一组邻边相等的平行四边形是正方形D．对角线相等且互相平分的四边形是矩形4．已知矩形的较短边长为6，对角线相交成60°角，则这个矩形的较长边的长是（

）A． B． C．9 D．125．如图，E是矩形的边上一点，，则等于（

）A． B． C． D．6．如图，在正方形中，是上的一点，且，则的度数是（)A． B． C． D．7．如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作于点H，连接，若，，则的长（）A． B． C． D．8．如图所示，在矩形中，，，将矩形沿折叠，点落在点处，与交于点，则重叠部分的面积是(

)A．20 B．16 C．12 D．109．如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成一个四边形，在其中一张纸条转动的过程中，下列结论一定成立的是（）A． B．四边形面积不变C． D．四边形周长不变10．如图，在正方形中，、是射线上的动点，且，射线、分别交、延长线于、，连接，在下列结论中：①；②；③；④若，则，⑤，其中正确的结论有（

）A．个 B．个 C．个 D．个二、填空题11．菱形的对角线之比为3：4，且面积为24，则它的周长为．12．已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB＝BC，②∠ABC＝90°，③AC＝BD，④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，其中错误的是(只填写序号)．13．如图，矩形的对角线相交于点O，，．若，则四边形的周长是．14．如图，在菱形中，对角线相交于点O，，E是线段上一点，且，则的度数是．15．如图，在菱形中，E，F，G分别是，，的中点，且，，则菱形的面积是．16．如图，在正方形ABCD中，AB=3，延长BC到点E，使CE=1，连接DE，动点P从点A出发以每秒1个单位的速度沿向终点A运动，设点P的运动时间为t秒，当△ABP和△DCE全等时，t的值为．17．如图，正方形的边长为，点为边上一点，，点为的中点，过点作直线分别与，相交于点，.若，则长为.18．如图，菱形中，，点E在对角线上，且，点F在延长线上，连接，作．交延长线于点G，，则，延长，交于点H，则的长是．三、解答题19．如图，在菱形中，对角线与相交于点O，过点D作交的延长线于E．(1)求证：；(2)若，，求的周长．20．如图，在平行四边形中，过点D作于点E，点F在边上，，连接．(1)求证：四边形是矩形；(2)若平分，，求四边形的面积．21．如图是由边长为1的小正方形构成的8×7的网格，点A，B均在格点上．(1)在图1中画出以AB为边的菱形ABCD，且点C和点D均在格点上；(2)在图2中画出以AB为对角线的矩形AEBF，且点E和点F均在格点上（画出一个即可）．22．如图，已知点E是正方形ABCD的边CD上一点，点F是CB的延长线上一点，连接AF，且EA⊥AF．(1)求证：DE＝BF；(2)若AH平分∠FAE交线段BC上一点H，连接EH，请判断线段DE、BH、HE三者存在怎样的数量关系？并加以证明．23．如图，，是的两条中位线．我们探究的问题是：这两条中位线和三角形的两条边所围成的四边形的形状与原三角形的边或角有什么关系？建议按下列步骤探索：(1)围成的四边形是否必定是平行四边形？(2)在什么条件下，围成的四边形是菱形？(3)在什么条件下，围成的四边形是矩形？(4)你还能发现其他什么结论吗？24．如图，菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点，过点D作，且，连接，连接交于点.（1）求证：；（2）若菱形ABCD的边长为4，，求的长.25．如图，在正方形中．点为对角线上一点．过点作于点交边，于点，连接，．(1)求证：；(2)若正方形的边长为，当与的面积相等时，求的长．26．如图，点是正方形对角线的延长线上任意一点，以线段为边作一个正方形，线段与、分别相交于点、．(1)求证：；(2)判断与的关系，并说明理由；(3)若，，求的长．27．如图，已知四边形是正方形，，点E为对角线上一动点，连接．过点E作，交射线点F，以为邻边作矩形．连接．(1)连接，求证：．(2)求证：矩形是正方形．(3)探究：的值是否为定值？若是，请求出这个定值，若不是，请说明理由．28．已知正方形的边长为4，E是上一个动点，以点E为直角顶点，在正方形外侧等腰直角三角形，连结、、．（1）与的位置关系是__________．（2）①如图1，当（即点E与点D重合）时，的面积为_________．②如图2，当（即点E为的中点）时，的面积为__