五年级奥数-用比例解行程问题(含答案解析)

PAGE10用比例解行程问题用比例解行程问题理解行程问题中正比例和反比例关系．用比例和份数思想解行程问题．本讲是在秋季所学的火车过桥和流水行船的行程问题基础上，讲解运用比例性质解多次相遇追及行程问题．体会比例解决问题的优势．用比例解多次相遇问题用比例解多次相遇问题距离、速度、时间这三个数量之间的关系，可以用下面的公式来表示：距离速度时间．显然，知道其中的两个量，就可以求出第三个量，这是我们在小学课堂中经常解决的问题．同时对于三者之间的关系，我们还可以发现：当时间相同时，路程和速度成正比；当速度相同时，路程和时间成正比；当路程相同时，速度和时间成反比．也就是说：设甲、乙两个人，所走的路程分别为、；速度分别为、；所用时间分别为、时，由于，，有如下关系：⑴当时间相同即时，有；⑵当速度相同即时，；⑶当路程相同即时，．甲、乙二人分别从A、B两地同时相向而行，甲的速度是每小时30千米，乙的速度是每小时20千米，二人相遇后继续行进，甲到B地、乙到A地后立即返回．已知二人第二次相遇的地点距第一次相遇的地点是20千米，那么，A、B两地相距＿＿＿千米．因为甲乙同时出发，同时相遇，所以甲、乙相遇时间相同，因此，设全程为5份，则一个全程中，甲走了3份，乙走了2份，所以C是第一次相遇地点，第一次相遇到第二次相遇，甲、乙共走2个AB，因此从开始到第二次相遇，甲、乙共走了3个全程，一个全程甲走3份，3个全程甲共走份，所以D是第二次相遇地点，由图看出DC是2份．但已知DC是20千米，所以AB的长度是202(23)50(千米)．(也可以用乙进行计算)甲、乙两人在一条长100米的直路上来回跑步，甲的速度3米/秒，乙的速度2米/秒．如果他们同时分别从直路的两端出发，当他们跑了10分钟后，共相遇多少次？(方法一)10分钟两人共跑了(32)60103000米300010030个全程．我们知道两人同时从两地相向而行，他们总是在奇数个全程时相遇(不包括追上)1，3，5，7，，29共15次．(方法二)第一次两个人相遇需要100(32)20(秒),从第一次开始到第二次相遇要走两个全程需要：200(32)40(秒)所以一个相遇：(106020)401(次)，即为15次．老师可以把【例1】的问题改为：已知两个人第四次相遇的地点距离第三次相遇的地点20千米，那么A、B两地相距多少千米？由此推出,第三次相遇甲乙共走：3215(个全程)，甲走了：3515(份)在B点，第四次相遇甲乙共走：4217(个全程)，甲走了：3721(份)在D点,已知BD是20千米，所以AB的长度是204(23)25(千米)．甲、乙二人同时从A地出发同向而行去往B地，甲的速度是每小时30千米，乙的速度是每小时20千米，二人相遇后继续行进，甲、乙到B地后立即返回A地．已知二人第三次相遇的地点距第一次相遇的地点是20千米(两人相遇指迎面相遇)，那么，A、B两地相距＿＿＿千米．因为甲乙同时出发，同时相遇，所以甲、乙相遇时间相同，因此，设全程为5份，则一个全程中，甲走了3份，乙走了2份，第一次相遇，甲、乙一共行了两个全程，一个全程甲走3份，2个全程甲共走了(份)所以C是第一次相遇地点，第一次相遇到第二次相遇，甲、乙共走2个AB，因此从开始到第二次相遇，甲、乙共走了4个全程，一个全程甲走3份，4个全程甲共走份，所以D是第二次相遇地点，由图看出DC是2份．但已知DC是20千米，所以AB的长度是202(23)50(千米)．