人教版数学九年级上册第7讲 圆的有关性质基础、提高、满分练习试题（含解析）

第7讲圆的有关性质

'垂径定理

弧、弦、圆心角的关系

圆的有关性质＜

圆周角定理及推论

圆内接四边形的性质

知识点1垂径定理

①弦和直径：

(1)弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦.

(2)直径：经过圆心的弦叫做直径。直径等于半径的两倍。

②弧：

(1)弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，用符号一表示，以A,B为端点的的弧记

作AB,读作弧AB.

(2)半圆、优弧、劣弧：

圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。

大于半圆的弧叫做优弧，优弧大于180。用三个字母表示，如ACB.

小于半圆的弧叫做劣弧，如

(3)等弧：在同圆或者等圆中能够相互重合的弧是等弧，度数或者长度相等的弧不一定是

等弧。

③弦心距：

(1)圆心到弦的距离叫做弦心距。

(2)圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧

相等，所对的弦相等，所对的圆心角也相等，所对弦的弦心距也相等。四者有一个相等，则

其他三个都相等。圆心到弦的垂线段的长度称为这条弦的弦心距。

④圆的性质：

(1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对

称图形，对称中心是圆心.

在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，

那么它所对应的其他各组分别相等.

(2)轴对称：圆是轴对称图形，直径所在的直线是它的对称轴。

⑤垂径定理及推论：

(1)垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.

(2)平分弦(此弦不能是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.

(3)弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧.

(4)平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦.

(5)平行弦夹的弧相等.

⑥同心圆与等圆

(1)同心圆：圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆。如图一，半径为n与半径为9

的。0叫做同心圆。

(图一)

(2)等圆：圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆。如图二中的。1与G)C)2的半径都是

r,它们是等圆。同圆或者等圆的半径相同。

(图二)

(3)同圆是指同个圆；等圆、同心圆是指两个及两个以上的圆。

【典例】

1.如图，圆0的弦GH,EF,CD,AB中最短的是

【解析】解：：AB是直径，AB±GH,

圆0的弦GH,EF,CD,AB中最短的是GH

2.如图，一圆弧过方格的格点A、B、C,在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为

（-3,2）,则该圆弧所在圆心坐标是

【解析】解：如图：分别作AC与AB的垂直平分线，相交于点O,

则点0即是该圆弧所在圆的圆心.

•••点A的坐标为（-3,2）,

.•.点0的坐标为（-2,-1）

3.据史料记载，雎水太平桥建于清嘉庆年间，已有200余年历史.桥身为一巨型单孔圆弧,

既没有用钢筋，也没有用水泥，全部由石块砌成，犹如一道彩虹横卧河面上，桥拱半径OC

为13m,河面宽AB为24m,则桥高CD为

【答案】18m

【解析】解：如图，连结0A,

在RSOAD中，OA=5,OD=7oA2-AD2=5,

，CD=OC+CD=13+5=18m.

4.把宽为2cm的刻度尺在圆。上移动，当刻度尺的一边EF与圆O相切于A时，另一边与

圆的两个交点处的度数恰好为“2”（C点）和“8”（B点）（单位：cm）,求该圆的半径

【答案】3.25cm

【解析】解：如图，连接OA交BC于点E,

设OB=r,

VAB=8-2=6cm,OD±AB,

/.BE=—AB=—x6=3cm,

22

在RtABOE中，

OE2+BE2-OB2,即（r-2）2+9=1,

解得r=l^=3.25cm.

4

【方法总结】

1、在遇有求弦长或半径长的问题时，常添加的辅助线是弦心距。

2、在运用垂径定理解决线段长度问题时，一般都与勾股定理复合运用。

【随堂练习】

1.（2019•庐阳区二模）如图，AC是OO的直径，弦或）_LAC于点£,连接过点O作

OFLBC于点、F,若BD=12cm,AE=4cm,则OF的长度是（）

A.y/13cmB.2\[vicmC.V10c/nD.3cm

【解答】解：连接QB,

•.•AC是的直径，弦

:.BE=-BD=6,

2

在RtAOEB中，OB'=OE°+BE2,即OB?=(OB—4尸+62,

解得，OB=—,

2

则EC=AC—A£=9,

BC=ylEC2+BE2=3V13,

.OFYBC,

,rP_।4一3而

22

：.OF=y/0C2-CF2=713(6771),

故选：A.

o

2.(2019•滨州模拟)如图，某下水道的横截面是圆形的，水面CD的宽度为2加，厂是线段

8的中点，即经过圆心O交0。与点£,EF=3m,则OO直径的长是()

0)

c10

A.-mB.-mC.-mD.—m

3333

【解答】解：如图，连接OC,

是弦CD的中点，EF过圆心O,

:.EFYCD.

