第07讲倾斜角与斜率两条直线平行和垂直的判定

第07讲：倾斜角与斜率、两条直线平行和垂直的判定【考点归纳】考点一、直线的倾斜角考点二、直线的斜率考点三、斜率与倾斜角的变化关系考点四、直线与线段的相交关系求斜率范围考点五、两条直线平行的判定问题考点六、两条直线垂直的判定问题考点七、垂直与平行的综合应用【知识梳理】知识点一直线的倾斜角1．倾斜角的定义(1)当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．(2)当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.2．直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°.知识点二直线的斜率1．直线的斜率把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tanα.2．斜率与倾斜角的对应关系图示倾斜角(范围)α＝0°0°<α<90°α＝90°90°<α<180°斜率(范围)k＝0k>0不存在k<03．过两点的直线的斜率公式过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝eq\f(y2－y1,x2－x1).知识点三两条直线(不重合)平行的判定类型斜率存在斜率不存在前提条件α1＝α2≠90°α1＝α2＝90°对应关系l1∥l2⇔k1＝k2l1∥l2⇔两直线的斜率都不存在图示知识点四两条直线垂直的判定图示对应关系l1⊥l2(两直线的斜率都存在)⇔k1k2＝－1l1的斜率不存在，l2的斜率为0⇔l1⊥l2【例题详解】题型一、直线的倾斜角1．（2324高二上·湖北襄阳）若向量是直线的一个方向向量，则直线的倾斜角为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据给定的方向向量求出直线的斜率，再求出倾斜角即可.【详解】设直线的倾斜角为，若向量是直线的一个方向向量，则直线的斜率为，因为，所以.故选：A.2．（2324高二上·湖北武汉·期末）设直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据直线倾斜角的定义结合余弦、正切函数的图象和性质求解即可.【详解】因为直线的斜率，即，又，所以，故选：D3．（2023高二上·江苏·专题练习）已知直线l的倾斜角为，则与l关于x轴对称的直线的倾斜角为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据倾斜角的定义结合图形可得答案.【详解】根据倾斜角的定义，并结合图形知，所求直线的倾斜角为.故选：C.题型二、直线的斜率4．（2324高二上·浙江宁波·期末）经过两点的直线的倾斜角为（

）A．30° B．60° C．120° D．150°【答案】D【分析】利用斜率公式和倾斜角与斜率的关系求解.【详解】解：因为直线经过，所以经过该两点的直线的斜率为，设直线的倾斜角为，则，因为，所以，故选：D5．（2324高二上·广东梅州·期末）若过点的直线的倾斜角为，则的值为（

）A． B． C． D．2【答案】D【分析】根据倾斜角与斜率的关系求解.【详解】由题意得，解得，故选：D6．（2324高二上·江苏无锡·期末）已知直线的倾斜角为，且直线经过，两点，则实数的值为（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】根据斜率公式计算即可.【详解】由题意，直线的斜率为，解得，故选：B．题型三、斜率与倾斜角的变化关系7．（2024高二·全国·专题练习）已知直线的倾斜角为，并且，直线的斜率的范围是（

）A． B．C．或 D．或【答案】C【分析】根据倾斜角与斜率的关系可求得斜率的取值范围.【详解】因为斜率，且，其中时直线无斜率，当时，得；当时，得；故选：C.8．（2324高二上·湖南衡阳·期末）已知直线的倾斜角满足，则的斜率的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据正切函数单调性得到斜率的取值范围.【详解】函数在上单调递增，又，，故的取值范围是.故选：C9．（2324高二上·江苏·单元测试）若直线的斜率的变化范围是，则它的倾斜角的变化范围是()A．B．C．D．或【答案】D【分析】作出正切函数在的图象，根据斜率的范围结合图象确定出的范围.【详解】作出正切函数在的图象如下图，

