2023-2024学年八年级数学上册单元速记·巧练（沪教版）第十六章 二次根式（7个知识归纳+13类题型突破）（原卷版）

第十六章二次根式（7个知识归纳+13类题型突破）1.掌握二次根式的概念和有无意义的条件；2.掌握二次根式的性质；3.掌握二次根式的化简与计算；知识点1．二次根式的定义形如（a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号；判断一个式子是二次根式，需要满足以下条件：（1）根指数必须是2；（2）被开方数为非负数.知识点2.二次根式有无意义的条件：

（1）如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数．

（2）如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．知识点3.二次根式的性质：（1），（双重非负性）．（2）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）．应用：在实数范围内分解因式：（3）（4）=·（a≥0，b≥0）（5）=（a≥0，b>0）知识点4.二次根式的化简：（1）二次根式化简的步骤：①把被开方数分解因式；②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2，所得结果为最简二次根式或整式．（2）最简二次根式的条件：被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．知识点5.二次根式的运算：（1）二次根式的乘法·＝．（a≥0，b≥0）文字语言：二次根式与二次根式相乘，等于各个被开数的积的算术平方根.推广：（2）二次根式的除法：=（a≥0，b>0）文字语言：二次根式与二次根式相乘，等于各个被开数的商的算术平方根.二次根式的加减：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．

二次根式的加减步骤：

①如果有括号，根据去括号法则去掉括号．

②把不是最简二次根式的二次根式进行化简．

③合并被开方数相同的二次根式．

知识点6.二次根式的混合运算：（1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．①与实数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．

②在运算中每个根式可以看做是一个单项式，多个不同类的二次根式的和可以看作多项式．

（2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式或整式．

（3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．知识点7.二次根式的应用：把二次根式的运算与现实生活相联系，体现了所学知识之间的联系，感受所学知识的整体性，不断丰富解决问题的策略，提高解决问题的能力．二次根式的应用主要是在解决实际问题的过程中用到有关二次根式的概念、性质和运算的方法．题型一求二次根式的参数1．（2023秋·全国·八年级专题练习）若是整数，则正整数的最小值是（

）A．2 B．14 C．7 D．562．（2023春·福建福州·八年级校考期中）已知n是一个正整数，是整数，则n的最小值是（

）A．0 B．4 C．5 D．203．（2023春·湖北咸宁·八年级咸宁市温泉中学校联考期中）若二次根式，的值是整数，则下列n的取值符合条件的是（

）A． B． C． D．巩固训练：1．（2023秋·九年级课时练习）已知：是整数，则满足条件的最小正整数为（）A．2 B．4 C．5 D．202．（2023春·河北石家庄·八年级统考期中）已知是正整数，则实数n的最大值为（

）A． B． C． D．3．（2023秋·广东惠州·九年级惠州市河南岸中学校考开学考试）已知为正整数，且也为正整数，则的最小值为．4．（2023秋·全国·八年级专题练习）若是整数，则整数n的所有可能的值为．5．（2022·全国·八年级假期作业）已知n是一个正整数，是整数，求n的最小值．题型二二次根式有意义的条件4．（2023春·陕西渭南·八年级统考期中）若二次根式有意义，则的取值范围为（

）A． B． C． D．5．（2023春·安徽合肥·八年级校考期中）若二次根式有意义，则的取值范围为（

）A．且 B． C． D．且6．（2023秋·全国·八年级专题练习）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A． B．且 C．且 D．且巩固训练1．（2023春·河北邢台·八年级统考开学考试）若式子有意义，则m的值可以是（）A．5 B．3 C．1 D．2（2023春·甘肃定西·八年级校考阶段练习）函数的自变量的取值范围是（

）A． B． C． D．且3．（2023秋·广东广州·九年级广东广雅中学校考开学考试）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是．3．（2023春·黑龙江齐齐哈尔·八年级校考阶段练习）函数中，自变量的取值范围是___________．5．（2023春·黑龙江绥化·八年级校考期中）先化简，再求值已知(1)求的值；(2)求的平方根．题型三利用二次根式的性质化简7．（2023春·上海杨浦·九年级统考阶段练习）下列正确的是（

）A． B． C． D．8．（2023春·湖南永州·八年级校考开学考试）下列计算正确的是（

）A． B． C． D．9．（2023秋·全国·八年级专题练习）已知，则化简的结果为()A． B． C． D．巩固训练1．（2023春·内蒙古呼和浩特·八年级统考期中）下列计算正确的是（）A． B． C． D．2．（2023春·江西宜春·八年级校考阶段练习）若，则等于（）A．1 B．5 C． D．3．（2023春·湖北恩施·八年级校联考期中）若，化简：．4．（2023秋·上海杨浦·八年级统考期末）当时，化简．5．（2023春·安徽宣城·八年级校考期中）已知，化简代数式．题型四复合二次根式的化简10．（2023春·河北邯郸·八年级校考阶段练习）下面的推导中开始出错的步骤是（