:.CF=FD.

:CD=2,

:.CF=\,

设OC=x,则OF=3—x,

在RgCOM中，根据勾股定理，得

12+(3-X)2=X2.

解得x=»,

6

，。。的直径感.

故选：B.

3.（2019•黔东南州一模）如图，°。的直径为10cm,弦AB为8前，。是弦回上一点且

不与点A、3重合.若OP的长为整数，则符合条件的点尸有（）

A.2个B.3个C.4个D.5个

【解答】解：连接Q4,作OCLAB于C,

则AC=』AB=4,

2

由勾股定理得，OC=J。*—3=3,

贝以OP<5,

则符合条件的点P有3个,

故选：B.

4.（2019•黄冈）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（AB）,点。是这段弧所在圆的圆心,

Afi=40m,点C是A8的中点，且8=10，”，则这段弯路所在圆的半径为（）

B.24〃？C.30mD.60/n

【解答】解：-.-OC-LAB,

:,AD=DB=20m,

在RtAAOD中，OA2=ODr+AD2,

设半径为Z•得：r2=(r-10)2+202,

解得：r—25m,

/.这段弯路的半径为25%

故选：A.

5.（2019•长沙模拟）如图，AB为OO的弦，过点。作4?的垂线，交于点C,交G）O于

CD=2,则OO的半径为（）

A.3B.4C.5D.6

【解答】解：连接。4,

\ODA-AB,

AC=-AB=4,

2

设OO的半径为，

・・・AO2=OC2+AC\

r2=(—2)2+42,

・■.尸=5,

6.（2019•滨湖区一模）如图，在O。中，已知弦居长为16cm,C为4B的中点，OC交AB

于点M,且。W:MC=3:2,则CM长为（）

A.2cmB.4cmC.6cmD.8cm

【解答】解：连接。4,

.・C为A8的中点，

AC=BC,

:.OC±AB,

.-.AM=-AB=S,

2

设QM=3。，则CM=2a,

...OC=5a,

由勾股定理得，OA2=AM2+OM2,即(5a)2=8、©a)),

解得，a=2(负值舍去),

贝ijCM=2«=4(C7%),

7.（2019•阳谷县一模）已知在半径为5的OO中，AB,8是互相垂直且相等的两条弦,

垂足为点P,且OP=30,则弦AB的长为（）

D.10

【解答】解：作QW_LCO于M,ONLAB于N,连接。B,

则四边形MWO为矩形,

■.AB=CD,OMLCD,ONLAB,

:.OM=ON,

，四边形MWO为正方形,

：.NP=NO=—OP=3,

2

由勾股定理得，BN=yiOB2-ON-=4,

-.-ON±AB,

:.AB=2BN=8,

8.（2019•柯桥区模拟）如图，OO的直径8=10加，43是。。的弦，AB^CD,垂足为

则的长为（)

B.7C.8D.9

【解答】解:如图所示，连接Q4.

的直径C£)=10C7〃,

则OO的半径为5cm

即。4=OC=5,

又•.•QM:OC=4:5,

所以OM=4,

ABYCD,垂足为M,

在RtAAOM中，AM=752-42=3,

/./W=2v4M=2x3=6.

9.（2018秋•柳州期末）如图，AB为©O的弦，半径OC_LA5于点。，且45=6,8=4,

A.1B.2C.2.5D.5

【解答】解：连接04,

・・•半径OCJ.AB,

AD=BD=—AB=—x6=3,

22

\,OD=4,

:.0A=yjAD2+OD2=5,

.\OC=OA=5，

.■.DC=OC-OD=5-4=\.

10.（2018秋•海曙区期末）如图，圆O半径为10cm,弓形高为40〃，则弓形的弦45的长

为（）

B.12cmC.16cmD.20an

【解答】解：如图，过。作于C,交0O于

,:CD=4c/??,OD=10cm，

:.OC=6cm,

又\OB=]Ocm,

RtABCO中，BC=-JOB2-OC2=8。”,

,\AB=2BC=16cm.

知识点2弧、弦、圆心角、圆周角的关系

与圆有关的角

(1)圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角.

圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对弧的度数.

