微专题13复数9题型总结（原卷版）

微专题13复数9题型总结题型1复数的有关概念（一）复数的实部与虚部（二）共轭复数（三）复数相等（四）复数分类题型2待定系数求复数题型3复数的模（一）求复数的模（二）由复数模求参数（三）与复数模相关的轨迹（图形）问题题型4复数的四则运算（一）复数的运算（二）复数范围内方程根的问题题型5复数的几何意义（一）与复数对应点(向量)有关的运算（二）判断复数对应点所在的象限（三）根据复数对应坐标的特点求参数题型6复数的综合问题题型7复数的新定义问题题型8欧拉公式及其应用题型9复数与其他知识的交汇1.复数的概念概念定义复数把形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位.复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi，其中a与b分别叫做复数z的实部与虚部复数集全体复数所构成的集合，即C＝{a＋bi|a，b∈R}复数相等a＋bi＝c＋di⇔a＝c，b＝d，其中a，b，c，d∈R复数分类复数z＝a＋bi(a，b∈R)的分类：复数eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(实数（b＝0），,虚数（b≠0）（当a＝0时为纯虚数)))共轭复数一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数，虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数.复数z的共轭复数用z表示，即如果z＝a＋bi(a，b∈R)，那么z＝a－bi复平面建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴.显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数复数的模复数z＝a＋bi(a，b∈R，i为虚数单位)对应的向量为eq\o(OZ,\s\up6(→))，则向量eq\o(OZ,\s\up6(→))的模叫做复数z＝a＋bi的模或绝对值，记作|z|或|a＋bi|.即|z|＝|a＋bi|＝eq\r(a2＋b2)，其中a，b∈R.复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模就是复数z＝a＋bi在复平面内对应的点Z(a，b)到坐标原点的距离2.解决复数概念问题的方法及注意事项(1)求一个复数的实部与虚部，只需将已知的复数化为代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)，则该复数的实部为a，虚部为b；(2)求一个复数的共轭复数，只需将此复数整理成标准的代数形式，实部不变，虚部变为相反数，即得原复数的共轭复数．复数z1＝a＋bi与z2＝c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．(3)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．所以解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部．①复数是实数的条件:①z=a+bi∈R⇔b=0(a,b∈R);②z∈R⇔z=z;③z∈R⇔z2≥0.②复数是纯虚数的条件:①z=a+bi是纯虚数⇔a=0且b≠0(a,b∈R);②z是纯虚数⇔z+z=0(z≠0);③z是纯虚数⇔z2<0.3.解决复数问题最基本的思想方法复数问题标准化、实数化是解决复数问题最基本的思想方法.复数概念中应注意的几点：①对于复数m＋ni，如果m，n∈C(或没有明确界定m，n∈R)，则不可想当然地判定m，n∈R；②易误认为y轴上的点与纯虚数一一对应(注意原点除外)；③对于a＋bi(a，b∈R)为纯虚数的充要条件，只注意了a＝0而漏掉了b≠0.4.复数的几何意义为方便起见，我们常把复数z＝a＋bi说成点Z或说成向量eq\o(OZ,\s\up6(→))，并且规定，相等的向量表示同一个复数.5.对复数几何意义的再理解(1)复数z、复平面上的点Z及向量eq\o(OZ,\s\up7(→))相互联系，即z＝a＋bi(a，b∈R)⇔Z(a，b)⇔eq\o(OZ,\s\up7(→))；(2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．6.两个复数的差的模的几何意义|z|的几何意义：令z＝x＋yi(x，y∈R)，则|z|＝eq\r(x2＋y2)，由此可知表示复数z的点到原点的距离就是|z|的几何意义；|z1－z2|的几何意义是复平面内表示复数z1，z2的两点之间的距离．即设复数在复平面内对应的点分别是，则=一般地，设复数对应的点分别是,则复数z对应的点Z的轨迹如下：①若，则为圆；②若，则为圆环，但不包括边界；③若，则为垂直平分线；④若常数，则当常数大于AB时，为椭圆；当常数等于AB时，为线段；当常数小于AB时，不存在；⑤若常数，则当常数大于AB时，不存在；当常数等于AB时，为一条射线；当常数小于AB时，为双曲线的一支.7.复数的四则运算(1)运算法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则①z1±z2＝(a±c)＋(b±d)i.②z1z2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.③eq\f(z1,z2)＝eq\f(ac＋bd,c2＋d2)＋eq\f(bc－ad,c2＋d2)i(z2≠0).注：①复数的计算除了掌握基本运算法则外，最好熟记一些常见算式运算的结果，这对提高运算的速度和准确度都有很大的帮助.②除法的关键是“分母实数化”.(2)复数加、减法的几何意义加法复数z1＋z2是以eq\o(OZ1,\s\up6(→))，eq\o(OZ2,\s\up6(→))为邻边的平行四边形的对角线OZ所表示的向量eq\o(OZ,\s\up6(→))所对应的复数减法复数z1－z2是从向量eq\o(OZ2,\s\up6(→))的终点指向向量eq\o(OZ1,\s\up6(→))的终点的向量eq\o(Z2Z1,\s\up6(→))所对应的复数(3)复数加法的运算律：对任意z1，z2，z3∈C，有交换律z1＋z2＝z2＋z1结合律(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)(4)复数乘法的运算律：对于任意z1，z2，z3∈C，有交换律z1z2＝z2z1结合律(z1z2)z3＝z1(z2z3)分配律z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3(5)共轭与模是复数的重要性质，运算性质有：①；②；③；④；⑤；⑥.(6)常用结论①(a±bi)2＝a2±2abi－b2(a，b∈R)；②(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R)；③(1±i)2＝±2i；eq\f(1＋i,1－i)＝i，eq\f(1－i,1＋i)＝－i.④i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i其中n∈N*，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N*)．8.复数代数形式运算问题的解题策略复数的加减法在进行复数的加减法运算时，可类比合并同类项，运用法则(实部与实部相加减，虚部与虚部相加减)计算即可复数的乘法复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可复数的除法除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i的幂写成最简形式在含有z，z，|z|中至少两个的复数方程中，可设z＝a＋bi，a，b∈R，变换方程，利用两复数相等的充要条件得出关于a，b的方程组，求出a，b，从而得出复数z.9.复数范围内实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式为(1)当Δ≥0时，x＝eq\f(－b±\r(b2－4ac),2a)；(2)当Δ<0时，x＝eq\f(－b±\r(－b2－4ac)i,2a).注：实系数方程的虚数根必共轭成对出现10.复数范围内解方程的一般思路是：依据题意设出方程的根，代入方程，利用复数相等的充要条件求解．对于一元二次方程，也可以利用求根公式求解，要注意在复数范围内负数是能开方的，此外，根与系数的关系也是成立的（依然满足韦达定理）．注意求方程中参数的取值时，不能利用判别式求解．注：由于虚数单位的特殊性，不能用判别式判断复系数一元二次方程有无实数根．一、题型1复数的有关概念（一）复数的实部与虚部1．（2223高二下·内蒙古赤峰·期末）已知复数z满足，则z的虚部是（

