第18讲重难点拓展与圆有关的最值(范围)问题（三大题型归纳分层练）

第18讲重难点拓展：与圆有关的最值(范围)问题【苏教版2019选修一】目录TOC\o"13"\h\z\u题型归纳 1题型01与距离有关的最值问题 2题型02与面积相关的最值问题 6题型03利用数学式的几何意义解圆的最值问题 9分层练习 12夯实基础 12能力提升 21创新拓展 28与距离有关的最值问题已知圆心到直线(或圆外一点)的距离为d，圆的半径为r.1．圆外一点到圆上任意一点距离的最小值＝d－r，最大值＝d＋r.2．直线与圆相离，圆上任意一点到直线距离的最小值＝d－r，最大值＝d＋r.3．过圆内一定点的直线被圆截得的弦长的最小值＝2eq\r(r2－d2)，最大值＝2r.4．直线与圆相离，过直线上一点作圆的切线，切线长的最小值＝eq\r(d2－r2).题型01与距离有关的最值问题【解题策略】(1)形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点(x，y)到定点(a，b)的距离的平方的最值问题．(2)定点到圆上动点距离的最值可以先计算定点到圆心的距离，然后利用数形结合确定距离的最值【典例分析】【例1】已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别为圆C1，圆C2上的点，P为x轴上的动点，则PM＋PN的最小值为()A.eq\r(17) B.eq\r(17)－1C．6－2eq\r(2) D．5eq\r(2)－4答案D解析如图所示，圆C1关于x轴对称的圆的圆心坐标为A(2，－3)，半径为1，圆C2的圆心坐标为(3,4)，半径为3.设M′为点M关于x轴对称的点，由图象可知，当P，M′，N三点共线时，PM＋PN＝PM′＋PN取得最小值，且PM＋PN的最小值为圆A与圆C2的连心线的长减去两个圆的半径之和，即AC2－3－1＝eq\r(3－22＋4＋32)－4＝5eq\r(2)－4.【变式演练】【变式1】（2324高二上·北京延庆·期末）已知圆上一点和圆上一点，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用两圆的位置关系数形结合计算即可.【详解】易知圆的圆心为原点，半径，由圆，故其圆心为，半径，两圆圆心距为，所以两圆相交，则，如图所示.故选：A【变式2】（2324高二下·广西·阶段练习）已知点M在直线上，点P在圆上，过点M引圆C的两条切线，切点分别为A，B，则的最大值为．【答案】【分析】根据给定条件，求出切点弦所过的定点，再利用数量积的运算律，借助圆上的点到定点距离的最值特征求出最大值即可.【详解】设点，圆圆心，半径，显然切点在以线段为直径的圆上，此圆方程为，整理得，与圆的方程相减得直线的方程，直线的方程为，即，由，解得，即直线恒过定点，连接交于，由切线长定理得，且是线段的中点，，显然，当且仅当与重合，且是延长线与圆的交点，即点共线，且圆心在线段上时取等号，此时，所以.故答案为：【变式3】（2324高二下·河南·阶段练习）已知直线交于两点.(1)若，求直线的方程；(2)若的中点为为坐标原点，求的最大值.【答案】(1)(2)【分析】（1）结合点到直线距离公式，根据垂径定理列式求解，即可求解；（2）设，利用结合数量积的坐标运算求得点的轨迹，再根据点与圆的位置关系求解最值即可.【详解】（1）由题意知，圆心到直线的距离为，故，故，故直线的方程为，即.（2）设，因为是的中点，所以，所以，又直线过定点，所以，所以，整理得，故点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，故的最大值为.题型02与面积相关的最值问题【解题策略】求圆的面积的最值问题，一般转化为寻求圆的半径相关的函数关系或者几何图形的关系，借助函数求最值的方法，如配方法、基本不等式法等求解，有时可以通过转化思想，利用数形结合思想求解【典例分析】【例2】（2324高二下·江苏南京·期中）已知点在直线上运动，且，点在圆上，则的面积的最大值为（