(2)圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角。

圆周角的性质：圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半。

在同圆或等圆中，相等的圆心角或圆周角所对的弧相等，弦也相等。

(3)直径所对的圆周角是直角。

【典例】

1.如图，矩形ABCD的顶点A,B在圆上，BC,AD分别与该圆相交于点E,F,G是命的

三等分点(血＞而)，BG交AF于点H,若定的度数为30。，则NGHF等于

G

A//\FD

【答案】40°

AB的度数为30。，

俞的度数为150。,ZAFB=15°,

•••G是余的三等分点，

二亩的度数为50°,

/GBF=25。，

/GHF=/GBF+/AFB=40。，

2.如图，AB是。O的直径，BC=CD=M,NCOD=38。，则/AEO的度数是

【解析】解：；BC=CD=DE,ZCOD=38°,

，ZBOC=ZEOD=ZCOD=38°,

ZAOE=180°-ZEOD-ZCOD-ZBOC=66°.

又：OA=OE,

ZAEO=ZOAE,

ZAEO=l-x(180°-66°)=57°.

2

3.如图，在。O中，OC_LAB,NADC=32。，则NOBA的度数是

【答案】26。

【解析】解：如图,

由OCJ_AB,得

AC=BC,ZOEB=90°.

.*.N2=N3.

VZ2=2Zl=2x32o=64°.

；./3=64°,

在RlAOBE中，ZOEB=90°,

ZB=90O-Z3=90°-64°=26°

【方法总结】

1、注意利用同圆中同弧或等弧所对的圆心角相等圆周角也相等，可进行角度转换。

2、注意利用同圆中同弧或等弧所对的圆心角是圆周角的2倍，可进行角度倍数转换。

【随堂练习】

1.（2019•东西湖区模拟）如图，OA的半径为2,B,C在OA上且44c=120。，若点P,

Q,A分别为BC,AC、A3上的动点，则PR+尸。的最小值为（）

C.ID.x/3

【解答】解：如图，作B"_LC4交C4的延长线于H.连接P4.

3H=A&sin60°=也，

当PRLAB,PQLAC时，PR+PQ的值最小,

SA.„r=-•AC-BH=L.AB.PR+-.AC.P0，

MBC222

：.PR+PQ=BH=s/3,

故m+P。的最小值为G，

故选：D.

2.（2019•东台市模拟）如图，A3是OO的弦，半径OCLAB,。为圆周上一点，若8c的

度数为50。，则NADC的度数为（）

A.20°B.25°C.30°D.50°

【解答】解：•••BC的度数为50。，

:.ZBOC=50°,

•.•半径OC_L4},

AC=BC,

ZADC=-ZBOC=25°.

2

故选：B.

3.（2019•资中县一模）如图，AB,CD是。。的直径，AE=8。，若ZAOE=32。,

则NCOE的度数是（）

A.32°B.60°C.68°D.64°

【解答】解：•.・AE=8。，

:.ZBOD=ZAOE=32°,

'.■ZBOD=ZAOC,

:.ZAOC^32°

.•./。0石=32。+32。=64。.

故选：D.

4.（2018秋•祁江区校级月考）下列语句，错误的是（）

A.直径是弦

B.弦的垂直平分线一定经过圆心

C.相等的圆心角所对的弧相等

D.平分弧的半径垂直于弧所对的弦

【解答】解：A、直径为弦，所以A选项的说法正确；

3、弦的垂直平分线一定经过圆心，所以3选项的说法正确；

C、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所以C选项的说法错误；

。、平分弧的半径垂直于弧所对的弦，所以。选项的说法正确.

故选：C.

5.（2018秋•泉山区校级月考）下列语句，错误的是（）

A.直径是弦

B.相等的圆心角所对的弧相等

C.弦的垂直平分线一定经过圆心

D.平分弧的半径垂直于弧所对的弦

【解答】解：直径是弦，A正确，不符合题意；

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，3错误，符合题意；

弦的垂直平分线一定经过圆心，C正确，不符合题意；

平分弧的半径垂直于弧所对的弦，。正确，不符合题意；

故选：B.

6.（2018秋•仪征市校级月考）如图，在RtAABC中，ZC=90°,NA=28。，

以点C为圆心，BC为半径的圆分别交A3、AC于点。、点E,则弧的

度数为（）

【解答】解：•.•NC=90。，ZA=28°,

.-.ZB=62°,

•;CB=CD,

:"CDB=/B=62。,

ZBCD=180°-62°-62°=56°,

,­.8。的度数为56。.

故选：C.

7.（2018秋•新罗区校级期中）如图所示，在OO中，A,C,D,8是上四点，OC,

OD交AB于煎E,F,且他=用，下列结论：®OE=OF；@AC=CD=DB；③

CD//AB；®AC=BD,其中正确的有（）

A.4个B.3个C.2个D.1个

【解答】解：连接。4,OB,

\OA=OB,

.\ZOAB=ZOBA.