）A．－1 B．1 C． D．i2．（2223高一下·浙江宁波·期末）已知复数，则的共轭复数的虚部为（

）A．1 B．i C． D．3．（2223高二下·陕西榆林·期末）已知复数（为虚数单位），则复数的实部为（

）A．2 B．1 C． D．4．（2324高三上·安徽亳州·期末）已知复数，则“”是“的实部小于0”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件5．（2324高一下·江苏镇江·期中）已知复数的实部与虚部互为相反数，则的取值不可能为（

）A． B． C． D．（二）共轭复数6．【多选】（2324高一下·山西忻州·阶段练习）关于复数z，下面是真命题的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则7．（2024·山西临汾·三模）已知复数满足：，则．8．（2324高二上·云南·期末）复数（为虚数单位），则复数的共轭复数为（）A． B．C． D．9．（2324高一下·四川巴中·阶段练习）已知复数满足，的共轭复数为，则（

）A．6 B．5 C．4 D．310．（2223高一下·湖南长沙·期末）已知复数满足（为虚数单位），则复数的共轭复数的虚部是（

）A．1 B． C． D．（三）复数相等11．（2021高一·全国·课后作业）已知x、，若，则．12．（2324高三上·青海西宁·期末）复数，满足，则（

）A． B． C．3 D．413．（2223高一下·新疆和田·期末）若，其中，是虚数单位，则（

）A． B． C． D．14．（2324高二上·贵州六盘水·期末）已知复数且，其中为虚数单位，则（

）A．－4 B．－3 C．－2 D．015．（2324高三下·江苏南通·开学考试）设，为虚数单位．若集合，且，则．16．（2324高一下·河南郑州·期中）已知复数，，并且，则．（四）复数分类17．【多选】（2324高一下·江苏泰州·期中）对于复数，则下列结论中错误的是（

