2023-2024学年八年级数学上册单元速记·巧练（沪教版）第十九章 几何证明（6类题型）（60道压轴题专练）（解析版）

第十九章几何证明（6类题型）（60道压轴题专练）压轴题型一几何证明压轴题型1．（2023上·北京丰台·八年级北京市第十二中学校考期中）下列命题正确的是（

）①两个等边三角形一定全等；②两角及其夹边分别相等的两个三角形全等；③有两边和一角分别相等的两个三角形全等；④两条边和其中一条边上的中线分别相等的两个三角形全等．A．①和③ B．②和③ C．①和④ D．②和④【答案】D【分析】根据三角形全等的判定方法逐一判断即可．【详解】①两个等边三角形的边不一定相等，故“两个等边三角形一定全等”是错误的；②根据判定方法“角边角”可得“两角及其夹边分别相等的两个三角形全等”是正确的；③根据判定方法“边角边”可得有两边及它们的夹角分别相等的两个三角形全等，但两边及其中一边的对角分别相等的两个三角形不全等，故“有两边和一角分别相等的两个三角形全等”是错误的；④如图，在和中，，，是边上的中线，是边上的中线，且．

∵是边上的中线，是边上的中线，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，由此可得“两条边和其中一条边上的中线分别相等的两个三角形全等”是正确的．综上所述，正确的命题是：②和④．故选：D【点睛】本题考查三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法，根据所给的条件逐一判定是解题的关键．2．（2023上·黑龙江绥化·七年级校考期中）下列命题：①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②是分数；③已知平面直角坐标系中点到坐标轴的距离相等，则；④任意一个实数都可以进行开立方运算．⑤在平面直角坐标系中，点一定在第二象限．其中真命题有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】根据画平行线的知识可判断①，根据无理数的含义可判断②，根据点到坐标轴的距离的含义可判断③，根据立方根的含义可判断④，根据非负数的性质结合坐标系内点的坐标特点可判断⑤，结合真假命题的含义可得答案．【详解】解：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；故①不符合题意；不是分数，是无理数，故②不符合题意；已知平面直角坐标系中点到坐标轴的距离相等，∴，解得：或，∴或；故③不符合题意；任意一个实数都可以进行开立方运算．真命题，故④符合题意；∵，在平面直角坐标系中，点一定在第二象限．真命题，故⑤符合题意；故选B【点睛】本题考查的是平行线的含义，实数的分类，点到坐标轴的距离的含义，判断点在坐标系内的位置，立方根的含义，掌握以上基础知识是解本题的关键．3．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第一一三中学校校考阶段练习）下列语句中：①是方程；②直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离；③过一点有且只有一条直线平行于已知直线；④同位角相等；⑤两条直线相交，若邻补角相等，则这两条直线互相垂直；⑥过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，其中是真命题的个数有（

）．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】根据方程的定义，点到直线的距离的定义，垂线的性质，平行线的性质，平行公理，逐一进行判断即可．【详解】解：是方程，是真命题；故①符合题意；直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离；原命题为假命题，故②不符合题意；过直线外一点有且只有一条直线平行于已知直线；原命题为假命题，故③不符合题意；两直线平行，同位角相等；原命题为假命题，故④不符合题意；两条直线相交，若邻补角相等，则这两条直线互相垂直，是真命题，故⑤符合题意；同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原命题为假命题，故⑥不符合题意；综上：真命题的个数有2个；故选B【点睛】不题考查判断命题的真假．熟练掌握相关知识点，是解题的关键．4．（2021下·湖北武汉·七年级校考阶段练习）下列命题，其中真命题有(

)①相等的两个角是对顶角；②同旁内角互补；③垂线段最短；④过一点有且只有一条直线与这条直线平行；⑤在同一平面内，a，b，c是直线，且，，则；⑥在同一平面内，a，b，c是直线，且，，则．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】根据正确的命题是真命题，错误的命题是假命题可得答案．【详解】解：①相等的两个角是对顶角，是假命题；②同旁内角互补，是假命题；③垂线段最短，是真命题；④过一点有且只有一条直线与这条直线平行，是假命题；⑤在同一平面内，a，b，c是直线，且，，则，是真命题；⑥在同一平面内，a，b，c是直线，且，，则，是真命题．所以真命题的③⑤⑥，共3个，故选：C．【点睛】本题考查命题真假判定，熟练掌握对顶角概念，垂线段最短性质，平行公理及其推论是解题的关键．5．（2023上·云南昭通·八年级校考阶段练习）下列命题中：①形状相同的两个三角形是全等三角形；②在两个全等三角形中，相等的角是对应角，相等的边是对应边；③全等三角形对应边上的高、中线及对应的角平分线分别相等；④同一平面上，两个全等三角形一定可以沿某条直线翻折．其中真命题的是．【答案】③【分析】利用全等三角形的定义及性质逐项判断即可得到答案．【详解】解：①形状相同、大小相等的两个三角形是全等三角形，故原说法错误，不符合题意；②在两个全等三角形，对应角相等，对应边相等，故原说法错误，不符合题意；③全等三角形对应边上的高、中线及对应的角平分线分别相等，故原说法正确，符合题意；④同一平面上，两个全等三角形不一定可以沿某条直线翻折，故原说法错误，不符合题意；综上所述，真命题的是③，故答案为：③．【点睛】本题考查了判断命题的真假、全等三角形的定义及性质，熟练掌握全等三角形的相关知识点是解此题的关键．6．（2022下·河北石家庄·七年级校考期末）在长度为、、、的四条线段中，任取三条线段，可构成个不同的三角形；如图，有下列三个条件：①；②；③．若从这三个条件中任选两个作为题设，另一个作为结论，组成一个命题，一共能组成个真命题．

