工程力学-第十六章

第十六章弯曲CONTNET01对称弯曲的概念及梁的计算简图03剪力图和弯矩图02梁的剪力和弯矩04弯矩、剪力与载荷集度间的关系05纯弯曲正应力07梁的弯曲变形及刚度条件06正应力强度条件及其应用08梁的合理设计01对称弯曲的概念及梁的计算简图16.1.1对称弯曲的概念在工程中常遇到这样一类构件，它们所承受的外力都垂直于杆件的轴线，如图的火车轮轴和图所示的桥式起重机大梁等，在这些外力作用下，杆件的轴线将由直线变为曲线，这种变形称为弯曲变形。以弯曲变形为主的杆件称为梁。16.1.1对称弯曲的概念工程中最常见的梁，其轴线是直线，横截面一般都有1根或2根对称轴，如图所示。16.1.1对称弯曲的概念由横截面的纵向对称轴和梁的轴线组成的平面，称为纵向对称面，如图所示。如果梁上的外力全部作用在这个对称面内，那么梁变形后，其轴线也将变成这个对称面内的一条平面曲线，这种弯曲称为平面弯曲。16.1.2梁的计算简图1．支座的简化根据支承情况的不同，一般可将梁简化为如下三种形式。（1）简支梁如果梁的两端支座中，一端为固定铰链支座，另一端为活动铰链支座，则称这种梁为简支梁，如图16-2所示中的桥式起重机大梁和图所示。（2）外伸梁梁的支座和简支梁的相同，只是梁的一端或两端伸出在支座之外，这种梁称为外伸梁，如图16-1中的火车轮轴和图所示。（3）悬臂梁一端固定、另一端自由的梁，称为悬臂梁，如图所示。16.1.2梁的计算简图2．载荷的简化作用在梁上的载荷可简化为如下三种形式。（1）集中载荷通过微小面积，作用在梁上的力，可近似地简化为作用在一点上的集中力，如图所示中的力F。（2）集中力偶通过微小梁段，作用在梁上的力偶，可看作为一个集中力偶，如图所示中的力偶矩M。（3）分布载荷沿着梁的轴线方向在一定长度上连续分布的、垂直于梁轴的力系。如果这种力系是均匀分布的，则称为均布载荷，其大小用载荷集度q表示。其单位为N/m或kN/m。02梁的剪力和弯矩3.1.2力系向任一点简化的主矢和主矩16.1.2梁的计算简图1．支座的简化为了使上述两种算法得到的同一截面上的剪力和弯矩，不仅数值相等，而且符号也一致，现规定如下：凡使所取的梁具有作顺时针转动趋势的剪力为正，反之为负，如图所示；凡使梁产生凸向下弯曲变形的弯矩为正，反之为负，如图所示。换言之，由外力确定内力的符号，可概括为“左上右下，剪力为正；左顺右逆，弯矩为正”16.1.2梁的计算简图例16-1如图所示的悬臂梁作用有均布载荷q。试求截面D-D上的剪力和弯矩。03剪力图和弯矩图16.3剪力图和弯矩图例16-2如图所示的悬臂梁作用有均布载荷q。试作该梁的剪力图和弯矩图。16.3剪力图和弯矩图16.3剪力图和弯矩图例16-3如图所示起重机大梁的跨度为l，自重力可看成均布载荷q。试作该梁的剪力图和弯矩图。16.3剪力图和弯矩图04弯矩、剪力与载荷集度间的关系16.4弯矩、剪力与载荷集度间的关系16.4弯矩、剪力与载荷集度间的关系表明了同一截面处M(x)，FQ(x)和q(x)三者之间的微分关系。05纯弯曲正应力16.5纯弯曲正应力如图所示简支梁AB，梁中间段的弯矩为常数、剪力为零，这种截面内只有弯矩而无剪力的弯曲，称为纯弯曲。如果梁的截面上既有弯矩又有剪力，则这种弯曲称为横力弯曲。如图所示两端梁段的弯曲即为横力弯曲。16.5.1实验观察与假设要确定纯弯曲时梁的横截面上的正应力，需要进行纯弯曲实验。实验前，在梁的侧面画上一些垂直于轴线的横向线，以及平行于轴线的纵向线，如图所示。加载使梁发生纯弯曲变形，通过梁的纯弯曲实验可观察到：（1）纵向线弯曲成圆弧，其间距不变。靠近梁顶部凹面的纵向线缩短，靠近梁底部凸面的纵向线伸长。（2）横向线仍为直线，且与纵向线正交，横向线间相对转过了一个微小的角度。16.5.1实验观察与假设对上述实验的观察结果，进行分析、判断和推理，可以作出如下假设：变形前为平面的横截面在变形后仍保持为平面，并且仍垂直于变形后的轴线，只是绕截面内的某一个轴旋转了一个角度。这一假设称为弯曲变形的平面假设。如果设想梁是由无数层纵向纤维组成的，弯曲变形后，靠近顶面的纤维缩短，靠近底面的纤维伸长。由于变形的连续性，由缩短层过渡到伸长层时，中间必有一层纤维既不伸长也不缩短，这个长度不变的过渡层，称为中性层，如图所示。中性层与横截面的交线，称为中性轴，它与横截面的对称轴垂直；且可证明，它通过横截面的形心。梁弯曲时，横截面就是绕中性轴旋转的。