应变梯度理论

应变梯度理论

应变梯度理论是近解释材料在微米尺度下的尺寸效应现象而发展起来的一种新理论。Fleek等[6]于1994年在细铜丝的扭转实验中观测到微尺度下应变梯度的硬化，其中直径12的无量纲扭转硬化约为直径170的三倍。通过对12.5、25和50三种厚度纯镍薄片的弯曲测试，Stolken和Evanslv[7]于1998年发现镍的无量纲弯曲硬化随着薄片厚度的减小而明显增大，然而在拉伸试验中并未发现这种微尺度现象。Chong和Lam[8]于1999年通过压痕实验观察到热固性环氧树脂和热塑性聚碳酸酷的无量纲硬化与应变梯度有关，材料的塑性具有微尺度效应。McFarland和Colton[9J于2005年通过对不同厚度聚丙烯悬臂微梁的弯曲测试，同样观测到无量纲弯曲刚度随梁厚减小而增大。与宏观尺度相比，微尺度下结构的力学特性及行为研究主要考虑到以下两个方面(1)尺度效应。材料不是无限可分。因此材料颗粒的固有属性将影响到微结构的力学特性。(2)表面和界面效应。一些在宏观尺度下常被忽略的力和现象，在微尺度下起着重要的作用;而一些在宏观领域作用显著的力和现象，在微尺度下作用微小，甚至可以忽略。例如，微尺度下，与特征尺寸L的高次方成比例的惯性力、电磁力(L3)等的作用相对减小，而与尺寸的低次方成比例的粘性力、弹性力(L2)、表面张力(Ll)、静电力(L0)等的作用相对增大。随着尺寸的减小，表面积(L2)与体积(L3)之比相对增大，表面力学和物理效应将起主导作用。理论模型建立(1)偶应力理论早在一个多世纪前，voigt[12]便提出了体力偶和面力偶的概念，并建议构建考虑作用在材料微粒表面或边界上的力偶的连续模型。随后Cosserat兄弟[14]根据的假设建立了相关的Cosserat理论，对应的运动方程中出现了偶应力。直到20世纪60年代左右，一些学者才开始尝试Cosserat理论的改进扩展工作，他们对Cosserat连续体物质点的旋转施加一定约束，并逐渐发展了一种更为普遍的理论—偶应力理论。相比其它非经典连续介质理论，偶应力理论是一种相对简单的理论。如应变梯度理论考虑旋转梯度、拉伸和膨胀梯度的影响，而偶应力理论仅考虑了旋转梯度(与偶应力共轭)。Ashby[22]指出几何必需位错和统计储存位错是材料的塑性硬化来源，而几何必需位错产生于塑性剪切应变梯度。据此，Fleek和Hutchinson[23]及Fleek等[6]在偶应力理论框架上发展了一种应变梯度塑性理论(通常称为CS应变梯度塑性理论)，它是经典的形变或流动理论的推广。在理论中为了考虑旋转梯度的影响，引入了偶应力，并且服从二阶变形梯度本构率的Clausius-Duhem热力学限制条件[24]。这种理论不仅在模拟裂纹扩展时能消除裂纹尖端的应力奇异性[25],还能成功预测微结构力学行为中的微尺度效应。例如，Fleck等[6]铜丝的扭转实验中证实了应变梯度硬化的存在，并应用提出的CS应变梯度塑性理论成功解释了这种微尺度现象。经典牛顿力学框架下，连续变形体的材料颗粒仅在力的作用下作平动;在TouPin和Mindiin等学者[18-21]建立的传统偶应力弹性理论中，材料颗粒不仅在力的作用下作平动，还在力偶的作用下作转动。因此，偶应力理论中的系统能量包括应力对应变和偶应力对旋转形变做的功，其中旋转形变是二阶变形梯度的反对称部分，含有8个独立分量。对于各向同性线弹性材料而言，系统本构方程中除了两个经典的拉梅系数外，还包含两个与材料微结构有关的附加常数。在上述偶应力理论构建中，仅用到传统的力和力矩的平衡关系，对力偶并没有施加约束。Yang等[28]从引入高阶平衡关系角度出发，提出一种修正偶应力理论。在添加力偶矩平衡关系后，偶应力张量被约束成对称量，它对与之共轭张量的曲率张量的对称部分做功，并与应力对应变做的功一起转变为系统能量。这种理论下的本构方程仅包含一个附加常数，从而大大降低了非经典常数的确定难度。