【答案】【分析】根据三角形三边的关系得到能组成三角形的个数；根据平行线的性质可判断第一个和第二个命题，再根据三角形内角和定理和平角的定义及平行线的判定可判断第三个命题．【详解】解：∵从长度分别为、、、的四条线段中任取三条，一共有四种情况：①、、，因为，则此三条线段能构成三角形；②、、，因为，则此三条线段不能构成三角形；③、、，因为，则此三条线段不能构成三角形；④、、，因为，则此三条线段能构成三角形；∴能组成不同三角形的有：、、；、、，共两种情况，故答案为：；在条件①；②；③任选两个作为题设，另一个作为结论，组成一个命题，一共能组成三个命题：第一个：如果，，那么；∵，∴，，∵，∴，则该命题是真命题；第二个：如果，，那么；∵，∴，，∵，∴，则该命题是真命题；第三个：如果，，那么；∵，，∴，∵，，∴，∴，∴，则该命题是真命题；∴一共能组成个真命题，故答案为：．【点睛】本题考查三角形的三边关系，命题的定义和真命题的定义，平行线的判定与性质，三角形内角和定理．掌握命题的定义，三角形的三边关系及平行线的判定和性质是解题的关键．7．（2023下·北京西城·七年级校考期中）3月13日，三帆中学迎来了第十二届科技节．各种活动精彩纷呈，同学们积极踊跃地参与其中．小阳、小月、小星、小辰四位同学参加了①纸牌承重、②科技状元榜、③望远镜制作和④纸飞机这四个项目．每人只能参加一个项目且四人参加的项目互不相同，已知小阳参加了科技状元榜、望远镜制作中的一个，小月参加了纸牌承重、科技状元榜中的一个，小星参加了纸牌承重、望远镜制作中的一个，参加科技状元榜的是小阳或小辰中的其中一个．请你依次写出小阳、小月、小星、小辰分别参加的项目名称所对应的数字编号．【答案】②①③④【分析】根据小阳或小辰中的其中一个参加了②，说明小月参加了①为突破口，即可得出结果．【详解】小阳参加了②③，小月参加了①②，小星参加了①③，根据小阳或小辰中的其中一个参加了②，说明小月参加了①，小星参加了③，小阳参加了②，小辰参加了④，故小阳、小月、小星、小辰分别参加的项目名称所对应的数字编号②①③④，故答案为：②①③④．【点睛】本题考查了逻辑推理，解题的关键是根据小阳或小辰中的其中一个参加了②，说明小月参加了①为突破口．8．（2021下·浙江杭州·八年级杭州春蕾中学校考期中）已知关于x的一元二次方程，下列命题中是正确的有（填序号）．①若，则；②若方程两个根为和3，则；③若，则方程一定有两实数数根，并且这两个根互为相反数；④若方程有两个不相等的实数根，则方程必有两个不相等的实数根．【答案】④【分析】①根据，可以得到，然后代入，看最后的结果，再和小题中的结论对比，即可解答本题；②根据根与系数的关系，可以得到a和c的关系，从而可以判断的值是否等于0；③根据和根的判别式，可以判断方程的根的情况；④根据方程有两个不相等的实数根，可以得到根的判别式大于0，然后即可判断方程的根的判别式的正负，从而可以解答本题．【详解】解：①∵，∴，∴，故①错误；②∵方程两根为和3，∴，，∴，，∴，故②错误；③∵，∴，∵题目中a、c的值不确定，故的值不确定，不能判定该方程根的情况，故③错误；④∵方程有两个不相等的实数根，∴，∵方程，∴，故方程必有两个不相等的实数根，故④正确；故答案为：④．【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，命题与定理，解答本题的关键是明确题意，可以判断各个小题中的命题是否成立．9．（2023下·江苏泰州·七年级统考期中）如图，在中，点是上的一点，

(1)给出以下3个条件：①是角平分线，②，③与平行；从中选择两个作为条件，另外一个作为结论．你选择的条件是______，结论是______（填序号）；(2)请证明你的结论．【答案】(1)①②，③(2)见解析【分析】（1）从3个条件中选两个作为条件，一个结论即可解答；（2）根据角平分线的定义、等量代换可得，再根据内错角相等、两直线平行即可解答．【详解】（1）解：可以选①②作为条件，③作为结论．故答案为：①②，③（答案不唯一）．（2）证明：∵是角平分线，∴，∵，∴，∴与平行．【点睛】本题主要考查了平行线的判定、角平分线的定义等知识点，掌握等量代换的方法是解答本题的关键．10．（2023下·江苏镇江·七年级丹阳市第八中学校考期末）观察下列算式：算式①：算式②：算式③：…(1)按照以上三个算式的规律，请写出算式④：____________；(2)上述算式用文字可表述为：“两个连续奇数的平方差能被8整除”．若设两个连续奇数分别为，（n为整数），请证明这个命题成立；(3)命题：“两个连续偶数的平方差能被8整除”是____________命题（填“真”或“假”）：【答案】(1)；(2)证明见解析；(3)假【分析】（1）观察已知算式的规律，即可得到答案；（2）利用平方差公式，得到，即可证明命题；（3）举反例即可证明命题是假命题．【详解】（1）解：由已知算式可知，算式④：，故答案为：；（2）证明：，n为整数，能被8整除，即两个连续奇数的平方差能被8整除；（3）解：，不能被8整除，“两个连续偶数的平方差能被8整除”是假命题，故答案为：假．【点睛】本题主要考查了平方差公式的应用，判断命题真假，熟练掌握是解题关键．压轴题型二线段的垂直平分线压轴题型1．（2023上·福建莆田·八年级莆田二中校考期中）如图，中，，点M，N分别在上，将沿直线翻折，点A的对应点D恰好落在边上（不含端点B，C），下列结论中不正确的是（）

A．直线垂直平分 B．C． D．若M是中点，则【答案】B【分析】根据翻折的性质，可得直线垂直平分，证明A选项正确；证明，即可证明B选项错误，根据A选项可得，即，利用三角形外角性质得到，再根据，进行角度的转换得到，证明C项正确；根据D选项，证明，再根据A选项推出，即可证明．【详解】解：根据将沿直线翻折，点A的对应点D恰好落在边上（不含端点B，C），可得直线垂直平分，故A选项正确；，，，，，，，，故C选项正确；，，与不一定相等，与不一定相等，即与不一定相等，故B选项错误；若M是中点，，，，即，，,，故D选项正确，故选：B．【点睛】本题考查了翻折的性质，垂直平分线的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，直接三角形斜边中线的性质，根据题目中的条件，熟练进行角度的转换，是解题的关键．2．（2023上·江苏泰州·八年级校考阶段练习）如图，中，，点M，N分别在，上，将沿直线翻折，点A的对应点D恰好落在边上（不含端点B，C），下列结论：①直线垂直平分；②；③；④若M是中点，则．其中一定正确的是（

