人教八年级上册数学三角形复习讲义无答案

一、三角形相关概念1．三角形的概念：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连结所组成的图形叫做三角形。要点：①三条线段；②不在同一直线上；③首尾顺次相接．2．三角形的表示：通常用三个大写字母表示三角形的顶点，如用A、B、C表示三角形的三个顶点时，此三角形可记作△ABC，其中线段AB、BC、AC是三角形的三条边，∠A、∠B、∠C分别表示三角形的三个内角。3．三角形中的三种重要线段：三角形的角平分线、中线、高线是三角形中的三种重要线段．（1）三角形的角平分线：三角形一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线．注意：①三角形的角平分线是一条线段，可以度量。而角的平分线是经过角的顶点且平分此角的一条射线．②三角形有三条角平分线且相交于一点。这一点一定在三角形的内部．③三角形的角平分线画法与角平分线的画法相同，可以用量角器画，也可通过尺规作图来画。（2）三角形的中线：在一个三角形中，连结一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线．注意：①三角形有三条中线，且它们相交三角形内部一点．②画三角形中线时只需连结顶点及对边的中点即可．（3）三角形的高线：从三角形一个顶点向它的对边作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高．注意：三角形的三条高是线段锐角三角形三条高线的交点在三角形内部，直角三角形的三条高线的交点在直角顶点上，钝角三角形三条高线的交点在三角形外部。③画三角形的高时，只需要向对边或对边的延长线作垂线，连结顶点与垂足的线段就是该边上的高．（二）三角形三边关系定理：①三角形两边之和大于第三边。故同时满足△ABC三边长a、b、c的不等式有：a+b>c，b+c>a，c+a>b．②三角形两边之差小于第三边。故同时满足△ABC三边长a、b、c的不等式有：a>b-c，b>a-c，c>b-a．注意：判定这三条线段能否构成一个三角形，只需看两条较短的线段的长度之和是否大于第三条线段即可（三）三角形的稳定性：三角形的三边确定了，那么它的形状、大小都确定了，三角形的这个性质就叫做三角形的稳定性．例如起重机的支架采用三角形结构就是这个道理．三角形内角和性质的推理方法有多种，常见的有以下几种：（四）三角形的内角：结论1：三角形的内角和为180°．表示：在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°（1）构造平角①可过A点作MN∥BC(如图)②可过一边上任一点，作另两边的平行线（如图）（2）构造邻补角，可延长任一边得邻补角（如图）构造同旁内角，过任一顶点作射线平行于对边（如图）结论2：在直角三角形中，两个锐角互余．表示：如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，那么∠A+∠B=90°（因为∠A+∠B+∠C=180°）注意：①在三角形中，已知两个内角可以求出第三个内角如：在△ABC中，∠C=180°－（∠A+∠B）②在三角形中，已知三个内角和的比或它们之间的关系，求各内角．如：△ABC中，已知∠A：∠B：∠C=2：3：4，求∠A、∠B、∠C的度数．（五）三角形的外角：1．定义：三角形一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．如图，∠ACD为△ABC的一个外角，∠BCE也是△ABC的一个外角，这两个角为对顶角，大小相等．2．性质：①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.②三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角.如图中，∠ACD=∠A+∠B,∠ACD>∠A,∠ACD>∠B.③三角形的一个外角与之相邻的内角互补3．外角个数：过三角形的一个顶点有两个外角，这两个角为对顶角（相等），可见一个三角形共有六个外角．（六）多边形1.多边形的定义：在平面内，由若干条不在同一条直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭图形叫做多边形。2.