(也可以用乙进行计算)老师可以把【例2】的问题改为：已知两个人第四次相遇的地点距离第三次相遇的地点20千米，那么A、B两地相距多少千米？由此推出,第三次相遇甲乙共走：326(个全程)，甲走了：3618(份)在第D点，第四次相遇甲乙共走：428(个全程)，甲走了：3824(份)在F点,已知DF是20千米，所以AB的长度是20(23)100(千米)．设一个全程中甲走的路程为M,乙走的路程为N=1\*GB2⑴甲乙二人从两端出发的直线型多次相遇问题：=2\*GB2⑵同一出发点的直线型多次相遇问题相遇次数甲乙共走的路程和甲共走的路程乙共走的路程11MN233M3N355M5N…………相遇次数甲乙共走的路程和甲共走的路程乙共走的路程12MN244M4N366M6N…………甲、乙两车分别从A、B两地同时出发相向而行，在A、B两地之间不断往返行驶．甲车速度是乙车速度的，并且甲、乙两车第2008次相遇的地点和第2009次相遇的地点恰好相距120千米(注:当甲、乙两车同向时,乙车追上甲车不算作相遇)，那么，A、B两地之间的距离是多少千米？

因为甲乙同时出发，同时相遇，所以甲、乙相遇时间相同，因此，设全程为10份，则一个全程中，甲走了3份，乙走了7份，通过总结的规律分析第2008次相遇时，甲走：(200821)312045(份)，，所以第2008次相遇地点是在从A地向右数5份的C点，第2009次相遇时甲走：(200921)12051(份)，，所以第2009次相遇地点在从B点向左数1份的D点，由图看出CD间距离为4份，A、B两地之间的距离是(千米)．对于份数比较大找相遇地点时，用甲走的总份数除以全程份数，得到商和余数，当商为偶数时，从甲的出发点向终点数余数的份数即为相遇地点，当商为奇数时，从终点向甲的起点数余数的份数即为相遇地点甲、乙二人分别从A、B两地同时出发，往返跑步．甲每分跑180米，乙每分跑240米．如果他们的第100次相遇点与第101次相遇点的距离是160米，求A、B两点间的距离为多少米？因为甲乙同时出发，同时相遇，所以甲、乙相遇时间相同，因此，设全程为7份，则一个全程中，甲走了3份，乙走了4份，通过总结的规律分析第100次相遇时，甲走：(10021)3597(份)，，所以第100次相遇地点是在从B地向左数2份的C点，第101次相遇时甲走：(10121)603(份)，，所以第101次相遇地点在从A点向右数1份的D点，由图看出CD间距离为4份，A、B两地之间的距离是(米)．小张与小王分别从甲、乙两村同时出发，在两村之间往返行走(到达另一村后就马上返回)，他们在离甲村千米处第一次相遇，在离乙村2千米处第二次相遇.问他们两人第六次相遇的地点离乙村多远(相遇指迎面相遇)？画示意图如下.第二次相遇两人已共同走了甲、乙两村距离的3倍，因此张走了3(千米).从图上可看出，第二次相遇处离乙村2千米.因此，甲、乙两村距离是2(千米).第六次相遇时，两人已共同走了两村距离倍的行程.其中张走了(千米)，，就知道第六次相遇处，离乙村千米.甲、乙二人以均匀的速度分别从A、B两地同时出发，相向而行，他们第一次相遇地点离A地4千米，相遇后二人继续前进，走到对方出发点后立即返回，在距B地3千米处第二次相遇，求两次相遇地点之间的距离.第二次相遇两人总共走了3个全程，所以甲一个全程里走了4千米，三个全程里应该走4312千米，通过画图，我们发现甲走了一个全程多了回来那一段，就是距B地的3千米，所以全程是1239千米，所以两次相遇点相距9(34)2千米．