用样本估计总体

5.1.4用样本估计总体

（教师独具内容）

课程标准：1.结合实例，能用样本估计总体的集中趋势参数（平均数、中位数、

众数），理解集中趋势参数的统计含义.2.结合实例，能用样本估计总体的离散程

度参数（标准差、方差、极差），理解离散程度参数的统计含义.3.结合实例，能用

样本估计总体的取值规律.4.结合实例，能用样本估计百分位数，理解百分位数的

统计含义.5.结合具体实例，掌握分层抽样的样本均值和样本方差.

教学重点：用样本的数字特征估计总体的数字特征，用样本的分布估计总体

的分布.

教学难点：利用样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题.

核心素养

题型一用样本平均数、方差估计总体

例1甲、乙两台机床在相同的条件下同时生产一种零件，现在从中各抽测

10个，它们的尺寸（单位:mm）如下茎叶图所示:

甲||乙

98.

9979.6789

93211010.00I234

（1）分别计算这两个样本的平均数和方差；

（2）如果图纸上的设计尺寸为10mm,从计算结果看，用哪台机床加工这种零

件较合适？

［跟踪训练1］从同一地块甲、乙两种玉米的苗中共抽18株，分别测得它们

的株高（单位：cm）如下茎叶图所示：

甲||乙

51666

52I277

973

I0400044

（1）哪种玉米的苗长得高？哪种玉米的苗长得齐？

（2）这18株玉米株高的平均值和方差分别是多少？

题型二用频率分布直方图估计数据的数字特征

例2从高三抽出50名学生参加数学竞赛，由成绩得到如图的频率分布直方

图.试利用频率分布直方图求：

频率

405060708()901(X1

(1)这50名学生成绩的众数与中位数；

(2)这50名学生成绩的平均数(答案精确到0.1).

［跟踪训练2］某中学举行电脑知识竞赛,现将高一参赛学生的成绩进行整理

后分成五组绘制成如图所示的频率分布直方图，已知图中从左到右的第一、二、

三、四、五小组的频率分别是0.30,0.40,0.15,0.10,0.05.求：

(1)高一参赛学生成绩的众数、中位数；

(2)高一参赛学生成绩的平均数.

题型三用频率分布直方图估计总体的分布

例3为了迎接某市作为全国文明城市的复查，爱卫会随机抽取了60位路人

进行问卷调查，调查项目是自己对该市各方面卫生情况的满意度(假设被问卷的路

人回答是客观的)，以分数表示问卷结果，并统计他们的问卷分数，把其中不低于

50分的分成五段:［50,60),［60,70),…，［90,100］后画出如图所示的部分频率

分布直方图，观察图形信息，回答下列问题：

(1)求出问卷调查分数低于50分的被问卷人数；

(2)估计全市市民满意度在60分及以上的百分比.

［跟踪训练3］为了了解高一年级学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一

分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图(如图所示)，图中

从左到右各小矩形的面积之比为2：4：17：15：9：3,第二小组的频数为12.

(1)第二小组的频率是多少？样本容量是多少？

(2)若次数在110以上(含110次)为达标，则该校全体高一年级学生的达标率

约是多少？

随堂水平

1.对于用样本分布估计总体分布的过程，下列说法正确的是()

A.总体容量越大，估计越精确

B.总体容量越小，估计越精确

C.样本容量越大，估计越精确

D.样本容量越小，估计越精确

2.某班全体学生参加物理测试成绩的频率分布直方图如图所示，则估计该班

物理测试成绩的平均数是()

A.70B.75

C.68D.66

3.在一次模拟考试后，从高三某班随机抽取了20位学生的数学成绩，其分

布如下：

分组[90,100)[100,110)[110,120)[120,130)[130,140)[140,150]

频数126731

分数在130分（包括130分）以上者为优秀，据此估计该班的优秀率约为（）

A.10%B.20%

C.30%D.40%

4.某班为了了解学生每周购买零食的支出情况，利用分层抽样抽取了一个

5.一个水库养了某种鱼10万条，从中捕捞了20条，称得它们的质量（单位:

kg）如下茎叶图所示:

1.()479

1.10124556689

1.2I14559

1.32

计算样本的平均数，并根据结果估计水库中所有鱼的总质量.

