三角函数及解三角形专题九讲义高三数学一轮复习

人教A版数学三角函数及解三角形专题九知识点一正弦定理边角互化的应用,三角形面积公式及其应用,求三角形中的边长或周长的最值或范围典例1、在中，内角，，的对边分别为，，，且请在①，②，③这三个条件中任选两个，将问题（1）补充完整，然后解答问题（1）已知______，计算的面积；（2）当时，求的周长的最大值.注：如选择多种搭配方式分别解答，按第一个解答计分.拓展练习：在①，②，③三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答．在中，的面积为，角A，B，C的对边分别为a，b，c且选条件：_____________．（1）求；（2）作，使得四边形满足，求的取值范围．典例2、在中，内角的对边分别为，且______．在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在上面的问题中，并进行解答．（1）求角的大小；（2）若角的内角平分线交于，且，求的最小值．

拓展练习：在①，②，请在这两个条件中任选一个，补充到下面问题中，并完成解答.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设为的面积，满足______________(填写序号即可)．（1）求角C的大小；（2）若，求周长的最大值．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.典例3、在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答.在锐角中，内角的对边分别为，且满足__________.（1）求角的大小；（2）若，角与角的内角平分线相交于点，求面积的取值范围.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

拓展练习：在中，内角A，，所对的边分别是，，，记的面积为S.已知_________.从①，②，③三个条件中选择一个填在上面的横线上，并解答下列问题.（注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分）（1）求角A的大小；（2）若边长，求的周长的取值范围.知识点二余弦定理解三角形,三角形面积公式及其应用典例4、设的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且有（1）求角的大小；（2）从下列条件①、条件②、条件③中选一个作为已知，使唯一确定，并求的面积．条件①：边上的高为；条件②：，；条件③：，．

拓展练习：在中，，，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一，并求:（1）的值；（2）的面积.条件①：；条件②：；条件③：.典例5、已知a､b､c分别为的三个内角A､B､C的对边.现有如下四个条件：①；②；③；④.（1）对条件①化简，并判断含有条件①的三角形的形状；（2）从以上四个条件中任选几个作为一个组合，请写出能构成三角形的所有组合，并说明理由；（3）从上述能构成三角形的组合中任选一组，求出对应三角形边c的长及三角形面积.

拓展练习：在①，，②，，③，这三个条件中选一个合适的补充在下面的横线上，使得问题可以解答，并写出完整的解答过程．问题：在钝角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，．（1）求△ABC的面积；（2）求△ABC外接圆的半径与内切圆的半径．典例6、在①，②③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答.在中，角所对的边分别为，且.（1）求角的大小；（2）若，求的面积.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

