2024年中考数学压轴题型（广东专用）专题04 特殊平行四边形中全等相似与最值问题（含解析）

PAGE专题04特殊平行四边形中全等相似与最值问题通用的解题思路：一、四边形与全等相似1.三角形与全等之六大全等模型：（1）一线三等角模型（2）手拉手模型（3）半角模型（4）倍长中线模型模型（5）平行线中等模型（6）雨伞等模型2.三角形与相似之四大相似模型：（1）A字模型（2）8字模型（3）手拉手模型（4）一线三等角模型二、四边形线段最值问题（1）将军饮马模型两定一动模型一定两动模型两线段相减的最大值模型（三点共线）（2）费马点模型：将△APC边以A为顶点逆时针旋转60°，得到AQE，连接PQ，则△APQ为等边三角形，PA=PQ。1．（2023·广东深圳·中考真题）（1）如图，在矩形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0边上一点，连接SKIPIF1<0，①若SKIPIF1<0，过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，求证：SKIPIF1<0；②若SKIPIF1<0时，则SKIPIF1<0______．

（2）如图，在菱形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0交SKIPIF1<0的延长线于点SKIPIF1<0，过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0时，求SKIPIF1<0的值．

（3）如图，在平行四边形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0为SKIPIF1<0上一点，连接SKIPIF1<0，过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0交平行四边形SKIPIF1<0的边于点SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0时，请直接写出SKIPIF1<0的长．

【答案】（1）①见解析；②SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0；（3）SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【分析】（1）①根据矩形的性质得出SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，进而证明SKIPIF1<0结合已知条件，即可证明SKIPIF1<0；②由①可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，证明SKIPIF1<0，得出SKIPIF1<0，根据SKIPIF1<0，即可求解；（2）根据菱形的性质得出SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，根据已知条件得出SKIPIF1<0，证明SKIPIF1<0，根据相似三角形的性质即可求解；（3）分三种情况讨论，①当点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0边上时，如图所示，延长SKIPIF1<0交SKIPIF1<0的延长线于点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，证明SKIPIF1<0，解SKIPIF1<0，进而得出SKIPIF1<0，根据SKIPIF1<0，得出SKIPIF1<0，建立方程解方程即可求解；②当SKIPIF1<0点在SKIPIF1<0边上时，如图所示，连接SKIPIF1<0，延长SKIPIF1<0交SKIPIF1<0的延长线于点SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，四边形SKIPIF1<0是平行四边形，同理证明SKIPIF1<0，根据SKIPIF1<0得出SKIPIF1<0，建立方程，解方程即可求解；③当SKIPIF1<0点在SKIPIF1<0边上时，如图所示，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，求得SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，得出矛盾，则此情况不存在．【详解】解：（1）①∵四边形SKIPIF1<0是矩形，则SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；②由①可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0,故答案为：SKIPIF1<0．（2）∵在菱形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0,又SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0；（3）①当点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0边上时，如图所示，延长SKIPIF1<0交SKIPIF1<0的延长线于点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，

∵平行四边形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0解得：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，②当SKIPIF1<0点在SKIPIF1<0边上时，如图所示，

连接SKIPIF1<0，延长SKIPIF1<0交SKIPIF1<0的延长线于点SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，四边形SKIPIF1<0是平行四边形，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0即SKIPIF1<0解得：SKIPIF1<0（舍去）即SKIPIF1<0；③当SKIPIF1<0点在SKIPIF1<0边上时，如图所示，