）A．①② B．②③ C．①②④ D．①③④【答案】D【分析】①根据将沿直线翻折，点A的对应点D恰好落在边上（不含端点B，C），证明直线垂直平分，故①正确；②证明与不一定相等，得到与不一定相等，故②错误；③先由①得，直线垂直平分，则，，再根据”等边对等角“证明，，则，再根据是的一个外角，是的一个外角，证明，，进一步证明，根据，得到，则，然后根据，证明，从而得到，故③正确；④先根据是的中点，证明，再由①得，直线垂直平分，则，再证明，最后证明，即，故④正确．【详解】解：①∵将沿直线翻折，点A的对应点D恰好落在边上（不含端点B，C），∴直线垂直平分，故①正确；②∵，∴，∴又∵，∴与不一定相等，∴与不一定相等，∴与不一定相等，故②错误；③由①得，直线垂直平分，∴，，∴，，∴∵是的一个外角，是的一个外角，∴，∴，∴，∴，∴，∴又∵，∴即，又∵(已证)，∴，故③正确；④∵是的中点，∴，∵，∴，∴，，又，∴，∴，∴，故④正确；综上所述，一定正确的有①③④，故选：D．【点睛】本题考查垂直平分线的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，直角三角形斜边中线的性质，解题的关键是能够根据题意的条件，进行恰当的推理论证．3．（2022上·广东广州·九年级广州大学附属中学校考自主招生）如图，中，，，的平分线与的垂直平分线交于点，将沿在上，在上)折叠，点与点恰好重合，则为()

A． B． C． D．【答案】D【分析】连接、，设的垂直平分线交于点，根据角平分线的定义求出，根据等腰三角形两底角相等求出，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，根据等边对等角可得，再求出，然后判断出点是的外心，根据三角形外心的性质可得，再根据等边对等角求出，根据翻折的性质可得，然后根据等边对等角求出，再利用三角形的内角和定理列式计算即可．【详解】解：如图，连接、，设的垂直平分线交于点

，为的平分线，，又，，是的垂直平分线，，，，为的平分线，，，点在的垂直平分线上，又是的垂直平分线，点是的外心，，将沿在上，在上折叠，点与点恰好重合，，，在中，，故选：D．【点睛】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等腰三角形三线合一的性质，等边对等角的性质，以及翻折变换的性质，综合性较强，难度较大，作辅助线，构造出等腰三角形是解题的关键．4．（2023上·北京朝阳·八年级北京市陈经纶中学分校校考阶段练习）如图，中，是的角平分线，延长至，使得，连接．下列判断：；；平分；的面积的面积，一定成立的个数是（

）

A．个 B．个 C．个 D．个【答案】B【分析】利用三角形的角平分线，中线和垂直平分线进行判断即可，【详解】如图，延长交于点，过作于点，∵，，∴，又∵是的平分线，∴垂直平分，∴，故正确；∵，∴，，∴，即，故正确；由题意可知与不一定相等，则不一定成立；∵，垂直平分，∴，∴，故正确；综上正确；故选：．【点睛】此题考查了三角形的有关线段，解题的关键是熟练掌握三角形的中线，角平分线和高．5．（2023上·广东广州·八年级校考期中）如图，中，，于D，平分，且于E，与相交于点F，于H交于G．下列结论：①；②；③；④．其中正确的是．

【答案】①②③【分析】根据等腰直角三角形的判定与性质可得，由此即可判断①正确；利用证出，根据全等三角形的性质可得，由此即可判断②正确；利用证出，根据全等三角形的性质可得，再根据即可判断③正确；连接，先根据等腰三角形的三线合一可得垂直平分，再根据线段垂直平分线的性质可得，然后在中可得，结合即可判断④错误．【详解】解：，，是等腰直角三角形，，结论①正确；，，，，，在和中，，，，，结论②正确；平分，，在和中，，，，由上已证：，，，结论③正确；如图，连接，

在等腰中，，垂直平分，，在中，，，又，，结论④错误；综上，结论正确的是①②③，故答案为：①②③．【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质等知识点，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键．6．（2022上·北京·八年级北京市十一学校校考阶段练习）如图，在中，面积为于点，直线垂直平分交于点，交于点为直线上一动点，则的周长的最小值为．

【答案】13【分析】如图，连接利用三角形的面积公式求出，由垂直平分，推出，推出，由，推出，推出的最小值为8，然后再与相加即可．【详解】解：如图，连接．

，，，，垂直平分，，，，，的最小值为8，的最小值为．故答案为：【点睛】本题主要考查轴对称-最短问题、线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识你，正确作出辅助线、灵活运用相关知识成为解答本题的关键．7．（2023上·八年级课时练习）如图，在中，，，，点P，D分别为，上的动点，则的最小值是．

【答案】4【分析】作点A关于的对称点，过点作于点D，交于点P，连接，此时的值最小，且的长度就是的最小值．可证为等边三角形，即可求解．【详解】解：如图，作点A关于的对称点，过点作于点D，交于点P，连接，此时的值最小，且的长度就是的最小值．

是的垂直平分线，，，，，，为等边三角形．又与均为等边三角形的高，，，的最小值是4．故答案为：4．【点睛】本题考查了线段和最小值的典型问题，线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定及性质，掌握解法是解题的关键．8．（2023上·福建莆田·八年级校考开学考试）如图，在中，，的角平分线和的平分线相交于点，交于点，交的延长线于点，过点作交的延长线于点，交的延长线于点，连接并延长交于点，则下列结论：①；②；③；④；其中正确的有．（填序号）

【答案】①②③④【分析】①利用角平分线的性质以及三角形外角的性质，求解即可；②③延长与交于点，利用全等三角形的判定与性质求解即可；④在上截取，利用垂直平分线的性质以及全等三角形的性质，求解即可．【详解】解：设，，

∵平分，平分，∴，由三角形外角的性质可得：∴①正确；延长与交于点，如下图：∵∴∵平分∴又∵，∴∴∵∴又∵，∴∴∴②正确；同理可得：∴，③正确；在上截取，则是的垂直平分线，如下图：

∴∵∴，又∵∴∵，∴∵∴∴又∵∴又∵∴∴∴④正确故答案为：①②③④【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握相关基础知识，作出辅助线，构造出全等三角形．9．（2023上·云南昆明·八年级昆明八中校考期中）八年级一班数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他们一起活动吧．

【阅读理解】如图1，在中，若，．求边上的中线的取值范围．小聪同学是这样思考的：延长至，使，连接．利用与全等将边转化到，在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围．在这个过程中小聪同学证与全等的判定方法是：__________；中线的取值范围是__________．【阅读感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中．【理解与应用】如图2，在中，，点是的中点，点在边上，点在边上，若．证明：．【问题解决】如图3，在中，点是的中点，，，其中，连接，探索与的关系，并说明理由．【答案】阅读理解：；；理解与应用：证明见解析；问题解决：，，理由见解析【分析】阅读理解：由证明得出，在中，由三角形的三边关系即可得出结论；理解与应用：延长至点，使，连接、，同（1）得：，由全等三角形的性质得出，由线段垂直平分线的性质得出，在中，由三角形的三边关系即可得出结论；问题解决：延长至，使，连接，由（1）得：，由全等三角形的性质得出，，证出，证明得出，，则，延长交于，根据，，可得，即有，则有．【详解】阅读理解：解：延长至E，使，连接，是边上的中线，，在和中，，，，在中，由三角形的三边关系得：，，即，，，；故答案为：；；理解与应用：证明：延长至点，使，连接、，如图2所示：