）A．8 B．5 C．2 D．1【答案】A【分析】设圆心到直线的距离为到直线的距离为，易知当最大时，，此时的面积最大，由此容易得解．【详解】设圆心到直线的距离为到直线的距离为，又圆心坐标为，则，又半径为，则当最大时，，此时面积也最大，．故选：A．【变式演练】【变式1】（2324高二上·江苏镇江·期中）直线分别与轴，轴交于两点，点在圆上，则面积的最大值是（

）A．6 B．8 C． D．【答案】A【分析】先求出圆上的点到直线的最大距离，再利用面积公式求解即可.【详解】圆的圆心为，半径为，，为点到直线的距离，又点在圆上，，又，，面积的最大值是.故选：A【变式2】（2024高二上·全国·专题练习）已知点，，点是圆上的动点，则面积的最小值为.【答案】1【分析】由题意数形结合首先确定三角形面积最小时点M的位置，然后结合几何图形的特征可得三角形的面积.【详解】根据题意，得圆的圆心为，半径，，，所在的直线是轴，当到直线的距离最小时，的面积最小，则到直线的距离的最小值，则面积的最小值为.故答案为：1【变式3】（2324高二上·安徽合肥·期中）已知圆.(1)直线过点，且与圆相切，求直线的方程；(2)设直线与圆相交于，两点，点为圆上的一动点，求的面积S的最大值.【答案】(1)或(2)【分析】（1）分类讨论直线的斜率是否存在，结合点到直线的距离公式运算求解；（2）根据垂径定理求弦长，结合圆的性质求面积最大值.【详解】（1）由题意得，圆的半径，当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，由直线与圆相切，得，解得，所以直线的方程为；当直线的斜率不存在时，直线的方程为，显然与圆相切；综上，直线的方程为或.（2）由题意得圆心到直线的距离，所以，点到直线的距离的最大值为，则的面积的最大值题型03利用数学式的几何意义解圆的最值问题【解题策略】(1)形如u＝eq\f(y－b,x－a)形式的最值问题，可转化为过点(x，y)和(a，b)的动直线斜率的最值问题．(2)形如l＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线y＝－eq\f(a,b)x＋eq\f(l,b)的截距的最值问题【典例分析】【例3】已知点P(x，y)在圆C：x2＋y2－6x－6y＋14＝0上．(1)求eq\f(y,x)的最大值和最小值；(2)求x2＋y2＋2x＋3的最大值与最小值；(3)求x＋y的最大值与最小值．解方程x2＋y2－6x－6y＋14＝0可化为(x－3)2＋(y－3)2＝4.(1)eq\f(y,x)表示圆上的点P与原点连线所在直线的斜率，如图(1)所示，显然PO(O为坐标原点)与圆相切时，斜率最大或最小．设切线方程为y＝kx(由题意知，斜率一定存在)，即kx－y＝0，由圆心C(3,3)到切线的距离等于半径2，可得eq\f(|3k－3|,\r(k2＋1))＝2，解得k＝eq\f(9±2\r(14),5)，所以eq\f(y,x)的最大值为eq\f(9＋2\r(14),5)，最小值为eq\f(9－2\r(14),5).(2)x2＋y2＋2x＋3＝(x＋1)2＋y2＋2，它表示圆上的点P到E(－1,0)的距离的平方再加2，所以当点P与点E的距离最大或最小时，所求式子取得最大值或最小值，如图(2)所示，显然点E在圆C的外部，所以点P与点E距离的最大值为P1E＝CE＋2，点P与点E距离的最小值为P2E＝CE－2.又CE＝eq\r(3＋12＋32)＝5，所以x2＋y2＋2x＋3的最大值为(5＋2)2＋2＝51，最小值为(5－2)2＋2＝11.(3)设x＋y＝b，则b表示动直线y＝－x＋b在y轴上的截距，如图(3)所示，显然当动直线y＝－x＋b与圆(x－3)2＋(y－3)2＝4相切时，b取得最大值或最小值，此时圆心C(3,3)到切线x＋y＝b的距离等于圆的半径2，则eq\f(|3＋3－b|,\r(12＋12))＝2，即|b－6|＝2eq\r(2)，解得b＝6±2eq\r(2)，所以x＋y的最大值为6＋2eq\r(2)，最小值为6－2eq\r(2).【变式演练】【变式1】（多选）（2223高二上·江苏徐州·阶段练习）已知实数满足方程，则下列说法正确的是（