课后课时精练

A级Z“四基：巩固训练

一、选择题

1.在抽查产品尺寸的过程中，将其尺寸分成若干组，［a,6）是其中的一组,

抽查出的个体在该组上的频率为叫该组上的直方图高为h,则|a-b\=()

m

hm

A.B.7h

h

C.-D.h+m

m

2.如图是一次考试结果的统计图，根据该图可估计，这次考试的平均分数为

()

[人数

io..........

4UM)«UKM)成缜/分

A.46B.36

C.56D.60

3.某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的成绩分成6组：

[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]加以统计，得到如图

所示的频率分布直方图.已知高一年级共有学生600名，据此估计，高一年级期

末数学成绩不少于60分的学生人数为()

A.588B.480

C.450D.120

4.(多选)为比较甲、乙两地某月14时的气温状况，随机选取该月中的5天,

将这5天中14时的气温数据(单位：℃)制成如图所示的茎叶图.则以下结论正确

的为()

甲__________乙

986T89-

II3012

A.甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温

B.甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温

C.甲地该月14时的气温的标准差小于乙地该月14时的气温的标准差

D.甲地该月14时的气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差

5.对某小区100户居民的月均用水量进行统计，得到样本的频率分布直方图

如图所示，则估计此样本的众数、中位数分别为（）

A.2.25,2.5B.2.25,2.02

C.2,2.5D.2.5,2.25

二、填空题

6.从有400人参加的某项运动的达标测试中，随机地抽取50人的成绩统计

成如下表格，则这400人成绩的方差的估计值是

分数54321

人数5152055

7.某校100名学生的数学测试成绩频率分布直方图如图所示，分数不低于

a（a为整数）即为优秀，如果优秀的人数为20人，则a的估计值是

8.对某市“四城同创”活动中800名志愿者的年龄抽样调查，统计后得到频

率分布直方图（如图），但是年龄组为［25,30）的数据不慎丢失，则依据此图可得:

频率

组距

0.08

0.07

0.()6

0.05

0.04

0.03

0.02

0.01

0202530354045年龄/岁

(1)年龄组［25,30)对应小矩形的高度为；

⑵据此估计该市“四城同创”活动中志愿者年龄在［25,35)内的人数为

三、解答题

9.如下茎叶图记录了某篮球队内两大中锋在六次训练中抢得篮板球数的记

录，现有一个数据被污损，在图中以乃表示，但知道乙球员抢得篮板球数的平均

数为10.

⑴求片的值和乙球员抢得篮板球数的方差；

(2)如果你是该球队的教练，在正式比赛中你会派谁上场？请说明理由(用数

据说明).

》“四能”提升训练

1.在一次高一年级统一考试中，数学试卷有一道满分10分的选做题，学生

可以从48两道题目中任选一题作答.某校有900名高一学生参加了本次考试,

为了了解该校学生解答该选做题的得分情况，计划从900名考生的选做题成绩中

随机抽取一个容量为10的样本，若采用分层抽样,按照学生选择/题目或8题目，

将成绩分为两层，且样本中/题目的成绩有8个，平均数为7,方差为4；样本中

6题目的成绩有2个，平均数为8,方差为1.用样本估计900名考生选做题得分

的平均数与方差.

2.对某校高三年级学生参加社区服务的次数进行统计，随机抽取"名学生,

得到这"名学生参加社区服务的次数，根据此数据作出频率分布表和频率分布直

方图如下：

分组频数频率

[10,15)100.25

[15,20)24n

[20,25)mP

[25,30]20.05

合计M1

（1）求出表中物，p及图中a的值；

（2）若该校有高三学生240人，试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区

间［10,15）内的人数；

（3）估计学生参加社区服务次数的众数、中位数及平均数.

5.1.4用样本估计总体

（教师独具内容）

课程标准：1.结合实例，能用样本估计总体的集中趋势参数（平均数、中位数、

众数），理解集中趋势参数的统计含义.2.结合实例，能用样本估计总体的离散程

度参数（标准差、方差、极差），理解离散程度参数的统计含义.3.结合实例，能用

样本估计总体的取值规律.4.结合实例，能用样本估计百分位数，理解百分位数的

统计含义.5.结合具体实例，掌握分层抽样的样本均值和样本方差.

