义务教育实验教科书2016年湘教版八年级数学（下册）全册教案

义务教育实验教科书2016年湘教版八年级数学

（下册）全册教案

八年级数学（下）教学总计划

一、数学目标：

本学期的数•学教学内容分为代数、几何、概率、课题,学习、数学与文化等内客.在教学中.除了引导学生掌握书本知识外，

还应培养他们在日常生活中灵活运用数学知识解决实际问圾的能力，注Ifr学习方法与能力的培养.为终生学习打好基础0

二、牧材内容分析：

本册数材共分为五个部分。

第一章因式分解，安排了因式分解的急义与作用，及两种因式分解的方法.要求学生矩理解因式分解与整式乘法的区别与

联系，掌握因式分解的常用方法°

第二章分式，本章是仝册的重点，安排了分式的基本性质、方式的加减乘除法、整数指数累、分式方程等内容。数材从学

生已掌握的分数概念出发.采用类比的方法.得出分式的概念，分式的基本性质和分式的运算法则。然后教•材又从学生般悉的

2"）x2"'+2x，的运算出发，通过类比的方法得出整数指数案的运算法则，最后综合运用上述知识解可化为一元一次方程的分式方

程以及列方理解应用电。

第三章四边形，主要内容足四边形和一些特殊四边形的柢念和性质，以图形变换的电祖贯穿始终。本章的每—小节中，设

立了“观察”、”说一说/“动脑筋乙"探究”、“做一做"、“分析”等小栏目.绐学生提供了参与数学活动的机会和思维空间°

第四章二次根式，主春内容是二次根式的性质与运算。本章教材在内容安排上有以下特点：①先介绍二次根式的性质，然

后介绍如何用这些性质将二次根式化简，这样不仅使学生了解了二次根式的概念和性质.还学提了化端二次根式的方法；②敛

材从二次根式的性质出发，讲述了葡单的二次根式的不除法；从家法对加法的分配律出发，介绍了二次根式的加减法；③在讲

送基本的加减乘除法的基础上.教材介绍了二次根式的混合运算，井指出二次板式的混合运算悬根据实效的运算律进行的。

第五章概率的柢念，主要是对概牟的概念与含义的理解，在理解的基础上学会对具体问题进行分析归纳。

三、学生情况分析：

本届学生的数学知识参墓不齐.优秀生大约只占20%.但大部分学生对•数学学科比较感兴趣，有较大的提升空间。在数学中.

应充分利用20%的优秀生带动其他学生学习数学°除了继续培养学生的学习兴妈夕卜，还应注it基础知识的传授.努力让痔一个学

生都有所进步。

四、究成数学任务的主要措施：

1、采取自学、讲授、巩固练习、创新思维训练相结合；

2、充分发挥小组合作学习、探究学习的作用；

3、充分利用多媒体桶助教学。

五、数学改革大体设想；

在完成数学任务的同时，尽可能多地选择一些对学生发展有用的、学生艰学会的、感兴趣的知识与技能传授给学生，注重

学习方法与数学思维施力的培养.为学生的终生学习提供思想保证。

六、课时安排：

第一幸因式分解约10课时

第二章分式约23课时

第三章四地形约27课时

第四章二次根式约10课时

第五幸概率的概念约3课时

期末总烫习约13课时

合计约86课时

2015

八年级数学（下）数学计划

一、教学目标：

本学期的数学教学内容分为代数、几何、概率、课题学习、数学与文化等内

容，在教学中，除了引导学生掌握书本知识外，还应培养他们在日常生活中灵活

运用数学知识解决实际问题的能力，注重学习方法与能力的培养，为终生学习打

好基础。

二、教材内容分析：

本册教材共分为五个部分。

第一章因式分解，安排了因式分解的意义与作用，及两种因式分解的方法，

要求学生能理解因式分解与整式乘法的区别与联系，掌握因式分解的常用方法。

第二章分式，本章是全册的重点，安排了分式的基本性质、分式的加减乘除

法、整数指数嘉、分式方程等内容。教材从学生已掌握的分数概念出发，采用类

比的方法，得出分式的概念，分式的基本性质和分式的运算法则。然后教材又从

学生熟悉的2"x2"+2'。的运算出发，通过类比的方法得出整数指数嘉的运算法

则，最后综合运用上述知识解可化为一元一次方程的分式方程以及列方程解应用

题.