同上可证：，，，，∴是线段的垂直平分线，，在中，由三角形的三边关系得：，；问题解决：解：，，理由如下：延长至，使，连接，如图3所示：

由（1）得：，，，，，即，，，∵，，∴，在和中，，，，，．延长交于，，，，，，．【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系、线段垂直平分线的性质等知识；本题综合性强，有一定难度，解题的关键是通过作辅助线证明三角形全等．10．（2023上·广东中山·八年级统考期中）如图，的两条高与交于点，，．

(1)求证：；(2)连结，试说明：是的垂直平分线；(3)是射线上一点，且，动点从点出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，同时动点从点出发，沿射线以每秒3个单位长度的速度运动，当点到达点A时，，两点同时停止运动，设运动时间为秒，当与全等时，求的值．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)或4【分析】（1）证明，即可得到；（2）先证明，得到，进而得到点在的垂直平分线上，再根据得到点在的垂直平分线上，即可得到是的垂直平分线；（3）当点在延长线上时，设运动秒，根据得到，，根据得到，进而得到，求得；当点在之间时，设运动秒，根据得到，，根据得到，进而得到，求得，问题得解．【详解】（1）证明：、是高，，在与中，，；（2）证明：，，，，、是高，．在与中，，，，点在的垂直平分线上．，点在的垂直平分线上，是的垂直平分线；（3）解：①如图1，当点在延长线上时，设运动秒，、分别运动到如图位置，．，，当时，．，，，解得．②如图2，当点在之间时，设运动秒，、分别运动到如图位置，．，，当时，．，，，解得．综上所述，或4．【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的判定，熟知相关定理并根据题意灵活应用是解题关键，第（3）问要注意分类讨论．压轴题型三角平分线压轴题型1．（2023上·山东烟台·七年级统考期中）如图，已知是线段上任意一点端点除外，分别以和为边、在的同侧作等边和等边，连结、交于点，连接．以下个结论：①；②；③平分；④．其中结论正确的个数是()A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】此题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质，角平分线的判定定理；由等边三角形的性质得，，，则，即可证明，得，，可判断①正确；可推导出，可判断②正确；作于点，于点，由，且，得，可证明平分，可判断③正确；假设成立，则，可证明，与已知条件不符，可判断④错误，于是得到问题的答案．【详解】解：和都是等边三角形，，，，，在和中，，，，，故①正确；，故②正确；作于点，于点，，，，，点在的平分线上，平分，故③正确；假设成立，则，，，，，显然与已知条件“是线段上任意一点”不符，不成立，故④错误，故选：C．2．（2023上·广西南宁·八年级统考期中）如图，已知，分别以、为边向外作等边和等边，和交于O点，则下列结论：①；②；③平分；④．其中正确的有（

）A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④【答案】D【分析】结合等边三角形和的性质，利用可证，由全等三角形的性质可知①正确；由三角形内角和为度易求的度数，可知②正确；连接，过A分别作与P，于Q，由可知，易知OA平分∠FOE，所以③正确；在上截取，利用可证，由全等三角形对应边相等易得，故④正确．【详解】解：∵和是等边三角形，∴，∴，即，在与中，，∴，∴，故①正确；∵，∴，∴，故②正确；连接，过A分别作与P，于Q，如图1，

∵，∴，∴，∵，∴，∴点在的角平分线上，∴平分，所以③正确；如图2，在上截取，

∵，∴是等边三角形，∴，∴．∵，∴，∴，∴，故④正确．故选D．【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质及全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，三角形的内角和定理，灵活利用易知条件结合图形证明三角形全等是解题的关键．3．（2023上·江苏无锡·八年级无锡市太湖格致中学校考阶段练习）如图，直线，垂足为O，点A是射线上一点，，以为边在右侧作，且满足，若点B是射线上的一个动点（不与点O重合），连结，作的两个外角平分线交于点C，在点B在运动过程中，当线段取最小值时，的度数为（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】作，，，作射线，由角平分线的性质得，可得平分，进而知，，当时，最小，此时点C在处，再由可得答案．【详解】作于点E，作于点G，作于点H，作射线．

∵平分，，，，∴．同理：，∴，∴平分，∴．∵，∴．根据题意可知点C在的平分线上运动，当时，最小，此时点C在处．在中，．所以，当线段最小时，的度数是．故选：D．【点睛】本题主要考查了角平分线的性质定理和逆定理，垂线段最短，角的和差等，构造辅助线是解题的关键．4．（2023上·福建福州·八年级福建省福州第十九中学校考期中）如图，在中，，、分别平分，，且交于点F．则下列说法中①；②；③若，则；④；⑤．哪些是正确的（

）

A．①③④ B．①③⑤ C．①②④⑤ D．①③④⑤【答案】D【分析】由，得，则，可判断①正确；作于点G，于点H，则，因为与不一定相等，与不一定相等，可判断②错误；延长到点K，使，连接，可证明，得，而，所以，则，所以，则，可判断③正确；在上截取，连接，可证明，得，则，再证明，得，则，可判断④正确；由④可得，，由即可推出，可判断⑤正确．【详解】解：∵，∴，∵平分，平分，∴，∴，∴，故①正确；如图1，作于点G，于点H，则，

∵与不一定相等，∴与不一定相等，即：与不一定相等，故②错误；如图1，延长到点K，使，连接，在和中，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，故③正确；如图2，在上截取，连接，∵，∴，在和中，，∴，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴，故④正确；由④可得，，，

∵，∴，即，故⑤正确，正确的结论为①③④⑤，故选：D．【点睛】此题重点考查三角形内角和定理、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．5．（2023上·福建莆田·八年级校考期中）如图，中，，是的角平分线，延长至，使得，连接．下列判断：①；②；③平分；④，一定成立的是．

【答案】①②④【分析】本题考查等腰三角形的判定与性质，垂直平分线的判定与性质，角平分线的性质；延长交于点F，过点D作，先根据条件证明，再结合是的角平分线，可得是的垂直平分线即可证明①；根据可得，即可证明④；根据，是的垂直平分线，可得，即可证明②．【详解】解：延长交于点F，过点D作，如图，

