2024-2025学年高中数学 第2章 推理与证明 2.2 直接证明与间接证明 2.2.2 反证法（教师用书）教案 新人教A版选修2-2

2024-2025学年高中数学第2章推理与证明2.2直接证明与间接证明2.2.2反证法（教师用书）教案新人教A版选修2-2主备人备课成员课程基本信息1.课程名称：高中数学-推理与证明

2.教学年级和班级：2024-2025学年，高中二年级，1班

3.授课时间：2024年10月15日，星期一，第3节课

4.教学时数：45分钟

教学内容和目标：

-学习反证法的概念和基本步骤

-能够运用反证法证明一些基本的数学命题

教学资源和材料：

-课本：《新人教A版选修2-2》

-教学PPT

-练习题和案例分析题核心素养目标本节课旨在培养学生的数学逻辑推理能力和数学思维能力。通过学习反证法，使学生能够理解并掌握反证法的基本概念和步骤，培养学生运用反证法解决问题的能力。同时，通过案例分析和练习题的实践，提高学生分析问题、解决问题的能力，培养学生的数学抽象和数学建模素养。此外，通过小组讨论和互动交流，培养学生的合作意识和沟通表达能力。重点难点及解决办法重点：

1.反证法的概念和基本步骤。

2.运用反证法证明数学命题的方法和技巧。

难点：

1.反证法的第一步，即假设结论不成立，对于学生来说较为抽象，难以理解。

2.如何引导学生从假设出发，通过逻辑推理得出矛盾，进而证明原命题的正确性。

解决办法：

1.通过具体的案例分析，让学生感受反证法的思维过程，从而理解反证法的概念。

2.采用循序渐进的教学方法，先从简单的命题开始，逐步引导学生掌握反证法的步骤。

3.在课堂上组织学生进行小组讨论，分享各自的解题思路，互相学习，共同进步。

4.提供充足的练习题，让学生在实践中熟悉并掌握反证法的运用。

5.教师应及时给予学生反馈，指导他们发现并修正推理过程中的错误，帮助他们更好地理解和掌握反证法。学具准备Xxx课型新授课教法学法讲授法课时第一课时师生互动设计二次备课教学方法与手段1.教学方法：