A、B两地相距2400米，甲从A地、乙从B地同时出发，在A、B间往返长跑．甲每分钟跑300米，乙每分钟跑240米，在30分钟后停止运动．甲、乙两人在第几次相遇时距A地最近？最近距离是多少米？(个)，即甲乙共行了6.75个全程，共相遇了3次，甲乙两人的速度比是，设全程为9份，第一次相遇甲行5份，乙行4份，所以第一次相遇地点距A地是全程的，第二次相遇时两人共行了３个全程，甲行的距A地份，所以第二次相遇地点距A地是全程的，第三次相遇时两人共行了5个全程，甲行的距A地7份，所以第三次相遇地点距A地是全程的，所以第二次相遇距A地最近，最近距离是(米)A、B是一圈形道路的一条直径的两个端点，现有甲、乙两人分别从A、B两点同时沿相反方向绕道匀速跑步(甲、乙两人的速度未必相同)，假设当乙跑完100米时，甲、乙两人第一次相遇，当甲差60米跑完一圈时，甲、乙两人第二次相遇，那么当甲、乙两人第二十一次相遇时，甲跑完几圈又几米？甲、乙第一次相遇时共跑圈，乙跑了100米；第二次相遇时，甲、乙共跑圈，则乙跑了米，此时甲差60米跑一圈，则可得圈是米，一圈是480米．第一次相遇时甲跑了米，以后每次相遇甲又跑了米，所以第二十一次相遇时甲共跑了：(米)，．即跑完11圈又460米．甲和乙两人分别从圆形场地的直径两端点同时开始以匀速按相反的方向绕此圆形路线运动，当乙走了100米以后，他们第一次相遇，在甲走完一周前60米处又第二次相遇．求此圆形场地的周长？第一次相遇，两人共走了圈；第二次相遇，两人共走了圈．所以第二次相遇时，乙一共走了(米)，又知到(米)，所以圆形场地的半周长为(米)，那么，周长为米．A、B两地相距13.5千米，甲、乙两人分别由A、B两地同时相向而行，往返一次，甲比乙早返回原地，途中两人第一次相遇于C点，第二次相遇于点D，CD相距３千米，则甲．乙两人的速度比是为多少？方法一：根据题意画图如下设甲、乙第一次相遇时分别走的路程为千米，千米，依题意列方程组得，解得，所以甲乙的速度比，即为甲乙路程比方法二：用甲、乙代表两个人第一次相遇走的路程，可以整体的分析从开始到第二次相遇甲走的路程为：3甲，乙走的路程为：3乙，甲乙二人的路程差为：3(甲乙)；分开考虑甲一共走的路程为：一个全程乙3，乙一共走的路程为：一个全程甲3，两个人的路程差为：(一个全程乙3)－(一个全程甲3)乙甲6.综合列式为：3(甲乙)乙甲6，得到：甲乙1.5，由于，甲乙，所以甲(千米)，乙6(千米)，所以甲乙的速度比，即为甲乙路程比．两辆电动小汽车在周长为360米的圆形道上不断行驶，甲车每分行驶20米．甲、乙两车同时分别从相距90米的A，B两点相背而行，相遇后乙车立即返回，甲车不改变方向，当乙车到达B点时，甲车过B点后恰好又回到A点．此时甲车立即返回(乙车过B点继续行驶)，再过多少分与乙车相遇？设右图中C表示甲、乙第一次相遇地点．因为乙从B到C又返回B时，甲恰好转一圈回到A，所以甲、乙第一次相遇时，甲刚好走了半圈，因此C点距B点(米)．因此相同时间内，甲乙所行路程比为，所以甲乙二人的速度比为，因此乙每分行驶(米)，甲、乙第二次相遇，即分别同时从A，B出发相向而行相遇需要(分)．如图所示，某单位沿着围墙外面的小路形成一个边长300米的正方形．甲、乙两人分别从两个对角处沿逆时针方向同时出发．如果甲每分走90米，乙每分走70米，那么经过多少时间甲才能看到乙？甲看到乙的时候，甲和乙在同一条边上，甲乙两人之间的距离最多有300米长，当甲追上乙一条边(300米)需(分)，此时甲走了(条)边，甲、乙不在同一条边上，甲看不到乙．