∵，，∴，∵是的角平分线，∴，∴是的垂直平分线，∴，故①正确；∵，∴，∴，∴，故④正确；根据条件无法证明，故③错误；∵，是的垂直平分线，∴，∴，故②正确；故答案为：①②④．6．（2023上·福建福州·八年级统考期中）如图，在中，，，是的角平分线，与交于点，则下面结论正确的是．（写出所有正确结论的序号）①；②；③若是的中点，则是等边三角形；④．【答案】【分析】由三角形内角和定理可得，由角平分线的定义可得，最后由三角形内角和定理可得出，即可判断①；在上截取，连接，证明和，得到边之间的关系，即可判断②；延长到，使，连接，证明得到，即可判断③；作于点，于点，于点，则，结合三角形的面积推出，作于点，于点，则，最后由即可判断④，从而得到答案．【详解】解：，，，是的角平分线，，，，，故①正确，符合题意；如图1，在上截取，连接，在和中，，，，，，，在和中，，，，，故②错误，不符合题意；如图1，延长到，使，连接，是的中点，，在和中，，，，，，，，是等边三角形，故③正确，符合题意；如图2，作于点，于点，于点，则，，，，，，，，如图3，作于点，于点，则，，

，，故④正确，符合题意；综上所述，正确的有①③④，故答案为：①③④．【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点，正确作出所需要的辅助线是解此题的关键．7．（2023上·福建龙岩·八年级校考阶段练习）如图，点、、在同一直线上，在这条直线同侧作等边和等边，连接和，交点为，交于点，交于点，连接，有个结论：

，平分，，，请将所有正确结论的序号填在横线上．【答案】【分析】由等边三角形的性质，得到，，，可证，可得，故正确，过点作于，于，由和等面积法可以求出，故正确；由全等三角形的性质可知，从而可证，即可得，故正确；由可得，再根据三角形的外角性质可得，故正确，即可求解．【详解】∵和均是等边三角形，∴，，，∴，，∴，在与中，，∴，∴，故正确；如图，过点作于，于，

∵，∴，，∴，∴，∵于，于，∴平分，故正确；∵，∴，∵和是等边三角形，∴，，∴，在与中，，∴，∴，故正确；∵，∴，∴，故正确，故答案为：．【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，角平分线的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．8．（2023下·甘肃兰州·七年级校考期末）如图，在和中，，，，，连接，交于点，连接．下列结论：；；平分；点到和的距离相等；其中正确的个数（填序号）【答案】①②④【分析】容易证明，进而可判断①；由可得，利用三角形内角和及三角形外角的性质可求得的度数，从而可判断②；过点作于点，于点，由，可得，，由面积相等可得，即点到和的距离相等，故可判断；由④的证明知，点在的平分线上，由可证，则可判断③，最后可得结论．【详解】解：，，，，，即，在和中，，，，故正确；，，，，，，，故正确；过点作于点，于点，如图，，，，，，即点到和的距离相等，故正确；，，，点在的平分线上，平分，，∵，∴，，不平分，故不正确．综上所述：正确的结论是，共个，故答案为：．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，三角形内角和的定理等知识，熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．9．（2023上·江苏无锡·八年级校考阶段练习）以的、为边作和，且，，与相交于M，．(1)如图1，求证：；(2)在图1中，连接，则，；（都用含α的代数式表示）(3)如图2，若，G、H分别是、的中点，求的度数．【答案】(1)见解析(2)；(3)【分析】（1）根据证明三角形全等即可；（2）连接，过点A作于P，于N，根据全等三角形的性质和对顶角相等求解即可；（3）连接，根据全等三角形的判定和性质求解即可．【详解】（1）证明：∵，∴，即，在和中，，∴；（2）解：∵，∴，∵，，∴，如图3，连接，过点A作于P，于N，

∵，∴，，∴，∴，又∵，，∴平分，∴，∵∴．故答案为：；．（3）解：连接，

由（1）可得：，∴，，∵G、H分别是EC、BD的中点，∴，，∴，在和中，，∴，∴，，∴，∴，∵，∴．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理和对顶角相等，解决本题的关键是掌握全等判定和性质．10．（2023上·福建厦门·八年级校考期中）如图，在中，，点、分别在、上，且满足，延长交于点．

(1)如图1，若，平分；①求的度数；②求证：；(2)如图2，过点作，交的延长线于点，若，，记的面积为，的面积为，则的值为______．（用含、的式子表示）．【答案】(1)①；②见解析(2)【分析】（1）本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理；①根据已知条件得出，根据三角形内角和定理，，根据，即可求解；②过点作,得出，作，交于点，得出，证明，得出，，根据即可得证；（2）过点作，于点，证明，进而证明，根据全等三角形的性质得出，结合已知条件，得出，即可求解．【详解】（1）①证明：∵，∴，∵，，∴，∴，∵平分；∴，∴∴；②如图，

过点作,∴，∵平分，∴，∵，，∴,，∴，作，交于点，∵，∴，∴，在与中∴∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴；（2）如图，过点作，于点，

∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，由，∴，∵，∴，∴，在与中，，∴，∴，∴，∵，∵，∴，记的面积为，的面积为，则．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，全等三角形的性质与判定，角平分线的性质，掌握以上知识是解题的关键．压轴题型四直角三角形全等的判定压轴题型1．（2023上·浙江湖州·八年级校联考期中）如图，，，于点B，于点D，E、F分别是、上的点，且，下列结论中①，②，③平分，④平分，⑤．其中正确的结论是（

）A．④⑤ B．①② C．③⑤ D．①②③【答案】C【分析】由E、F分别是上的任意点，可知与不一定相等，与也不一定全等，可判断①错误，②错误；延长到点G，使，连接，先证明，得，由，可以推导出，则，即可证明，得，因为，所以，可判断③正确，因为，所以，可判断⑤正确；由平分结合，推出与题干互相矛盾，可得④错误．【详解】解：∵E、F分别是上的任意点，∴与不一定相等，故①错误；∵于点于点D，∴，∵，∴的另一个条件是，∵与不一定相等，∴与不一定全等，故②错误；延长到点G，使，连接，则，∴，在和中，，∴，∴∵，∴，∴，在和中，，∴，

∴∴，∴平分，故③⑤正确；若平分，而，∴，与题干信息矛盾，故④错误；故选C【点睛】此题重点考查角平分线的定义，线段的和差运算，角的和差运算，全等三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线并且证明是解题的关键．2．（2023上·福建厦门·八年级厦门市槟榔中学校考期中）如图，为的外角平分线上一点并且在的垂直平分线上，过作于，交的延长线于，则下列结论：；；；．其中正确的结论是（

