人教版高中数学选修部分知识点总结(理科)

高二数学选修2-1知识点

第一章常用逻辑用语

1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句.

真命题：判断为真的语句.

假命题：判断为假的语句.

2、“若0,则q”形式的命题中的p称为命题的条件，q称为命题的结论.

3、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件,

则这两个命题称为互逆命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆

命题.

若原命题为“若p,则它的逆命题为“若q,则p”.

4、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定

和结论的否定，则这两个命题称为互否命题.中一个命题称为原命题，另一个称

为原命题的否命题.

若原命题为“若p,则“"，则它的否命题为“若力，则r”.

5、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定

和条件的否定，则这两个命题称为互为逆否命题.其中一个命题称为原命题，另

一个称为原命题的逆否命题.

若原命题为“若p,则4"，则它的否命题为''若r，则力”.

6、四种命题的真假性：

原命题逆命题否命题逆否命题

真真真真

真假假•1(.

假真真真

假假假假

四种命题的真假性之间的关系：

⑴两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；

（2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系.

7、若pnq,则p是q的充分条件，q是p的必要条件.

若poq,则p是q的充要条件（充分必要条件）.

8、用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，得到一个新命题，记作〃△外

当〃、（7都是真命题时，〃八47是真命题；当p、q两个命题中有一个命题是假命

题时，是假命题.

用联结词“或”把命题〃和命题“联结起来，得到一个新命题，记作“V小

当p、q两个命题中有一个命题是真命题时，pvq是真命题；当〃、q两个命

题都是假命题时，pvq是假命题.

对一个命题〃全盘否定，得到一个新命题，记作..

若p是真命题，则力必是假命题；若p是假命题，则力必是真命题.

9、短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词，用“V”表

示.

含有全称量词的命题称为全称命题.

全称命题“对M中任意一个x,有p(x)成立"，记作“VxeM,p(x)”.

短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常称为存在量词，用“三”表示.

含有存在量词的命题称为特称命题.

特称命题“存在M中的一个x,使p(x)成立"，记作“HXGM,p(x)”.

10、全称命题p：VxeM,p(x),它的否定力：3xeM,»(x).全称命题

的否定是特称命题.

第二章圆锥曲线与方程

11、平面内与两个定点6，尸2的距离之和等于常数(大于I耳尼|)的点的轨迹

称为椭圆.这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距.

12、椭圆的几何「性质：

焦点的位置焦点在X轴上焦点在y轴上

r

小

图形

1

2222

标准方程声+3=3">。)

范围-a<x<a^-h<y<h-b<x<bSL-a<y<a

A,(-a,O)>A2(6f,0)A"。,-a)、A2(O,6t)

顶点

B2(O^)(-瓦0)、B2(/7,O)

轴长短轴的长=2b长轴的长=2a

焦点耳(-c,0)、鸟(c,0)耳(0,—c)、6(0,c)

焦距忻闾=2c6=«2-Z?2)

对称性关于X轴、y轴、原点对称

6=2=J1

离心率

a\a

V=±

准线方程-f

13、设M是椭圆上任一点，点M到K对应准线的距离为4,点M到K对应准线

的距离为则粤

14、平面内与两个定点耳，户2的距离之差的绝对值等于常数(小于|石石|)的

点的轨迹称为双曲线.这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线

的焦距.

15、双曲线的几何性质：

焦点的位置焦点在X轴上焦点在y轴上

图形

TfV-?

/T\

22

Y22

标准方程V

范围x<-a^x>ayy£Ry<—a^y>a,XG7?

顶点A［（-a,O）、A2（6f,0）Aj（0,-a）>A2（0,a）

轴长虚轴的长=功实轴的长=2«

焦点耳(—c,0)、1(c,0)耳（0,—c）、6（O,c）

焦距恒闾=2C（C2=/+〃）

对称性关于X轴、y轴对称，关于原点中心对称

离心率

a2a1

准线方程x=±—y=±-

C

,b,a

渐近线方程y=±-xy=±—x

ab

16、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线.