）A．若，则为纯虚数 B．若，则C．若，则为实数 D．若，则不是复数18．（2223高一下·上海奉贤·期末）是复数为纯虚数的（

）A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件19．（2223高一下·山西阳泉·期末）若复数是纯虚数，则实数的值为（

）A．0 B．2 C．3 D．0或220．（2024·江苏南通·模拟预测）已知复数，（其中为虚数单位，）.若是纯虚数，则（

）A． B． C．1 D．421．（2324高三上·天津南开·期末）已知复数，若是实数，则实数的值为.22．（2324高三上·内蒙古锡林郭勒盟·期末）复数，其中为实数，若为实数，为纯虚数，则（

）A．6 B． C． D．7题型2待定系数求复数23．【多选】（2223高一下·辽宁辽阳·期末）已知复数满足，则（

）A． B．是纯虚数C． D．复数z在复平面内对应的点在第四象限24．（2223高一下·辽宁·期末）已知复数满足，则．25．（2223高一下·湖北荆门·期末）已知复数满足，则（

）A．1 B．2 C． D．26．（2223高一下·陕西安康·期末）已知复数满足，则（

）A． B． C． D．27．（2324高三上·重庆·阶段练习）已知复数满足，则复数的虚部为（

）A． B． C． D．题型3复数的模（一）求复数的模28．【多选】（2122高一·全国·课后作业）关于复数，给出下列命题正确的是（

）A． B．C． D．.29．【多选】（2024·福建莆田·三模）若z是非零复数，则下列说法正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则30．【多选】（2324高一下·福建莆田·期中）设，，为复数，，下列命题中正确的是（

）A．若则 B．若则C．若则 D．31．（2018·河北石家庄·一模）若复数满足，其中为虚数单位，则（

）A．2 B． C． D．332．（2223高二下·贵州六盘水·期末）已知复数（是虚数单位，，），则（

）A．5 B． C． D．33．（2324高二上·四川成都·期末）若复数满足，则的最小值为（

）A． B． C． D．34．（2024·江苏·模拟预测）若复数，则的最大值是（

）A． B． C． D．（二）由复数模求参数35．（2223高一下·北京海淀·期末）已知复数的模为5，则.36．（2223高一下·上海长宁·期末）若复数，则实数．37．（2223高一下·河北石家庄·期末）已知复数z满足，若复数的模为，则实数（

）A．1 B．2 C．3 D．038．（2223高一下·内蒙古包头·期末）已知复平面内复数对应的点在射线上，且，则．39．（2223高一下·广东佛山·期末）设复数、，满足，，则．（三）与复数模相关的轨迹（图形）问题40．（2324高三上·湖南·阶段练习）设复数z满足，z在复平面内对应的点为，则（

）A． B．C． D．41．（2023高一·上海·专题练习）已知复数且，则的最小值是（

）A． B． C． D．42．（2223高一下·河南郑州·期中）已知复数和满足，且，则的最小值是．43．（2024·辽宁·二模）已知i是虚数单位，复数z满足，则的最小值为（

）A． B．1 C． D．344．（2324高一下·福建福州·期中）已知复数满足，则最小值是（

）A．3 B．4 C．5 D．6题型4复数的四则运算（一）复数的运算45．（2324高三上·河北沧州·期末）若，则（

）A． B． C． D．46．（2011·四川广安·一模）（

）A． B． C． D．147．（2324高三上·辽宁·期末）若复数，则（

）A． B．C． D．48．（2324高三上·福建福州·期末）设复数（为虚数单位），则.49．（2324高三上·山东聊城·期末）设，则（

）A．1 B． C． D．50．（2324高三上·广东·期末）已知复数满足，则（

）A． B． C．1 D．51．（2324高二上·湖北恩施·期末）已知复数，则（

）A．0 B．1 C． D．52．（2324高二上·山东威海·期末）已知集合，则的元素个数为（

）A． B． C． D．（二）复数范围内方程根的问题53．（2223高一下·上海奉贤·期末）已知是实系数一元二次方程的一个根，则实数=.54．（2223高一下·安徽芜湖·期中）若复数是方程的一个根，则的虚部为．55．（2023·湖南岳阳·模拟预测）已知为虚数单位，是关于的方程的一个根，则实数（

）A．2 B．3 C．4 D．556．（2223高一下·安徽宣城·期末）若复数是关于x的方程()的一个根，则．57．（2324高三上·湖南衡阳·期末）在复数范围内，是方程的两个不同的复数根，则的值为（