）A．个 B．个 C．个 D．个【答案】C【详解】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，再利用“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，利用“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，然后求出；根据全等三角形对应角相等可得，利用三角形内角和定理可得；利用三角形的外角性质得到．【分析】解：∵平分，，，∴，∵在的垂直平分线上，∴，在和中，，∴，故正确；∴，在和中，，∴，∴，∴，故正确；∵，∴，∵，∴，，∴，故正确；在中，，故错误；综上，正确，共个．故选：．【点睛】此题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并准确识图判断出全等的三角形是解题的关键．3．（2021上·湖北武汉·八年级校考阶段练习）如图，中，，是边的垂直平分线，交于G，过点F作于点E，平分交于F，连接，．下列结论：①②③④．其中正确的结论是（

）

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④【答案】D【分析】根据线段垂直平分线的性质，得到；过点F作于点H，证明，得到，结合平分，得到，继而，可证明；利用斜边大于直角边，证明；利用等腰三角形的性质，全等三角形的性质，结合三角形内角和定理证明．【详解】∵是边的垂直平分线，∴；故①正确；过点F作于点H，∵平分，，，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，

故③正确；∵，∴，∴，∴，故②正确；∵，，∴，∴，故④正确；故选D．【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，角平分线的性质，直角三角形中，斜边大于任意直角边，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握三角形全等的判定和性质，角的平分线的性质，直角三角形中，斜边大于任意直角边，线段垂直平分线的性质是解题的关键．4．（2023上·安徽芜湖·九年级校考开学考试）如图，已知为的角平分线，且，为延长线上一点，．过点作于点，则下列结论：①可由绕点旋转而得到；②；③；④；正确的个数为（

）

A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】由“”可证，可得可由绕点旋转而得到，故①正确；由全等三角形的性质可得，故②正确；由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求，故③正确；通过证明，可得，由线段的和差关系可求解，故④正确，即可求解．【详解】解：①为的角平分线，，在和中，，，可由绕点旋转而得到，故①正确；②，，，故②正确；③，，，，，，，故③正确；④过作于点，

是上的点，，在和中，，，，在和中，，，，，故④正确．故选：D．【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．5．（2023上·安徽铜陵·八年级统考期中）和中，是边上的高，是边上的高．若，，，则与的关系是．【答案】相等或互补【分析】分三种情况：当和都是锐角时；当和都是钝角时；当为钝角，为锐角时；利用全等三角形的判定与性质，邻补角之间的关系，即可得到答案．【详解】解：当和都是锐角时，如图，

是边上的高，是边上的高，，在和中，，，；当和都是钝角时，如图，

同理可得，，，，；当为钝角，为锐角时，如图，

同理可得：，，，；综上所述，与的关系是相等或互补，故答案为：相等或互补．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、邻补角的关系，熟练掌握全等三角形的判定与性质，采用分类讨论的思想，是解此题的关键．6．（2023上·江苏常州·八年级校考阶段练习）如图，在和中，，，，过A作，垂足为F，交的延长线于点G，连接．四边形的面积为12，，则的长是．

【答案】3【分析】过点作于，证，得，再证，同理，得6，进而得到的长．【详解】解：过点作于，如图所示：在和中，，∴又∵，∴，∴，∵，∴，在和中，∴，同理：，∴，∵，∴，解得：；故答案为：3．

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质以及三角形面积等知识，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，解题时注意：全等三角形的面积相等77．（2023上·湖北武汉·八年级校考阶段练习）如图，已知四边形中，，对角线平分，那么为度．

【答案】59【分析】延长，过点D作，，根据条件证明可得，过点D作，证明，，运用三角形内角和即可求解．【详解】解：延长，过点D作，，如图，

∴，∵对角线平分，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∴平分，过点D作，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查几何问题，涉及到角平分线的性质、全等三角形的判定与性质等，正确作出辅助线是关键．8．（2022上·湖北武汉·八年级武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）校考期中）如图，中，是高，延长至点，使，连接，过点作交的延长线于点，当，时，．

【答案】【分析】根据已知条件得到，利用推出，根据全等三角形的性质得到，，等量代换得到，根据三角形的外角的性质得到，根据已知条件即可得到结论．【详解】解：是高，，，在与中，，，，，，，，，，，，，，．故答案为：．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．9．（2023上·重庆璧山·八年级重庆市璧山中学校校考期中）如图，与中，，，，过A作垂足为F，交的延长线于点G，连接．

(1)求证：平分；(2)若，，求的长．【答案】(1)见详解(2)【分析】（1）先过点作于，判定，得出，再判定，即可得出；（2）先判定，得出，再根据，求得的面积，进而得到的长．【详解】（1）过点作于，∵与中，，∴，∴，又∵，即，∴，又∵，∴，∴，即平分；（2）∵，∴，又∵，∴，∴，∵，∴的面积，∵，∴，解得．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，解题时注意：全等三角形的面积相等．10．（2023上·辽宁鞍山·八年级统考期中）如图，点、在轴正半轴上，点、分别在轴上，平分与轴交于点，．

(1)求证：；(2)如图，点的坐标为，点为上一点，且，求的长．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）由题意，可知，平分与轴交于点，所以可由定理证明，由全等三角形的性质可得；（2）过作于点，可证明、，因此，、，所以，，即可得的长．【详解】（1）证明：∵，，∴．∵平分∴在和中，，∴．∴；（2）解：由（）知，．∴，∴，过作于点，

∵，轴轴，∴，在和中，∴，∴．在和中，，∴，∴；∴．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质．角平分线的定义和性质，综合性较强，难度较大，掌握判定三角形全等的方法，是解（）题的关键；利用三角形的全等得到是解（）题的关键．压轴题型五直角三角形的性质压轴题型1．（2023上·福建厦门·八年级厦门一中校考期中）如下图，点在等边的边上，，射线垂足为点，点是射线上一动点，点是线段上一动点，当的值最小时，，则的长为（

）A．17 B．16 C．13 D．12【答案】C【分析】作点关于直线的对称点，过点作于点，交于点，由轴对称的性质可得，即，由垂线段最短可知，的最小值为，由等边三角形的性质可得，推出，由含角直角三角形的性质可得，推出，计算出即可得解．【详解】解：如图，作点关于直线的对称点，过点作于点，交于点，