17、设M是双曲线上任一点，点M到耳对应准线的距离为&,点M到K对应准

线的距离为%,则幽l==

44

18、平面内与一个定点户和一条定直线/的距离相等的点的轨迹称为抛物线.定

点尸称为抛物线的焦点，定直线/称为抛物线的准线.

19、过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于A、B两点的线段AB,称为

抛物线的“通径”，即网=2p.

20、焦半径公式：

若点p(x0,yo)在抛物线y2=2“x(〃>())上，焦点为尸，则|PF|=Xo+5；

若点PG。,%)在抛物线V=-2px(p>0)上，焦点为F,则仔刊=-毛+个

若点P(Xo，%)在抛物线V=2刀(〃>0)上，焦点为尸，则|PF|=%+5；

若点PQo，%）在抛物线d=—2刀（p>0）上，焦点为F,则|PF|=—

21、抛物线的几何性质：

y2=2pxy2=-2pxx2=2pyx1=-2py

标准方程

(p>°)(p>°)(p>0)(A>0)

图形J啾

jp]

顶点(0,0)

对称轴x轴y轴

焦点9。)FT。L户（。住）FS3L

准线方程x=——x_p.T

________2_________2

离心率e=i

范围x>0x<0>0y<0

第三章空间向量与立体几何

22、空间向量的概念：

（1）在空间，具有大小和方向的量称为空间向量.

（2）向量可用一条有向线段来表示.有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指

的方向表示向量的方向.

（3）向量AB的大小称为向量的模（或长度），记作|AB].

（4）模（或长度）为0的向量称为零向量；模为1的向量称为单位向量.

（5）与向量a长度相等且方向相反的向量称为a的相反向量，记作.

（6）方向相同且模相等的向量称为相等向量.

23、空间向量的加法和减法：

⑴求两个向量和的运算称为向量的加法，它遵循平行四边形法则.即：在空间

以同一点0为起点的两个已知向量a、匕为邻边作平行四边形OACB,则以0起

点的对角线0C就是。与b的和，这种求向量和的

方法，称为向量加法的平行四边形法则.B

(2)求两个向量差的运算称为向量的减法，它遵

循三角形法则.即：在空间任取一点0,作/

,。S、

0A-a,OB—h,则BA-a—b.

24、实数2与空间向量a的乘积4a是一个向量，称为向量的数乘运算.当2>0

时，4a与。方向相同；当;1<0时，4a与。方向相反；当;1=0时，Xa为零向量,

记为0.而的长度是a的长度的风倍.

25、设X,〃为实数，a,。是空间任意两个向量，则数乘运算满足分配律及结

合律.

分配律：A^a+h^-Aa+Ab；结合律：=(〃/)..

26、如果表示空间的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量称为共线

向量或平行向量，并规定零向量与任何向量都共线.

27、向量共线的充要条件：对于空间任意两个向量a,〃仅。0),a//b的充要条

件是存在实数4,使。=劝.

28、平行于同一个平面的向量称为共面向量.

29、向量共面定理:空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在有序实数对x,

)，使AP=xAB+yAC；或对空间任一定点0,有OP=OA+xAB+)，相；或

若四点P,A,B,C共面，则OP=K)A+yOB+zOC(x+y+z=l).

30、已知两个非零向量a和。，在空间任取一点0,作a,OB=。，则4®

称为向量a，8的夹角，记作也涉〉.两个向量夹角的取值范围是：〈a,b〉«O,句.

31、对于两个非零向量a和b,若〈a,力=5,则向量a,匕互相垂直，记作a，方.

32＞已知两个非零向量。和。,则同|4b〉称为。，b的数量积，记作。.即

。人=《间,也〉.零向量与任何向量的数量积为0.

33＞a-b等于。的长度同与〃在。的方向上的投影Wcos〈a,b〉的乘积.