过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0点不可能在SKIPIF1<0边上，综上所述，SKIPIF1<0的长为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，平行四边形的性质，解直角三角形，矩形的性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定，分类讨论是解题的关键．2．（2022·广东广州·中考真题）如图，在菱形ABCD中，∠BAD=120°，AB=6，连接BD．(1)求BD的长；(2)点E为线段BD上一动点（不与点B，D重合），点F在边AD上，且BE=SKIPIF1<0DF，①当CE丄AB时，求四边形ABEF的面积；②当四边形ABEF的面积取得最小值时，CE+SKIPIF1<0CF的值是否也最小？如果是，求CE+SKIPIF1<0CF的最小值；如果不是，请说明理由．【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)①四边形ABEF的面积为SKIPIF1<0；②最小值为12【分析】（1）证明△ABC是等边三角形，可得BO=SKIPIF1<0，即可求解；（2）过点E作AD的垂线，分别交AD和BC于点M，N，根据菱形的面积可求出MN=SKIPIF1<0，设BE=SKIPIF1<0，则EN=SKIPIF1<0，从而得到EM=MN-EN=SKIPIF1<0，再由BE=SKIPIF1<0DF，可得DF=SKIPIF1<0，从而得到四边形ABEF的面积s=S△ABD-S△DEFSKIPIF1<0，①当CE⊥AB时，可得点E是△ABC重心，从而得到BE=CE=SKIPIF1<0BO=SKIPIF1<0，即可求解；②作CH⊥AD于H，可得当点E和F分别到达点O和点H位置时，CF和CE分别达到最小值；再由SKIPIF1<0，可得当SKIPIF1<0，即BE=SKIPIF1<0时，s达到最小值，从而得到此时点E恰好在点O的位置，而点F也恰好在点H位置，即可求解．【详解】（1）解∶连接AC，设AC与BD的交点为O，如图，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA=OC，AB∥CD，AC平分∠DAB，∵∠BAD=120°，∴∠CAB=60°，∴△ABC是等边三角形，∴BO=AB▪sin60°=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，∴BD=2BO=SKIPIF1<0；（2）解：如图，过点E作AD的垂线，分别交AD和BC于点M，N，∵△ABC是等边三角形，∴AC=AB=6，由（1）得：BD=SKIPIF1<0；菱形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，AB∥CD，BC=AB=6，∴MN⊥BC，∵∠BAD=120°，∴∠ABC=60°，∴∠EBN=30°；∴EN=SKIPIF1<0BE∵SKIPIF1<0，∴MN=SKIPIF1<0，设BE=SKIPIF1<0，则EN=SKIPIF1<0，∴EM=MN-EN=SKIPIF1<0，∵S菱形ABCD=AD▪MN=SKIPIF1<0，∴S△ABD=SKIPIF1<0S菱形ABCD=SKIPIF1<0，∵BE=SKIPIF1<0DF，∴DF=SKIPIF1<0，∴S△DEF=SKIPIF1<0DF▪EM=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，记四边形ABEF的面积为s，∴s=S△ABD-S△DEF=SKIPIF1<0-（SKIPIF1<0）SKIPIF1<0，∵点E在BD上，且不在端点，∴0<BE<BD，即SKIPIF1<0；①当CE⊥AB时，∵OB⊥AC，∴点E是△ABC重心，∴BE=CE=SKIPIF1<0BO=SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，∴当CE⊥AB时，四边形ABEF的面积为SKIPIF1<0；②作CH⊥AD于H，如图，∵CO⊥BD，CH⊥AD，而点E和F分别在BD和AD上，∴当点E和F分别到达点O和点H位置时，CF和CE分别达到最小值；在菱形ABCD中，AB∥CD，AD=CD，∵∠BAD=120°，∴∠ADC=60°，∴△ACD是等边三角形，∴AH=DH=3，∴CH=SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴当SKIPIF1<0，即BE=SKIPIF1<0时，s达到最小值，∵BE=SKIPIF1<0DF，∴DF=3，此时点E恰好在点O的位置，而点F也恰好在点H位置，∴当四边形ABEF面积取得最小值时，CE和CF也恰好同时达到最小值，∴CE+SKIPIF1<0CF的值达到最小，其最小值为CO+SKIPIF1<0CH=SKIPIF1<0=12．【点睛】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，二次函数的性质，三角形的重心，解直角三角形等知识，熟练掌握菱形的性质，等边三角形的判定和性质，二次函数的性质，三角形的重心，解直角三角形等知识是解题的关键．题型一特殊平行四边形中全等相似计算1．（2024·广东汕头·一模）（1）如图1，在矩形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0边上一点，连接SKIPIF1<0，①若SKIPIF1<0，过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，求证：SKIPIF1<0；②若SKIPIF1<0时，则SKIPIF1<0______．（2）如图2，在菱形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0交SKIPIF1<0的延长线于点SKIPIF1<0，过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0时，求SKIPIF1<0的值．【答案】（1）①见解析；②20；（2）SKIPIF1<0【分析】根据矩形的性质得出SKIPIF1<0，进而证明SKIPIF1<0，结合已知条件，即可证明；由①可得SKIPIF1<0，根据SKIPIF1<0，即可求解；根据菱形的性质得出SKIPIF1<0，根据已知条件得出SKIPIF1<0，证明SKIPIF1<0，根据相似三角形的性质即可求解；【详解】证明：①四边形SKIPIF1<0是矩形，则SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0又SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0又SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；②由①可得SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0又SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0；（2）∵在菱形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0又SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0；【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，平行四边形的性质，解直角三角形，矩形的性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定，分类讨论是解题的关键．2．（2024·广东惠州·一模）数学活动课上，老师提出如下问题：已知正方形SKIPIF1<0，E为对角线SKIPIF1<0上一点．【感知】（1）如图1，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．求证：SKIPIF1<0；【探究】（2）如图2，F是SKIPIF1<0延长线上一点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点G．①求证：SKIPIF1<0；②若G为SKIPIF1<0的中点，且SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的长．【应用】（3）如图3，F是SKIPIF1<0延长线上一点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点G，SKIPIF1<0．求证：SKIPIF1<0．【答案】（1）证明见解析；（2）①证明见解；②SKIPIF1<0；（3）证明见解析【分析】（1）先判断出SKIPIF1<0，进而判断出SKIPIF1<0，即可得出结论；（2）①先判断出SKIPIF1<0，进而判断出SKIPIF1<0即可得出结论；②过点F作SKIPIF1<0于H，先求出SKIPIF1<0，进而求出SKIPIF1<0，进而求出SKIPIF1<0，最后用勾股定理即可求出答案；（3）在SKIPIF1<0中，由勾股定理得SKIPIF1<0，由（1）知，SKIPIF1<0，由（2）知，SKIPIF1<0，可证明SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．【详解】解：（1）∵SKIPIF1<0是正方形SKIPIF1<0的对角线，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0（2）①∵四边形SKIPIF1<0是正方形，∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0由（1）知，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0②如图，过点F作SKIPIF1<0于H，∵四边形SKIPIF1<0为正方形，点G为SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0由（2）①知，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0在SKIPIF1<0与SKIPIF1<0中，∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0在SKIPIF1<0中，由勾股定理得SKIPIF1<0；（3）∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由（1）知，SKIPIF1<0，由（2）知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，作出辅助线构造出直角三角形是解（2）的关键．3．（2024·广东深圳·二模）（1）如图1，在正方形SKIPIF1<0中，E是对角线SKIPIF1<0上的一点，连接SKIPIF1<0，过点E作SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于F．求证：SKIPIF1<0．（2）如图2，在矩形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，E是对角线SKIPIF1<0上的一点，连接SKIPIF1<0，过点E作SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点F．若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值．（3）在菱形SKIPIF1<0中，如图3，SKIPIF1<0，点E是SKIPIF1<0的三等分点，过点E作SKIPIF1<0交直线SKIPIF1<0于点F．请直接写出线段SKIPIF1<0的长_________．【答案】（1）见解析；（2）SKIPIF1<0；（3）SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．【分析】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质等知识：（1）作SKIPIF1<0于点M，SKIPIF1<0于点N，证明SKIPIF1<0，即可；（2）过点B作SKIPIF1<0于点G，根据SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，从而得到SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即可求解；（3）分两种情况：当点E靠近点A时，过点B作SKIPIF1<0于点M，SKIPIF1<0于点N；当点E靠近点C时，即可求解．【详解】（1）证明：作SKIPIF1<0于点M，SKIPIF1<0于点N，∵四边形SKIPIF1<0是正方形，∴SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；（2）解：过点B作SKIPIF1<0于点G，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；（3）解：①当点E靠近点A时，过点B作SKIPIF1<0于点M，SKIPIF1<0于点N，∵四边形SKIPIF1<0为菱形，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0为等边三角形，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵点E是SKIPIF1<0的三等分点，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，由（2）得SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；②当点E靠近点C时，同理可得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．综上所述，线段SKIPIF1<0的长为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．4．（2024·广东汕头·一模）综合与实践课上，梦班数学学习兴趣小组对图形中两条互相垂直的线段间的数量关系进行探究时，遇到以下问题，请你逐一加以解答：(1)操作判断如图1，在正方形SKIPIF1<0中，点E，F，G，H分别在边SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的长为；如图2，在矩形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，点E，F，G，H分别在边SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的长为；(2)迁移探究如图3，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点D，E分别在边SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，试证明:SKIPIF1<0；(3)拓展应用如图4，在矩形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点E，点F为SKIPIF1<0上一点，SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点H，交矩形SKIPIF1<0的边于点G．当F为SKIPIF1<0的三等分点时，请直接写出SKIPIF1<0的长．【答案】(1)5，4(2)见解析(3)SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【分析】（1）设SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点O，过点G作SKIPIF1<0于点J，过点E作SKIPIF1<0于点K，利用正方形的性质证明四边形SKIPIF1<0和四边形SKIPIF1<0都是矩形，再利用矩形的性质证明SKIPIF1<0，即可得到第一空格答案；设SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点O，过点E作SKIPIF1<0于点M，过点H作SKIPIF1<0于点N，证明SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，即得第二空格答案；（2）过点C作SKIPIF1<0交SKIPIF1<0的延长线于点F，先证SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0，再证SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0，即可证得答案；（3）先证SKIPIF1<0，然后分SKIPIF1<0和SKIPIF1<0两种情况求解，情况一，点G在SKIPIF1<0上，过点E作SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点I，先证SKIPIF1<0，求得SKIPIF1<0，再证明SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，求出SKIPIF1<0，从而得到SKIPIF1<0的长；情况二，点G在SKIPIF1<0上，用类似的方法即可求得答案．【详解】（1）解：如图1，设SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点O，过点G作SKIPIF1<0于点J，过点E作SKIPIF1<0于点K，SKIPIF1<0四边形SKIPIF1<0是正方形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0四边形SKIPIF1<0和四边形SKIPIF1<0都是矩形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故答案为：5；如图2，设SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点O，过点E作SKIPIF1<0于点M，过点H作SKIPIF1<0于点N，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0四边形SKIPIF1<0是矩形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0四边形SKIPIF1<0和四边形SKIPIF1<0都是矩形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故答案为：4；（2）证明：如图3，过点C作SKIPIF1<0交SKIPIF1<0的延长线于点F，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（3）解：SKIPIF1<0四边形SKIPIF1<0是矩形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，分两种情况：①如图4，当SKIPIF1<0时，点G在SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，过点E作SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点I，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；②如图5，当SKIPIF1<0时，点G在SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，同①得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，过点E作SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点I，同①得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，综上所述，SKIPIF1<0的长为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．【点睛】此题主要考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，添加辅助线，构造全等三角形或相似三角形是解题的关键．题型二特殊平行四边形中线段最值问题1．（2024·广东广州·一模）如图，在矩形SKIPIF1<0和矩形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0．矩形SKIPIF1<0绕着点A旋转，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．