，则，，，由垂线段最短可知，的最小值为，为等边三角形，，，，，，，，，，故选：C．【点睛】本题考查了轴对称的性质、垂线段最短、等边三角形的性质、含角直角三角形的性质，作对称，找出的最小值为是解此题的关键．2．（2023上·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中）如图，在中，，，平分交于E，交延长线于D，交的延长线于M，连接，，给出四个结论：①：②；③；④．其中正确的结论有（）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【分析】过E作于Q，作，交于N，过D作于H，根据角平分线性质求出，，根据勾股定理求出，，根据等腰三角形的性质和判定求出，即可求出③；根据三角形外角性质求出，证，推出，即可求出②①；证，得到，即可求出④．【详解】解：过E作于Q，

，平分，由勾股定理得：，，故③正确；作，交于N，故①、②正确；过D作于H，平分，，在和中，由勾股定理得：，故④正确；故选：D．【点睛】本题主要考查了三角形的外角性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质和判定，直角三角形斜边上中线性质，全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形性质等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行推理是解此题的关键．3．（2022上·黑龙江哈尔滨·八年级统考期末）如图，在中，，是边的中线，平分，，下列结论：①与的面积相等；②；③；④一定成立的是（

）

A．①③ B．②③ C．①③④ D．①②④【答案】D【分析】可得，可判断①；可得，，可判断②；可得，可判断③；可得，可判断④；即可求解．【详解】解：，是边的中线，，，故①成立；，，，，，故②成立；在中：，错误，故③不成立；平分，，，，又，，故④成立．故选：D．【点睛】本题考查了三角形的等积判断，余角的性质，直角三角形的特征，三角形外角的性质等，掌握性质是解题的关键．4．（2022上·浙江台州·八年级校考期中）如图所示，，点P是内一定点，并且，点M、N分别是射线上异于点O的动点，当的周长取最小值时，点O到线段的距离为（）

A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】作点关于的对称点，点关于的对称点，连接与、分别交于，则的长即为周长的最小值，连接、，作，利用含30度角直角三角形的性质求解即可．【详解】解：作点关于的对称点，点关于的对称点，连接与、分别交于，则，周长为则的长即为周长的最小值，连接、，作，

由对称定可得：，，∵∴∵，∴，∴∴故选：B．【点睛】此题考查了利用轴对称求最短距离，通过轴对称确定周长最小值的位置是解题的关键．5．（2023上·湖北武汉·八年级统考期中）如图1，在凸四边形中，，．现有以下结论：

①若为中点，连接，过作的垂线交于点，连接，如图2，则有；②当点为凸四边形的一个动点，有最大值时，线段一定过的中点；③当点为凸四边形的一个动点，则的面积为；④．其中正确的结论有．【答案】①②③【分析】作平分，证明和即可判断①；连接，利用三角形三边关系可得，则当、、三点共线时，有最大值，此时过的中点，即可判断②；作交的延长线于，证明得到，根据即可判断③；根据，可得，从而得到当时，，即可判断④，得到答案．【详解】解：如图，作平分，

，，，平分，，，，，，，，在和中，，，，是的中点，，在和中，，，，故①正确，符合题意；如图，连接，假设为的中点，

，，为的中点，，，当、、三点共线时，有最大值，此时过的中点，故②正确，符合题意；如图，作交的延长线于，

，则，，，，，在和中，，，，，故③正确，符合题意；，，当时，，不一定等于，故④错误，不符合题意；综上所述，正确的有①②③，故答案为：①②③．【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定与性质、等腰直角三角形的性质、三角形三边关系的应用、三角形面积公式、三角形内角和定理等知识点，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线，是解此题的关键．6．（2023上·湖北武汉·八年级武汉市武珞路中学校考期中）如图中，，，，若点D在线段上且满足，以为边构造等腰三角形使，则点E到边的距离是【答案】或【分析】由题意可得，，，由题意知，分两种情况求解：①如图1，作关于的对称点，连接，，则，，连接，作于，则的长为点E到边的距离，证明，则，，，根据，计算求解即可；②如图2，作关于的对称点，连接，，则，，连接，作于，则的长为点E到边的距离，同理（1），可证，则，，，根据，计算求解即可．【详解】解：∵，，，，∴，，由题意知，分两种情况求解：①如图1，作关于的对称点，连接，，则，，连接，作于，则的长为点E到边的距离，∴是等腰三角形，且，∵，∴，即，∵，，，∴，∴，，∴，∴；②如图2，作关于的对称点，连接，，则，，连接，作于，则的长为点E到边的距离，同理（1），可证，∴，，∴，∴；综上所述，点E到边的距离为或，故答案为：或．【点睛】本题考查了三角形内角和定理，等腰三角形的判定与性质，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，含的直角三角形．熟练掌握旋转的全等三角形的判定与性质是解题的关键．7．（2023上·福建福州·八年级校考期中）如图所示，在四边形中，，，，，在上找一点P，使的值最小，则的最小值为．【答案】【分析】作关于的对称点，连接、、，可得，当、、三点共线时，最小，即最小，此时过作交的延长线于，过作交于，可求，即可求解．【详解】解：作关于的对称点，连接、、，，，，，如图，

，当、、三点共线时，最小，即最小，此时过作交的延长线于，过作交于，，，，，，四边形是矩形，，，同理可证：四边形是矩形，，，，，，，的最小值为；故答案：．【点睛】本题考查了典型问题：线段和最小，等腰三角形的判定及性质，矩形的判定及性质，直角三角形的特征，掌握典型问题的解法是解题的关键．8．（2023上·福建福州·八年级福建省福州外国语学校校考期中）如图，边长为a的等边中，是上中线且，点D在上，连接，在的右侧作等边，连接，则周长的最小值是．

【答案】【分析】证明，则，，即，则在过点垂直于的直线上运动，如图，作关于的对称点，连接，连接交于，连接，证明等边三角形且与等边长，，由的周长为，可知当三点共线时，的周长最小，为，由，设，则，由勾股定理得，，即，解得，，进而可得周长的最小值．【详解】解：∵等边，，是上中线，∴，，，，∴，即，∵，，，∴，∴，∴，即，∴在过点垂直于的直线上运动，如图，作关于的对称点，连接，连接交于，连接，

由对称的性质可知，，，，∴，∴等边三角形且与等边长，∴，∴的周长为，∴当三点共线时，的周长最小，为，∵，设，则，由勾股定理得，，即，解得，，∴周长的最小值为，故答案为：．【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，含的直角三角形，轴对称的性质．解题的关键在于确定动点的运动轨迹．9．（2023上·北京西城·八年级北京市第十三中学分校校考期中）如图，已知等边，点在边上，，点是点关于直线的对称点，点在上满足，延长交于点．