凸多边形的定义：画出多边形的任何一条边所在的直线，整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形。如图：3.在平面内，各个角都相等，各条边也都相等的多边形叫做正多边形4.填表：（注下表所列的多边形均为正多边形）３４５６７８９１０内角和180º360º540º720º900º1080º1260º1440º每一个内角的度数60º90º108º120º900º/7135º140º144º外角和360º每一个外角的度数120º90º72º60º360º/745º40º36º①n边形的内角和为（n－2）×180°②多边形的外角和为360°③多边形的对角线条对角线多边形的镶嵌1.镶嵌：用一些形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙，不重叠地把平面的一部分完全覆盖，这就是平面图形的镶嵌．注意：各种图形拼接后要既无缝隙，又不重叠镶嵌：①.用边长相同的正三角形可以镶嵌②.用边长相同的正方形可以镶嵌用边长相同的正六边形可以镶嵌④形状、大小完全相同的任意三角形可以镶嵌⑤形状、大小完全相同的任意四边形可以镶嵌⑥用边长相同的正五边形、正八边形不能镶嵌3.镶嵌平面图案需要的什么条件：拼接在同一个点的各个角的和恰好等于360度。即：要用几个形状、大小完全相同的图形不留空隙、不重叠地镶嵌一个平面，需使得拼接点处的各角之和为360°。要用正多边形镶嵌成一个平面的关键是看：这种正多边形的一个内角的倍数是否是360°，在正多边形里，正三角形的每个内角都是60°，正四边形的每个内角都是90°，正六边形的每个内角都是120°，这三种多边形的一个内角的倍数都是360°，而其他的正多边形的每个内角的倍数都不是360°，所以说：在正多边形里只有正三角形、正四边形、正六边形可以镶嵌，而其他的正多边形不可镶嵌．4.多种正多边形的平面镶嵌几种情况：①正三角形+正方形可以镶嵌（3△、2□）②正三角形+正六边形可以镶嵌（2△、2正六方边形或4△、1正六方边形）③正八变形+正方形可以镶嵌（2个正八变形与1个正方形）④正三角形+正12边形可以镶嵌（2个正12变形与1个正三角形）⑤正五变形+正三角形+正方形可以镶嵌（2正五变形、1个正三角形和1个正方形）⑥正六边形+正方形+正三角形可以镶嵌（1个正六边形、2个正方形和1个正三角形）（见课件）例：典型例题分析：例1..对下面每个三角形，过顶点A画出中线，角平分线和高.例2.下列说法错误的是().A．三角形的三条高一定在三角形内部交于一点B．三角形的三条中线一定在三角形内部交于一点C．三角形的三条角平分线一定在三角形内部交于一点D．三角形的三条高可能相交于外部一点例3.下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的图形是()变式题1：如图3，在△ABC中，点D在BC上，且AD=BD=CD，AE是BC边上的高，若沿AE所在直线折叠，点C恰好落在点D处，则∠B等于（）A．25°B．30°C．45°D．60°变式题2：如图4，已知AB=AC=BD，那么∠1和∠2之间的关系是（）A.∠1=2∠2B.2∠1+∠2=180°C.∠1+3∠2=180°D.3∠1-∠2=180°例4.如图7，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE的中点，且=4，则等于()A．2B.1C.3例5.如图7，BD=DE=EF=FC，那么，AE是_____的中线。变式题1：如图6，BD=，则BC边上的中线为______，=__________。例6.如图1，在△ABC中，∠BAC=600，∠B=450，AD是△ABC的一条角平分线，则∠DAC=0，∠ADB=011题DCBA变式题1：如图2，在△ABC中，AE是中线，AD是角平分线，AF是高，则根据图形填空：F2题EDCBA⑴BE==；⑵∠BAD==F2题EDCBADCBA变式题2：如图在△ABC中，∠ACB=900DCBA∠BB、∠ACDC、∠BCDD、∠BDC变式题3：在△ABC中，∠A=∠C=∠ABC，BD是角平分线，求∠A及∠BDC的度数（)变式题4：已知，如图，AB∥CD，AE平分∠BAC，CE平分∠ACD，求∠E的度数变式题5：如图，在△ABC中，D,E分别是BC，AD的中点，=4，求.__E_D_B_C_A例7.关于三角形的边的叙述正确的是（）A.三边互不相等B、至少有两边相等C、任意两边之和一定大于第三边D、最多有两边相等例8.