(1)求证：SKIPIF1<0；(2)当SKIPIF1<0的长度最大时，①求SKIPIF1<0的长度；②在SKIPIF1<0内是否存在一点P，使得SKIPIF1<0的值最小?若存在，求SKIPIF1<0的最小值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)见解析(2)①SKIPIF1<0；②存在，最小值是SKIPIF1<0【分析】（1）根据矩形的性质，先证SKIPIF1<0，利用相似三角形的性质准备条件，再证SKIPIF1<0即可；（2）①先确定当SKIPIF1<0在矩形SKIPIF1<0外，且SKIPIF1<0三点共线时，SKIPIF1<0的长度最大，并画出图形，在SKIPIF1<0中求出SKIPIF1<0的长，最利用SKIPIF1<0的性质求解即可；②将SKIPIF1<0绕着点A顺时针旋转SKIPIF1<0,且使SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，同理将SKIPIF1<0绕着点A顺时针旋转SKIPIF1<0,得到SKIPIF1<0,且使SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，过P作SKIPIF1<0于S，过点L作SKIPIF1<0垂直SKIPIF1<0的延长线于点Q，确定SKIPIF1<0，当C、P、K、L四点共线时，SKIPIF1<0的长最小，再根据SKIPIF1<0直角三角形的性质和勾股定理求解即可．【详解】（1）证明：∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵矩形SKIPIF1<0和矩形SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0（2）∵SKIPIF1<0，∴当SKIPIF1<0在矩形SKIPIF1<0外，且SKIPIF1<0三点共线时，SKIPIF1<0的长度最大，如图所示：