OA=OB

在AOAE与\OBF中，-Z.OAE=ZOBF

AE=BF

:.\OAE^\OBF{SAS),

:.OE=OF,故①正确；

ZAOE=ZBOF,即Z4OC=N3Or>,

AC=BD,故④正确；

连结4).

AC=BD,

.-.ZBAD=ZADC,

:.CD//AB,故③正确；

ZBOD=ZAOC不一定等于/COD,

弧AC=弧班>不一定等于弧CD,

AC=8。不一定等于8,

故②不正确.

正确的有3个，故选8.

知识点3圆周角定理及推论

圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角.

圆周角的性质：

圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半.

圆周角的推论：

①同弧或等弧所对的圆周角相等;在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等.

②90。的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角.

③如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.

④圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角.

【典例】

1.如图，。。的半径为2,点A为。。上一点，半径ODL弦BC于D,如果NBAC=60。，

那么BC的长是

【答案】2爪

【解析】解：VZBAC=60°,AZBOC=120°,

：OD_L弦BC,二NBOD=90°,

；NBOD=NA=60°,.\OD=—OB=1,

2

BD"VOB2H3D2=V22-12=y^'

BC=2BD=2b

2.如图所示，A、B、C、D四个点均在。O上，ZAOD=50°,AO〃DC,则/B的度数为

【答案】65°

【解析】解：如图连接AD,

B

D

VOA=OD,ZAOD=50°,

:.NADO」80。―/A0D=65。.

2

VAO/7DC,

.e.ZODC=ZAOD=50°,

.'.ZADC=ZADO+ZODC=115°,

AZB=180o-ZADC=65°

【方法总结】

1、在圆中利用圆的半径处处相等，可迅速构造等腰三角形。

2、利用直径所对的圆周角是直角，可便捷构造直角三角形。

【随堂练习】

1.（2019•温州三模）如图，点A,B,。在。。上，若NAC8=U2。，则Na=（）

A.68°B.112°C.136°D.134°

【解答】解：作窟对的圆周角NAO3,如图，

,/ZACB+ZADB=180°,

AZADB=180°-112°=68°,

NAO8=2NAO8=2x68°=136°.

2.（2019•邵阳县模拟）已知。。的直径A3=8cm,点。在。。上，且N8OC=60。，贝ijAC

的长为（)

A.4cmB.C.5cmD.2.5cm

【解答】解：VOB=OC,ZBOC=60°,

•••△OBC是等边三角形，

，ZABC=60°,

U：AB是直径，

・•・ZACB=90°,

；.AC=ABsin60°=8x返=4加.

2

故选：B.

3.（2019•广元）如图，AB,AC分别是。0的直径和弦，0CAC于点。，连接BQ,BC,

且AB=10,AC=8,则BO的长为（）

【解答】解：为直径，

ZACB=90°,

SC=VAB2-AC2=VB2-42=3,

VOD±AC,

：.CD=AD=kAC^4,

2

在RIACBD中，BD=q42+62=2、］3.

故选：C.

4.（2019•吉林）如图，在。。中，窟所对的圆周角NACB=50。，若P为点上一点，ZAOP

=55°,则NPOB的度数为（)

【解答】解：・・・/AC8=50。，

・•・ZA0B=2ZACB=100°,

ZAOP=55°f

：.ZPOB=45°,

故选：B.

5.（2019•柳州）如图，A,B,C,。是。。上的点,则图中与NA相等的角是（）

片

A.NBB.ZCC.ZDEBD.ZD

【解答】解：：NA与都是它所对的圆周角

NA.

故选：D.

6.（2019•黔东南州一模）如图，BC为。。的直径，AB=OB.则NC的度数为（）

（2）

A

A.30°B.45°C.60°D.90°

【解答】解：・・・8C为G）O的直径，

AZBAC=90°,

•・・A8=0B,

：.BC=2ABf

.*.sinC=-^-=—,

BC2

AZC=30°.

故选：A.

7.（2019•宜昌）如图，点A,B,。均在。0上，当NO8C=40。时，NA的度数是（

A.50°B.55°C.60°D.65°

【解答】解：•・・03=0。，

・・・NOCB=NO5C=40。，

・•・N3OC=180。-40°-40°=100°,

JNA=LN3OC=50。.

2

故选：A.

8.（2019•眉山）如图，。。的直径A8垂直于弦C。，垂足是点E,NCAO=22.5。，OC=6,

则CD的长为（）

【解答】解：・.,C£＞，A8,

：.CE=DE,

•・•ZBOC=2ZA=2x22.5°=45°,

•••△OCE为等腰直角三角形，

"=返"=返'6=3血,

22

：.CD=2CE=6-/2-

故选：A.