第三章四边形，主要内容是四边形和一些特殊四边形的概念和性质，以图形

变换的思想贯穿始终。本章的每一小节中，设立了“观察”、“说一说”、“动脑筋”、

“探究”、“做一做”、“分析”等小栏目，给学生提供了参与教学活动的机会和思

维空间。

第四章二次根式，主要内容是二次根式的性质与运算。本章教材在内容安排

上有以下特点：①先介绍二次根式的性质，然后介绍如何用这些性质将二次根式

化简，这样不仅使学生了解了二次根式的概念和性质，还掌握了化简二次根式的

方法；②教材从二次根式的性质出发，讲述了简单的二次根式的乘除法；从乘法

对加法的分配律出发，介绍了二次根式的加减法；③在讲述基本的加减乘除法的

基础上，教材介绍了二次根式的混合运算，并指出二次根式的混合运算是根据实

数的运算律进行的。

第五章概率的概念，主要是对概率的概念与含义的理解，在理解的基础上学

会对具体问题进行分析归纳。

三、学生情况分析：

本届学生的数学知识参差不齐，优秀生大约只占20%,但大部分学生对数学

学科比较感兴趣，有较大的提升空间。在教学中，应充分利用20%的优秀生带动

其他学生学习数学。除了继续培养学生的学习兴趣外，还应注重基础知识的传授,

努力让每一个学生都有所进步。

四、完成教学任务的主要措施：

1、采取自学、讲授、巩固练习、创新思维训练相结合；

2、充分发挥小组合作学习、探究学习的作用；

3、充分利用多媒体辅助教学。

五、教学改革大体设想；

在完成教学任务的同时，尽可能多地选择一些对学生发展有用的、学生能学

会的、感兴趣的知识与技能传授给学生，注重学习方法与数学思维能力的培养,

为学生的终生学习提供思想保证。

六、课时安排：

第一章因式分解约10课时

第二章分式约23课时

第三章四边形约27课时

第四章二次根式约10课时

第五章概率的概念约3课时

期末总复习约13课时

合计约86课时

2010.2

探究内容：1.1多项式的因式分解

目标设计：1、了解因式分解的意义；

2、初步了解因式分解在解决其他数学问题中的桥梁作用，如解方程、化简；

3、引导学生理解因式分解是多项式乘法的逆变形。

重点难点：了解因式分解的意义及在解决其他数学问题中的作用。

探究准备：投影片等。

探究过程：

一、复习导入：

1、6=2X3

II

因数因数

2、平方差公式：

a2—b2=（a+b）X（a—b）

III

整式因式因式

二、新知探究：

在X?—1=（x+1）（X-1）中，可以把（X+1）和（X-1）都叫做X2-1的因式。

结论：

一般地，对于两个多项式f与g,如果有多项式h使得f=gh,那么我们把g叫做f

的一个因式，此时，h也是f的一个因式\

•般地，把一个含有字母的多项式表示成若干个均含字母的多项式的乘积的形式，

称为把这个多项式因式勿瀛

思考：为什么要把一个多项式因式分解？

1、简化计算：

（自读课本P3观察）

①素数（即质数）是正整数集中的基本单元，即每一个正整数都能表示成若干个素数的

乘积的形式。如：

12=223

30=2-3-5

122

—=-简化计算

305

②同理，每一个多项式都可以表示成若干个多项式的乘积的形式。如：

X2—X=X（X—1）

X2—1=（x+1）（X—1）

f—xX

简化计算

x—1x+1

2、便于解方程：

X2—1=0

左边因式分解：(x+1)(X-1)=0

*+1=0或*—1=0

...X=-1或x=1

三、练习巩固：

P4练习题1、2

四、小结：

1、因式分解、因式的概念：

•般地，把一个含有字母的多项式表示成若干个均含字母的多项式的乘积的形式，称