此时SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，①∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，由（1）得：SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；②如图，将SKIPIF1<0绕着点A顺时针旋转SKIPIF1<0,且使SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，同理将SKIPIF1<0绕着点A顺时针旋转SKIPIF1<0,得到SKIPIF1<0,且使SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，

由旋转可得：SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0,过P作SKIPIF1<0于S，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，当C、P、K、L四点共线时，SKIPIF1<0的长最小，由题意，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，过点L作SKIPIF1<0垂直SKIPIF1<0的延长线于点Q，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，根据勾股定理得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0.【点睛】本题是一道压轴题，主要考查了矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，旋转的性质，解直角三角形，等腰三角形的判定，最短路径等知识，涉及知识点较多，综合性强，熟练掌握相关的知识与联系，适当添加辅助线是解答的关键.2．（2024·广东汕头·一模）如图1，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0边上的高，连接SKIPIF1<0，矩形SKIPIF1<0的顶点分别在SKIPIF1<0的边上，SKIPIF1<0．(1)当矩形SKIPIF1<0为正方形时，求正方形的边长；(2)如图2，连接SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于点M．①若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值；②若SKIPIF1<0，点N为线段SKIPIF1<0上一动点，当矩形SKIPIF1<0的面积最大时，直接写出SKIPIF1<0的最小值为．【答案】(1)SK