教学重点：用样本的数字特征估计总体的数字特征，用样本的分布估计总体

的分布.

教学难点：利用样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题.

核心素养形成

题型一用样本平均数、方差估计总体

例1甲、乙两台机床在相同的条件下同时生产一种零件，现在从中各抽测

10个，它们的尺寸（单位：mm）如下茎叶图所示：

甲乙

98.

9979.6789

93211010.00I234

(1)分别计算这两个样本的平均数和方差；

(2)如果图纸上的设计尺寸为10mm,从计算结果看，用哪台机床加工这种零

件较合适？

[解](1)由茎叶图可得样本数据分别为

甲:8.9,9.7,9.9,9.9,10.0,10.1,10.1,10.2,10.3,10.9.

乙:9.6,9.7,9.8,9.9,10.0,10.0,10.1,10.2,10.3,10.4.

_1

X(8.9+9.7+9.9+9.9+10.0+10.1+10.1+10.2+10.3+10.9)

=10,

_1,

X⑼6+9.7+9.8+9.9+10.0+10.0+10.1+10.2+10.3+10.4)

=10,

222

所以s?P=^X[(8.9-10)+(9.7—10)2+⑼9-10)+(9.9~10)+(10.0

2222

-10)+(10.1-10)+(10.1-10)+(10.2—10)2+a。3—10)2+(109-10)]

=0.228,

222

[(9.6-10)+(9.7-10)+(9.8—10)2+⑼9_10)2_|_(10.0-10)

4-(10.0-10)2+(10.1-10)2+(10.2—10)2+(10.3-10)2+(10.4-10)2]=

0.06.

(2)因为行用=工乙=10,s*>s"所以用乙机床加工这种零件较合适.

金版点睛

用样本估计总体时，样本的平均数、方差只是总体的平均数、方差的近似值.

在实际中，当所得数据的平均数不同时，需先分析平均水平，再计算方差，分析

稳定情况.

［跟踪训练1］从同一地块甲、乙两种玉米的苗中共抽18株，分别测得它们

的株高(单位：cm)如下茎叶图所示：

甲乙

51666

521277

973

10400044

(1)哪种玉米的苗长得高？哪种玉米的苗长得齐？

(2)这18株玉米株高的平均值和方差分别是多少？

解(1)由茎叶图可得所抽取的甲、乙两种玉米苗的株高分别为甲:

15,21,22,25,37,39,40,41.

乙：16,16,16,27,27,40,40,40,44,44.

_1

王甲=三义(15+21+22+25+37+39+40+41)=30,

O

_1

(16+16+16+27+27+40+40+40+44+44)=31.

因为工甲乙，所以乙种玉米的苗长得高.

[(15-30)2+(21—30)2十62—30尸+(-30)2+(37—30)?+(39—

O25

30)2+(40-30)2+(41-30)2]=93.25.

[(16-31)2+(16—314+(16-31)2+(27—31¥+(27—31产+(40

-31)2+(40—31)2+(40—31尸+(44-31)2+(44-31)2]=128.8.

因为晶Vs3所以甲种玉米的苗长得齐.

(2)因为3甲=30,s有=93.25,甲种玉米抽了8株，7^=31,sl=128.8,乙

种玉米抽了10株,

o।n

所以这18株玉米株高的平均值1=/X30+/X31Q30.56,

lolo

这18株玉米株高的方差s2Tx[93.25+(30-30.56)2]+普X[128.8+(31

-30.56)0013.25.

题型二用频率分布直方图估计数据的数字特征

例2从高三抽出50名学生参加数学竞赛，由成绩得到如图的频率分布直方

图.试利用频率分布直方图求：

睡率

0.03()

0.021

0.02()

0.016

成绩(分)

405()60708090MX)

(1)这50名学生成绩的众数与中位数；

(2)这50名学生成绩的平均数(答案精确到0.1).