为把这个多项式因式分斛

一般地，对于两个多项式f与g,如果有多项式h使得f=gh,那么我们把g叫做f的

一个因式,此时，h也是f的一个因笥。

2、因式分解的意义：

简化计算便于解方程

五、作业：

1、课堂：

P4习题1.1A组2、3；

2、课外：

同上，A组1；B组1、2、3.

2

探究内容：L2提公因式法(1)

目标设计：1、理解提公因式法的含义；

2、会找出几个多项式的公因式，并利用提公因式法分解因式。

重点难点：理解提公因式法的含义，会找公因式并利用提公因式法进行因式分解。

探究准备：投影片等。

探究过程：

一、复习导入：

1、什么叫因式分解？

把一个含有字母的多项式表示成若干个均含字母的多项式的乘积的形式，称为把这个

多项式因式分解。

2、解方程：

X2+5X=0X2—2xy+y2=0

二、新知探究：

观察：下列每个多项式的含字母的因式有哪些？

xyxzxw-------------共有的因式为x

结论：几个多项式的公共的因式称为公园贰。

因式分解：xy+xz+xw则有

xy+xz+xw=x(y+z+w)

结论：

如上，如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，这种

把多项式因式分解的方法叫做程公园或法。

例题分析：

例1：把5x2—3xy+x因式分解。

析：5x2►5xx

—3xy---------►-3-x-y

x---------►x-1

综上，公因式为x

5x2—3xy+x=x(5x—3y+1)

例2：把一4x?+6x因式分解。

析：—4x2--------►—2-2-xx

6x---------►2-3-x

综上，公因式为2x或一2x

/.—4x2+6x—2x(—2x+3)最好把括号

或=2x(3-2x)内第一项的

亦或=-2x(2x—3)系数变为正■

注意：把负号提出后，括号内的各项要变号。

例3：把8x2y4-12xy2z因式分解。

析：系数8与12的最大公因数是4

字母相同的字母为x、y,指数为最低次

...4xy2为公因式

又V4xy2-2xy2=8x2y4

4xy2-(—3z)=-12xy2z

.,.8x2y4—12xy2z:=4xy2-2xy2+4xy2-(—3z)=4x『(2xy2—3z)

三、练习巩固：

P8练习题1、2

四、小结：

1、相关概念：

几个多项式的公共的因式称为公园式；

把一个多项式的公因式提到括号外面，这种因式分解的方法叫做速公园式演。

2、找公因式的步骤：

①确定公因式的系数，取各项系数的最大公因数；

②确定公因式的字母，取各项都有的字母；

③确定字母的指数，相同字母的指数取最低次。

五、作业：

1、课堂：

P8练习题3；P”习题1.2A组2(1)(2)；

2、课外：

P8练习题P2；P,,习题1.2A组2(4)(7).

3

探究内容：1.2提公因式法(2)

目标设计：在掌握运用提公因式法进行分解因式的基础上加强练习、巩固，并掌握运

用提公因式法进行稍有难度的因式分解，归纳方法。

重点难点：1、进一步巩固运用提公因式法进行分解因式；

2、注意公因式的字母指数及各项的符号变化。

探究准备：投影片等。

探究过程：

一、复习导入：

1、什么是公因式？怎样找公因式？

2、课前练习：

①说出下列多项式中各项的公因式：

—12xy2+8xy4m2n3—10m2n2

②把下列多项式因式分解：

x(x—2)—3(x—2)

二、新知探究：

由上②，其公因式为(x-2)

解：x(X—2)—3(X—2)=(X—2)(X—3)

例题分析:

例5：P9题略

析：2—x=—(x—2)

-3(2-x)=-3[—(x-2)]

=3(x-2)谨意符号轮变化

x(X—2)—3(2—x)

=x(x—2)+3(x—2)

——(X—2)(x+3)

例6：P9题略

析：•・,(b-a)2=[-(a-b)]2

=(a—b)2

・•・公因式为(a—b)2

(a+c)(a-b)2—(a—c)(b—a)2

=(a+c)(a—b)2—(a—c)(a—b)2

=(a—b)2[(a+c)—(a-c)]

=(a—b)2(a+c—a+c)整量符号的变化

=2c(a—b)2

例7：把一12xy?(x+y)+18x2y(x+y)因式分解。

析：此多项式的公因式山三部分组成：

系数字母以及指数式子

—6xyx+y

二-12xy2(x+y)+18x2y(x+y)

=—6xy(x+y)(2y—3x)

讨论：Pio“动脑筋”:

1、确定多项式中各项公因式的步骤：

①系数；

②字母以及指数；

③式子以及指数。

2、在找公因式中含有的式子时，要注意符号的变化。

三、练习巩固：

Pio练习题1、2

四、小结：

1、按照找公因式的步骤找公因式；

2、公因式中含有式子的，要注意式子中的符号。

五、作业：

1、课堂：

P”习题1.2A组2(1)(3)(5)(7)；

2、课外：

同上，A组1、2；B组2、3.

4

探究内容：L3公式法(1)

目标设计：1、掌握平方差公式的特点，会用平方差公式分解因式；

2、引导学生逆用乘法公式，培养学生逆向思维的意识和能力。

重点难点：1、熟用平方差公式分解因式；

2、正确分析多项式，采用合理的方法。

探究准备：投影片等。

探究过程：

一、复习导入：

1、平方差公式;a2—b2—(a+b)(a—b)

2、怎样用提公因式法分解因式？

二、新知探究：

思考：如何把x2-25因式分解？

利用平方差公式：

X2-25=X2-52=(X+5)(X-5)

结论：利用乘法公式把某些类型的多项式因式分解的方法叫做公式法。

例1：把4x2-y2因式分解。

析：4x2—y2

=(2x)2—y2

——(2x+y)(2x—y)

o

例2：把25x?-------1丫2因式分解。

4

o

析：25x2-----—y2

=(5x)2-(—y)2

33

=(5xH-------y)(5x---------y)

22

例3：把(x+y)2—(x-y+1)?因式分解。

析：(x+y)2_(x—y+1)2

=[(x+y)+(x—y+1)][(x+y)—(x—y+1)]

=(2x+l)(2y-l)

例4：把x,一y4因式分解。

析：x4—y4

=(x2)2-(y2)2

=(x?+y2)(x2—y2)第一次使用*方差公及

=(x2+y2)(x+y)(x-y)第二次使用*方晏公式

注意:

在因式分解中，必须进行到每一个因式都不能再分解为止。

例5：把x3y2-x5因式分解。

析：x3y2—x5

=x3(y2-x2)先提公因式

=x3(y+x)(y—x)再利用平方差公式分解

探究：在实数范围内把x2—2分解因式。

析：X2—2

=X2—(V2)2把2悬示前(y/2):

=(x+y/2)(X—V2)利用*方差公式合解

三、练习：

P|4练习题1、2、3

四、小结：

1、掌握利用平方差公式分解因式的方法；

2、用公式分解因式时，有公因式应先提公因式，再用公式分解。

五、作业：

I、课堂：

P17习题1.3A组1(1)(3)(5)(7)；

2、课外：

同上，A组1(2)(4)(6)(8).

