湖北省高中名校联盟2024届高三第三次联考综合测评数学试卷含答案

湖北省高中名校联盟2024届高三第三次联合测评数学试卷本试卷共4页，22题。满分150分。考试用时120分钟。考试时间：2024年2月1日下午15：00—17：00注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置。2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.已知复数，z的共轭复数为，则（）A.1 B. C. D.23.下列说法中正确的是（）A.没有公共点的两条直线是异面直线B.若两条直线a，b与平面α所成的角相等，则C.若平面α，β，γ满足，，则D.已知a，b是不同的直线，α，β是不同的平面.若，，，则4.已知点P为直线上的一点，过点P作圆的切线，切点为M，则切线长的最小值为（）A. B. C. D.5.在中，已知，则（）A.3 B.2 C. D.16.已知函数，若，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.7.已知函数，若有且仅有三个零点，则下列说法中不正确的是（）A.有且仅有两个零点 B.有一个或两个零点C.ω的取值范围是 D.在区间上单调递减8.已知四棱锥的底面为矩形，，，侧面为正三角形且垂直于底面，M为四棱锥内切球表面上一点，则点M到直线距离的最小值为（）A. B. C. D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.某大学生做社会实践调查，随机抽取6名市民对生活满意度进行评分，得到一组样本数据如下：88，89，90，90，91，92，则下列关于该样本数据的说法中正确的是（）A.均值为90 B.中位数为90 C.方差为2 D.第80百分位数为9110.已知，，且，则（）A.， B.C.的最小值为，最大值为4 D.的最小值为1211.已知椭圆的离心率为，左，右焦点分别为，，过且倾斜角为的直线与椭圆C交于A，B两点（点A在第一象限），P是椭圆C上任意一点，则（）A.a，b满足 B.的最大值为C.存在点P，使得 D.12.已知数列的前n项和为，且，，则（）A.当时， B.C.数列单调递增，单调递减 D.当时，恒有三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.的展开式中的常数项为___________（用数字填写答案）.14.已知向量，满足，，且，的夹角为，则的最小值是______.15.已知抛物线，直线l过C的焦点F且与C交于A，B两点，以线段为直径的圆与y轴交于M，N两点，则的最小值是____________.16.若函数在不同两点，处的切线互相平行，则这两条平行线间距离的最大值为___________.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或清算步骤。17.（10分）已知数列满足：，.（1）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；（2）设，求数列的前20项和.18.（12分）在中，已知，D为的中点.（1）求A；（2）当时，求的最大值.19.（12分）如图，在梯形中，，，.将沿对角线折到的位置，点P在平面内的射影H恰好落在直线上.（1）求二面角的正切值；（2）点F为棱上一点，满足，在棱上是否存在一点Q，使得直线与平面所成的角为?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.20.（12分）“中式八球”是受群众欢迎的台球运动项目之一.在一场“中式八球”邀请赛中，甲、乙、丙、丁4人角逐最后的冠军，本次邀请赛采取“双败淘汰制”.具体赛制如下：首先，4人通过抽签两两对阵，胜者进入“胜区”，败者进入“败区”；接下来，“胜区”的2人对阵，胜者进入最后的决赛，“败区”的2人对阵，败者直接淘汰出局，获得第四名；紧接着，“败区”的胜者和“胜区”的败者对阵，胜者晋级最后的决赛，败者获得第三名；最后，剩下的2人进行最后的冠亚军决赛，胜者获得冠军，败者获得第二名.现假定甲对阵乙、丙、丁获胜的概率均为，且不同对阵的结果相互独立.（1）经抽签，第一轮由甲对阵乙，丙对阵丁.若.（I）求甲连胜三场获得冠军的概率；（Ⅱ）求甲在“双败淘汰制”下获得冠军的概率；（2）除“双败淘汰制”外，“中式八球”也经常采用传统的“单败淘汰制”；抽签决定两两对阵，胜者晋级，败者淘汰，直至决出最后的冠军.问当p满足什么条件时，“双败淘汰制”比“单败淘汰制”更利于甲在此次邀请赛中夺冠?21.（12分）在平面直角坐标系中，动点M到点的距离比到点的距离大2，记点M的轨迹为曲线H.（1）若过点B的直线交曲线H于不同的两点，求该直线斜率的取值范围；（2）若点D为曲线H上的一个动点，过点D与曲线H相切的直线与曲线交于P，Q两点，求面积的最小值.22.（12分）已知函数，，a，，且曲线在处的切线方程为.（1）讨论函数的单调性；（2）若对任意，都有，求实数a的取值范围.