［解］(1)由众数的概念可知，众数是出现次数最多的数.在直方图中高度最

高的小长方形框的中间值的横坐标即为所求，所以由频率分布直方图得众数应为

75.

由于中位数是所有数据中的中间值，故在频率分布直方图中体现的是中位数

的左右两边频数应相等，即频率也相等，从而就是小矩形的面积和相等.因此在

频率分布直方图中将频率分布直方图中所有小矩形的面积一分为二的直线所对应

的成绩即为所求.

VO.004X10+0.006X10+0.02X10=0.04+0.06+0.2=0.3,

•••前三个小矩形面积的和为0.3,而第四个小矩形面积为0.03X10=0.3,0.3

+0.3>0.5,

中位数应位于第四个小矩形内.

设其底边为右高为0.03,令0.03x=0.2得46.7,故中位数约为70+6.7

=76.7.

(2)样本平均值应是频率分布直方图的“重心”，即所有数据的平均值，取每

个小矩形底边的中点值乘以每个小矩形的面积即可.

，平均数为45X(0.004X10)+55X(0.006X10)+65X(0.02X10)+

75X(0.03X10)+85X(0.021X10)+95X(0.016X10)-73.7.

金版点睛

1利用频率分布直方图估计一组数据的数字特征:①众数的估计值是最高

小矩形的底边中点的横坐标；②中位数左右两侧直方图的面积相等；③平均数大

约等于每个小矩形的面积与小矩形底边中点的横坐标之积的和.

2利用频率分布直方图求得的众数、中位数、平均数均为估计值，往往与

实际数据得出的结果不一致，但它们能粗略估计其众数、中位数和平均数.

［跟踪训练2］某中学举行电脑知识竞赛,现将高一参赛学生的成绩进行整理

后分成五组绘制成如图所示的频率分布直方图，已知图中从左到右的第一、二、

三、四、五小组的频率分别是0.30,0.40,0.15,0.10,0.05.求：

频率

0.015

O.OIO

0.005

5060708090100成绩（分）

(1)高一参赛学生成绩的众数、中位数；

(2)高一参赛学生成绩的平均数.

解(1)由图可知众数为65,

又•.•第一、二个小矩形的面积分别为0.3,0,4,且0.3+0.4=0.7＞个5,

设中位数为60+x,则0.3+xXO.04=0.5,得x=5,

中位数为60+5=65.

(2)依题意，平均数为55X0.3+65X0.4+75X0.15+85X0.1+95X0.05=

67,.•.高一参赛学生成绩的平均数为67.

题型三用频率分布直方图估计总体的分布

例3为了迎接某市作为全国文明城市的复查，爱卫会随机抽取了60位路人

进行问卷调查，调查项目是自己对该市各方面卫生情况的满意度(假设被问卷的路

人回答是客观的)，以分数表示问卷结果，并统计他们的问卷分数，把其中不低于

50分的分成五段：［50,60),［60,70),…，［90,100］后画出如图所示的部分频率

分布直方图，观察图形信息，回答下列问题：

(1)求出问卷调查分数低于50分的被问卷人数；

(2)估计全市市民满意度在60分及以上的百分比.

［解］(1)因为各组的频率和等于1,

故低于50分的频率为

/1=1-(0,015X2+0.030+0.025+0.005)X10=0.1,故低于50分的人数为

60X0.1=6.

(2)依题意，60分及以上的频率和为

(0.015+0.030+0.025+0.005)X10=0.75,

所以抽样满意度在60分及以上的百分比为75%.

于是，可以估计全市市民满意度在60分及以上的百分比约为75%.

金版点睛

频率分布直方图的应用

频率分布指的是一个样本数据在各个小范围内所占比例的大小，一般用频率

分布直方图反映样本的频率分布，其中：

频率

1频率分布直方图中纵轴表示林；

2频率分布直方图中，各个小长方形的面积等于频率，各个小长方形的面

积之和为1；

3长方形的高的比也就是频率之比；

4小频矗数¥=一样本容量.

［跟踪训练3］为了了解高一年级学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一

分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图(如图所示)，图中

从左到右各小矩形的面积之比为2：4：17：15：9：3,第二小组的频数为12.