如图所示，当，即，解得或，即或，故选：D.题型四、直线与线段的相交关系求斜率范围10．（2024高二上·全国·专题练习）已知直线和以，为端点的线段相交，则实数k的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据题意可知直线恒过定点，根据斜率公式结合图象分析求解.【详解】因为直线恒过定点，如图.又因为，，所以直线的斜率k的范围为.故选：C.11．（2324高二上·广东汕头·期中）已知点，若过点的直线与线段相交，求直线的斜率的取值范围为（）A．或 B．或C． D．【答案】A【详解】由题知直线过定点，进而作出图形，数形结合求解即可得答案.【分析】解：直线方程为转化为，所以直线过定点，且与线段相交，如图所示，则直线的斜率是，直线的斜率是，则直线与线段相交时，它的斜率的取值范围是或.故选：A．12．（2324高二上·福建厦门·期中）已知两点，，过点的直线与线段（含端点）有交点，则直线的斜率的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】画出图像，数形结合，根据倾斜角变化得到斜率的取值范围.【详解】如图所示，

直线逆时针旋转到的位置才能保证过点的直线与线段有交点，从转到过程中，倾斜角变大到，斜率变大到正无穷，此时斜率，所以此时；从旋转到过程中，倾斜角从开始变大，斜率从负无穷开始变大，此时斜率，所以此时，综上可得直线的斜率的取值范围为.故选：A题型五、两条直线平行的判定问题13．（2024·河南新乡·三模）已知直线，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合两直线平行判断即得.【详解】当时，直线，则，当时，，解得，所以“”是“”的充要条件.故选：C14．（2324高二上·河南驻马店·期末）已知两条不重合的直线和．若，则实数的值为（

）A． B． C．1 D．或1【答案】B【分析】根据平行可解得实数，验证可得正确的选项.【详解】因为，故，故或，当时，的方程均为，它们重合，故舍去；当时，，，它们平行，故选：B.15．（2324高二上·河北石家庄·期末）已知直线与直线相互平行，则实数m的值是（

）A．或1 B．1 C． D．6【答案】C【分析】利用直线平行与斜率的关系可构造方程解得符合题意.【详解】根据题意可知，两直线斜率均存在，由两直线平行可得，即，解得或；经检验，当时，两直线重合，不合题意，舍去；所以可得.故选：C题型六、两条直线垂直的判定问题16．（2324高二上·江苏淮安·开学考试）直线：，：，则“或”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件【答案】C【分析】由充分条件和必要条件的定义【详解】当时，直线：，：，两直线倾斜角分别为和，；当时，直线的斜率为，的斜率为9，，.充分性成立，直线：，：，若，则有，解得或.必要性成立.所以“或”是“”的充要条件.故选：C17．（2324高二下·湖北·期中）已知点，若直线与直线垂直，则实数（

）A． B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根据垂直直线的斜率关系，结合斜率公式即可求解.【详解】直线的斜率为：，因为直线与直线垂直，所以，解得：.故选：B.18．（2324高二上·江苏南京·期末）在平面直角坐标系中，若直线与直线互相垂直，则实数的值是（

）A．1 B． C． D．3【答案】C【分析】根据两直线垂直的条件列方程求解．【详解】直线与直线互相垂直，则，解得.故选：C题型七、垂直与平行的综合应用19．（2324高二下·上海·期中）直线，若三条直线无法构成三角形，则实数可取值的个数为（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【分析】分、、及三条直线相交于一点四种情况讨论，分别求出所对应的的值，即可得解.【详解】①时，则，解得，经检验符合题意；②时，则，解得，经检验符合题意；③时，则，解得，经检验符合题意；④三条直线交于一点，解得或，则实数可取值的集合为，即符合题意的实数共6个.故选：D20．（2324高二下·四川雅安·开学考试）已知直线，直线．(1)若，求实数的值；(2)若，求实数的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）依题意可得，求出参数的值，再代入检验；（2）根据两直线垂直的充要条件得到方程，解得即可.【详解】（1）因为，所以，整理得，即，解得或．当时，，此时与重合，不符合题意；当时，，符合题意．故．（2）因为，所以，解得．21．（2324高二上·上海·期末）已知，设直线：，直线：.(1)若，求m的值；(2)当与相交时，求交点I的坐标（用m表示），并证明点I恒在一条定直线上.【答案】(1)(2)，点I恒在定直线上【分析】（1）根据直线平行的条件列方程可得，然后验证是否重合可得；（2）联立直线方程求解可得点I的坐标，然后消参可知点I在定直线上.【详解】（1）因为，所以，解得，当时，直线：，直线：即，显然此时两直线重合，当时，直线：，直线：即，符合题意，故.（2）由（1）知，当，相交时，联立，解得，∴，因为，即，所以点I恒在定直线上.【专项训练】一、单选题22．（2324高二上·西藏山南·期末）经过点和的直线的倾斜角为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用两点斜率公式求出直线的斜率，再根据倾斜角与斜率的关系求直线的倾斜角.【详解】设经过点和的直线的的斜率为，倾斜角为，由两点斜率公式可得，所以，又，所以.所以经过点和的直线的倾斜角为.故选：D.23．（2324高二下·安徽芜湖·阶段练习）“”是“直线与直线平行”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】根据两直线平行的条件进行判断【详解】当时，直线与直线，即为直线与直线的斜率都是，纵截距不同，则两直线平行，是充分条件；若直线与直线平行，当时，两直线方程都为，直线重合不符合题意，当时，两直线平行则斜率相等，截距不相等，解得，是必要条件；故选：C24．（2122高二上·山东济宁·期中）设点，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（