34＞若a,。为非零向量，£为单位向量，则有⑴e・a=a・e=|《cos〈a,e〉；

同与引司向）

2

（2）aLb<^>a-b=0；（3）a­h=<Q.Q=同\a\=\ja'a；

一同忖（a与反向）

笳；⑸I。・。卜同I阳

⑷cos〈〃,。〉

35、向量数乘积的运算律：⑴a/="a；（2）（/1〃）/=/1（42）=人（劝/

⑶（Q+〃）,C=Q.C+Z?.c.

36、若i,j,%是空间三个两两垂直的向量，则对空间任一向量p,存在有序

实数组{x,y,z},使得p=xi+力+zk,称xi,yj,z%为向量p在i,j,k±

的分量.

37、空间向量基本定理：若三个向量a,b,c不共面，则对空间任一向量p,

存在实数组{x,y,z},p=xa+yh+zc.

38、若三个向量a,b,c不共面，则所有空间向量组成的集合是

=xa+yb+zc,x,y,z&.这个集合可看作是由向量a,b,c生成的，

{a,Ac}称为空间的一个基底，a,b,c称为基向量.空间任意三个不共面的向

量都可以构成空间的一个基底.

39、设“，4为有公共起点0的三个两两垂直的单位向量（称它们为单位

正交基底），以4，4,63的公共起点0为原点，分别以耳，4,63的方向为x

轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz.则对于空间任意一个向量p,

一定可以把它平移，使它的起点与原点0重合，得到向量0P=〃.存在有序实

数组{x,y,z},使得p=xej+ye2+263.把x,y,z称作向量p在单位正交基底

6,%,名下的坐标，记作〃=（乂，2）.此时，向量P的坐标是点P在空间直角

坐标系Oxyz中的坐标（x,y,z）.

40、设a=（%，M，Z］）,b=（x2,y2,z2）,则⑴a+Z?=（石+程%+%，4+z2）・

（2）。一〃=（玉一孙y—必，4-22）・

（3）Aa=,/ly,/lZ］）.

（4）a-b=%%2+y%+平2•

（5）若。、b为非零向量，则。_LZ?oa-b=0oxix2+y［y2+ziz2=0.

⑹若。w0,贝IQ〃boa=劝ox】=Ax2,yl=Ay2,zt=Az2・

（7）\a\=\Ja-a=Jx；+y：+z；.

玉々+%%+展

⑻0=葡=春22

+y；+z；•&；+£+

dAB

（9）A（%,y,zJ,B=（肛必，Z2），则AR=||=&2石|）%（y厂九七』一？）•

41、在空间中，取一定点0作为基点，那么空间中任意一点P的位置可以用向量

0P来表示.向量OP称为点P的位置向量.

42、空间中任意一条直线/的位置可以由/上一个定点A以及一个定方向确定•点

A是直线/上一点，向量a表示直线/的方向向量，则对于直线/上的任意一点P,

有AP=S,这样点A和向量。不仅可以确定直线/的位置，还可以具体表示出直

线/上的任意一点.

43、空间中平面a的位置可以由a内的两条相交直线来确定.设这两条相交直线

相交于点0,它们的方向向量分别为a,b.P为平面a上任意一点，存在有序

实数对（x,y）,使得OP=xa+yb,这样点0与向量a,b就确定了平面a的位置.

44、直线/垂直a,取直线/的方向向量a,则向量a称为平面a的法向量.

45、若空间不重合两条直线a,8的方向向量分别为a,b,则a〃匕oa//bo

a=AZ＞（4eR）,a_L〃oa_L6=0.

46、若直线a的方向向量为a,平面a的法向量为〃，月,则a/aoMa

oa_L〃oa-〃=0,a_LaoaJ_aoa〃〃oa=/l〃.

47、若空间不重合的两个平面a,夕的法向量分别为a,b,则a〃夕bo

a=Ab9a_L力•》=().

48、设异面直线。，〃的夹角为e,方向向量为。，b,其夹角为0,则有

\a-b

COS0-1Icos691=--；—,

49、设直线/的方向向量为/，平面a的法向量为〃，/与a所成的角为6,/与〃

的夹角为°，则有sin<9=|cos同।~.

l\\n\

50、设々，的是二面角a-心尸的两个面a，夕的法向量，则向量〃1，密的夹

角（或其补角）就是二面角的平面角的大小.若二面角a-/-月的平面角为。，

则|cose|=...