(1)直接写出和的度数（用含的式子表示）；(2)探究线段、、满足的等量关系，并证明；(3)若，为中点，连接．当最短时，直接写出此时的值．【答案】(1)，(2)，证明见解析(3)1【分析】（1）利用等边三角形的性质可得，结合角的和差运算可得，再利用三角形的外角的性质可得；（2）连接，在上截取，连接．证明，再证明，可得，，可得．再证明，可得，再结合线段的和差可得结论；（3）如图，过作于，连接，，则，证明，，求解，，结合当，重合时，最小，则最小，从而可得答案．【详解】（1）解：∵为等边三角形，∴，而，∴，∵，∴；（2）；证：连接，在上截取，连接．∵点是点关于直线的对称点，∴，．∵，∴，∴，．

∵为等边三角形，∴，．在与中∵，，，∴，∴，，∴．∵，，，∴．又∵，∴∴，∴．（3）如图，过作于，连接，，则，∵为的中点，，∴，∵点是点关于直线的对称点，∴，∵，则，∴，当，重合时，最小，则最小，∴．【点睛】本题考查的是三角形的外角的性质，三角形的内角和定理的应用，轴对称的性质，含的直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键．10．（2023上·云南昆明·八年级昆明市第三中学校考期中）（1）如图1，，平分，，且与、分别交于点、，求证：无论点怎样移动，总有．（2）如图2，其他条件不变，将图1的绕点逆时针旋转使得点落在的反向延长线上时，①求证：是等边三角形．②你能得出线段，，之间的数量关系吗？请写出数量关系并就图2的情形证明你的结论．【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②，见解析【分析】（1）过点作于点，于点，由“”可证，可得；（2）①由“”可证，可得，由等边三角形的判定可得结论；②由含30度角的直角三角形的性质可得，由线段关系可求解．【详解】（1）证明：过点作于点，于点，如下图，∵平分，，，∴，∵，由四边形的内角和等于，∴，又∵，∴，又∵，∴，∴，∴无论点怎样移动，总有；（2）①证明：过点作于，于，如下图，∵平分，，，∴，，∵，又∵，∴，∴，即，又∵，∴，∴，又∵，∴是等边三角形；②，理由如下：∵，平分，∴，∴，∴，∵，∴，∴．【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质等知识，根据角平分线的性质构造全等三角形是解题的关键．压轴题型六勾股定理压轴题型1．（2023上·湖北武汉·九年级武汉市武珞路中学校考期中）如图，平行四边形中，，，，是边上一点，且，是边上的一个动点，将线段绕点顺时针旋转，得到，连接、，则的最小值是（

）

A． B． C．14 D．【答案】D【分析】本题主要考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，三角形的三边关系，勾股定理等，先取的中点G，连接，，由，，得是等边三角形，，再根据得出≌，可得，进而得出，然后根据证明≌，可知，要求最小，就是求最小，即，再作，根据勾股定理求出答案．【详解】取的中点G，连接，．由已知得，，∴是等边三角形，∴．∵，∴．∵，，∴≌，∴，∴．∵，，，∴≌，∴．要求最小，就是求最小，即．作，交延长线于点H，∵，∴．在中，，，∴，，∴．在中，．所以的最小值是．故选：D．

【点睛】本题涉及了旋转的性质、全等三角形的判断和性质、、等边三角形的判断和性质、菱形的性质、线段和的最值等知识点，构造全等三角形转化线段关系，构造“将军饮马”模型是解题的关键．2．（2023上·广东深圳·八年级校考期中）如图，在等腰直角三角形中，，，平分交于点D，以为一条直角边作，其中交于点F，交于点G，线段上有一动点P，于点Q，连接，则下列结论中：①；②为等腰三角形；③；④，⑤的最小值是；正确的个数是（

）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】C【分析】利用的性质证明，可得①符合题意；证明，可得，，再证明，可判断②符合题意；由，，可判断③符合题意；由，可得，可判断④符合题意；如图，过作于，过作于，而，平分，可得，则当，，关系，且时，最短，即最短，即图中的，再求解的长度可判断⑤，从而可得答案.【详解】解：∵，∴，，，∵，∴，∴，∴，即，故①符合题意；∵，∴，∴，∵，平分，∴，，而，∴，∴，，∵，∴，∴，∴是等腰三角形，故②符合题意；∵，，∴，故③符合题意；∵，，，∴，故④符合题意；如图，过作于，过作于，而，平分，∴，∴当，，关系，且时，最短，即最短，即图中的，

∵，，∴，，，∴，∴，∴的最小值为1；故⑤不符合题意；故选C【点睛】本题考查的是等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，角平分线的性质，两点之间线段最短，垂线段最短，作出合适的辅助线是解本题的关键.3．（2023上·江苏徐州·八年级校考期中）如图，在长方形纸片中，为的中点，连接，将沿折叠得到，连接．若，，则的长为（）A．3 B．3.4 C．3.5 D．3.6【答案】D【分析】连接，交于点，根据折叠的性质可得垂直平分；在中，由勾股定理解得，再利用三角形面积，由，解得，易得；再证明，由等腰三角形“等边对等角”的性质可得，，进而可证明为直角三角形，然后由勾股定理计算的长即可．【详解】解：连接，交于点，如下图，由折叠的性质可得，垂直平分，即，，∵，，为的中点，∴，∴在中，，∵，∴，即，解得，∴，∵垂直平分，∴，∴，∴，，∴，∴在中，．故选：D．【点睛】本题主要考查了折叠的性质、垂直平分线的性质、勾股定理以及等腰三角形的判定与性质等知识，证明为直角三角形是解题关键．4．（2022上·湖北武汉·九年级统考期中）如图，在中，，，O为的中点，将绕点O顺时针旋转得到，D、E分别在边和的延长线上，连接，若则的面积是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】连接，根据等腰三角形的性质可得，，，根据旋转的性质可得，由此得是等边三角形，，则，根据勾股定理和三角形面积公式即可求出的面积．【详解】解：连接，

，，O为的中点，，，，∵将绕点O顺时针旋转得到，，是等边三角形，，，，，，是等边三角形，，垂直平分，，，，，．故选：D【点睛】本题主要考查了旋转的性质、含角的直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．5．（2023上·江西抚州·八年级金溪一中校考期中）点，若点在轴上，若是等腰三角形，则点坐标．【答案】或或或【分析】本题考查了坐标与图形、勾股定理、等腰三角形的定义，由题意得出，，则，分时；当时；当时；分别画出图形，求解即可，采用数形结合与分类讨论的思想是解此题的关键．