湖北省高中名校联盟2024届高三第三次联合测评数学试卷参考答案与评分细则1.C【解析】，，.故选C.2.B【解析】由化简得，代入即得.故选B.3.D【解析】对A，没有公共点的两条直线是异面直线或平行直线.故A错误；对B，若两条直线a，b与平面α所成的角相等，则a，b可以平行、相交或异面.故B错误；对C，若平面α，β，γ满足，，则α，γ不一定垂直.故C错误；对D，两个平面垂直等价于这两个平面的垂线垂直.故D正确.故选D.4.A【解析】由题意有，，，则有，所以要使切线长取最小值，则有取最小值即可.当直线与直线垂直时取最小值，则的最小值是.故选A.5.A【解析】，.，..故选A.6.C【解析】在同一坐标系中画出函数的图象，则函数的图象向左平移1个长度单位，得到函数的图象，设两图象交于点A，且点A的横坐标为.由图象可得满足的实数a的取值范围为.对于，由，得，所以，解得或（舍去），故选C.7.D【解析】，当时，.设，作出函数的图象，则在有两个最小值点，有一个或两个最大值点，故A，B正确.由于函数在上有且只有3个零点，由图象可知，解得，C正确；当时，，由知，所以在递减，在递增，D错误.故选D.8.B【解析】如图，设四棱锥的内切球的半径为r，取的中点为H，的中点为N，连接，，，显然，则平面截四棱锥的内切球O所得的截面为大圆，此圆为的内切圆，半径为r，与，分别相切于点E，F，易得，，，又平面平面，交线为，，平面，平面，，则中，，解得.所以，四棱锥内切球半径为1，连接.平面，平面，，又，平面，平面，可得，所以内切球表面上一点M到直线的距离的最小值即为线段的长减去球的半径，又.所以四棱锥内切球表面上的一点M到直线的距离的最小值为.故选B.9.ABD【解析】均值，故A正确；中位数为，故B正确；方差，故C错误；因为，第80百分位数为91，故D正确.故选：ABD10.BD【解析】由已知得，，则，.故A错误；在单调递减，在单调递增，得，故B正确；在上单调递增，得，故C错误.设，则，当时，单调递减，当时，单调递增，所以.故D正确.故选BD.11.ABD【解析】对A，因为C的离心率，所以，，即，故A对；对B，，故B对；对C，当点P在短轴端点时，最大，且此时，故C错；对D，法一：联立直线与方程，通过韦达定理，得到，，故D对.法二：据椭圆第二定义易知：，.所以，成立，故D对.故选ABD12.ACD【解析】由已知得，，.，故A正确；，故B错误.由于，，从而.又，可得.所以，，其中，.计算可得，，故C正确；注：选项C的判断也可以画图象得之.由已知得，又因为对任意的，都有，所以，，故D正确.故选ACD.13.60【解析】解：，令，则，.所以展开式中常数项为60.14.【解析】，的最小值是.15.【解析】设的中点为G，过G作y轴的垂线，垂足为H，则H是的中点.因为以线段为直径的圆与准线相切，所以..，.16.【解析】由题意有，设，所以函数在点A处的切线方程为，所以原点O到点A处切线的距离为，当且仅当时等号成立.所以这两条平行线间的距离的最大值为.17.解：（1）由得，又，则数列是首项为1，公差为的等差数列.由，得.（2）由（1）可知，所以.18.解：（1），，即，，即.或，当时，，由，有，即时.当时，（舍）..（2）设，，由（1）及余弦定理有，即.，即，当且仅当时等号成立.由D为边的中点有，，当且仅当时等号成立.，当且仅当时等号成立.的最大值为.19.解：（1）如图，过点H作于点M，连接，，则D，M，H三点共线，平面，平面，，又，平面，平面，，.为二面角的平面角.又中，，，，.又，，，H为线段的中点.，，中，，，所以二面角的正切值为.（2）连接，为等边三角形，H为线段的中点，，又平面，则，，两两垂直，以H为坐标原点，，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，.设平面的法向量为，，令，可得.假设棱上存在满足要求的点Q，设，，.，因为直线与平面所成的角为，，整理得：，解得或（舍去）.所以，则.所以当时，与平面所成的角为.20.解：（1）记甲在第i场比赛获胜的事件为，，2，3，4，则，.由不同对阵结果相互独立，（I）甲连胜三场获得冠军的概率为：.（Ⅱ）甲在“双败淘汰制”下获得冠军的情况有：胜胜胜、胜败胜胜、败胜胜胜，故概率为：.（2）“双败淘汰制”下甲夺冠的概率为：.“单败淘汰制”下甲夺冠的概率为：.令得，解得：.所以当时，“双败淘汰制”比“单败淘汰制”更利于甲在此次邀请赛中夺冠.21.解：（1）据双曲线的定义：M的轨迹方程为双曲线的右支，得，，的轨迹方程为.因为过点B的直线交曲线H于不同的两点，设该直线方程为：.由，化简整理得，显然.由，解得或.所以，k的范围为：或.（2）因为的渐近线方程为.当过点D与曲线H相切的直线的斜率不存在时，此时，直线l方程为，代入渐近线方程，得到，故，又，所以的面积.过点D与曲线H相切的直线的斜率存在时，则斜率不为零，故可设，直线与双曲线联立得，化简整理得.因为相切，所以，即.又因为过点D与曲线H相切的直线l与曲线交于P，Q两点，设为，，联立化简整理得.由于，所以.所以，.由直线l的方程得，直线与x轴的交点坐标为，.，，即，且，时，的最小值为.综上所述，的最小值为.22.解：（1）求导得，，.由已知切线方程得，