）A．1 B． C．2 D．或2题型5复数的几何意义（一）与复数对应点（向量）有关的运算58．（2324高三上·江苏常州·期末）在复平面内，复数对应的向量为，复数对应的向量为，那么向量对应的复数是（

）A．1 B． C． D．59．（2024·全国·模拟预测）如图，在复平面内，复数，对应的向量分别是，，则对应的点位于（

）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限60．（2324高一·全国·课后作业）如图，设向量，，所对应的复数为，那么（

）A．B．C．D．61．（2324高三上·上海嘉定·期末）在复平面内复数所对应的点为，O为坐标原点，i是虚数单位.(1)，计算与；(2)设，求证：，并指出向量满足什么条件时该不等式取等号.（二）判断复数对应点所在的象限62．（2223高一下·湖南邵阳·期末）实数时，复数在复平面内对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限63．（2223高一下·北京通州·期末）已知是复平面内表示复数的点，若复数是虚数，则点P（

）A．在虚轴上 B．不在虚轴上 C．在实轴上 D．不在实轴上64．（2223高一下·陕西商洛·期末）已知复数在复平面内对应的点位于第四象限．(1)若的实部与虚部之和为7，且，求；(2)若，且的实部不为0，讨论在复平面内对应的点位于第几象限．65．（2024·陕西商洛·模拟预测）已知复数，为虚数单位，则在复平面内复数所对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限（三）根据复数对应坐标的特点求参数66．（2324高三上·北京朝阳·期末）设，若复数在复平面内对应的点位于虚轴上，则（

）A． B． C． D．67．（2023·河北邢台·模拟预测）若复数的共轭复数在复平面内对应的点位于第四象限，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．68．（2021高一下·江苏无锡·期末）已知复数在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是.69．（2223高二下·宁夏石嘴山·期末）若复数在复平面内对应的点位于第二象限，则实数m的取值范围是（

）A． B．C． D．70．（2223高一下·福建福州·期末）已知复数．(1)若在复平面内的对应点位于第二象限，求的取值范围；(2)若为纯虚数，设，在复平面上对应的点分别为A，B，求线段AB的长度．71．（2324高一下·浙江宁波·期中）已知复数，，（，是虚数单位）．(1)若在复平面内对应的点落在第一象限，求实数的取值范围；(2)若是实系数一元二次方程的根，求实数的值；(3)若，且是实数，求实数的值．题型6复数的综合问题72．【多选】（2324高二上·云南昆明·期末）已知复数，则下列说法正确的是（

）A．的虚部为 B．复数在复平面内对应的点位于第二象限C．的共轭复数 D．73．【多选】（2223高一下·湖南湘西·期末）已知是虚数单位，若，则（

）A．复数的虚部为； B．复数对应的点在第二象限；C．；D．复数是关于的方程的一个根.74．【多选】（2223高一下·吉林长春·期末）已知是虚数单位，是复数，则下列叙述正确的是（

）A．B．若复数，则为纯虚数的充要条件是C．若，则在复平面内对应的点的集合确定的图形面积为D．是关于的方程的一个根75．【多选】（2223高一下·吉林·期末）设复数，满足，，则下列结论中正确的是（

）A．的共轭复数为B．C．若是方程的根，则D．76．【多选】（2324高一下·重庆·期中）已知复数的共轭复数记为，对于任意的两个复数，，与下列结论错误的是（

）A．若复数，则其对应复平面上的点在第二象限B．若复数满足，则C．D．77．【多选】（2223高一上·湖南长沙·期末）已知i为虚数单位，，.则下列选项中正确的有（）A．B．C．D．在复数范围内为方程的根题型7复数的新定义问题78．（2122高一下·河南安阳·阶段练习）定义：若，则称复数是复数的平方根.根据定义，复数的平方根为（

）A．， B．，C．， D．，79．（2223高一下·江苏南京·期末）若定义一种运算：.已知为复数，且.(1)求复数；(2)设为实数，若为纯虚数，求的最大值.80．（2324高一下·黑龙江大庆·期中）定义运算，则满足（为虚数单位）的复数在复平面内对应的点在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限81．（2223高一下·上海静安·期末）设复数，，其中.现在复数系中定义一个新运算，规定：.(1)已知，求实数x的值；(2)现给出如下有关复数新运算性质的两个命题：①；②若，则或.请判定以上两个命题是真命题还