）A．的最大值为 B．的最大值为C．的最大值为 D．的最大值为【答案】AD【分析】求得圆的圆心和半径，设，，将ABD中的式子化为三角函数的形式，根据三角函数的最值可求得结果；根据的几何意义，利用圆的切线的求解方法可求得的取值范围，由此确定C的正误.【详解】圆，即，所以圆心为，半径为.设圆上任意一点的坐标为.即.选项A中，当时，取得最大值为，A正确.选项B中，，当时，取得最大值为，B不正确.C，如图所示，当过原点的直线与圆相切与第一象限时，最大.设切线的方程为，即，圆心到切线的距离为.所以的最大值为，C错误D选项，，当时，取得最大值为，D正确..故选：AD【变式2】（2324高二上·吉林·期末）若平面内两定点间的距离为2,动点满足,则的最大值为.【答案】【分析】通过建立平面直角坐标系,根据距离公式可得出点的轨迹方程为圆,根据圆的几何性质得的最大值,再代入运算即可.【详解】设,,由得即,则由圆的几何性质可知所以即最大值为.故答案为:.【变式3】（2324高二下·贵州黔西·开学考试）已知实数满足(1)求最大值和最小值；(2)求的最大值和最小值.【答案】(1)最大值为，最小值为；(2)最大值为，最小值为.【分析】（1）利用的几何意义：圆上一点与坐标原点连线的斜率，即可求出答案；（2）利用的几何意义：圆上一点到坐标原点距离的平方，即可求出答案；【详解】（1）原方程化为：，表示以为圆心，为半径的圆，设，即，当直线与圆相切时，斜率取得最大值与最小值，此时有：，解得，所以的最大值为，最小值为.（2）表示圆上一点到原点距离的平方，易知在原点与圆心的连线与圆的两个交点出取得最大值与最小值，又圆心到原点的距离为，半径为，所以【夯实基础】一、单选题1．（2324高二上·山西·期末）已知半径为1的圆经过点，其圆心到直线的距离的最大值为（

）A． B． C．2 D．3【答案】D【分析】设圆的圆心为，即可得到圆的圆心的轨迹方程，求出点到直线的距离，即可得解.【详解】设圆的圆心为，则，即圆的圆心的轨迹是以为圆心，为半径的圆，其中点到直线的距离，则圆心到直线的距离的最大值为.故选：D2．（2324高二上·广东广州·阶段练习）已知直线与圆相交于点A，B，点P为圆上一动点，则面积的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】应用点线距离、弦长的几何求法求，确定面积最大点P的位置，即可求面积最大值.【详解】由圆心为，半径为，则圆心到直线距离，所以，要使面积最大，只需圆上一动点P到直线距离最远，为，所以面积的最大值是.故选：A3．（2324高二下·湖南·期中）设A为直线上一点，P，Q分别在圆与圆上运动，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出关于直线对称的点的坐标，转化即可求解.【详解】设关于直线对称的点的坐标为，则，解得，，即，由对称性可知，对于圆，圆心，半径，，当且仅当A，C，三点共线时等号成立，由于，，则.故选A．4．（2324高二上·广西桂林·期末）已知点，、是圆上的两个动点，且满足，为线段的中点，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】分析可知，点在以原点为圆心，半径为的圆上运动，利用圆的几何性质可知，当为射线与圆的交点时，取最大值，即可得解.【详解】如下图所示：圆的圆心为原点，半径为，因为、是圆上的两个动点，且满足，为线段的中点，由垂径定理可知，，则，所以，点在以原点为圆心，半径为的圆上运动，则.当且仅当为射线与圆的交点时，等号成立，故的最大值为.故选：B.二、多选题5．（2324高三上·辽宁·期末）已知直线与圆，则（