9.（2019•江西模拟）如图，BC为直径,/ABC=35。，则/。的度数为（）

A.35°B.45°C.55°D.65°

【解答】解：:AB是直径，

，NBAC=90。，

,/NABC=35。，

:.ZACB=90°-35。=55。,

ZD=ZC=55°,

故选：C.

知识点4圆内接四边形的性质

1.圆内接四边形的对角互补

2.外角等于它的内对角

【典例】

1.如图，点A、B、C、D、E在OO上，且定的度数为50。，则NB+ND的度数为

【答案】155°

【解析】解：连接AB、DE,则NABE=/ADE,

AE为50°,ZABE=ZADE=25°,

•.,点A、B、C、D在。O上，

.••四边形ABCD是圆内接四边形，

.,.ZABC+ZADC=180°,

AZABE+ZEBC+ZADC=I8O°,

ZB+ZD=180°-ZABE=180°-25°=155°

2.如图，已知。0的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E、F,若NE+NF=70。,

则/A的度数是

【解析】解：：四边形ABCD为(DO的内接四边形，

；./A=/BCF,

NEBF=NA+NE,

而/EBF=180。-ZBCF-ZF,

ZA+ZE=180°-ZBCF-ZF,

ZA+ZE=180-ZA-ZF,

HP2ZA=180°-(ZE+ZF)=110°,

ZA=55°

3.如图，A、B、C、D四个点在同一个圆上，ZADC=90°,AB=7cm,CD=5cm,AE=4cm,

CF=6cm,则阴影部分的面积为cn?.

【答案】31

【解析】解：如图，连接AC.

,.,ZADC=90o,

AAC是直径，

.".ZABC=90°,

；.CD_LAE,AB±CF,

SM=SAAEC+SAAFC=L.AE・CD+L・CF・AB=LX4X5+LX6X7=31（cm2）

2222

【方法总结】

证明四点共圆的一般方法：

1、逆用同弦所对圆周角相等

2、逆用圆的内接四边形对角互补

【随堂练习】

1.（2018秋•滨江区期末）已知圆内接四边形4J8中，NA:N3:NC=1:2:3,则NO的大

小是（）

A.45°B.60°C.90°D.135°

【解答】解：•.•四边形A8CO为圆的内接四边形，

.-.ZA:Zfi:ZC:Z£>=l:2:3:2,

而NB+Z£>=180°,

ZD=-xl80°=90°.

4

故选：C.

2.（2019•兰州）如图，四边形A8C。内接于OO,若NA=40。，则NC=（）

D

C

A.110°B.120°C.135°D.140°

【解答】解：・.•四边形ABC。内接于OO,

.・.ZC+ZA=180°,

.•.ZC=180°-40o=140°.

故选：

3.（2019•南昌一模）如图，A,B,C,。四个点均在OO上，乙408=40。，弦3C的长

等于半径，则ZAZX?的度数等于（

A.50°B.49°C.48°D.47°

【解答】解：连接OC,

由题意得，OB=OC=BC,

AOBC是等边三角形，

/.ZBOC=60°,

­.­ZAOB=40°,

ZAOC=100°,

由圆周角定理得，ZADC=-ZAOC=50°,

2

故选：A.

4.（2019•富顺县三模）四边形ABCZ）内接于圆，/4、ZB、NC、NO的度数比可能是（

)

A.1:3:2:4B.7:5:10:8C.13:1:5:17D.1:2:3:4

【解答】解：A、1+2W3+4,所以A选项不正确;

B、7+10*5+8.所以8选项不正确；

C、13+5=1+17,所以C选项正确；

D、1+3片2+4,所以。选项不正确.

故选：C.

5.（2018秋•定兴县期末）如图，四边形ABCD为圆内接四边形/4=85。，4=105。，则NC

C.95°D.无法求

【解答】解：•.•四边形/WCD为圆内接四边形/4=85。，

,-.ZC=180°-85°=95°,

故选：C.

二.填空题（共3小题）

6.（2019•海淀区校级三模）如图，点A,B,C,。是上的四个点，点3是弧AC的

中点，如果NABC=70。，那NAD8=55°

【解答】解：•.•四边形内接于

:.ZABC+ZADC=\80°,

.-.ZAZ)C=180°-70°=110°.

•.•点6是弧AC的中点，

.•.弧他=弧3。.

,\ZADB=ZBDC.

:.ZADB=-ZADC=-x]lO°=55°.

22

故答案为55。.