5

探究内容：L3公式法(2)

目标设计：1、掌握完全平方公式的特点，会用完全平方公式分解因式:

2、继续培养学生逆向思维的意识和能力。

重点难点：1、熟用完全平方公式分解因式；

2、能根据多项式的特点选用合适的方法分解因式。

探究准备：投影片等。

探究过程：

一、复习导入：

1、把下列各式分解因式：

49——m2(3a+b)2—16

16

2、完全平方公式:

(a+b)2=a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b2

二、新知探究：

思考：如何把x?+4x+4因式分解？

分析：x?+4x+4

=X2+2-2-X+22

=(x+2)2利用完全平方公式

例题分析：

O

例6：把x2—3x+—因式分解。

4

o

析：X2—3x+—

4

=x2—2-x--+(—)2

22

例7：把9x?+12x+4因式分解。

析：9x2+12x+4

=(3x)2+2-3X-2+22

=(3x+2)2

例8：把一4x2+12xy—9y2因式分解。

析：-4X2+12xy—9y2

=-(4x2-12xy+9y2)提出“一”号

=-[(2x)2-2-2x-3y+(3y)2]

=—(2x—3y)2

例9：把a4+2a2b+b2因式分解。

析：a4+2a2b+b'

=(a2)2+2-a2-b+b2

=(a2+b)2

例10：把x4一2x?+l因式分解。

析：x4—2X2+1

=(x2)2-2-X2-1+12

=(x2-l)2完全平方公式

=[(x+1)(x-1)]2平方差公式

三、练习：

P17练习题1、2

四、小结：

1、掌握利用完全平方公式分解因式的方法；

2、根据实际情况，选用合适的方法分解因式，有公因式应先提公因式，再套用公式分

解，结果应分解到不能再分解为止。

五、作业：

1、课堂：

P17习题1.3A组2(2)(4)(6)(8)；

2、课外：

同上，A组2(1)(3)(5)(7)；

3、思考题：

P18习题L3B组3.

6

探究内容：补充内容(1)：十字相乘法

目标设计：1、理解什么是十字相乘法，会用十字相乘法对多项式分解因式；

2、培养学生的观察能力和从特殊到一般、从具体到抽象的思维品质。

重点难点：1、能熟练地用十字相乘法把形如x?+px+q的二次三项式分解因式。

2、把x?+px+q分解因式时，准确地找出a、b,使ab=q,a+b=p。

探究准备：投影片等。

探究过程：

一、复习导入：

1、因式分解的两种方法：

把一个多项式的公因式提到括号外面，这种因式分解的方法叫做提公因武法。

利用乘法公式把某些类型的多项式因式分解的方法叫做公式法。

2、分解因式：

m3+16m2+10m—(x+2)2+(x—1)2

m2+12m+27(x+2)?+2(x+2)+1

二、新知探究：

思考：如何把x2-3x-4因式分解？

分析：二次项系数为1,一次项系数为-3,常数项为一4,可用如下图解表示:

x2—3x—4

-4X1

1X1

-4X14-1X1=

X2—3x—4=(x—4)(x+1)

结论:

如匕将一个二次多项式中的二次项系数与常数项分别分解成两个实数相乘的形

式，如果交叉相乘后其和恰好等于一次项系数，则此二次多项式可以写成(mx+a)(nx+b)

的形式，像这样将二次多项式分解因式的方法叫作十字相乘法。

注意：对于二次项系数为1的二次三项式x?+px+q分解因式时，就只需要把常数项分

解成这样的两个数a、b,使它们满足ab=q,a+b=p,B|J：x2+px+q=(x+a)(x+b)。

例1：把下列各式分解因式：

(1)x?+3x+2(2)x2—7x+6

(3)X2+2X-15(4)X2-7X-3O

分析:

①对于x?+3x+2,它有什么特征？

(二次项系数为1的二次三项式。)

②常数2可以分解成为哪两个整数的积？

③其中哪一组数的和等于一次项系数3?