）A．直线的倾斜角是B．圆的半径是4C．直线与圆相交D．圆上的点到直线的距离的最大值是7【答案】BCD【分析】对于A：求出直线的斜率即可得倾斜角；对于B：求出圆的标准式即可；对于CD：求出圆心到直线的距离即可判断.【详解】直线，即，斜率为，则倾斜角是，错误；圆，即，圆心为，半径为4，正确；圆心到直线的距离，则直线与圆相交，故正确；圆上的点到直线的距离的最大值为，则正确.故选：BCD.6．（2223高二上·云南临沧·阶段练习）已知圆和圆的交点为，则下列说法正确的是（

）A．两圆的圆心距B．直线的方程为C．圆上存在两点和，使得D．圆上的点到直线的最大距离为【答案】AD【分析】A选项，求出两圆的圆心，得到圆心距；B选项，两圆相减得到直线的方程；C选项，线段是圆的直径，故C错误；D选项，求出圆心到直线的距离，从而得到最大距离.【详解】对于，因为圆的圆心坐标为，圆的圆心坐标，因为两个圆相交，所以两圆的圆心距，故A正确；对于，将两圆方程作差可得，即得公共弦的方程为，故B错误；对于，由B选项可知，直线的方程为，由于满足上，故直线经过圆的圆心坐标，所以线段是圆的直径，故圆中不存在比长的弦，故C错误；对于，圆的圆心坐标为，半径为2，圆心到直线的距离为，所以圆上的点到直线的最大距离为，故D正确，故选：AD.三、填空题7．（2223高二上·江苏淮安·期中）在平面直角坐标系中，直线与坐标轴x、y分别交于A、B两点，点P是圆上一动点，直线在x和y轴上的截距之和为，三角形面积的最小值为.【答案】/7.5【分析】利用给定条件，结合直线在坐标轴上的截距的意义计算即可；求出及点到直线的距离最小值即可作答.【详解】直线交轴于点，交轴于点，所以直线在x和y轴上的截距之和为；

圆，即的圆心，半径为，点到直线的距离，因此圆上的动点到直线的距离最小值为，所以面积的最小值为.故答案为：；8．（2324高二上·湖南常德·期中）著名数学家阿波罗证明过这样的一个命题：平面内到两定点距离之比为常数的点轨迹是圆，后世将这个圆称为阿氏圆．若平面内两定点A，B的距离为2，动点P满足，当P，A，B不共线时，求三角形PAB面积的最大值．【答案】/【分析】建立直角坐标系，根据题意，求得动点P轨迹，再结合求出三角形高的最大值，进而即可求解．【详解】设以所在的直线为轴，以线段垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，不妨设，，，如图所示，

由，则，整理得，所以动点P轨迹为以为圆心，以为半径的圆，当点P到轴距离最大，即最大距离为时，的面积最大，所以面积的最大值为．故答案为：．9．（2324高二上·福建福州·期中）已知圆，从点向圆作两条切线、，切点分别为、，若，则点到直线的最小距离为．【答案】【分析】连接、，分析可知为正方形，可得出，可知的轨迹是以点为圆心，半径为的圆，求出圆心到直线的距离，利用圆的几何性质可求得点到直线的距离的最小值.【详解】圆的圆心为，半径为，连接、，

则，，又因为，且，所以，四边形为正方形，则，即，即，所以，点的轨迹方程为，即点的轨迹是以点为圆心，半径为的圆，圆心到直线的距离为，因此，点到直线的最小距离为.故答案为：.四、解答题10．（2324高二上·河南郑州·阶段练习）平面直角坐标系中有一个，已知，，且．(1)求顶点A的轨迹方程；(2)求的面积的最大值．【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用两点距离公式及已知求轨迹方程，注意三点构成三角形；（2）确定圆上点到x轴最大距离，即可得三角形最大面积.【详解】（1）设，又，，且，∴，整理得，由于三点要构成三角形，轨迹方程需去掉x轴上交点，∴顶点A的轨迹方程为；