）A．或 B．或 C． D．【答案】B【分析】根据给定条件求出直线的斜率，再画出图形分析可得或，从而即可得解.【详解】依题意，直线的斜率分别为，如图所示：若直线过点且与线段相交，则的斜率满足或，即的斜率的取值范围是或.故选：B25．（2022高三·全国·专题练习）已知点、、，过点C的直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是（）A． B．C． D．以上都不对【答案】C【分析】过点C的直线l与线段AB有公共点，利用数形结合，得到直线l的斜率或，进而求解即可【详解】如图，过点C的直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率或，而，于是直线l的斜率或，所以直线l斜率k的取值范围是，故选：C26．（2324高二上·福建福州·期末）已知两条直线，的斜率分别为，，倾斜角分别为.若，则下列关系正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据直线斜率与倾斜角的关系，结合正切函数的单调性即可得解.【详解】依题意得，，，，而在和上单调递增，且在上，，在上，所以，即.故选：D27．（2324高二上·浙江丽水·期末）直线的倾斜角的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先由直线方程得到斜率，再由斜率可得倾斜角的范围.【详解】直线的斜率为，由于，设倾斜角为，则，，所以.故选：B.28．（2324高二上·北京昌平·期末）已知直线，，则“”是“”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】由，求得即或，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.【详解】因为直线，，所以当时，，即，即或，所以“”能推出“”，“”不能推出“”，所以“”是“”充分不必要条件，故选：A.29．（2324高二上·陕西西安·期末）已知直线与直线平行，则实数的所有取值之和为（

）A．2 B． C．1 D．2【答案】B【分析】根据直线平行求出即可得解.【详解】因为直线与直线平行，所以，解得或1，经检验均满足题意，所以实数的所有取值之和为.故选：B30．（2024高二·江苏·专题练习）已知直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角范围为（）A． B．C． D．【答案】D【分析】先求出直线所过定点的坐标，数形结合可求出直线的斜率的取值范围，即可得出直线的倾斜角的取值范围.【详解】直线的方程可化为，联立方程组，可得，所以直线过定点，设直线的斜率为，直线的倾斜角为，则，因为直线的斜率为，直线的斜率为，因为直线经过点，且与线段总有公共点，所以，即，因为，所以或，故直线的倾斜角的取值范围是．故选：D．二、多选题31．（2324高二上·江苏扬州·期末）已知为两条不重合的直线，则下列说法中正确的有（

）A．若斜率相等，则平行B．若平行，则的斜率相等C．若的斜率乘积等于，则垂直D．若垂直，则的斜率乘积等于．【答案】AC【分析】利用两直线平行或垂直与斜率之间的关系逐项判断即可得出结论.【详解】根据两直线的位置关系可知若斜率相等，则平行；若平行，当都与轴平行时，的斜率不存在，即可得A正确，B错误；易知若的斜率乘积等于，则垂直；若垂直,当与轴平行，与轴平行时，直线的斜率为，的斜率不存在，即可得C正确，D错误；故选：AC32．（2324高二上·河南信阳·阶段练习）下列说法中正确的是（