Park和Gao[29]曾使用这种新理论计算Bemoulli-Euler微梁的弯曲，发现微梁厚度与材料内察长度相当时，呈现出明显的尺度效应，所求得的无量纲弯曲刚度与弯曲实验测量值[28]吻合得较好。(2)应变梯度理论应变梯度理论的基本思想是通过将高阶应变梯度和/或位错密度纳入支配材料行为的本构或演化方程，来引入尺度对结构或系统的弹、塑性变形和位错运动等力学行为的影响。这种理论最早由Mindlin[30]提出，他将弹性体的应变能密度视为应变和它的第一、二阶导数的函数。同时，他也给出了一种更常用的仅包含应变和其一阶导数的简化理论，简化后的附加变形包含了二阶变形梯度的所有18个独立分量。比较而言，偶应力理论仅包含了二阶变形梯度中的8个独立分量，而应变梯度理论是一个完整的二阶梯度理论。Mindlin为非经典连续介质力学研究提供了一种新的思路，后人针对各种应用对其理论进行了改进和扩充。除了弹性材料外，不少学者致力建立了塑性[31-33]、弹塑性[34]、热弹性135]等材料的应变梯度模型。例如，通过使用等效应变的一次和二次拉普拉斯算子表示附加的应变梯度，Aifantis等[32]建立了应变梯度塑性理论。Fleek等[31]和Gao等[33l则发展了另一种基于几何必需位错的应变梯度塑性理论。Aifantis为应变梯度理论的发展和应用做出了卓越的贡献。他和他的合作者们建立并逐步发展了模拟物体弹性、塑性和位错动力行为的各种应变梯度理论，并就相关理论的发展、应用及数学表述给出了综述[36]。另外，黄克智等[37]也在他们的综述性文章中综合介绍了偶应力和应变梯度塑性理论。除了用于描述位错组态、材料软化和裂纹尖端附近的变形场等问题外[36]，应变梯度理论也广泛应用在微尺度效应研究中。例如，Aifantis[38]讨论了应变梯度弹性、塑性理论在解释不常见微结构的标准尺寸试件或普通微结构的小尺寸试件的扭转和弯曲中的微尺度现象上的能力。在Mindlin[30]建立的传统应变梯度弹性理论中，附加变形即引入的二阶变形梯度，它包括了8个独立分量的反对称部分和10个独立分量的对称部分在内的所有18个独立分量。对于各向同性材料而言，二阶变形梯度对应有七个线性弹性常数，即两个拉梅系数和五个与材料微结构有关的非经典常数。应用虚功原理得到的控制方程和边界条件也包含五个附加常数，从而能捕捉到微结构中的尺度效应。后来，Fleck和Hutchinson[31，39]重新表述了Mindlin的应变梯度理论，他们将二阶变形梯度张量分解成两个独立部分，即拉伸梯度张量和旋转梯度张量。与Mindiin的工作类似，Fleck和Hutchinson仅使用了传统平衡关系—力和力矩平衡来支配高阶应力行为。受Yang等[28]的工作启发，Lam等[40]尝试将新的高阶平衡关系应用在本构关系及控制方程的推导中。在施加附加的力偶矩平衡关系后，Lam等重新定义了高阶应变张量及与之共扼的高阶应力张量，并推导了相应的本构关系和应变能表述。由于高阶平衡关系的引入，旋转梯度的反对称部分不出现在变形能中，与微结构有关的附加材料常数的个数由五个减少到三个。基于所提出的新理论，Lam等[40]研究了微悬臂梁的弯曲问题，发现微梁的无量纲刚度与梁厚呈二次方反比关系，这与微梁的弯曲实验观测结果相吻合。

(3)微态理论微态理论是由连续介质力学大师Eringen建立。在1964年，Eringen[41]、Eringen和Suhubi[42]分别提出了简单微流体和简单微弹性体理论，他们的模型中分别考虑了微流体的局部微运动和微固体的微变形和微旋转，并推导了对应的基本场方程、边界条件和本构方程。到1966年，Eringen[43]综合阐述了这类理论，并将之正式命名为微态连续统力学。这种理论把材料体看作无数变形物质点的连续集合，每个物质点都具有有限的尺寸和内部结构。除了经典的三个平动自由度外，每个材料物质点还具有独立的拉伸和旋转自由度，即允许物质点作刚