（2）可化为，即圆的半径为∴A到x轴的最大距离为，故的面积的最大值为.11．（2324高二上·贵州六盘水·阶段练习）已知圆的圆心的坐标为，且经过点．(1)求圆的标准方程；(2)若为圆上的一个动点，求点到直线的距离的最小值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据题意，求得圆的半径为，结合圆的标准方程，即可求解；（2）根据题意，求得圆心到直线距离为，进而求得点到直线的距离的最小值．【详解】（1）解：因为圆的圆心的坐标为，且经过点，可得圆的半径为，所以圆的标准方程为．（2）解：由题意，圆心到直线的距离为，所以点到直线的距离的最小值为【能力提升】一、单选题1．（2223高二上·广东深圳·阶段练习）已知点，点在圆上，则△的面积的最小值为（

）A． B．3 C．2 D．【答案】D【分析】首先求出直线AB的方程和线段AB的长度，利用圆心到直线的距离再减去圆的半径得出△ABC的高的最小值，即可求解.【详解】圆的圆心，半径为1∵，则，直线圆心到直线的距离∵△ABC的面积最小时，点C到直线AB的距离最短，该最短距离即圆心到直线AB的距离减去圆的半径∴边上高的最小值为，则的最小值为故选：D.2．（2023高二·江苏·专题练习）阿波罗尼斯证明过这样的命题：平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将这类圆称为阿氏圆．在平面直角坐标系中，点、，动点P到点的距离之比为，当不共线时，面积的最大值是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】建立直角坐标系，根据题意，求得圆的方程，结合图象和圆的性质，即可求解.【详解】以所在的直线为轴，以线段垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示，由，，设，则，整理得，即轨迹为以为圆心，半径为的圆，当点P到轴距离最大时，的面积最大，所以面积的最大值是，故选：A.

3．（2324高二上·天津·期中）已知点，，点C为圆上一点，则的面积的最大值为（

）A．12 B． C． D．6【答案】D【分析】先求解出直线的方程，然后将圆心到直线的距离再加上半径作为的高的最大值，由此求解出的面积的最大值.【详解】因为，，所以，又因为圆的方程为，所以圆心为，半径为，所以圆上点到直线的最大距离为，所以的面积的最大值为，故选：D.4．（2324高二上·四川遂宁·期中）圆C：上一点P到直线：的距离的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据圆的方程，求出圆心和半径，由圆心到直线的距离大于半径，所以圆C上一点P到直线的距离的最小值，求解即可.【详解】圆C：的圆心为，半径为，直线：可化为，圆心到直线的距离为，所以圆C上一点P到直线的距离的最小值为.故选：A二、多选题5．（2324高二上·江苏常州·期中）圆与圆相交于、两点，则（

）A．的直线方程为B．公共弦的长为C．线段的垂直平分线方程为D．圆上的点与圆上的点的最大距离为【答案】AD【分析】将两圆方程作差，可得出直线的方程，可判断A选项；求出直线截圆所得弦长，可判断B选项；分析可知，线段的垂直平分线为直线，求出直线的方程，可判断C选项；利用圆的几何性质可判断D选项.【详解】对于A选项，将两圆方程作差可得，即，所以，直线的方程为，A对；对于B选项，圆的标准方程为，圆心为，半径为，圆心到直线的距离为，所以，，B错；对于C选项，圆的标准方程为，圆心为，半径为，连接、、、，因为，所以，直线过圆心，易知为的中点，又因为，所以，，所以，垂直平分线段，，则直线的方程为，即，C错；对于D选项，圆上的点与圆上的点的最大距离为，D对.故选：AD.6．（2324高二上·四川攀枝花·期末）已知圆，圆，则下列说法正确的是（

