高考数学一轮复习讲练测(新教材新高考)第六章数列(测试)(原卷版+解析)

第六章数列（测试）时间：120分钟分值：150分第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知正项等比数列，若，则（

）A．16 B．32 C．48 D．642．（2023·江苏南通·统考模拟预测）现有茶壶九只，容积从小到大成等差数列，最小的三只茶壶容积之和为0.5升，最大的三只茶壶容积之和为2.5升，则从小到大第5只茶壶的容积为（

）A．0.25升 B．0.5升 C．1升 D．1.5升3．（2023·河南郑州·统考模拟预测）在等差数列中，已知，且，则当取最大值时，（

）A．10 B．11 C．12或13 D．134．（2023·安徽滁州·安徽省定远中学校考模拟预测）已知数列中，，，则数列前项的和（

）A． B． C． D．5．（2023·河南洛阳·洛宁县第一高级中学校考模拟预测）已知数列{}满足：则（

）A． B．C． D．6．（2023·江西·江西师大附中校考三模）已知数列的通项，如果把数列的奇数项都去掉，余下的项依次排列构成新数列为，再把数列的奇数项又去掉，余下的项依次排列构成新数列为，如此继续下去，……，那么得到的数列（含原已知数列）的第一项按先后顺序排列，构成的数列记为，则数列前10项的和为（

）A．1013 B．1023 C．2036 D．20507．（2023·海南海口·海南华侨中学校考二模）已知若数列的前项和为，则（

）A． B． C． D．8．（2024·江西·校联考模拟预测）已知各项均为正数的数列满足，且数列的前项积为，则下列结论错误的是（

）A．若，则B．若，则C．存在及正整数，使得D．若为等比数列，则二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．（2023·安徽安庆·安徽省桐城中学校考二模）已知为等差数列，前项和为，，公差d=−2，则（

）A．=B．当n=6或7时，取得最小值C．数列的前10项和为50D．当n≤2023时，与数列（mN）共有671项互为相反数．10．（2023·重庆·统考三模）对于数列，若，，则下列说法正确的是（

）A． B．数列是等差数列C．数列是等差数列 D．11．（2023·黑龙江哈尔滨·哈九中校考模拟预测）刚考入大学的小明准备向银行贷款元购买一台笔记本电脑，然后上学的时候通过勤工俭学来分期还款.小明与银行约定：每个月还一次款，分次还清所有的欠款，且每个月还款的钱数都相等，贷款的月利率为，设小明每个月所要还款的钱数为元，则下列说法正确的是（

）A．小明选择的还款方式为“等额本金还款法” B．小明选择的还款方式为“等额本息还款法C．小明第一个月还款的现值为元 D．12．（2023·江苏南京·南京市第一中学校考模拟预测）在一次《数列》的公开课时，有位教师引导学生构造新数列：在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照此方法不断构造出新的数列.下面我们将数列1，2进行构造，第1次得到数列；第2次得到数列；第次得到数列记，数列的前项为，则（

）A． B．C． D．第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．（2022·四川绵阳·盐亭中学校考模拟预测）已知等比数列​满足：​，则​.14．（2023·湖南长沙·长沙市实验中学校考三模）若数列中，，，且（），记数列的前n项积为，则的值为．15．（2022·北京朝阳·校考模拟预测）将1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数填入如图所示的正方形网格中，每个数填一次，每个小方格中填一个数．考虑每行从左到右，每列从上到下，两条对角线从上到下这8个数列，给出下列四个结论：

①这8个数列有可能均为等差数列；②这8个数列中最多有3个等比数列；③若中间一行、中间一列、两条对角线均为等差数列，则中心数必为5；④若第一行、第一列均为等比数列，则其余6个数列中至多有1个等差数列．其中所有正确结论的序号是．16．（2023·陕西延安·校考一模）已知数列的前项和为，且，若，则正整数的最小值是．四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。17．（10分）（2023·内蒙古通辽·校考模拟预测）已知等差数列的前项和为，公差为整数，，且，，成等比数列.(1)求的通项公式；(2)求数列的前项和.18．（12分）（2023·陕西延安·校考一模）已知数列满足，且．(1)求数列的通项公式；(2)数列满足，若，求的值．19．（12分）（2023·浙江·统考二模）如图，已知的面积为1，点D，E，F分别为线段，，的中点，记的面积为；点G，H，I分别为线段，，的中点，记的面积为；…；以此类推，第n次取中点后，得到的三角形面积记为．(1)求，，并求数列的通项公式；(2)若，求数列的前n项和．20．（12分）（2023·全国·模拟预测）已知正项数列满足，.(1)求证：数列为等差数列；(2)设，求数列的前n项和.21．（12分）（2023·河南·襄城高中校联考三模）在等比数列中，，且，，成等差数列．(1)求的通项公式；(2)设，数列的前n项和为，求满足的k的值．22．（12分）（2023·天津武清·天津市武清区杨村第一中学校考模拟预测）已知数列是等比数列，其前项和为，数列是等差数列，满足，，(1)求数列和的通项公式；(2)记，求；(3)证明：．

