1.1.3集合的基本运算（讲义7大题型）

1.1.3集合的基本运算1、理解两个集合的并集、交集及补集的含义，会求两个简单集合的并集、交集及补集(重点）；2、能使用维恩图（Venn)表达集合的关系及运算（难点）.知识点1交集1、交集的概念自然语言一般地，给定两个集合A，B，由既属于A又属于B的所有元素（即A与B的公共元素）组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B，读作“A交B”．符号语言．图形语言（1）与有部分公共元素（2）与没有公共元素，（3），则（4），则（5）注：图中的阴影部分表示交集2、交集的运算性质性质定义满足交换律空集与任何集合的交集都是空集集合与集合本身的交集仍为集合本身多个集合的交集满足结合律若，则交集关系与子集关系的转化两个集合的交集是其中任一集合的子集知识点2并集1、并集的概念自然语言一般地，给定两个集合A，B，由这两个集合的所有的元素组成的集合，称为A与B的并集，记作A∪B，读作“A并B”．符号语言．图形语言（1）与有部分公共元素（2）与没有公共元素（3），则（4），则（5）注：图中的阴影部分表示交集2、并集的运算性质性质定义满足交换律任何集合与其本身的并集等于这个集合本身任何集合与空集的并集等于这个集合本身多个集合的并集满足结合律,任何集合都是该集合与另一个集合并集的子集任何集合与它子集的并集都是它本身，反之亦然知识点3全集与补集1、全集的概念在研究集合与集合之间的关系时，如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集，那么称这个给定的集合为全集．记法：全集通常记作U．【注意】全集不是固定不变的，它是一个相对概念，是一句具体问题来选择的．2、补集的概念自然语言如果给定集合A是全集U的一个子集，则由U中不属于A的所有元素组成的集合，称为A在U中的补集，记作，读作“A在U中的补集”．符号语言．图形语言注：图中的阴影部分表示补集，全集通常用矩形区域表示．3、补集的运算性质性质定义任何集合与其补集的并集为全集任何集合与其补集的交集为空集任何集合补集的补集为集合本身全集的补集为空集，空集的补集为全集【注意】并不是所有的全集都是用字母U表示，也不是都是R，要看题目的。知识点4德摩根定律和容斥原理1、德摩根定律设集合U为全集，A、B为U的子集，则有（1）（2）2、容斥原理：在部分有限集中，我们经常遇到有关集合中元素的个数问题，常用Venn图表示两集合的交、并、补。如果用card表示有限集合元素的个数，即card（A）表示有限集A的元素个数，则有如下结论：（1）（2）【常用方法技巧】1、交集、并集、补集的基本运算方法（1）进行集合运算时，可按照如下口诀进行：交集元素仔细找，属于且属于；并集元素勿遗漏，切忌重复仅取一；全集是大范围，去掉中元素，剩余元素成补集。（2）解决集合的混合运算问题时，一般先算括号内的部分；（3）当集合是用列举法表示时（如数集），可以通过列举集合的元素分别得到所求的集合；当集合用描述法表示时（如不等式行事表示的集合），则可运用数轴求解。2、利用交并补求参数范围的解题思路（1）根据并集求参数范围：若A有参数，则需要讨论A是否为空集；若B有参数，则；（2）根据交集求参数范围：若A有参数，则需要讨论A是否为空集；若B有参数，则3、运用补集思想解题的步骤当从正面考虑情况较多、问题较复杂时，往往考虑运用补集思想，其解题步骤为：第一步：否定已知条件，考虑反面问题；第二步：求解反面问题对应的参数范围；第三步：取反面问题对应的参数范围的补集题型一交集的概念与运算【例1】（2223高一上·江苏宿迁·月考）已知集合，则（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】因为，所以.故选：C.【变式11】（2324高二下·河北邢台·月考）已知集合，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，所以.故选：A.【变式12】（2024·浙江台州·一模）设集合，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意知，仅点在直线上，所以.故选：C【变式13】（2324高一上·陕西西安·月考）已知集合，则（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】如图，只有当时，集合有交集，此时.故选：D题型二并集的概念与运算【例2】（2324高一下·广东深圳·期末）已知集合，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】根据并集的含义知，故选：D.【变式21】（2324高一上·重庆黔江·月考）已知集合，，则（）A． B． C． D．【答案】D【解析】依题意，集合，而，所以.故选：D【变式22】（2324高一上·四川攀枝花·月考）已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为集合，，则．故选：．【变式23】（2223高一上·江苏宿迁·月考）设集合，集合，则（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因为集合，集合，所以.故选：D.题型三补集的概念与运算【例3】（2324高一上·江苏徐州·期中）设集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】集合，，则.故选：D【变式31】（2324高三上·北京大兴·期末）已知全集，集合，则（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由，，则.故选：C.【变式32】（2425高一上·全国·假期作业）已知集合，，则（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意得，又因为，所以，故选：C.【变式33】（2024·四川凉山·三模）已知集合，，则（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】因为集合或，，所以，故选：B．题型四交并补混合运算【例4】（2324高一下·安徽滁州·期末）设集合，，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意可得，，则.故选：D【变式41】（2324高一上·贵州毕节·期末）已知全集，集合，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意得，则，故选：B．【变式42】（2324高一上·河南新乡·月考）已知集合，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意可得，，∴，∴．故选：C．【变式43】（2324高一下·辽宁沈阳·月考）已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题得：，，，或，或，所以，故A错误；或，故B错误；或，故C错误；，故D正确；故选：D.题型五根据交并补运算求参数【例5】（2324高一下·云南怒江·月考）（多选）若，，且满足，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】ABC【解析】因为，所以；若，则，时，，不符合集合元素的互异性，舍去；时，，，满足，故A正确；若，则，时，，，满足，故B正确；时，，，满足，故C正确；若，则，不符合集合元素的互异性，舍去；若，则或0，时，，，满足；所以或或，故选：ABC.【变式51】（2024·海南海口·二模）已知集合，，若，则的取值范围是.【答案】【解析】由，则，故有，解得，即.故答案为：.【变式52】（2324高一上·广东佛山·月考）已知集合，，若，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由集合，，可得或，因为，则满足.故选：A.【变式53】已知集合，或.(1)若，求的取值范围；(2)若，求的取值范围.【答案】(1),；(2),,.【解析】（1）由集合，或.，，解得.的取值范围是,；