阿|〃2

51、点A与点B之间的距离可以转化为两点对应向量AB的模,B|计算.

52、在直线/上找一点P,过定点A且垂直于直线/的向量为〃，则定点A到直线

,।||।|PA-n|

/的距禺为d=IPAkosVPA,〃〉卜.

53、点P是平面。外一点，A是平面a内的一定点，〃为平面。的一个法向量，

।I.।|PA-/?|

则点P到平面a的距离为d=PAcos<PA,〃〉=.

1111|川

数学选修2-2知识点总结

一、导数

1.函数的平均变化率为包="=/（止d=出上常二贴）

AxAxx2-x{Ax

注1：其中Ax是自变量的改变量，可正，可负，可零。

注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的垩均速度。

2、导函数的概念：函数y=/（x）在x=x0处的瞬时变化率是

］汕电=1即/0.。+斓-/（工。），则称函数），=/（x）在点x。处可导，并把这个极限叫

做y=f(X)在X。处的导数，记作/,(x0)或，即

/(x°)=lim包=lim/(、。+8一/&。).

Ar-^OAVAv->0Ax

3.函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率；函数的导数的几何意义是切线的

斜率。

4导数的背景(1)切线的斜率；(2)瞬时速度；(3)边际成本。

5、常见的函数导数和积分公式

函数导函数不定积分

y=cy'=0—

rxn+[

[xndx=-----

y=x"£N*)y'=nxn~]J〃+l

y=ax(〃>O,aw1)y'=axIna\axdx=—

JIna

y=exy'=exJeWx=e'

y=log.%

y'=^——

xlnci

(Q>0,Qwl,x〉0)

f1,1

y=\nxy'--1—ar=lnx

XJX

y=sinxy'=cosxJcosxdx-sinx

y=cosxy'=-sinxJsinx6tx=-cosx

6、常见的导数和定积分运算公式:若“X),g(x)均可导(可积)，则有:

和差的导数运算[/(x)±^(x)]=f(x)±g(x)

[/(x),g(x)]=/(x)g(x)±/(x)g'(x)

积的导数运算

特别地：[加切・。。)

W+0)

商的导数运算

特别地：「一

[g(x)」g-(x)

复合函数的导数

(其中

微积分基本定理

产(力=〃力)

f[fSx)+f(x)]cbc=\f^dx+\f(x)dx

Ja2JaJa2

和差的积分运算

日『4(外公=〃「/(%)公(人为常数)

特别地：JaJa

积分的区间可加性ff(x)dx=ff(x)dx+f/(%)公(其中”<c<b)

JaJaJc

6.用导数求函数单调区间的步骤:①求函数/U)的导数f(x)②令尸(幻>0,解不等

式，得x的范围就是递增区间.③令/'(x)<0,解不等式，得x的范围，就是递减区

间；［注］：求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。

7.求可导函数凡r)的极值的步骤：(1)确定函数的定义域。(2)求函数./(X)的导数

f\x)(3)求方程/")=0的根(4)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区

间分成若干小开区间，并列成表格，检查尸(处在方程根左右的值的符号，如果

左正右负，那么«x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么/U)在这个根

处取得极小值；如果左右不改变符号，那么人x)在这个根处无极值

8.利用导数求函数的最值的步骤:求/(x)在以力］上的最大值与最小值的步骤如

下：⑴求在㈤上的极值；⑵将/(x)的各极值与/(a)"⑸比较，其中最

大的一个是最大值，最小的一个是最小值。［注］:实际问题的开区间唯一极值点

就是所求的最值点；

9.求曲边梯形的思想和步骤:份画近似代替If丽->|取极限(“以直代

曲”的思想)

10.定积分的性质

根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质：

性质1Jidx-b-a

性质5若7(x)20,xe[a,b],则//(X)公20

Ja

①推广：土力(x)±±ffnM]dx=£f1(x)dx±£f2(x)dx±

②推广：ff(x)dx=f'f(x)dx+['f{x}dx++[f(x)dx

JaJaJqJck

11定积分的取值情况:定积分的值可能取正值，也

可能取负值，还可能是0.