7.（2019•铜仁市）如图，四边形A8C。为OO的内接四边形，ZA=1OO°,则NDCEt的度数

【解答】解：•.•四边形A88为的内接四边形,

.".ZDCE=ZA=100°,

故答案为：100。

8.（2019•台州）如图，AC是圆内接四边形ABCD的一条对角线，点。关于AC的对称点E

在边8c上，连接AE.若NA3C=64。，则NS4E的度数为_52。_.

【解答】解：•.•圆内接四边形ABCD,

ZD=180°-ZABC=116°,

•.•点。关于AC的对称点“在边BC上,

:.ZD=ZAEC=\]6°,

.•.Z£L4£=116O-64O=52°.

故答案为：52°.

三.解答题（共1小题）

9.（2018秋•中山区期末）如图，四边形A3CD内接于OO,ZBOD=}40°,求N8C。的度

数.

:.ZA=-ZBOD=10°,

2

...NBCD=180°—NA=110°.

综合运用：圆的有关性质

1.把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF=CD=4cm,求

【解析】解：如图，设EF的中点M,作MN_LAD于点M,取MN上的球心O,连接OF,

NC=/D=90。，

二四边形CDMN是矩形,

；.MN=CD=4cm,

设0F=xcm,贝ON=OF,

；.0M=MN-0N=(4-x)cm,MF=2cm,

在直角三角形OMF中，OM2+MF2=OF2

BP：(4-x)2+22=X2

解得：x=2.5cm

答：球的半径为2.5cm。

2.如图，AB是半圆的直径，0是圆心，C是半圆上一点，D是弧AC中点，OD交弦AC于

E,连接BE,若AC=8,DE=2,求

（1）求半圆的半径长；

（2）BE的长度。

【解析】解：（1）设圆的半径为r,

是弧AC中点，

AODIAC,AE,AC=4,

在RtAAOE中，OA2=OE2+AE2,即F=（r-2）2+42,

解得，r=5,即圆的半径长为5；

答：圆的半径长为5。

（2）如图，连接BC,

VAO=OB,AE=EC,

；.BC=2OE=6,

;AB是半圆的直径，

，ZACB=90°,

BE=VEC2+BC2"2^,

答：BE长为28。

3.如图，小明将一块三角板放在。0上，三角板的一直角边经过圆心0,测得AC=5cm,

AB=3cm,求。0的半径。

【解析】解：如图，连接OB,

设。。的半径为r,则RtAAOB中，•；AC=5cm,/.A0=(5-r)cm,AB=3cm,OB=r,由勾

股定理得：OB2=OA2+AB2,即：C=(5-r)2+32,解得：口3.4cm。

答：©0的半径为3.4cmo

4.如图，在矩形ABCD中，AB=5,AD=12,以BC为斜边在矩形外部作直角三角形BEC,

F为CD的中点，求EF的最大值。

【解析】解：由题意知NBEC=90。，

:.点E在以BC为直径的。。上，如图所示:

由图可知，连接F0并延长交00于点E，,

此时ET最长，

VCO=—BC=6^FC[CD=H,

222

六但近2+,尸2={62+(1■产春，

则E,F=0E,+0F=6+—=—

22

答：EF的最大值为丝

2。

5.如图，已知四边形ADBC是。O的内接四边形，AB是直径，AB=10cm,BC=8cm,CD

平分NACB.

(1)求AC与BD的长；

(2)求四边形ADBC的面积.

【解析】解：(1)IAB是直径，.*.NACB=90°,

AC=22：=6

VAB-BC(cm),

：CD平分NACB,；.BD=AD=^AB=5亚(cm)；

答：AC长6cm；BD长5,\/2cmo

(2)四边形ADBC的面积=AABC的面积+AADB的面积

=_1_x6x8+/x5«x5圾=49(cm2).

答;四边形ADBC的面积为49cm2。

6.如图，A、P、B、C是。。上四点，ZAPC=ZCPB=60°.

(1)判断AABC的形状并证明你的结论；

(2)当点P位于什么位置时，四边形PBOA是菱形？并说明理由.

(3)求证：PA+PB=PC.

【解析】解：(1)AABC是等边三角形.

证明如下：在。。中，

VZBAC与/CPB是踊所对的圆周角，ZABC与/APC是正所对的圆周角,

AZBAC=ZCPB,ZABC=ZAPC,

又：NAPC=/CPB=60°,

ZABC=ZBAC=60°,

/.△ABC为等边三角形；

(2)当点P位于第中点时，四边形PBOA是菱形,

连接0P,如图1：

图1

VZAOB=2ZACB=120°,P是源的中点,

，NAOP=/BOP=60°

XVOA=OP=OB,

AOAP和AOBP均为等边三角形，

.,.OA=AP=OB=PB,

四边形PBOA是菱形；

(3)如图2,在PC上截取PD=AP,

图2

又,.•NAPC=60°,

...△APD是等边三角形，

；.AD=AP=PD,NADP=60。，即NADC=120。.