（2），，或，即或.

的取值范围是,,.题型六韦恩图在集合运算中的应用【例6】（2324高一上·贵州黔东南·期中）已知集合，，且都是全集的子集，则下图所示的韦恩图中阴影部分表示的集合为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，，所以．故选：A．【变式61】（2324高一上·广东韶关·期中）已知集合，则图中的阴影部分表示的集合为（

）

A．或 B．或C． D．【答案】A【解析】由题意知，，，所以图中阴影部分表示或.故选：A.【变式62】（2324高一上·宁夏固原·月考）如图，已知矩形表示全集是的两个子集，则阴影部分可表示为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】图象中，空白部分可表示为，所以阴影部分可表示为.故选：D【变式63】（2324高一下·江西上饶·月考）已知全集为，集合满足，则（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由，结合韦恩图，知；；不是的子集；．故选：B．题型七交并补在实际问题中的应用【例7】（2324高一上·广东韶关·月考）高一班共有28名同学非常喜欢数学，有15人学习必修一，有8人学习必修二，有14人学习选修一，同时学习必修一和必修二的有3人，同时学习必修一和选修一的有3人，没有人同时学习三本书.同时学习必修二和选修一的有（

）人，只学习必修一的有（

）人.A．9，3 B．11，3 C．9，12 D．3，9【答案】D【解析】设同时学习必修二和选修一的有x人，则，解得，即同时学习必修二和选修一的有3人，则只学习必修一的有（人），故选：D.【变式71】（2324高一上·吉林延边·月考）某班有21名学生参加数学竞赛，17名学生参加物理竞赛，10名学生参加化学竞赛，他们之中既参加数学竞赛又参加物理竞赛的有12人，既参加数学竞赛又参加化学竞赛的有6人，既参加物理竞赛又参加化学竞赛的有5人，三科都参加的有2人．现在参加竞赛的学生都要到外地学习参观，则需要预订多少张火车票（

）A．29 B．27 C．26 D．28【答案】B【解析】该班学生参加竞赛情况如图所示，集合A，B，C，D，E，F，G中的任意两个集合无公共元素，其中G表示三科都参加的学生集合，G中的学生数为2．因为既参加数学竞赛又参加物理竞赛的有12人，所以D中的学生数为，同理，得E中的学生数为，F中的学生数为．又因为参加数学、物理、化学竞赛的人数分别为21，17，10，所以A中的学生数为，B中的学生数为，C中的学生数为，故置预订火车票的张数为．故选：B.【变式72】（2324高一上·河南郑州·月考）某年级先后举办了数学、历史、音乐讲座，其中有人听了数学讲座，人听了历史讲座，人听了音乐讲座，记是听了数学讲座的学生，是听了历史讲座的学生，是听了音乐讲座的学生.用来表示有限集合中元素的个数，若，，则（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】将已知条件用Venn图表示出来如下图，对A：，故A错误；对B：，故B正确；对C：，故C错误；对D：，故D错误；故