第六章数列（测试）时间：120分钟分值：150分第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知正项等比数列，若，则（

）A．16 B．32 C．48 D．64【答案】B【解析】根据等比中项，，又是正项数列，故（负值舍去）设等比数列的公比为，由，即，解得（正项等比数列公比不可是负数，负值舍去），故故选：B2．（2023·江苏南通·统考模拟预测）现有茶壶九只，容积从小到大成等差数列，最小的三只茶壶容积之和为0.5升，最大的三只茶壶容积之和为2.5升，则从小到大第5只茶壶的容积为（

）A．0.25升 B．0.5升 C．1升 D．1.5升【答案】B【解析】设九只茶壶按容积从小到大依次记为，由题意可得，所以，故选：B3．（2023·河南郑州·统考模拟预测）在等差数列中，已知，且，则当取最大值时，（

）A．10 B．11 C．12或13 D．13【答案】C【解析】因为在等差数列中，所以，所以，又因为，所以可知等差数列为递减数列，且前12项为正，第13项以后均为负，所以当取最大值时，或13．故选：C．4．（2023·安徽滁州·安徽省定远中学校考模拟预测）已知数列中，，，则数列前项的和（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】依题意，，则，两式相减得到，又，​​​​​​所以数列的奇数项都等于，偶数项都等于，所以，故选：B．5．（2023·河南洛阳·洛宁县第一高级中学校考模拟预测）已知数列{}满足：则（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由题意，，即，又，故是以1为首项，2为公比的等比数列，故，故.故选：B6．（2023·江西·江西师大附中校考三模）已知数列的通项，如果把数列的奇数项都去掉，余下的项依次排列构成新数列为，再把数列的奇数项又去掉，余下的项依次排列构成新数列为，如此继续下去，……，那么得到的数列（含原已知数列）的第一项按先后顺序排列，构成的数列记为，则数列前10项的和为（

）A．1013 B．1023 C．2036 D．2050【答案】C【解析】根据题意，如此继续下去，……，则得到的数列的第一项分别为数列的第即得到的数列的第项为数列的第项，因为，可得，所以.故选：C.7．（2023·海南海口·海南华侨中学校考二模）已知若数列的前项和为，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】易知．故选：D．8．（2024·江西·校联考模拟预测）已知各项均为正数的数列满足，且数列的前项积为，则下列结论错误的是（

）A．若，则B．若，则C．存在及正整数，使得D．若为等比数列，则【答案】C【解析】对于A，若，则，所以，故A正确；对于B，若，则，所以，两式相除得，所以，故B正确；对于C，因为，所以，所以，又因为数列各项均为正数，所以，即，故不存在及正整数，使得，故C错误；对于D，若为等比数列，设其公比为，则，所以，则，故D正确.故选：C二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．（2023·安徽安庆·安徽省桐城中学校考二模）已知为等差数列，前项和为，，公差d=−2，则（

）A．=B．当n=6或7时，取得最小值C．数列的前10项和为50D．当n≤2023时，与数列（mN）共有671项互为相反数．【答案】AC【解析】对于A，等差数列中，，公差，则，，故A正确；对于B，由A的结论，，则，由d=−2当时，，，当时，，则当或6时，取得最大值，且其最大值为，B错误；对于C,,故C正确，对于D，由，则，则数列中与数列中的项互为相反数的项依次为：，，，，，可以组成以为首项，为公差的等差数列，设该数列为，则，若，解可得，即两个数列共有670项互为相反数，D错误．故选：AC．10．（2023·重庆·统考三模）对于数列，若，，则下列说法正确的是（

）A． B．数列是等差数列C．数列是等差数列 D．【答案】ACD【解析】由，，得，，，所以A选项正确；又，，两式相减得，令，可得，所以不是等差数列，是等差数列，故B选项错误，C正确；同理，令，则，所以是以为首项，公差为2的等差数列，所以，故D正确.故选：ACD11．（2023·黑龙江哈尔滨·哈九中校考模拟预测）刚考入大学的小明准备向银行贷款元购买一台笔记本电脑，然后上学的时候通过勤工俭学来分期还款.小明与银行约定：每个月还一次款，分次还清所有的欠款，且每个月还款的钱数都相等，贷款的月利率为，设小明每个月所要还款的钱数为元，则下列说法正确的是（