又：ZAPB=NAPC+NBPC=120°,

.".ZADC=ZAPB,

在AAPB和AADC中,

，ZAPD=ZADC

<NABP=NACP，

AP=AP

.,.△APB丝△ADC(AAS),

；.BP=CD,

又：PD=AP,

，CP=BP+AP.

第7讲圆的有关性质

'垂径定理

弧、弦、圆心角的关系

圆的有关性质＜

圆周角定理及推论

圆内接四边形的性质

知识点1垂径定理

①弦和直径：

(1)弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦.

(2)直径：经过圆心的弦叫做直径。直径等于半径的两倍。

②弧：

(1)弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，用符号一表示，以A,B为端点的的弧记

作AB,读作弧AB.

(2)半圆、优弧、劣弧：

圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。

大于半圆的弧叫做优弧，优弧大于180。用三个字母表示，如ACB.

小于半圆的弧叫做劣弧，如

(3)等弧：在同圆或者等圆中能够相互重合的弧是等弧，度数或者长度相等的弧不一定是

等弧。

③弦心距：

(1)圆心到弦的距离叫做弦心距。

(2)圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧

相等，所对的弦相等，所对的圆心角也相等，所对弦的弦心距也相等。四者有一个相等，则

其他三个都相等。圆心到弦的垂线段的长度称为这条弦的弦心距。

④圆的性质：

(1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对

称图形，对称中心是圆心.

在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，

那么它所对应的其他各组分别相等.

(2)轴对称：圆是轴对称图形，直径所在的直线是它的对称轴。

⑤垂径定理及推论：

(1)垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.

(2)平分弦(此弦不能是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.

(3)弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧.

(4)平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦.

(5)平行弦夹的弧相等.

⑥同心圆与等圆

(1)同心圆：圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆。如图一，半径为n与半径为9

的。0叫做同心圆。

(图一)

(2)等圆：圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆。如图二中的。1与G)C)2的半径都是

r,它们是等圆。同圆或者等圆的半径相同。

(图二)

(3)同圆是指同个圆；等圆、同心圆是指两个及两个以上的圆。

【典例】

1.如图，圆0的弦GH,EF,CD,AB中最短的是

【解析】解：：AB是直径，AB±GH,

圆0的弦GH,EF,CD,AB中最短的是GH

2.如图，一圆弧过方格的格点A、B、C,在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为

（-3,2）,则该圆弧所在圆心坐标是

【解析】解：如图：分别作AC与AB的垂直平分线，相交于点O,

则点0即是该圆弧所在圆的圆心.

•••点A的坐标为（-3,2）,

.•.点0的坐标为（-2,-1）

3.据史料记载，雎水太平桥建于清嘉庆年间，已有200余年历史.桥身为一巨型单孔圆弧,

既没有用钢筋，也没有用水泥，全部由石块砌成，犹如一道彩虹横卧河面上，桥拱半径OC

为13m,河面宽AB为24m,则桥高CD为

【答案】18m

【解析】解：如图，连结0A,

在RSOAD中，OA=5,OD=7oA2-AD2=5,

，CD=OC+CD=13+5=18m.

4.把宽为2cm的刻度尺在圆。上移动，当刻度尺的一边EF与圆O相切于A时，另一边与

圆的两个交点处的度数恰好为“2”（C点）和“8”（B点）（单位：cm）,求该圆的半径

【答案】3.25cm

【解析】解：如图，连接OA交BC于点E,

设OB=r,

VAB=8-2=6cm,OD±AB,

/.BE=—AB=—x6=3cm,

22

在RtABOE中，

OE2+BE2-OB2,即（r-2）2+9=1,

解得r=l^=3.25cm.

4

【方法总结】

1、在遇有求弦长或半径长的问题时，常添加的辅助线是弦心距。

2、在运用垂径定理解决线段长度问题时，一般都与勾股定理复合运用。

【随堂练习】

1.（2019•利川市一模）如图，CD为OO直径，CD1,AB于点尸，/a_1_灰7于£,AE过

圆心O,且AO=1.则四边形的面积为（）

A.>/3B.—C.—

24

【解答】解：•.•8为直径，CDA.AB,

/.AD=BD,

/.ZAOD=2NC,

\CDYAB,AE,LBC,

(

:.ZAFO=ZCEO=X)09

在AAFO和ACEO中

NAFO=NCEO

<ZAOF=NCOE

OA=OC

:.\AFO=\CEO(AAS),

...ZC=ZA,

/.ZAOr>=2ZA,

vZAFO=90°，

.-.ZA=30°,

・.・AO=1,

:.OF=-AO=-,AF=^OF=—

222

同理CE=且，OE=-,

22

•.■CD1AB,AE±BC,CD、AE过O,

.♦.由垂径定理得：BF=AF=—,BE=CE=—,

22

xx

四边形BEOF的面积S=S2FO+5禄0=———+—x—x—=—,

的的2222224

故选：C.