④分解因式的结果是什么？

(其它3题同样分析)

解：x?+3x+2=(x+1)(x+2)x?—7x+6=(x—1)(x—6)

讲授:用“卜字相乘法”的方法竖分常数交叉验，横写因式不能乱

①当4>0时，q应分解成两个同号的因数，且符号与p的符号相同；

②当g<0时，q应分解成两个异号的因数，其中绝对值较大的因数的符号与p

的符号相同。

例2：把下列各式分解因式：

(1)m(3-m)+28(2)(a+4)(a+5)+3a

(3)y4+7y3-18y2(4)t4-5t2+4

分析:

这些题目都不是x2+px+q的形式，必须通过适当的变形，使之符合这种形式，并且注

意分解后的因式能否再分解。

解：(略)

例3：把下列各式分解因式：

(1)6x2-16x+8(2)—3x2—7x—4

析:

-4

-2

(1)6X2-16X+8=2(x-2)(3x-2)(2)-3x2-7x-4=-(3x+4)(x+1)

三、练习：

把下列各式分解因式：

(1)y2-4(3-y)；(2)(4+m)(4—m)—6m；

(3)a3b-a2b_42ab；(4)x2-(2x-3)2；

(5)X2-7X+10；(6)x4—4x2—5；

(7)3X2-18X-21；(8)a2+22a+72；

(9)(x-1)2+2(1-x)(10)(X2-4)2-16X2；

(11)9x4-26x2-3；(12)-4X4+7X2+2O

四、小结：

对二次三项式进行因式分解，应重点掌握以下三个问题:

1.确定特征，是否为二次三项式，二次项系数是否为1,且不能用提公因式法和公式

法分解因式；

2.分解因式：

3.注意符号和括号。

五、作业：

1、课堂：

①y2-9y-]0②-m4+3n?+4

@X2+2X-3©2X2-X-1

2、课外：

(1)把下列各式分解因式(直接填写结果)：

①，+5x+6=；②，+5x-6=.

(3)x2-5%+6=.(4)x2-5%-6=.

(2)若多项式/-5x+冽可分解为(x+4)(x-阀)，则以、〃的值分别为()

A.m=-36,n=—9B.m=—36,z?=9

C・勿=36,n=—9D.m-36,z?=9

(3)把2-—2x-24分解因式，结果正确的是()

A.(x-4)(x+6)B.(X+4)5-6)

C,2(x-4)(x+3)D.2(X+4)(X-3)

(4)把下列各式分解因式：

①—x-+15x+16；②〃(a+4)—12；

(3)/+y2-20y；@m4-3m2-54.

7

探究内容：补充内容(2)：分组分解法

目标设计：1、引导学生掌握分组后能运用提公因式法和公式法把多项式分解因式；

2、通过因式分解的综合题的教学，提高学生综合运用知识的能力。

重点难点：1、在分组分解法中，提公因式法和分式法的综合运用：

2、灵活运用已学过的因式分解的各种方法。

探究准备：投影片等。

探究过程：

一、复习导入：

把下列各式分解因式：

x3y—x2y—42xyb2—(2b—3)2x4+7x3—18x2w4—5w2+4

二、新知探究：

例1：把a2x+a2y+b2x+b2y分解因式。

分析:

很显然，多项式a2x+a2y+b?x+b2y中既没有公因式，也不好用公式法。怎么办

呢？由于a?x+a2y=a2(x+y),b2x+b2y=b2(x+y),则(x+y)就成了公因式,

这样就有：

方法一:a2x+a2y+b2x+b2y

=a2(x+y)+b2(x+y)

=(x+y)(a2+b2)

方法二:a2x+a2y+b2x+b2y

=x(a2+b2)+y(a2+b2)

=(a2+b2)(x+y)

结论：利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法。

例2：把a%+2a3b2—a2b—2ab?分解因式。

分析:

这个多项式的各项都有公式因ab,可以先提取这个公因式，再设法运用分组法

继续分解因式：

解：a4b+2a3b2—a2b—2ab2

=ab(a3+2a2b—a—2b)

—ab[(a3+2a2b)—(a+2b)]

=ab[a2(a+2b)—(a+2b)]