16.5.2纯弯曲正应力的分布规律由平面假设可知，矩形截面梁在纯弯曲时的应力分布有如下特点：（1）中性轴上的线应变为零，所以其正应力亦为零。（2）距中性轴距离相等的各点，其线应变相等。根据胡克定律，它们的正应力也相等。（3）在图所示的受力情况下，中性轴上部的各点正应力为负值，中性轴下部的各点正应力为正值。（4）正应力沿y轴呈线性分布，如图所示，其中，K为待定常数。最大正应力（绝对值）在距中性轴最远的上、下边缘处。16.5.3纯弯曲正应力的计算公式16.5.3纯弯曲正应力的计算公式常见截面的惯性矩和抗弯截面系数：截面形状惯性矩抗弯截面系数16.5.3纯弯曲正应力的计算公式常见截面的惯性矩和抗弯截面系数：截面形状惯性矩抗弯截面系数16.5.3纯弯曲正应力的计算公式常见截面的惯性矩和抗弯截面系数：截面形状惯性矩抗弯截面系数16.5.4弯曲切应力简介1．矩形截面梁横截面上的切应力梁横截面上的切应力不是均匀分布的，对于矩形截面梁横截面上的切应力，假设其分布特点为：（1）横截面上各点的切应力方向和剪力FQ的方向一致。（2）切应力的大小与距中性轴z的距离y有关，与截面宽度b无关。当矩形截面梁横截面的高度h大于宽度b时，上述假设基本符合实际情况。据此可以推导出矩形截面梁横截面距中性轴y处的切应力为16.5.4弯曲切应力简介16.5.4弯曲切应力简介2．横截面上的最大切应力公式06正应力强度条件及其应用16.6正应力强度条件及其应用16.6正应力强度条件及其应用16.6正应力强度条件及其应用16.6正应力强度条件及其应用16.6正应力强度条件及其应用16.6正应力强度条件及其应用07梁的弯曲变形及刚度条件16.7.1挠度和转角如图所示，设悬臂梁AB在其自由端B处，有一个集中力F作用。弯曲变形前，梁的轴线AB为一条直线；变形后，轴线在梁的纵向对称平面内变成一条连续而又光滑的曲线AB1，此曲线称为梁的挠曲线。16.7.1挠度和转角选取直角坐标系，令x轴与梁变形前的轴线重合，y轴垂直向上，则xy平面就是梁的纵向对称平面，于是梁的挠曲线可表示为

梁的挠曲线方程当梁在xy平面内发生弯曲时，梁的各横截面都将在该平面内发生线位移和角位移。现在考察距左端为x处的任一截面，该截面的形心C既有垂直方向的位移，又有水平方向的位移。但在小变形的条件下，水平方向的位移很小，可以忽略不计。可以认为，截面的形心C只在垂直方向有线位移CC1，这个线位移就称为该截面的挠度，用y表示。16.7.1挠度和转角梁在弯曲时，横截面将绕其中性轴转动产生角位移，此角位移称为该横截面的转角，用θ表示。过C1点作一条切线，切线的倾角就等于横截面的转角，由于转角θ很小，因此有转角方程。它表明，挠曲线上任意一点处切线的斜率等于该点处横截面的转角。16.7.2梁的挠曲线近似微分方程及其积分16.7.2梁的挠曲线近似微分方程及其积分例16-7试求图所示悬臂梁自由端的转角和挠度。16.7.2梁的挠曲线近似微分方程及其积分16.7.3用叠加法求弯曲变形叠加法的基本思想是：在材料服从胡克定律和小变形条件下，梁的挠度和转角均与梁上载荷呈线性关系。因此，当梁上同时作用若干个不同载荷时，可以先分别求出各个载荷单独作用下梁的挠度和转角，然后求它们的代数和，得到这些载荷共同作用时梁的挠度和转角。16.7.3用叠加法求弯曲变形梁的简图挠曲线方程端截面转角最大挠度16.7.3用叠加法求弯曲变形梁的简图挠曲线方程端截面转角最大挠度16.7.3用叠加法求弯曲变形梁的简图挠曲线方程端截面转角最大挠度16.7.3用叠加法求弯曲变形梁的简图挠曲线方程端截面转角最大挠度16.7.3用叠加法求弯曲变形梁的简图挠曲线方程端截面转角最大挠度16.7.3用叠加法求弯曲变形例16-8如图所示，弯曲刚度为EI的简支梁AB受载荷作用。试求该梁跨中点C的挠度yC和支座A，B处横截面的转角θA和θB。16.7.4梁的刚度条件在工程设计中，通常先按强度条件选择梁的截面尺寸，然后再对梁进行刚度校核。校核梁刚度的目的，就是要控制梁的变形，使梁的最大挠度或最大转角必须在规定的许可范围之内。梁的刚度条件为08梁的合理设计16.8梁的合理设计16.8.1合理配置梁的支承和载荷16.8.1合理配置梁的支承和载荷16.8.2合理选取截面形状16.8.3合理设计梁的外形根据梁内弯矩的变化情况，将梁设计成变截面梁，在弯矩较大处采用大截面，在弯矩较小处采用小截面，使各截面的强度相等，这种梁称为等强度梁，如图所示。此