已知△ABC中，∠A=200，∠B=∠C，那么三角形△ABC是（）A、锐角三角形B、直角三角形C、钝角三角形D、正三角形例9.下面说法正确的是个数有（）①如果三角形三个内角的比是１∶２∶３，那么这个三角形是直角三角形；②如果三角形的一个外角等于与它相邻的一个内角，则这么三角形是直角三角形；③如果一个三角形的三条高的交点恰好是三角形的一个顶点，那么这个三角形是直角三角形；④如果∠A=∠B=∠C，那么△ABC是直角三角形；⑤若三角形的一个内角等于另两个内角之差，那么这个三角形是直角三角形；⑥在ABC中，若∠A＋∠B=∠C，则此三角形是直角三角形。A、3个B、4个C、5个D、6个例10.一个多边形中，它的内角最多可以有个锐角例11.如图是一副三角尺拼成图案，则∠AEB_________°.BCBCADE例12.下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是()A.3cm,4cm,8cmB.8cm,7cm,15cmC.13cm,12cm,20cmD.5cm,5cm,11cm变式题1.用7根火柴棒首尾顺次连接摆成一个三角形，能摆成的不同的三角形的个数为解析：设三角形的边长分别为x、y、z．则其中x、y、z都是正整数，那么三边长的可能情况有再根据三角形的两边之和大于第三边进行验证，可知只有1，3，3；2，2，3符合要求．变式题2.下列长度的三条线段能组成三角形的是（）A、3，4，8B、5，6，11C、1，2，3D、5，6，10变式题3.等腰三角形两边长分别为3,7，则它的周长为()A、13B、17C、13或17D、不能确定变式题5.△ABC中，如果AB=8cm，BC=5cm，那么AC的取值范围是_________.变式题6.长为11，8，6，4的四根木条，选其中三根组成三角形有种选法，它们分别是变式题7.一个等腰三角形的两条边长分别为8㎝和5㎝，那么它的周长为变式题8..已知a,b,c是三角形的三边长，化简|a-b+c|+|a-b-c|.例13.不是利用三角形稳定性的是()A.自行车的三角形车架B、三角形房架C、照相机的三角架D、矩形门框的斜拉条变式题1：下列图形中具有稳定性的有（）A、正方形B、长方形C、梯形D、直角三角形变式题2：下列图形中具有稳定性有（）A、2个B、3个C、4个D、5个变式题3：如图，一扇窗户打开后用窗钩AB可将其固定，这里所运用的几何原理是()A、三角形的稳定性B、两点确定一条直线C、两点之间线段最短D、垂线段最短变式题4：.桥梁拉杆，电视塔底座，都是三角形结构，这是利用三角形的性；例14.已知△ABC的三个内角的度数之比∠A：∠B：∠C=1：3：5，则∠B=0，∠C=0变式题1如图4，∠1+∠2+∠3+∠4等于多少度；变式题2.如图，已知点P在△ABC内任一点，试说明∠A与∠P的大小关系例15.已知等腰三角形的一个外角是120°，则它是___三角形变式题1.如果三角形的一个外角和与它不相邻的两个内角的和为180°，那么与这个外角相邻的内角的度数为()A.30°B.60°C.90°D.120°变式题2.已知三角形的三个外角的度数比为2∶3∶4，则它的最大内角的度数().A.90°B.110°C.100°D.120°变式题3.如图，下列说法错误的是()A、∠B>∠ACDB、∠B+∠ACB=180°－∠AC、∠B+∠ACB<180°D、∠HEC>∠B变式题3.若一个三角形的一个外角小于与它相邻的内角，则这个三角形是().A、直角三角形B、锐角三角形C、钝角三角形D、无法确定变式题4.如图6，若∠A=10°，∠B=45°，∠C=38°，则∠DFE等于()A.120°B.115°C.110°D.105°变式题5.如图7，∠1=______.变式题6.如图8，则∠1=______,∠2=______,∠3=______,变式题7.已知等腰三角形的一个外角为150°，则它的底角为_______.变式题8.等腰三角形的底边BC=8cm，且|AC－BC|=2cm，则腰长AC为()A.10cm或6cmB.10cmC.6cmD.8cm或6cm例16.如图10,在△ABC中,D是BC边上一点,∠1=∠2,∠3=∠4,∠BAC=63°,求∠DAC的度数.变式题1：如图的平分线和△ABC的外角的平分线交于点D，求的度数变式题2：如图，∠1=∠2=300，∠3=∠4，∠A=800，则，第（变3第（变3）题变式题3：如图,已知∠BOF=120°,则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=___（2400）例17.