=ab(a+2b)(a2—1)

=ab(a+2b)(a+1)(a—1)

例3：把45am2—20ax2+20axy—5ay2分解因式。

分析:

这个多项式的各项有公因式5a,先提取公因式，再观察余下的因式，可以按“一、

三”分组原则进行分组，然后运用公式法分解因式：

解：45am2—20ax?+20axy—5ay2

=5a(9m2-4x2+4xy-y2)

=5a[9m2—(4x2—4xy+y2)

=5a[(3m)2—(2x—y)2]

=5a(3m+2x—y)(3m-2x+y)

例4：把2(a2—3mn)+a(4m-3n)分解因式。

分析:

如果去掉多项式的括号，再恰当分组，就可用分组分解法分解因式了：

解：2(a2—3mn)+a(4m—3n)

=2a2—6mn+4am-3an

=(2a2—3an)+(4am—6mn)

=a(2a—3n)+2m(2a—3n)

——(2a—3n)(a+2m)

指出：如果给出的多项式中有因式乘积，这时可先进行乘法运算，把变形后的多项式

按照分组原则，用分组分解法分解因式。

三、练习：

把下列各式分解因式：

(l)a2+2ab+b2-ac-be；(2)a2-2ab+b2_m2_2mn_n2；

(3)4a2+4a-4a2b+b+h(4)ax2+16ay2—a—8axy；

(5)a(a2-a—1)+1；(6)ab(m2+n2)+mn(a2+b2)；

答案：

(l)(a+b)(a+b—c)；(2)(a-b+m+m)(a—b—m—n)；

(3)(2a+l)(2a+l-2ab+b)；(4)a(x—4y+l)(x—4y—1)；

(5)(a-l)2(a+l)；(6)(bm+an)(am+bn)。

四、小结：

1、把一个多项式因式分解时,如果多项式的各项有公因式，就先提出公因式，把原多

项式变为这个公因式与另一个因式积的形式；如果另一个因式是四项(或四项以上)的多项

式，再考虑用分组分解法因式分解；

2、对于含四项的多项式，根据所给多项式的特点，常采取“二、二”分组或“一、三”分

组的方法进行因式分解，这是运用分组法把多项式因式分解的通法，是带有规律性和程序性

的解题思路；

3、如果已知多项式中含有因式乘积的项与其他项之和(或差)时(如例3),先去掉括号，

把多项式变形后，再重新分组。

五、作业：

1、课堂：

把下列各式分解因式：

(l)x3y—xy3；(2)a4b-ab4；

(3)4x2—y2+2x—y；(4)a+a+a+l；

(5)x4y+2x3y2—x2y—2xy2；(6)x3—8y3—x2—2xy—4y2；(注：此题需用到立方差公式)

(7)x2+x—(y2+y)；(8)ab(x2—y2)+xy(a2—b2)«

答案：

(l)xy(x+y)(x—y)；(2)ab(a—b)(a2+ab+b2)；

(3)(2x—y)(2x+y+l)；(4)(a+l)2(a2-a+l)；

(5)xy(x+2y)(x+l)(x—1)；(6)(x2+2xy+4y2)(x—2y—1)；

(7)(x—y)(x+y+l)；(8)(ax—by)(bx+ay)o

2、课外：

已知x-2y=-2,b=-4098,求2bx2—8bxy+8by2-8b的值。

答案：

原式=2b(x-2y+2)(x—2y-2),当x-2y=-2,b=-4098时，原式的值=0。

8

探讨内容：第一章因式分解(复习1)