）A．小明选择的还款方式为“等额本金还款法” B．小明选择的还款方式为“等额本息还款法C．小明第一个月还款的现值为元 D．【答案】BCD【解析】AB选项，由于每个月还款的钱数都相等，故小明选择的还款方式为“等额本息还款法，A错误，B正确；C选项，设小明第一个月还款的现值为，则，解得，故C正确；D选项，根据等额本息还款法可得，第一个月末所欠银行贷款为，第二个月末所欠银行贷款为，第三个月末所欠银行贷款为，……第12个月末所欠银行贷款为，由于分次还清所有的欠款，故，解得，D正确.故选：BCD12．（2023·江苏南京·南京市第一中学校考模拟预测）在一次《数列》的公开课时，有位教师引导学生构造新数列：在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照此方法不断构造出新的数列.下面我们将数列1，2进行构造，第1次得到数列；第2次得到数列；第次得到数列记，数列的前项为，则（

）A． B．C． D．【答案】AC【解析】由题意可知，第1次得到数列1,3,2，此时第2次得到数列1,4,3,5,2，此时第3次得到数列1,5,4,7,3,8,5,7,2，此时第4次得到数列1,6,5,9,4,11,7,10,3,11,8,13,5,12,7,9,2，此时第次得到数列1，，2此时，故A项正确；结合A项中列出的数列可得：用等比数列求和可得则又所以，则，故B项错误；由B项分析可知，故C项正确.，故D项错误.故选：AC.第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．（2022·四川绵阳·盐亭中学校考模拟预测）已知等比数列​满足：​，则​.【答案】5【解析】因为等比数列的性质可得,即得可得.故答案为:5.14．（2023·湖南长沙·长沙市实验中学校考三模）若数列中，，，且（），记数列的前n项积为，则的值为．【答案】【解析】因为，，且，所以，则，，，，，，发现数列是以6为周期的数列，且前6项积为1，则，，所以.故答案为：.15．（2022·北京朝阳·校考模拟预测）将1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数填入如图所示的正方形网格中，每个数填一次，每个小方格中填一个数．考虑每行从左到右，每列从上到下，两条对角线从上到下这8个数列，给出下列四个结论：

①这8个数列有可能均为等差数列；②这8个数列中最多有3个等比数列；③若中间一行、中间一列、两条对角线均为等差数列，则中心数必为5；④若第一行、第一列均为等比数列，则其余6个数列中至多有1个等差数列．其中所有正确结论的序号是．【答案】①②③【解析】①如图将1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数依次填入网格中，则这8个数列均为等差数列，故①正确；123456789②1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数中，等比数列有：1，2，4；1，3，9；2，4，8和4，6，9，因为1，2，4和2，4，8这两个等比数列在网格中不可能在同一行、同一列或对角线上，所以这8个数列中最多有3个等比数列，如图，故②正确；124365978③若三个数成等差数列，则，根据题意要有4组数成等差数列，且中间的数相同，则只能是，因为，所以中间一行、中间一列、两条对角线四组数分别为1，5，9；2，5，8；3，5，7；4，5，6时满足条件，如图，故③正确；324159687④若第一行为1，2，4，第一列为1，3，9，满足第一行，第一列均为等比数列，当第二行为3，5，7，第二列为2，5，8时，第二行和第二列均为等差数列，此时有2个等差数列，如图，故④错误；124357986故答案为：①②③16．（2023·陕西延安·校考一模）已知数列的前项和为，且，若，则正整数的最小值是．【答案】6【解析】当时，；当时，①，②，①-②整理得，．又，是以3为首项，3为公比的等比数列，，令，,解得，正整数的最小值是6．故答案为：6四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。17．（10分）（2023·内蒙古通辽·校考模拟预测）已知等差数列的前项和为，公差为整数，，且，，成等比数列.(1)求的通项公式；(2)求数列的前项和.【解析】（1）因为，所以，又因为，，成等比数列，所以，即，所以，联立解得，所以.（2）由（1）可得，所以.18．（12分）（2023·陕西延安·校考一模）已知数列满足，且．(1)求数列的通项公式；(2)数列满足，若，求的值．【解析】（1）∵，∴，所以，∴的奇数项与偶数项各自成等差数列且公差均为2．∵，则，∴对,，所以n为奇数时，，对,，所以n为偶数时，，综上可知，，．（2）由（1）得，∴，解得．19．（12