）因为，①，②所以.③所以.④A．① B．② C．③ D．④11．（2023·上海·八年级假期作业）下列各式中，与化简所得结果相同的是（

）A． B． C． D．12．（2023春·广西钦州·八年级校考阶段练习）化简二次根式的正确结果是（

）A． B． C． D．巩固训练1．（2023春·江苏·八年级专题练习）对式子作恒等变形，使根号外不含字母，正确的结果是（

）A． B． C． D．2．（2023春·江苏无锡·八年级宜兴市树人中学校考阶段练习）把(2-x)的根号外的（2-x）适当变形后移入根号内，得（

）A． B． C． D．3．（2023春·天津宝坻·八年级校考阶段练习）当时，化简：．4（2023·上海·八年级假期作业）把中根号外因式适当变形后移至根号内得．5．（2023秋·全国·八年级专题练习）观察下面的运算，完成计算：

(1)(2)．题型五化为最简二次根式13．（2023春·湖北咸宁·八年级校考阶段练习）下列式子中，属于最简二次根式的是（

）A． B． C． D．14．（2023春·湖南衡阳·八年级校联考期中）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（

）A． B． C． D．15．（2023春·河北保定·七年级统考期中）关于的叙述正确的是（

）A．在数轴上不存在表示的点 B．与最接近的整数是3C． D．是有理数巩固训练1．（2023春·河北保定·八年级统考期中）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（

）A． B． C． D．2．（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级统考期末）下列各式中是最简二次根式的是（

）A． B． C． D．3．（2023春·福建福州·八年级统考期中）实数a在数轴上的位置如图所示，则化简后为.

4．（2023春·辽宁朝阳·八年级校考期中）把二次根式化成最简二次根式，则．5．（2023秋·全国·八年级专题练习）将下列二次根式化成最简二次根式：(1)；(2)；(3)（）(4)（，，）．题型六已知最简二次根式求参数16．（2023春·山东泰安·八年级校考阶段练习）若是最简二次根式，则m，n的值为（

）A．0， B．，0 C．1， D．0，017．（2023春·河北邢台·八年级校考阶段练习）若最简二次根式与（a为有理数）可以合并，则m的值为（

）A．2021 B． C．2025 D．18．（2023春·内蒙古呼伦贝尔·八年级校考期中）若最简二次根式与可以合并，则的值为（）A． B． C． D．巩固训练1．（2023秋·全国·八年级专题练习）若最简二次根式与能够合并，则a的值是（）A． B．0 C．1 D．22．（2023春·浙江·八年级专题练习）已知最简二次根式与二次根式可以合并成项，则整数，的值分别为（

）A．， B．，C．， D．，3．（2023春·重庆渝北·八年级重庆市暨华中学校校考期中）若最简二次根式与可以合并，则．4．（2023春·吉林·八年级统考期中）如果最简二次根式和是可以合并的二次根式，则．5．（2023春·全国·八年级专题练习）已知最简二次根式与是同类二次根式，求的值．题型七同类二次根式19．（2023秋·安徽合肥·九年级校考开学考试）下列各数中，与是同类二次根式的是（

）A． B． C． D．20．（2023春·黑龙江佳木斯·八年级校考期中）下列根式化简成最简二次根式后，能与合并的是（）A． B． C． D．21．（2023春·河南驻马店·八年级校考阶段练习）若可以合并为一项，则可以是(

)A．9 B．18 C．27 D．54巩固训练1．（2023春·山东泰安·八年级校考阶段练习）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（

）A． B． C． D．2．（2023秋·全国·八年级专题练习）若最简二次根式与是同类二次根式，则（

）A． B．1 C．3 D．3．（2023春·安徽滁州·八年级校考期中）如果与最简二次根式可以合并成一个二次根式，则．4．（2023春·湖北黄冈·八年级校考阶段练习）若最简二次根式与可以合并，则a的值为．5．（2023春·吉林松原·八年级校联考期中）是否存在实数，使最简二次根式与是同类二次根式？若存在，求出的㨁；若不存在，请说明理由．题型八二次根式的混合运算22．（2023春·安徽马鞍山·八年级校考期末）已知，，则的值为（