（1）当对应的曲边梯形位于X轴上方时，定

积分的值取正值,且等于x轴上方的图形面积;

（2）当对应的曲边梯形位于x轴下方时，定

积分的值取负值,且等于x轴上方图形面积的相

反数;

（3）当位于x轴上方的曲边梯形面积等于

位于x轴下方的曲边梯形面积时，定积分的值为

Q,且等于x轴上方图形的面积减去下方的图形的

面积.

12.物理中常用的微积分知识（1）位移的导数为速

度，速度的导数为加速度。（2）力的积分为功。

推理与证明知识点

13.归纳推理的定义：从个别事实中推演出一般性的

结论，像这样的推理通常称为归纳推理。

归纳推理是由部分到雌，由个别到一段的推理。

14.归纳推理的思维过程

*砧加囱—实验、观察―------->概括、推广一

猜测一般性结论

15.归纳推理的特点：①归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳所得的结论

是尚属未知的一般现象。②由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否真

实，还需经过逻辑证明和实验检验，因此，它不能作为数学证明的工具。③归纳

推理是一种具有创造性的推理，通过归纳推理的猜想，可以作为进一步研究的起

点，帮助人们发现问题和提出问题。

16.类比推理的定义：根据两个（或两类）对象之间在某些方面的相似或相同，

推演出它们在其他方面也相似或相同，这样的推理称为类比推理。类比推理是由

特卷到特殊的推理。

17.类比推理的思维过程

观察、比较联想、类推推测新的结论

18.演绎推理的定义：演绎推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义'公

理'定理等）按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程。演绎推理是由一艘到

特然的推理。

19.演绎推理的主要形式：三段论

20.“三段论”可以表示为：①大前题：M是P②小前提：S是M③结论：S是P。

其中①是大前提，它提供了一个一般性的原理；②是小前提，它指出了一个

特殊对象；③是结论，它是根据一般性原理，对特殊情况做出的判断。

21.直接证明是从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理'定理，直接

推证结论的真实性。直接证明包括综合法和分析法。

22.综合法就是“由因导果”，从已知条件出发，不断用必要条件代替前面的条件,

直至推出要证的结论。

23.分析法就是从所要证明的结论出发，不断地用充分条件替换前面的条件或者

一定成立的式子，可称为“由果索因”。要注意叙述的形式：要证A,只要证B,

8应是A成立的充分条件.分析法和综合法常结合使用，不要将它们割裂开。

24反证法：是指从否定的结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否

定是错误的，从而肯定原结论是正确的证明方法。

25.反证法的一般步骤(1)假设命题结论不成立，即假设结论的反面成立；(2)

从假设出发，经过推理论证，得出矛盾；(3)从矛盾判定假设理理，即所求证

命题正确。

26常见的“结论词”与“反义词”

原结论词反义词原结论词反义词

至少有一个一个也没有对所有的X都成立存在X使不成立

至多有一个至少有两个对任意X不成立存在X使成立

至少有n个至多有n-1个p或q—且一q

至多有n个至少有n+1个p且q或—iC/

27.反证法的思维方法西举则反

28.归缪矛盾(1)与已知条件矛盾:(2)与已有公理、定理、定义矛盾;(3)

目相矛盾.