一个多边形的内角和等于它的外角和，这个多边形是（）A、三角形B、四边形C、五边形D、六边形变式题1.一个多边形内角和是10800，则这个多边形的边数为（）A、6B、7C、8D、9变式题2.一个多边形的内角和是外角和的2倍，它是（）A、四边形B、五边形C、六边形D、八边形变式题3.一个多边形的边数增加一倍，它的内角和增加()A.180°B.360°C.(n-2)·180°D.n·180变式题4.若一个多边形的内角和与外角和相加是1800°，则此多边形是()A、八边形B、十边形C、十二边形D、十四边形变式题5.正方形每个内角都是______，每个外角都是_______。变式题6.如果一个多边形的每一外角都是24°，那么它是______边形。变式题7.将一个三角形截去一个角后，所形成的一个新的多边形的内角和________。变式题8.多边形的一个外角与其内角和的度数总和为600°，求此多边形的边数。解析：设多边形的边数为n，一个外角为x°依题意得（n－2）180°＋x°＝600°即（n－2）180°＝600°－x°∵（n－2）180°是180°的倍数∴600°－x也是180°的倍数∴x°＝60°，n＝5∴此多边形的边数为5变式题9.一个多边形的内角和与外角和之比是5∶2，则这个多边形的边数为______。变式题10.一个多边形截去一个角后,所得的新多边形的内角和为2520°,则原多边形有____条边。变式题11.已知一个十边形中九个内角的和的度数是12900，那么这个十边形的另一个内角为度例17.已知:过m边形的一个顶点有7条对角线,n边形没有对角线,p边形有p条对条线.求(m-p)n.解析：由多边形对角线公式n(n-3)/2可知：p(p-3)/2=p,解得：p=5,n(n-3)/2=0解得：n=3,由m边形的一个顶点可引m-3条对角线，即m-3=7解得：m=10,(m-p)n=(10-5)3=125.变式题1.多边形的每一个内角都等于150°，则从此多边形一个顶点出发引出的对角线有条。变式题2.六边形共有_______条对角线，内角和等于__________，每一个内角等于_______。变式题3.已知一个多边形的内角和是1440°,求这个多边形的对角线的条数.例18.如图，CD∥AF，∠CDE=∠BAF，AB⊥BC，∠BCD=124°,∠DEF=80°．（1）观察直线AB与直线DE的位置关系，你能得出什么结论？并说明理由；（2）试求∠AFE的度数．变式题1.阅读材料，并填表：在△ABC中，有一点P1,当P1,A,B,C没有任何三点在同一条直线上时，可构成三个不重叠的小三角形(如图(1)).当△ABC内的点的个数增加时，若其他条件不变，三角形内互不重叠的小三角形的个数情况怎样？__(3)_(2)_(1)B_A_C_P_1_P_1_C_A_B_P_2_P_2_B_A_C_P_1_P_3完成下表△ABC内点的个数123…1002构成不重叠的小三角形的个数35…例19.下列正多边中，能铺满地面的是（）A、正方形B、正五边形C、等边三角形D、正六边形变式题1.下列正多边形的组合中，能够铺满地面的是（）A、正六边形和正三角形B、正三角形和正方形C、正八边形和正方形D、正五边形和正八边形变式题2.下列正多边形的组合中，能够铺满地面的是().A.正六边形和正三角形B.正三角形和正方形C.正八边形和正方形D.正五边形和正八边形变式题3用正三角形和正十二边形镶嵌，可能情况有()种.A、1B、2C、3D、4变式题4某装饰公司出售下列形状的地砖：①正方形；②长方形；③正五边形；④正六边形.若只选购其中某一种地砖镶嵌地面，可供选用的地砖共有()种.A、1B、2C、3D、4变式题5小李家装修地面，已有正三角形形状的地砖，现打算购买另一种不同形状的正多边形地砖，与正三角形地砖在同一顶点处作平面镶嵌，则小李不应购买的地砖形状是()A、正方形B、正六边形C、正八边形D、正十二边形变式题6用正三角形和正四边形作平面镶嵌，在一个顶点周围，可以有___个正三角形和___个正四边形。变式题7(2)第n个图案中有白色地砖_______块.(4n+2）__第1个_第3个_第?2个变式题8.试用黑白两种相同的正三角形拼地板,请你设计两种效果图.变式题9.下列地板是由正方形、正六边形、正十二边形拼成的,试说明由这三种正多边形能拼地板的理由.