）A．若点在圆的内部，则B．若圆，外切，则C．圆上的点到直线的最短距离为1D．过点作圆的切线，则的方程是或【答案】BCD【分析】根据点在圆的内部解不等式即可判断A错误；利用圆与圆外切，由圆心距和两半径之和相等即可知B正确；利用点到直线的距离公式及直径是圆中最长的弦即可知C正确；对直线的斜率是否存在进行分类讨论，由点到直线距离公式即可得D正确.【详解】对于A，因为，则的方程恒表示圆，由点在圆的内部，得，解得，故A错误；对于B，圆的标准方程为，圆心为，半径，圆的标准方程为，圆心为，半径，若圆，外切，则，即，解得，故B正确；对于C，由圆的圆心为，半径，所以圆的圆心到直线的距离为，所以圆上的点到直线的最短距离为，故C正确；对于D，当的斜率不存在时，的方程是，圆心到的距离，满足要求，当的斜率存在时，设的方程为，圆心到的距离为，解得，所以的方程是，综上，的方程是或，故D正确.故选：BCD.三、填空题7．（2023高二上·全国·专题练习）圆上的点到直线的距离的最大值为.【答案】【分析】先求出圆心到直线的距离，再加上圆的半径即可得解.【详解】圆的圆心为，半径，则圆心到直线的距离为，所以圆上的点到直线的距离的最大值为.故答案为：8．（2223高二上·陕西西安·期末）已知直线与圆，则圆上的点到直线的距离的最小值为.【答案】【分析】由圆的方程可确定圆心和半径，根据圆的几何性质可知所求最小值为圆心到直线的距离减去半径.【详解】由圆方程得：圆心，半径，圆心到直线的距离，圆上的点到直线距离的最小值为.故答案为：.9．（2324高二上·安徽·阶段练习）已知半径为的圆C经过点，则圆心C到直线的距离的最大值为．【答案】【分析】确定圆心C的轨迹方程，利用点到直线的距离公式，求出到直线l的距离，加上轨迹的半径，即得答案.【详解】设圆心C的坐标为，因为半径为的圆C经过点,所以，所以点C的轨迹是以为圆心，为半径的圆，

故圆心C到直线的距离的最大值为点A到直线l的距离加上半径，即，故答案为：四、解答题10．（2324高二上·全国·课后作业）已知点P为圆上的动点，求点P到直线的距离的最小值.【答案】【分析】根据题意可知，当为过圆心作直线的垂线与圆的交点（靠近直线）的时候，到已知直线的距离最短，所以利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，然后减去半径即可求出最短距离.【详解】把圆的方程化为标准方程得：所以圆心，圆的半径，则圆心到直线的距离如图，过圆心作垂直直线，交圆于点（靠近直线），此时点到直线的距离最短，即动点到直线距离的最小值为.

11．（2324高二上·内蒙古·阶段练习）已知为圆上一动点，为直线上一个动点．(1)求圆心的坐标和圆的半径；(2)求的最小值．【答案】(1)圆心坐标为，半径为(2)【分析】（1）化简圆的方程为标准方程，进而求得圆的圆心坐标和半径；（2）求得圆心到直线的距离，结合圆的性质，即可求解.【详解】（1）解：由题意，圆的方程可化为，所以圆心的坐标为，圆的半径为．（2）解：由题意，圆心到直线的距离为，所以，即的最小值为【创新拓展】一、单选题1．（2324高二上·浙江杭州·期中）已知直线：与直线：相交于点，则当实数变化时，点到直线的距离的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由已知可知直线，分别过定点，，且两直线垂直，点的轨迹是以为直径的圆，点到直线的距离的最大值即为圆心到直线的距离与半径的和.【详解】由已知直线，分别过定点，，当时，：，：，交点为，当时，直线的斜率为，直线的斜率为，斜率的乘积为，所以，所以点的轨迹是以为直径的圆，圆心坐标为，半径，所以圆的方程为，不包括点，点满足该方程，圆心到直线的距离为，所以点到直线的距离的最大值为.故选：.二、多选题2