29.数学归纳法(只能证明与正擎《有关的数学命题)的步骤(1)证明：当n取

第一个值%(%eN,)时命题成立；(2)假设当n=k(攵GN*,且时命题成立，

证明当n=k+l时命题也成立.由(1),(2)可知，命题对于从〃o开始的所有正整数〃

都正确.［注］：常用于证明不完全归纳法推测所得命题的正确性的证明。

数系的扩充和复数的概念知识点

30.复数的概念：形如叫◎的数叫做复数，其中i叫虚数单位，“叫实部，〃叫

虚部,数集C={a+C|a,beR}叫做复数集。

规定：可且9=劣强调：两复数不能比较大小，只有相等或不相

等。

实数S=o)

31.数集的关系：复数Z一般虚数(“。0)

虚数SwO)

纯虚数(4=0)

32.复数的几何意义：复数与平面内的点或有序实数对一一对应。

33.复平面：根据复数相等的定义，任何一个复数z=a+〃，都可以由一个有序

实数对(。力)唯一确定。由于有序实数对(。力)与平面直角坐标系中的点对

应，因此复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应。这个建立了

直角坐标系来表示复数的平面叫做复王面，X轴叫做实轴,V轴叫做虚轴。实轴

上的点都表示实数，除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数。

34.求复数的模(绝对值)与复数z对应的向量方的模r叫做复数2=。+次的模

(也叫绝对值)记作忖/a+M。由模的定义可知：\z\=\a+b^=yla2+b2

35.复数的加、减法运算及几何意义①复数的加、减法法则：4=a+从与z?=c+山，

则Z]土Z2=4土c+S土d)i。注：复数的加、减法运算也可以按回量的加、减法来进

行。

②复数的乘法法则：(a+bi)(c+di)=(ac-。d)+(ad+bc)i。

③复数的除法法则：丝¥=胃辿二半==当+”半，•其中c-力叫做实数化

c+di(c+dt)(c-di)c+d-c+d

因子

36洪辗复数：两复数a+打•与a-万互为共拆复数，当府()时，它们叫做共拆虚数。

常见的运算规律

(l)|z|=|z|;(2)z+z-2a,z-z-2Z?z;

(3)Z-Z=|Z|2=|Z|2=a2+b2;(4)z=z;(5)z=5=zeR

,iJ.;i_;

(7)(1±z)*=±z;(8)-；=z,-；=-i,

1-f1+i

-1+V3z

(9)设。=i的立方虚根，则1+<y+(y2=0,3*"=。,=万ty""'=1

高中数学选修2-3知识点总结

第一章计数原理

知识点:

1、分类加法计数原理：做一件事情，完成它有N类办法，在第一类办法中有Mi种不同的方法，在第二类

办法中有M?种不同的方法，……，在第N类办法中有MN种不同的方法，那么完成这件事情共有

Mi+M2+...+MN种不同的方法。

2、分步乘法计数原理：做一件事，完成它需要分成N个步骤，做第一步有ml种不同的方法，做第二步

有M?不同的方法，……，做第N步有MN不同的方法.那么完成这件事共有N=MIM2...MN种不同的方法。

3、排列：从"个不同的元素中任取"十胫”)个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从“个不同元素中取出

m个元素的一个排列

n!

n

4、排列数:A'-n(n-1)…(〃一+1)=(m<n,n,m&N)

(n-m)!

5、组合：从〃个不同的元素中任取用EW7?)个元素并成一组，叫做从〃个不同元素中取出w个元素的一个

组合。

6、组合数：0嗔组=〃("D…(”…nl

"M加ml(n-in)!

Cw=C〃，

7、二项式定理:

8、二项式通项公

第二章随机变量及其分布

知识点：

1、随机变量：如果随机试验可能出现的结果可以用一个变量X来表示，并且X是随着试验的结果的不同而

变化，那么这样的变量叫做随机变量.随机变量常用大写字母X、Y等或希腊字母，、n等表示。

2、离散型随机变量：在上面的射击、产品检验等例子中，对于随机变量X可能取的值，我们可以按一定次

序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量.

3、离散型随机变量的分布列：一般的，设离散型随机变量X可能取的值为"X2,......Xi,……,x„

X取每一个值Xi(i=l,2，……)的概率P(&=x。=Pi,则称表为离散型随机变量X的概率分布，简称分布列

XXiX2・・・Xi・・・Xn

ppiP2・・・Pi・・・Pn

4、分布列性质①pi>0,i=1,2,•••；②pi+pi+—+pn=1.