变式题10一个广场地面的一部分如图所示,地面的中央是一块正六边形的地砖,周围用正三角形和正方形的大理石地砖拼成,从里往外共12层(不包括中央的正六边形地砖),每一层的外界都围成一个多边形.若中央正六边形地砖的边长是0.5米,则第12层的外边界所围成的多边形的周长是多少?（39m）变式题11.计算用一种正多边形拼成平整、无隙的图案,你能设计出几种方案?画出草图.变式题12.用一个正方形、一个正五边形、一个正二十边形能否镶嵌成平面图案?说明理由.（能：90+108+162=360）变式题13..请你设计在每一个顶点处由四个正多边形拼成的平面图案,你能设计出多少种不同的方案?解析：三种不同图案。设四个正多边形的边数为n1,n2,n3,n4且在一个顶点处分别有m,n,q,w个这样得正多边形。则：m·(n1-2)·1800/n1+n·(n2-2)·1800/n2+q·(n3-2)·1800/n3+w·(n4-2)·1800/n4=360整理出符合题意的正整数解：m=n=q=w=1,四个正四边形或两个正三边形、两个正六边形，或两个正四边形、一个正三边形和一个正六边形。变式题14.某家庭准备用正三角形和正六边形两种瓷砖结合在一起镶嵌地面，由你帮助设计镶嵌图案，你能设计几种不同的镶嵌方案？（二种方案:四个正三角形和一个正六边形,或二个正三角形和二个正六边形.）变式题15..用正多边形镶嵌,设在一个顶点周围有m个正方形、n个正八边形,则m=_____,n=______.（1,2）变式题16.用正三角形和正六边形镶嵌,在每个顶点处有_______个正三角形和_____个正六边形,或在每个顶点处有______个正三角形和________个正六边形。综合：ABCO1.如图，在△ABC中，∠ABCO(1)若∠A=500,求∠BOC的度数.(2)设∠A=n0（n为已知数），求∠BOC的度数.2.某零件如图所示，图纸要求∠A=90°，∠B=32°，∠C=21°，当检验员量得∠BDC=145°，就断定这个零件不合格，你能说出其中的道理吗？AABCD3.如图,在△ABC中,AD⊥BC,CE是△∠BAC=80°,∠B=40°时,求∠ACB、∠AEC、∠AFE的度数.4.如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，AB=13cm，BC=12cm，AC=5cm，求:(1)△ABC的面积；(2)CD的长；（3）作出△ABC的边AC上的中线BE，并求出△ABE的面积；（4）作出△BCD的边BC边上的高DF，当BD=11cm时，试求出DF的长。5.在△ABC中，已知∠ABC=66°，∠ACB=54°，BE是AC上的高，CF是AB上的高，H是BE和CF的交点，求∠ABE、∠ACF和∠BHC的度数.6.如图所示，在△ABC中，∠B=∠C，∠BAD=40°，并且∠ADE=∠AED，求∠CDE的度数。(20°)7.如图：AB∥CD，直线L交AB、CD分别于点E、F，点M在EF上，N是直线CD上的一个动点（点N不与F重合）（1）当点N在射线FC上运动时，∠FMN+∠FNM=∠AEF，说明理由？（2）当点N在射线FD上运动时，∠FMN+∠FNM与∠AEF有什么关系？并说明理由。8.图1-4-27，已知在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，∠ABC的平分线BD交AC于D.求：∠ADB和∠CDB的度数.9.已知：如图5—130，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD为高，CE平分∠BCD，且∠ACD：∠BCD＝1：2，那么CE是AB边上的中线对吗?说明理由．10.已知：如图5—131，在△ABC中有D、E两点，求证：BD＋DE＋EC＜AB＋AC。11.如图18，AB∥CD，AD∥BC，∠A的2倍与∠C的3倍互补，BE平分∠ABC，求∠A，∠DEB的度数。12.如图19，已知，∠C=∠DAE，∠B=∠D，那么AB与DF平行吗？为什么？13.如图，AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线．（1）∠ABE=15°，∠BAD=40°，求∠BED的度数；（2）在△BED中作BD边上的高；(3）若△ABC的面积为40，BD=5，则点E到BC边的距离为多少？n边形，并推导出n边形内角和的计算公式。(1)(1)11⑵⑶(1)15.探究规律：如图，已知直线∥，A、