甲再走条边就可以看到乙了，即甲走5条边后可看到乙，共需分钟，即16分40秒．用比例解其他行程问题用比例解其他行程问题甲、乙二人分别从A、B两地同时出发，如果两人同向而行，甲26分钟赶上乙；如果两人相向而行，6分钟可相遇，又已知乙每分钟行50米，求A、B两地的距离．先画图如下：方法一:若设甲、乙二人相遇地点为C，甲追及乙的地点为D，则由题意可知甲从A到C用6分钟.而从A到D则用26分钟，因此甲从C走到D之间的路程时，所用时间应为：(分)．同理乙从C走到D之间的路程时，所用时间应为：(分)，所以相同路程内甲乙所用时间比为，因此甲、乙二人的速度比为，所以甲的速度为(米/分)，A、B两地的距离为(米)，或(米)方法二：设甲的速度是x米/分钟那么有解得B两地的距离为(米)，或(米)甲、乙两人分别从Ａ、B两地同时相向出发．相遇后，甲继续向B地走，乙马上返回，往Ｂ地走．甲从Ａ地到达B地．比乙返回Ｂ地迟小时．已知甲的速度是乙的．甲从Ａ地到达地Ｂ共用了多少小时?相遇时，甲、乙两人所用时间相同．由题意知，甲乙二人速度比为，所以甲乙二人所行的路程比为，从相遇到返回B地，甲乙所行路程相同，所以返回所用时间比为，又知甲从Ａ地到达B地比乙返回B地迟小时，即从相遇点到B地这同一段路程中，甲比乙多用小时．可求出从相遇点到B地甲用了(小时)，相遇时，甲乙二人所行的路程比为，甲用时为(小时)甲从Ａ地到达地Ｂ共用(小时)一辆汽车从甲地开往乙地，如果车速提高20％，可以提前1小时到达．如果按原速行驶一段距离后，再将速度提高30％，也可以提前1小时到达，那么按原速行驶了全部路程的几分之几？设原速度是1.后来速度为，速度比值：这是具体地反映：距离固定，时间与速度成反比.时间比值6:5这样可以把原来时间看成6份，后来就是5份，这样就节省1份，节省1个小时．原来时间就是166小时．同样道理，车速提高30％，速度比值：时间比值：这样节省了3份，节省1小时，可以推出行驶一段时间后那段路程的原时间为所以前后的时间比值为(6)．所以总共行驶了全程的.(第三届走美试题)从上海开车去南京，原计划中午11：30到达．但出发后车速提高了，11点钟就到了．第二天返回，同一时间从南京出发．按原速行驶了120千米后，再将车速提高，到达上海时恰好11：10．上海、南京两市的路程是千米．由题意设原来速度和车速提高了后速度比为，则所用时间比为，设原计划用时8份，提速后用时7份，差的一份正好是30分钟，,则原计划用时为240分钟,返回时间缩短20分钟，是由于车速提高，原来计划速度与返回提速后速度比为，则返回提速后这段路程内所用时间比为，设这段路程原计划用时7份，提速后用时为6份，差的一份正好是20分钟，所以返回提速后用时120分钟，原计划用时140分钟，则原速行驶120千米用时(分钟)，上海、南京两市的路程是(千米)甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，出发时他们的速度之比是3:2,他们第一次相遇后甲的速度提高了20﹪，乙的速度提高了30﹪，这样，当甲到达B地时，乙离A地还有14千米，那么A、B两地的距离是多少千米？因为他们第一次相遇时所行的时间相同，所以第一次相遇时甲、乙两人行的路程之比也为，设第一次相遇时甲、乙两人行的路程分别是3份，2份相遇后，甲、乙两人的速度比为，到达B地时，即甲又行了2份的路程，这时乙行的路程和甲行的路程比是，即乙的路程为2．