5、二点分布：如果随机变量X的分布列为：

X10

ppq

其中0<p<l,q=l-p,则称离散型随机变量X服从参数p的二点分布

6、超几何分布：一般地，设总数为N件的两类物品，其中一类有M件，从所有物品中任取n(n近N)件，这n

件中所含这类物品件数X是一个离散型随机变量，

「k「〃一A

则它取值为时的概率为尸，⑼，

k(X=k)=~cT依=0,1,2,

其中m=min{,且"WN,MWN,n,M,NeN

1条件概率：对任意事件A和事件B,在已知事件A发生的条件下事件B发生的概率，叫做条件概率.

记作P(B|A),读作A发生的条件下B的概率

2公式：

3相互独立事件：事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互

独立事件。P(AB)=P(A)P(B)

4n次独立重复事件：在同等条件下进行的，各次之间相互独立的一种试验

11、二项分布：设在n次独立重复试验中某个事件A发生的次数，A发生次数&是一个随机变量.如果

在一次试验中某事件发生的概率是P，事件A不发生的概率为q=l-p,那么在n次独立重复试验中

P(&=k)=C,,pq(其中k=Q1……R,q=1.p)

于是可得随机变量4的概率分布如下：

01•••k♦••n

kn-k

P・・•Qpq•••Qpq

这样的随机变量&服从二项分布，记作自〜B(n,p),其中n,p为参数

12、数学期望：一般地，若离散型随机变量&的概率分布为

X1X2・♦♦Xi・・・

pP1P2・・・Pi•・・

则称E4=xlpl+x2p2+-+xnpn+-为&的数学期望或平均数、均值，数学期望又简称为期望.是离散

型随机变量。

13、方差:D(4)=(X|-E4)2-Pl+(X2-E4)2•P2+……+(Xn-E4)2•P“叫随机变量&的均方差，简称方差。

14、集中分布的期望与方差一览：

期望方差

两点分布E€=pDC=pq,q=l-p

二项分布，€〜B(n,p)E€=npDg=qEC=npq,(q=l-p)

15、正态分布：若概率密度曲线就是或近似地是函数

1

y(x)=——j_=_e2b,%w(—oo,+oo)

的图像，其中解析式中的实数〃、b(b>0)是参数，分别表示总体的平均数与标准差.

则其分布叫正态分布t己作：N(〃,cr),f(x)的图象称为正态曲线。

16、基本性质：

①曲线在x轴的上方，与x轴不相交.

②曲线关于直线x=〃对称，且在x=〃时位于最高点.

③当时X<4,曲线上升；当时*>",曲线下降.并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x轴为渐近

线，向它无限靠近.

④当〃一定时，曲线的形状由°■确定.C越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；b越小，曲线

越“瘦高”，表示总体的分布越集中.

⑤当。相同时.正态分布曲线的位置由期望值U来决定.

⑥正态曲线下的总面积等于1.

17、30"原则：

从上表看到，正态总体在(〃-2G〃+2b)以外取值的概率只有4.6%,在(〃-3b,〃+3b)以外

取值的概率只有0.3%由于这些概率很小,通常称这些情况发生为小概率事件.也就是说，通常认为这些情况

在一次试验中几乎是不可能发生的.

第三章统计案例

知识点：

1、独立性检验

假设有两个分类变量X和Y,它们的值域分另为｛X1,X2｝和｛yi,y2｝,其样本频数列联表为:

yiV2总计

Xiaba+b

X2cdc+d

总计a+cb+da+b+c+d

若要推断的论述为Hi：“X与Y有关系”，可以利用独立性检验来考察两个变量是否有关系，并且能较精

确地给出这种判断的可靠程度。具体的做法是，由表中的数据算出随机变量K"2的值(即K的平方)K2

=n(ad-be)2/[(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)],其中n=a+b+c+d为样本容量，K?的值越大，说明“X与Y有关系”成