拓展练习：已知的内角的对边分别为,且.（1）求的值;（2）给出以下三个条件:条件①:;条件②:,;条件③:.这三个条件中仅有两个正确,请选出正确的条件并回答下面的问题:（i）求的值;（ii）求的角平分线的长.人教A版数学三角函数及解三角形专题九答案典例1、答案：（1）答案见解析（2）15解：（1）因为，由正弦定理可得，即所以，即又，所以，而，故，若选①，②，则由余弦定理，得，解得所以的面积为若②选，③，则是等边三角形，所以，所以的面积为若选①，③，则是等边三角形，所以所以的面积为（2）由基本不等式，可得.由余弦定理得，所以，当且仅当时等号成立，所以，当且仅当时等号成立，即的周长的最大值为.拓展练习：：答案：（1）条件选择见解析，；（2）.解：（1）若选①：由，根据正弦定理可得，即，即，可得，因为，所以；选②：由，根据正弦定理可得，可得，即，又由余弦定理，可得，因为，所以，若选③：由，可得，即，可得，因为，所以；（2）设，则，在中，由正弦定理得，可得．在中，由正弦定理得，可得，因为，所以可得，当时，即，可得，当时，即，可得，所以的取值范围是．拓展练习：答案：（1）（2）解：（1）若选条件①，由正弦定理得：，，，，则，又，.若选条件②，由得：，，则，又，.若选条件③，由得：，，即，又，，.（2），，即，，，（当且仅当，即时取等号），的最小值为.拓展练习：答案：（1）（2）解：（1）若选①，因为，所以，所以，所以，因为，所以若选②，因为，由正弦定理得，所以，即，，，，又，.（2）由余弦定理得，因此，，当且仅当时等号成立，所以的周长因此的周长的最大值为.典例3、答案：（1）（2）解：（1）①由可得，因为为锐角三角形，所以，即；，得（舍去）,.故.②由可得，即因为为锐角三角形，所以，且故.③由得化简可得；因为为锐角三角形，所以，即故.（2）已知,角与角的内角平分线相交于点,故,根据正弦定理;设即，；因为为锐角三角形，所以，得；即故的面积取值范围为：拓展练习：答案：（1）无论选择①②③，；（2）解：（1）若选①，由正弦定理边化角可得，因为，所以，所以，解得；若选②，由正弦定理边化角可得，所以，所以，因为，，所以，解得；若选③，由余弦定理可得，所以，所以，所以因为，所以（2）由（1）得，由正弦定理得，所以，因为，所以，当时，有最大值为4，所以，所以的周长的取值范围为典例4、答案：（1）（2）答案见解析.解：（1）由题，因.则，因A为三角形内角，所以A.（2）若选择①，设边上的高为，则，得.因题目条件不足，故无法唯一确定.若选择②，由正弦定理及（1），有.因，又题目条件不足，故无法判断B为钝角还是锐角，则无法唯一确定.若选择③，由正弦定理，及，则.又由余弦定理及（1），有，得，.此时唯一确定，.综上选择③时，唯一确定，此时的面积为拓展练习：答案：（1）（2）解：（1）若选条件①，则，，，由正弦定理得：，得，因为，所以，而，所以在上有两根，不唯一.若选条件②，，，，由余弦定理得：，代入数据解得：或（舍）.若选条件③：，，，所以，由正弦定理得：，代入数据得：，所以，由余弦定理得：，代入数据得：，解得或（舍）综上：.因为，，，所以.典例5、答案：（1），钝角三角形；（2）①③④和②③④；（3）答案见解析.解：（1）因为，故可得，即，由余弦定理可得，又，故可得，则含有条件①的三角形的形状为钝角三角形.条件①的化简结果为：；条件②：，由整形定理可得，即，又故可得，又，则；因为，又，故可得，则条件①和条件②不能同时选择.故能构成三角形的所有组合为：①③④和②③④.（2）当选择①③④时，由余弦定理可得：，整理得：，解得（舍）或即，此时三角形的面积.当选择②③④时，由余弦定理可得，整理得：，解得或，此时三角形有两解，当时，三角形的面积；当时，三角形的面积.综上所述：选择①③④时，，三角形的面积；选择②③④，时，三角形的面积，时，三角形的面积.拓展练习：答案：（1）选①③不合题意，选②面积为（2）解：（1）若选①，则，，，可得，则△ABC为锐角三角形，不合题意；若选③，则，，，可得，则△ABC为锐角三角形，不合题意；若选②，因为，所以，故△ABC的面积．（2）由（1）知选①③不合题意；若选②，设△ABC外接圆的半径为R，由正弦定理得，所以．设△ABC内切圆的半径为r，由，得．典例6、答案：（1）条件选择见解析，（2）解：（1）选择条件①，由及正弦定理，可得，即，

由余弦定理，得，因为，所以.选择条件②，由及正弦定理，可得，即，即.在中，，所以，即，因为，所以，所以，因为，所以.若选条件③，，则，由，有，由，所以，因为，所以，所以.（2）由正弦定理得，所以，因为，所以，所以，若，由余弦定理得，即，所以，因为，所以，所以的面积为.拓展练习：答案：（1）（2）①③正确,（i）;（i