2.（2019•渝中区校级三模）如图，OO的半径。。_1_弦AB于点C,连结AO并延长交O。于

点、E,连结EC.若4?=4,

8=1,则£8的长为（）

A.3B.4C.5D.2.5

【解答】解：设OO的半径为r.

•.•ODA.AB,

:.AC=BC=2,

在RtAAOC中，•.•NACO=90。,

:.OAi=OC2+AC2,

r2=（r-l）2+22,

5

r=一,

2

/.OC=-

2f

\OA=OE,AC=CB,

:.BE=2OC=3,

故选：A.

3.（2019•梧州）如图，在半径为旧的OO中，弦AB与CD交于点E,ZD£fi=75°,AB=6,

AE=1,则CD的长是（）

A.2"B.2MC.2x/TTD.

【解答】解：过点O作OPJLCZ）于点/，OG_LAB于G,连接03、OD,如图所示:

贝|JOF=CF,AG=BG=-AB=3,

2

:.EG=AG-AE=2,

在RtABOG中，OG=dOB2-BG?=J13-9=2,

:.EG=OG,

・•.AEOG是等腰直角三角形，

NOEG=45°,OE=叵OG=2近，

-.ZDEB=75°,

二NO所=30°,

:.OF=L（）E=a,

2

在RtAODF中，DF=>JOD2-OF2=V13-2=Vn,

:.CD=2DF=2旧；

故选：C.

4.（2019•金华模拟）如图，以"（4,0）为圆心，3为半径的圆与工轴交于点A、B,P是OM

上异于A、5的一动点，直线A4与总分别交y轴于点C、D,以C。为直径的G）N交工轴

C.273D.不能确定

【解答】解：・・・M(4,0),AB=6,

..AM=BM=3，

：.OA=l,

・・・8J_£F,

:.OE=OF,设OE=OF=x,

\-ZCOA=ZAPB=90°,

.\C,O,P,8四点共圆，

:.AP^AC=AO^AB,

\AE.AF=AC^PA,

.\AE^AF=OA-ABf

(x+l)(x-l)=lx6,

二.x2=7,

:.x=y/l,

:.EF=2OE=2y/l,

故选：A.

二.填空题（共8小题）

5.（2019•剑阁县模拟）如图，MN为0O的直径，MN=1O,A5为的弦，已知初V_LAfi

于点P,45=8,现要作OO的另一条弦C£>,使得8=6且8//AB,则PC的长度为

质或加

【解答】解：当45、CD在圆心O的两侧时，如图，连接。4、OC,

-,-AB//CD,MNA.AB,

AP=-AB=4,MNLCD,

CQ=—CD=3,

在RtAOAP中，OP=SA2-A尸=3,

同理：OQ=4,

则尸Q=OQ+OP=7,

PC-yjcQ3+PQ3.-+7'.8

当43、8在圆心。的同侧时，PQ=OQ-OP=\,

：.PC=Jc02+PQ。=五+尸=Vio；

故答案为：屈或痴.

6.（2019•广元一模）如图，在平面直角坐标系中，OO的半径为5,弦他的长为6,过O

作OCLAB于点C,OO内一点。的坐标为（-2,1）,当弦■绕O点顺时针旋转时，点。到

的距离的最小值是_4-石

【解答】解：连接03,如图所示：

•.OC1AB,

BC=-AB=3,

2

由勾股定理得，OCZOB-BC。=,52-32=4,

当8_LA8时，点。到AB的距离的最小，

由勾股定理得，OD=>j22+l2=45,

.•.点£>到4?的距离的最小值为：4-乖,

故答案为：4-5.

7.（2019•鹿城区校级三模）如图，在直角坐标系中，G）A的圆心坐标为（石，〃）半径为石，

函数y=2x—2的图象被OA截得的弦长为2,贝ij”的值为_46-2_.

【解答】解：作4C_Lx轴于C,交C8于。，作AEJ_C8于石，连结AB,如图,•.•©A的

圆心坐标为(石，a),

O