）A． B． C．14 D．23．（2023春·福建三明·九年级校考期中）计算的结果是（

）A． B． C． D．24．（2023秋·重庆·九年级重庆实验外国语学校校考开学考试）若在两个相邻整数之间，则这两个整数是（）A．4和5 B．5和6 C．6和7 D．7和8巩固训练1．（2023春·湖北咸宁·八年级校考阶段练习）计算(1)(2)(3)2．（2023·陕西西安·西安市第六中学校考模拟预测）计算：(1)(2)(3)(4)3．（2023春·浙江绍兴·八年级校联考期中）计算：(1)．(2)．4．（2023秋·重庆沙坪坝·八年级重庆八中校考开学考试）计算：(1)；(2)．5．（2023秋·山东枣庄·八年级滕州育才中学校考开学考试）计算：(1)；(2)；(3)；(4)．题型九分母有理化25．（2023春·四川南充·八年级校考期中）下列各式中，与的积为有理数的是（

）A． B． C． D．26．（2023春·浙江湖州·八年级统考阶段练习）已知，，则下列判断正确的是（）A． B． C． D．27．（2023春·安徽亳州·八年级校考期中）已知，则的值为（

）A．3 B． C． D．6巩固训练1（2023春·山东聊城·八年级校联考期末）下列各式中，不正确的是（

）A． B． C． D．2．（2023秋·黑龙江大庆·七年级校联考开学考试）如果，，那么（

）A． B． C． D．3．（2023秋·福建泉州·九年级校考开学考试）计算的结果是．4．（2023春·浙江嘉兴·八年级统考期末）化简：（的自然数）的结果为．5．（2023春·内蒙古呼和浩特·八年级统考期中）计算：(1)；(2)．题型十已知字母的值，化简求值28．（2023春·云南临沧·八年级校联考期末）若，则的值是（

）A．1 B．5 C． D．29．（2023春·河北邢台·八年级校考阶段练习）当时，代数式的结果为（

）A． B． C．12 D．30．（2023春·安徽芜湖·八年级校考阶段练习）设，则代数式的值为（

）A．6 B．5 C． D．巩固训练1．（2023秋·全国·八年级专题练习）若，则代数式的值为

(

)A． B． C． D．2．（2023·全国·八年级假期作业）已知，，则代数式的值为（

）A．7 B．14 C． D．3．（2023春·山东烟台·八年级统考期中）若，则代数式的值是．4．（2023春·浙江杭州·八年级校联考阶段练习）当，时，．5．（2023春·江西南昌·八年级校联考期中）若，，求：(1)；(2)．题型十一已知条件式，化简求值31．（2023·上海·八年级假期作业）已知，则的值为（

）A． B．4 C． D．32．（2023春·全国·八年级期末）已知，且，则的值是（

）A． B． C． D．33．（2023春·云南临沧·八年级统考期中）已知，，则的值为（

）A． B． C．4 D．巩固训练1．（2023春·广西玉林·八年级统考期中）已知，则代数式的值为（）A．2 B．6 C．4 D．2．（2023春·八年级课时练习）已知，则的值等于（）A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣43．（2023春·安徽淮南·八年级统考期末）若为的小数部分，则的值为．4．（2023春·河南信阳·八年级统考阶段练习）已知，则．5．（2023春·山东威海·八年级统考期末）（1）若，求；（2）若，求的值．题型十二比较二次根式的大小34．（2023秋·全国·八年级专题练习）若，则的值可以是（

）A． B． C． D．35．（2023春·湖南益阳·七年级校联考期末）2、、15三个数的大小关系是（

）A．2＜15＜ B．＜15＜2C．2＜＜15 D．＜2＜1536．（2023春·江苏·八年级专题练习）已知a＝2021×2023﹣2021×2022，b＝，c＝，则a，b，c的关系是（

）A．b＜c＜a B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．a＜b＜c巩固训练1．（2023春·河北邯郸·八年级校考阶段练习）的结果应在（

）A．和0之间 B．0和1之间 C．1和2之间 D．2和3之间2．（2023春·江苏·八年级专题练习）比较的大小，正确的是（

）A． B．C． D．3．（2023春·山东临沂·八年级校考阶段练习）比较大小：；．（填“”“”或“”）4．（2023秋·全国·八年级专题练习）比较大小：．5．（2023春·浙江嘉兴·八年级统考期末）已知，．(1)比较a，b的大小，并写出比较过程；(2)求代数式的值．题型十一二次根式的应用37．（2023春·河南周口·八年级校考期中）如图，在长方形ABCD中无重叠放入面积分别为27和12的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（

）

A． B．6 C． D．438．（2023春·湖北孝感·八年级统考期中）如图，从一