-讲授法：教师通过讲解反证法的概念和例子，引导学生理解反证法的思维过程。

-讨论法：学生分组讨论练习题，分享解题思路，互相学习，培养合作和沟通能力。

-实践法：学生通过解决实际问题，运用反证法证明命题，提高解决问题的能力。

2.教学手段：

-多媒体设备：使用PPT展示反证法的步骤和案例，增强教学直观性和生动性。

-教学软件：运用数学软件或在线平台，进行实时演示和互动，帮助学生更好地理解反证法。

-练习题和案例分析：提供丰富的练习题和案例，让学生在实践中掌握反证法的应用。教学过程设计1.导入环节（5分钟）

-教师通过PPT展示一个有趣的数学问题：“是否存在这样的三个正整数，它们的和等于它们的乘积？”让学生思考并讨论。

-学生积极参与讨论，尝试寻找解答。

-教师总结学生的解答，引出反证法的概念，激发学生的学习兴趣。

2.讲授新课（15分钟）

-教师讲解反证法的概念和基本步骤，强调反证法的第一步是假设结论不成立。

-教师通过PPT展示反证法的例子，引导学生理解反证法的思维过程。

-学生跟随教师的讲解，积极参与思考和讨论。

3.巩固练习（10分钟）

-教师发放练习题，让学生独立完成。

-学生在课堂上完成练习题，教师巡回指导，及时给予反馈。

-学生之间进行小组讨论，分享解题思路，互相学习。

4.课堂提问（5分钟）

-教师针对本节课的内容提出问题，引导学生思考和巩固所学知识。

-学生积极回答问题，展示自己对反证法的理解和掌握。

-教师根据学生的回答，进行点评和指导。

5.总结与拓展（5分钟）

-教师对本节课的内容进行总结，强调反证法的应用和重要性。

-教师提出一个拓展问题，引导学生思考反证法在实际问题中的应用。

-学生思考并讨论拓展问题，分享自己的见解。

6.课后作业（课后自主完成）

-教师发放课后作业，要求学生运用反证法解决实际问题。

-学生独立完成作业，巩固对反证法的理解和掌握。

总计用时：40分钟

教学创新点：

-通过有趣的数学问题导入，激发学生的学习兴趣。

-结合PPT和数学软件，生动展示反证法的思维过程。

-组织学生进行小组讨论和课堂提问，促进师生互动和生生互动。

-提供丰富的练习题和课后作业，让学生在实践中掌握反证法的应用。教学资源拓展1.拓展资源：

（1）反证法在数学竞赛中的应用案例：教师可提供一些数学竞赛中的题目，让学生尝试运用反证法解决，从而提高学生的应用能力和解题技巧。

（2）反证法在实际问题中的应用：教师可引导学生思考反证法在实际问题中的应用，如逻辑推理、证明争议问题等，让学生感受反证法的价值。

（3）反证法与其他证明方法的对比：教师可引导学生探讨反证法与其他证明方法（如直接证明、归纳法等）的区别和联系，让学生了解各种证明方法的优缺点。

2.拓展建议：

（1）让学生阅读数学论文或书籍：教师可推荐一些涉及反证法的数学论文或书籍，让学生自主阅读，了解反证法在数学研究中的应用。

（2）举办数学讲座或研讨会：邀请数学专家或学者来校举办讲座或研讨会，让学生深入了解反证法及其在数学领域的应用。

（3）开展数学实践活动：组织学生参加数学实践活动，如数学建模、数学竞赛等，让学生在实际操作中运用反证法解决问题。

（4）小组合作研究：让学生分组合作，研究反证法在特定领域的应用，如逻辑推理、证明争议问题等，并进行汇报交流。

（5）网上资源搜索：指导学生利用网络资源，搜索与反证法相关的学习资料，拓宽视野，提高自主学习能力。

（6）开展课后讨论：鼓励学生在课后针对本节课的学习内容，进行深入讨论，巩固所学知识，提高分析问题和解决问题的能力。课后拓展1.拓展内容：

（1）阅读材料：《数学分析中的反证法应用》、《反证法在几何证明中的应用》等，让学生进一步了解反证法在不同数学领域的应用。

（2）视频资源：《反证法的证明过程解析》、《数学悖论与反证法》等，帮助学生形象地理解反证法的原理和应用。

2.拓展要求：

（1）学生自主阅读拓展材料，了解反证法在不同领域的应用，提高学生的数学阅读能力。

（2）学生观看拓展视频，加深对反证法的理解，培养学生的数学思维能力。

（3）学生结合本节课所学，尝试解决一些实际问题，运用反证法进行证明，提高学生的应用能力。

（4）学生撰写课后拓展心得，总结自己在拓展学习中的收获和感悟，提高学生的自我反思能力。

（5）教师在课后提供必要的指导和帮助，如解答学生的疑问、给予反馈等，促进学生的全面发展。教学反思与改进首先，我意识到导入环节的重要性。通过引入一个有趣的数学问题，激发了学生的学习兴趣和求知欲。在今后的教学中，我将继续运用这种方式，引导学生主动参与课堂。

其次，我在讲授新课时，注重了与学生的互动，鼓励他们积极参与讨论。这种方式有助于学生更好地理解和掌握反证法的概念。今后，我将继续采用这种教学方法，提高学生的课堂参与度。

在巩固练习环节，我及时给予学生反馈，并组织小组讨论。这有助于学生发现并修正自己的错误，提高解题能力。今后，我将更加关注学生的学习情况，及时调整教学策略。

然而，我也发现了一些需要改进的地方。例如，在课堂提问环节，我应该更加注重引导学生思考，培养他们的数学逻辑思维能力。此外，在课后拓展环节，我需要提供更多的资源和建议，帮助学生进行自主学习。

针对这些反思，我制定了以下改进措施：

1.继续优化导入环节，通过有趣的问题或案例，激发学生的学习兴趣。

2.增加课堂互动，鼓励学生提问和发表自己的见解，培养他们的数学思维能力。

3.注重课后拓展，提供丰富的学习资源和指导，帮助学生自主学习，提高他们的数学素养。

4.加强学生学习情况的关注，及时调整教学策略，满足学生的个性化需求。

5.不断提高自己的专业素养，参加教育培训，提升教学水平。课堂小结，当堂检测1.课堂小结：

本节课我们学习了反证法的概念和基本步骤，通过具体的例子了解了反证法的思维过程。反证法是一种重要的证明方法，它在数学推理中有着广泛的应用。我们需要注意，运用反证法时，首先要合理地提出假设，然后通过逻辑推理得出矛盾，从而证明原命题的正确性。

2.当堂检测：

（1）判断题：

1.反证法的第一步是假设结论不成立。（）

2.反证法是一种证明方法，它的目的是通过假设结论不成立，然后找到矛盾，从而证明结论成立。（）

（2）选择题：

1.以下哪个选项是反证法的第一步？（）

A.归纳推理

B.假设结论不成立

C.寻找反例

D.证明结论成立

2.在运用反证法证明命题时，以下哪个选项是正确的步骤？（）

A.先证明结论，再假设结论不成立

B.先假设结论不成立，然后找到矛盾

C.先找到矛盾，再假设结论不成立

D.先假设结论不成立，再证明结论成立

（3）解答题：

请运用反证法证明下列命题：

1.任意正整数a、b、c，若a+b+c=abc，则a、b、c中至少有一个数为1。

2.任意正整数n，若n^2+1是奇数，则n是偶数。板书设计（1）反证法的概念和步骤

-反证法：假设结论不成立，通过逻辑推理找到矛盾，从而证明原命题的正确性。

-步骤：

-假设结论不成立

-推导出矛盾

-得出原命题成立

（2）反证法的应用

-反证法在数学证明中的重要性

-反证