(1)第二小组的频率是多少？样本容量是多少？

(2)若次数在110以上(含110次)为达标，则该校全体高一年级学生的达标率

约是多少？

解(1)频率分布直方图是以面积的形式来反映数据落在各小组内的频率大

小的，

4

因此第二小组的频率为工17上I=08.

/十4十1/十1b十9十J

第二小组的频数

因为第二小组的频率=

样本容量

在N珏十广1第二小组的频数__12__

所以样本合里=第二小组的频率=3而=150.

⑵由直方图可估计该校全体高一年级学生的达标率约为

17+15+9+3

XI00%=88%.

2+4+17+15+9+3

随堂水平达标

1.对于用样本分布估计总体分布的过程，下列说法正确的是（）

A.总体容量越大，估计越精确

B.总体容量越小，估计越精确

C.样本容量越大，估计越精确

D.样本容量越小，估计越精确

答案C

解析样本为所研究的具体对象，样本容量越大，越能反映总体情况，估计

越精确.

2.某班全体学生参加物理测试成绩的频率分布直方图如图所示，则估计该班

物理测试成绩的平均数是（）

［频率

组距

0.020

0.015

0.010

().(X)5

20406080100成绩/分

答案C

解析平均数就是频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点

的横坐标再求和，即0.005X20X30+0.010X20X50+0.020X20X70+

0.015X20X90=68.

3.在一次模拟考试后，从高三某班随机抽取了20位学生的数学成绩，其分

布如下：

分组[90,100)[100,110)[110,120)[120,130)[130,140)[140,150]

频数126731

分数在130分（包括130分）以上者为优秀，据此估计该班的优秀率约为（）

A.10%B.20%

C.30%D.40%

答案B

4

解析由表可知，优秀的人数为3+1=4,则优秀率为m=20%,故据此估计

乙U

该班的优秀率约为20幅故选B.

4.某班为了了解学生每周购买零食的支出情况，利用分层抽样抽取了一个

15人的样本统计如下：

学生数平均支出（元）方差

男生9406

女生6354

全班学生每周购买零食的平均支出为元，方差为.

答案3811.2

_1

解析全班学生每周购买零食的平均支出为刀=主义（9X40+6X35）=38,

15

方差9X6+6X4+空^义40-352=11.2.

5.一个水库养了某种鱼10万条，从中捕捞了20条，称得它们的质量（单位:

kg）如下茎叶图所示：

1.0479

1.10124556689

1.2I14559

1.32

计算样本的平均数，并根据结果估计水库中所有鱼的总质量.

解由茎叶图可得样本数据分别为：

1.04,1.07,1.09,1.10,1.11,1.12,1.14,1.15,1.15,1.16,1.16,1.18,1.19,1.21,

1.21,1.24,1.25,1.25,1.29,1.32.

_1

所以样本的平均数x=^X(1.04+1.07+1.09+1.10+1.11+1.12+1.14

+1.15X2+1.16X2+1.18+1.19+1.21X2+1.24+1.25X2+1.29+1.32)=

1.1715.

水库中鱼的总质量约为1.1715X100000=117150(kg).

答：样本的平均数为L1715,估计水库中所有鱼的总质量约为117150kg.

后课时精练

四基:巩固训练

一、选择题

1.在抽查产品尺寸的过程中，将其尺寸分成若干组，［a,力是其中的一组,

抽查出的个体在该组上的频率为创该组上的直方图高为方，则加一引=()

m

A.hmB.7

h

h।

C.-D.h~\~m

m

答案B

解析根据频率分布直方图中每组的高为磊，可知:^=心所以它一引

ictLJfLL|c*。|

=今故选B.

2.如图是一次考试结果的统计图，根据该图可估计，这次考试的平均分数为

()

［人数

io..........

A.46B.36

C.56D.60

答案A

解析根据题中统计图，可估计有4人成绩在［0,20)之间，其考试分数之和

为4X10=40；有8人成绩在［20,40)之间，其考试分数之和为8X30=240；有

10人成绩在［40,60)之间，其考试分数之和为10X50=500；有6人成绩在［60,80)

之间，其考试分数之和为6X70=420；有2人成绩在［80,100)之间，其考试分数

之和为2X90=180,由此可知，考生总人数为4+8+10+6+2=30,考试总成绩

1380

为40+240+500+420+180=1380,平均数为3-=46.