）A．若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大B．若直线的倾斜角为，则直线的斜率为C．若，，则直线的倾斜角为D．若直线过点，且它的倾斜角为，则这条直线必过点【答案】CD【分析】根据倾斜角与斜率关系，点斜式及斜截式判断各项正误即可.【详解】A：倾斜角为锐角，斜率为正；倾斜角为钝角时，斜率为负，错；B：直线的倾斜角为时，直线的斜率不存在，错；C：由题设，知两点横坐标相同，直线方程为，直线的倾斜角为，对；D：过，两点的斜率为：，对.故选：CD.33．（2324高二上·陕西安康·期末）已知直线过点且与线段的延长线有公共点，若，，则直线的斜率的取值可以是（

）A． B．0 C． D．【答案】ABC【分析】先作出直线与线段的延长线，再结合图像观察即可得解.【详解】由图像可知：要使直线与线段的延长线有公共点，则，又，则直线的斜率的取值范围是.故选：ABC.34．（2324高二上·全国·单元测试）（2023秋·河北石家庄·高二石家庄市第四中学校考阶段练习）以为顶点的三角形，下列结论正确的有（）A．B．C．以点为直角顶点的直角三角形D．以点为直角顶点的直角三角形【答案】AC【分析】对于AB，利用斜率公式计算判断，对于C，通过计算判断，对于D，通过计算判断.【详解】对于A，因为，所以，所以A正确，对于B，因为，所以，所以B错误，对于C，因为，，所以，所以，所以以点为直角顶点的直角三角形，所以C正确，对于D，因为，，所以，所以D错误，故选：AC35．（2324高二上·陕西西安·阶段练习）已知，，直线：，：，且，则（

）A．的最小值是1 B．的最小值是C．的最小值是4 D．的最小值是4【答案】BC【分析】利用两条直线垂直建立的关系，再利用基本不等式逐项求解即得.【详解】由直线，，且，得，即，又，对于A，，即，当且仅当时取等号，A错误；对于B，，，当且仅当时取等号，因此的最小值是，B正确；对于C，，当且仅当，即时取等号，C正确；对于D，，当且仅当，即时取等号，D错误.故选：BC三、填空题36．（2324高二下·上海·期中）已知直线经过两点，，则它的斜率为．【答案】/【分析】由斜率公式计算可得直线的斜率.【详解】因为直线经过两点，，所以它的斜率为.故答案为：.37．（2324高二下·上海·阶段练习）设，若直线和直线平行，则.【答案】4【分析】利用两直线平行的条件建立方程，求解参数即可.【详解】若直线和直线平行，可得，解得，则直线为，直线为，显然两直线平行，故符合题意.故答案为：4.38．（2324高二下·上海·阶段练习）已知点，，直线是过点且与线段AB相交且斜率存在，则的斜率的取值范围是【答案】【分析】利用斜率计算公式可得，，根据直线过点且与线段相交，数形结合即可求出直线的斜率的取值范围．【详解】因为，，，所以，．直线过点且与线段相交，如下图所示：或，直线的斜率的取值范围是：．故答案为：．39．（2024·陕西商洛·模拟预测）已知直线与直线，若，则的最大值为.【答案】/0.25【分析】根据直线垂直的条件得，根据基本不等式得，从而可得结果.【详解】因为，即，当且仅当时取等号，，即的最大值为.故答案为：.四、解答题40．（2324高二上·重庆黔江·阶段练习）（1）若直线与直线平行，求的值；（2）若直线与直线垂直，求的值.【答案】（1）或；（2）或【分析】（1）由两直线平行的性质计算即可得，并排除重合的情况；（2）由两直线垂直的性质计算即可得.【详解】（1）两直线平行，则，即，故或，当时，两直线分别为与，符合要求，当时，两直线分别为与，符合要求，故或；（2）两直线垂直，则，即，故或.41．（2324高二上·湖北·阶段练习）已知直线，直线，其