乙从相遇后到达A还要行3份的路程，还剩下(份)，正好还剩下14千米，所以1份这样的路程是(千米)．A、B两地有这样的(份)，因此A、B两地的总路程为：(千米)(第五届走美决赛试题)小王8点骑摩托车从甲地出发前往乙地，8点15追上一个骑车人．小李开大客车8点15从甲地出发前往乙地，8点半追上这个骑车人．小张8点多也从甲地开小轿车出发前往乙地，速度是小李的1.25倍．当他追上骑车人后，速度提高了20％．结果小王、小李、小张三人一同于9点整到达乙地．小王、小李、骑车人的速度始终不变．骑车人从甲地出发时是点分，小张从甲地出发时是8点分秒．由题意知小王与小李从甲地到乙地所用时间分别是60分、45分，因此小王与小李的速度比是，又小张速度是小李的1.25倍，因此小王、小李、小张的速度比为，设小王、小李、小张的速度分别为3、4、5.由上图可以看小李比小王15分钟多行的路程恰是骑车人15分钟的路程，因此骑车人的速度为，即小王的速度是骑车人的3倍，而小王追上骑车人要15分钟，所以骑车人行这段路程要45分钟，因此骑车人是8点30分出发的．小王从甲地到乙地要1小时，可知全程为，因此骑车人到乙地要3小时，骑车人在9点时恰好行了全程的一半，由题意小张追上骑车人后速度变为6，从追上骑车人到到达乙地小张比骑车人多行了，因此小张以速度6行驶路程所用时间为(分)，所行路程为，则追赶骑车人所用时间为(分)，因此小张从甲地到乙地共用时间为(分)32分24秒，即小张从甲地出发时是8点27分36秒甲从A出发步行向B．同时，乙、丙两人从B地驾车出发，向A行驶．甲乙两人相遇在离A地3千米的C地，乙到A地后立即调头，与丙在C地相遇．若开始出发时甲就跑步，速度提高到步行速度的2.5倍，则甲、丙相遇地点距A地7.5千米．求AB两地距离．设间的路程为，甲的速度为，乙的速度为，丙的速度为，由题意知，，,则，甲提速后速度变为．则，即，所以，解得，所以两地间路程为(千米)甲、乙两车同时分别从相距55千米的AB两地相向开出，甲行驶了23千米后跟乙相遇，相遇后两车继续前进，到达对方出发地后立刻返回．问：=1\*GB2⑴第2次相遇点距B地多少千米？=2\*GB2⑵第6次相遇点距A地多少千米？通过分析，我们可以发现：一个全程里甲走23千米，=1\*GB2⑴第2次相遇共3全程，故甲走了23369(千米)，甲走了一个全程多了一点，故距离B地就是695514(千米)．=2\*GB2⑵第6次相遇总共是11个全程，故甲走了2311253(千米)，，甲走了4个全程多点，多的那部分就是我们要求的距A的距离为：33千米．甲、乙两列车同时从A、B两地相对开出，第一次在离A地75千米处相遇．相遇后继续前进，到达对方出发地后都又立刻返回，第二次相遇在离B地55千米处，求A、B两地相距多远．通过画图找出行程之间的关系．第一次相遇就相当于甲车和乙车一共走了一个全程，根据总结：第2次相遇总共走了3个全程，则甲就走了3个75千米，375225千米，画图可以知道甲走了一个全程多了那55千米，所以全程为22555170千米．甲、乙两车分别从A、B两地出发，并在A、B两地间不断往返行驶，已知甲车的速度是15千米／小时，乙车的速度是25千米／小时，甲乙两车第三次相遇地点与第四次相遇的地点相差100千米，求A、B两地的距离是多少千米？甲、乙两车的速度比为：，所以可以把全程分成8份，每走一个全程甲走3份，乙走5份，第三次相遇甲乙共走：(个全程