立的可能性越大。

K2<3.841时，X与Y无关；K2>3.841时，X与Y有95%可能性有关；K2>6.635时X与Y有99%可能

性有关

2、回归分析

1、回归直线方程y=a+bx

X孙一:初尸刃

其中ba-y-bx

夕」（82）Zu-x）2

n

2、i•检验性质：(DIr|Wl,Ir|并且越接近于1,线性相关程度越强，

Ir|越接近于0,线性相关程度越弱；(2)Ir|>ro.05,表明有95%的把握认

为x与Y之间具有线性相关关系；Ir|Wro.o5,我们没有理由拒绝原来的假设,

这是寻找回归直线方程毫无意义！

高中数学选修4--5知识点

1、不等式的基本性质

①（对称性）a>b<^>b>a

②（传递性）a>b.b>c^>a>c

③（可加性）a>ba+c>h+c

（同向可加性）a>b,c>d=>a+c>b+d

（异向可减性）a>b,c<d=>a—c>b—d

④（可积性）a>b,c>Q=>ac>be

a>b>c<。=ac<be

⑤（同向正数可乘性）a>b>0,c>d>0=>ac>bd

（异向正数可除性）a>b>QO<c<d=*

⑥（平方法则）a>b>0=>an>bn（nGA^,_0.n>1）

⑦（开方法则）a>b>0=>折>痣（〃eN,且〃>1）

⑧（倒数法则）6Z>/?>0=>—<—;«</?<0=>—>—

abab

2、几个重要不等式

a

①。？+/7222aZ;（a,beR）,（当且仅当a=b时取"="号）.变形公式：ab《；’.

②（基本不等式）^^>4ab（a,Z?eR+）,（当且仅当。=〃时取到等号）.

变形公式：a+拓ab<-——.

用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大）,要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”.

③（三个正数的算术一几何平均不等式）"上;汇29赤（〃、鼠ceR+）（当且仅当。=人=。时

取到等号）.

④。2+人2+。2beR）

（当且仅当。=b=c时取到等号）.

⑤/+b，+c3>3abe（a>0,Z?>0,c>0）

（当且仅当。=6=。时取到等号）.

bQ

⑥若Q〃>0,则一+—22（当仅当a=b时取等号）

ab

若0,贝+—2（当仅当a=b时取等号）

ab

bb+m,a+na.八八、

⑦一v------<1<-------<—,（其中m>0,n>0）

aa+mb+nb

规律：小于1同加则变大，大于1同加则变小.

2

⑧当>a0x<一〃典:>〃；

|x|<tz<=>X2<6Z2<=>—6Z<X<a.

⑨绝对值三角不等式同一同<卜±q<问+网.

3、几个著名不等式

（1b

①平均不等式：~~r<y[ab<.--,（a,be/T,当且仅当。=人时取"="号）.

a'+/?-12V2

（即调和平均（几何平均（算术平均4平方平均）.

变形公式：

22i2

a+b\,a+b2

ab<Ia+

22

②塞平均不等式：

Qj+...+。〃~N—（%+%+…+。〃）2.

n"

③二维形式的三角不等式：

收+y：+收+%2>J（内一龙2）2+（%一月）2（内,yt,x2,y2eR）.

④二维形式的柯西不等式：

（a2+。2）（，+42）>（ac+M）2（a,b,c,de/?）.当且仅当加=历时，等号成立.

⑤三维形式的柯西不等式：

（%2+4，+?2）Sj+42+b；）2+（1力）+613b3）2.

⑥一般形式的柯西不等式：

（。「++…+a/）（bj+b；+…+）2（6?|/?|+外包+…+a〃b〃）一,

⑦向量形式的柯西不等式：

设a,4是两个向量，则卜•尸卜忖阿，当且仅当仅是零向量，或存在实数Z,使a=k/?时，等

号成立.

⑧排序不等式（排序原理）：

设q<a2<...<an,bxK打<…《勿为两组实数.。，。2­.,。“是々,打...,包的任一排列，则

哂+3"_]+A+a2c2+...+ancn<afy+a2b2+…+a,/“.（反序和W乱序和《顺

序和），当且仅当q