OU

3.某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的成绩分成6组：

［40,50),［50,60),［60,70),［70,80),［80,90),［90,100］加以统计，得到如图

所示的频率分布直方图.已知高一年级共有学生600名，据此估计，高一年级期

末数学成绩不少于60分的学生人数为（）

A.588B.480

C.450D.120

答案B

解析在频率分布直方图中，长方形的面积表示其频率.该校高一年级期末

数学成绩不少于60分的频率为1-（0.005+0.015）X10=0.8,所以对应的学生

人数为600X0.8=480.故选B.

4.（多选）为比较甲、乙两地某月14时的气温状况，随机选取该月中的5天,

将这5天中14时的气温数据（单位：℃）制成如图所示的茎叶图.则以下结论正确

的为（）

甲_________乙

9861--―

1I3012

A.甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温

B.甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温

C.甲地该月14时的气温的标准差小于乙地该月14时的气温的标准差

D.甲地该月14时的气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差

答案AD

...26+28+29+31+31

解析•xtp-z=29,

-28+29+30+31+32.--

x乙=1=30,••x甲＜x乙.

9+1+0+4+4184+1+0+1+4.

又品=2------5------=2,..sQs乙.故由样本估

55

计总体可知A,D正确.

5.对某小区100户居民的月均用水量进行统计，得到样本的频率分布直方图

如图所示，则估计此样本的众数、中位数分别为()

A.2.25,2.5B.2.25,2.02

C.2,2.5D.2.5,2.25

答案B

解析众数是指样本中出现频率最高的数，在频率分布直方图中通常取该组

94-25

区间的中点，所以众数为y^=2.25.中位数是频率为0.5的分界点，由频率分

布直方图，可知前4组的频率和为(0.08+0.16+0.30+0.44)X0.5=0.49,因此

中位数出现在第5组，设中位数为x,则(x—2)X0.5=0.01,解得x=2.02,故

选B.

二、填空题

6.从有400人参加的某项运动的达标测试中，随机地抽取50人的成绩统计

成如下表格，则这400人成绩的方差的估计值是.

分数54321

人数5152055

答案1.16

_1

解析成绩的平均数为(5X5+4X15+3X20+2X5+1X5)=3.2,

方差为上义［5X(5-3.2)24-15X(4-3.2)2+20X(3-3.2)2+5X(2-3.2)2+

50

5X(1-3.2)口=1.16,所以估计这400人成绩的方差为1.16.

7.某校100名学生的数学测试成绩频率分布直方图如图所示，分数不低于

a(a为整数)即为优秀，如果优秀的人数为20人，则a的估计值是

频率

o.oio

0.005

90100110120130140150成绩/分

答案133

解析由已知可以判断ae(130,140),所以［(140—a)X0.015+

0.01X10］X100=20.解得4133.

8.对某市“四城同创”活动中800名志愿者的年龄抽样调查，统计后得到频

率分布直方图(如图)，但是年龄组为［25,30)的数据不慎丢失，则依据此图可得:

频率

组距

0.08

0.07

0.06

0.05

0.()4

().03

0.02

0.01

2()2530354045年龄/岁

(1)年龄组［25,30)对应小矩形的高度为；

⑵据此估计该市“四城同创”活动中志愿者年龄在［25,35)内的人数为

答案(1)0.04(2)440

解析(1)设年龄组［25,30)对应小矩形的高度为h,则5X(0.01+A+0.07

+0.06+0.02)=1,解得力=0.04.

(2)由⑴得志愿者年龄在［25,35)内的频率为5X(0.04+0.07)=0.55,故志

愿者年龄在［25,35)内的人数约为0.55X800=440.

三、解答题

9.如下茎叶图记录了某篮球队内两大中锋在六次训练中抢得篮板球数的记

录，现有一个数据被污损，在图中以X表示，但知道乙球员抢得篮板球数的平均

数为10.

(1