目标设计：巩固多项式因式分解的常用方法，提高学生综合运用知识的能力。

重点难点：灵活选用适当的方法进行因式分解。

探讨准备：投影片等。

探讨过程：

-•、复习导入：

因式分解的常用方法：

1、提公因式法：把一个多项式的公因式提到括号外面，这种因式分解的方法叫作提公

因式法。

2、公式法：利用乘法公式把某些类型的多项式因式分解的方法叫作公式法。

3、十字相乘法：将一个二次多项式中的二次项系数与常数项分别分解成两个实数相乘

的形式，如果交叉相乘后其和恰好等于一次项系数，则此二次多项式可以写成(mx+a)(nx

+b)的形式，像这样将二次多项式分解因式的方法叫作十字相乘法。

4、分组分解法：利用分组来分解因式的方法叫作分组分解法。

二、题例练习：

1>3ax—6ay=3a(x—2y)

2、3x3—6x2+3x=3x(x2—2x+1)=3x(x—1)2

3、2-32a?=2(l-16a2)=2(l+4a))(l-4a)

,11,

4、a'—a+——(a——)一

42

5、y2—x2+6x—9=y2—(x2—6x+9)=y2—(x—3)2=(y+x—3)(y—x+3)

6、X2-21X+20=(X-20)(X-1)

7、8axy—2ax2—8ay2=-2a(x2—4xy+4y2)=—2a(x—2y)2

8、x•(a—y)—y•(y—a)=x,(a—y)+y,(a—y)=(x+y),(a—y)

9、4x2-(x2+l)2=(2X+X2+1)(2X-X2-1)=-(x+1)2(x-1)2

10、a2—I)?—(a—b)2=(a+b)(a—b)—(a—b)2=(a-b)(a+b—a+b)=2b(a-'b)

11、(x—2)(x+3)+4=x2+x—6+4=x2+x—2=(x+2)(x—1)

12、27x6+y3=(3x2+y)(9x4-3x2y+y2)

13、x4—16y4=(x2+4y2)(x2—4y2)=(x+2y)(x—2y)(x2+4y2)

14、-15ax+20a=-5a(3x-4)

15、a?-a—4b2—2b=(a?—4bb—(a+2b)=(a+2b)(a—2b)—(a+2b)=(a+2b)(a—2b+1)

16、-c2+(a—b)2=(a—b)2—c2—(a—b+c)(a—b-c)

18、an^2-2a''-an-a-2-2an=an-(a^-2)=a"・」—2)=an(-+V2)(--V2)

a~aa

19、am+2-2am+l+am=am(a2-2a+l)=am(a+1)2

m2n2mn

20、x2m—y2n=(x)-(y)=(X+y)(x'"—y")

21、a2」2an+l=(an)2-2an+l=(a」l)2

22、a2m+2-2am+2+a2=a2(a2,n-2am+l)=a22

23、a4(a4-l)-a4+l=a4(a4-l)-(a4-D=(a4-1)2=(a2+1)2(a2-1)2=(a2+1)2(a+1)2(a-1)2

24、a3m+6+a3b3=a3(a3m+3+b3)=a3(am+1+b)(a2m+2-am+,b+b2)

25、(a-b)2—(a—b)(a-c)+(a-b)(b+c)=(a-b)(a-b-a+c+b+c)=2c(a-b)

26、(5x2-13y2)2—16(x2—3y2)2

22

=[(5x2—13y2)+4(x2-3y2)][(5x2-^^)_4(x-3y)]

=(5x2—13y2+4x2—12y2)(5x2—13y2—4x2+12y2)

=(9x2-25y2)(x2-y2)

=(3x+5y)(3x—5y)(x+y)(x—y)

27、a4——a2b2c2+—b4c4=(a2——b2c2)2=(a+—be)2(a——be)2

216422

28(x2+16y2)2—64x2y2=(x2+16y2—8xy)(x2+16y2+8xy)=(x-4y)2(x+4y)2

29、x2(x—y)+y2(y—x)

=x2(x—y)—y2(x—y)

=(x—y)(x2—y2)

=(x-y)2(x+y)

30、(x-7)(x-8)-6=X2-15X+56-6=X2-15X+50=(X-5)(X-10)

三、小结：

因式分解中要注意以卜两点：

1、多项式的各项有公因式先提取公因式;

2、每个因式要分