浙江省源清2023年高三第二次诊断性检测数学试卷含解析

2023年高考数学模拟试卷

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2.答题时请按要求用笔。

3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知公差不为0的等差数列｛4｝的前〃项的和为S“，%=2,且q,%，为成等比数列，则$8=（）

A.56B.72C.88D.40

2.自2019年12月以来，在湖北省武汉市发现多起病毒性肺炎病例，研究表明，该新型冠状病毒具有很强的传染性各

级政府反应迅速，采取了有效的防控阻击措施，把疫情控制在最低范围之内.某社区按上级要求做好在鄂返乡人员体格

检查登记，有3个不同的住户属在鄂返乡住户，负责该小区体格检查的社区诊所共有4名医生，现要求这4名医生都

要分配出去，且每个住户家里都要有医生去检查登记，则不同的分配方案共有（）

A.12种B.24种C.36种D.72种

3.台球是一项国际上广泛流行的高雅室内体育运动，也叫桌球（中国粤港澳地区的叫法）、撞球（中国台湾地区的叫

法）控制撞球点、球的旋转等控制母球走位是击球的一项重要技术，一次台球技术表演节目中，在台球桌上，画出如

图正方形A3CZ）,在点£,尸处各放一个目标球，表演者先将母球放在点A处，通过击打母球，使其依次撞击点E,F

处的目标球，最后停在点C处，若AE=50cm.EF=40cm.FC=30cm,ZAEF=ZCFE=60°,则该正方形的边长为（）

A.50j5c»iB.40y/2cmC.50cmD.20瓜cm

4.2021年某省将实行“3+1+2”的新高考模式，即语文、数学、英语三科必选，物理、历史二选一，化学、生物、政

治、地理四选二，若甲同学选科没有偏好，且不受其他因素影响，则甲同学同时选择历史和化学的概率为

5.已知双曲线C的两条渐近线的夹角为60。，则双曲线C的方程不可能为（）

72222

XXxyX

A.21.=115•--_---2-1_=1c=1D.=1

5'515'3-12'21"T-

6.如图，网格纸是由边长为1的小正方形构成，若粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）

7.双曲线上•-y2=i的渐近线方程是（）

4'

A.y=±-^xB.y=±——-A-C.y=±-D.y=±2x

232

8.下列几何体的三视图中，恰好有两个视图相同的几何体是（）

A.正方体B.球体

C,圆锥D.长宽高互不相等的长方体

9.已知集合4={-1,0,1,2},B={x|（x+l）（x—2）<0},则集合A8的真子集的个数是（）

A.8B.7C.4D.3

10.将函数y=2cos2的图像向左平移〃2（〃2>0）个单位长度后，得到的图像关于坐标原点对称，则加的

最小值为（）

冗兀冗

A.B.71

747

11.已知在AABC中，角48,C的对边分别为a,4c,若函数/（x）=$3+；法2+；（/+/一比卜存在极值，则

角B的取值范围是（）

12.一物体作变速直线运动，其丫-/曲线如图所示，则该物体在，s~6s间的运动路程为（）小.

2

O136Z/s

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.记S“为数列｛4｝的前〃项和.若a.+S“=32（”eN*）,则S5=.

14.已知关于x的方程q|sinx|+；=sinx在区间[0,2加上恰有两个解，则实数”的取值范围是

15.若（2-，=%+4（1+1）+。2（1+X）-++%（l+x）7，则4+4+。2++4+%=，&=-

16.若（炉一2x-3）"的展开式中所有项的系数之和为256,则“=,含/项的系数是（用数字作答）.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）已知｛q｝是等差数列，满足q=3,%=12,数列也｝满足a=4,〃=20,且也-%｝是等比数

列.

（1）求数列｛4｝和也｝的通项公式；

（2）求数列物,｝的前〃项和.

x=2-t

18.（12分）已知在平面直角坐标系X。），中，直线C,的参数方程为“一C（，为参数），以坐标原点为极点，X轴

[y=2+f

的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线G的极坐标方程为夕=cos。（夕cosG+2）.

（1）求曲线G与直线G的直角坐标方程;

（2）若曲线G与直线C?交于A8两点，求的值.

19.（12分）已知函数f（x）=/-5x+21nx.

（1）求/（x）的极值；

（2）若/（千）=/（%）=/（%3），且尤|<%2<“3，证明：X]+々>1・

22

20.（12分）已知耳名为椭圆E：鼻+#=l（a>6>0）的左、右焦点，离心率为:，点尸（2,3）在椭圆上.

（1）求椭圆E的方程;

11

(2)过"的直线4,4分别交椭圆于4。和AO,且问是否存在常数/I,使得反T%d师成等差数列？

若存在，求出2的值；若不存在，请说明理由.

21.(12分)已知/(%)=ln(x+t),g(x)=e*.

(1)当加=2时,证明:〃x)＜g(x)；

(2)设直线/是函数〃x)在点4(天,/(不》(0＜厮＜1)处的切线，若直线/也与g(x)相切，求正整数〃?的值.

22.(10分)已知AABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c»且(sinA-sin=sin?C-sinAsin3.

(I)求C；

(H)若c=l,A4BC的周长是否有最大值？如果有，求出这个最大值，如果没有，请说明理由.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.B

【解析】

a；=qa9O(%+2d)2=q(q+8d),将4=2代入，求得公差d,再利用等差数列的前“项和公式计算即可.

【详解】

由已知，。；=的9，6=2,故(q+2")2=%(q+84),解得d=2或4=0(舍)，

故4=2+(〃-1)x2=2〃，S8=8(4；“8)=4(2+2X8)=72.

故选：B.

【点睛】

本题考查等差数列的前"项和公式，考查等差数列基本量的计算，是一道容易题.

2.C

【解析】

先将4名医生分成3组，其中1组有2人，共有C：种选法，然后将这3组医生分配到3个不同的住户中去，有A；种

方法，由分步原理可知共有c：A；种.

【详解】

不同分配方法总数为C：A；=36种.

故选：C

【点睛】

此题考查的是排列组合知识，解此类题时一般先组合再排列，属于基础题.

3.D

【解析】

过点旦尸做正方形边的垂线，如图，设利用直线三角形中的边角关系，将用a表示出来，根

据AB=8C,列方程求出a,进而可得正方形的边长.

【详解】

过点民厂做正方形边的垂线，如图，

设ZA£M=a,则NCbQ=a,NMEF=NQFE=60—a,

则AB=AM+MN+NB=AEsina+EFsin（60—a）+FCsina

（、/T、

=50sina+40sin（60-a）+30sina=40二sinad-----cosa,

122/

CB=BP+PC=AEcosa+FCcosa-EFcos（60一a）

（3J

=50cos+30cos（7-40cos（60-a）=40—coscr---sina

（361（3省•1

因为AB=CB,贝!）4。-sina+——cosa=40—cosa------sina

2J

\22\2

整理化简得组3=2—G,又Si/a+cos2a=1，

COS6Z

得sina=^^,6+1

cosa=———

2V22V2

/lB=4of-sina+—cosa>l=40xf-x^^-+—X^^-^2076.

（22）[22V222V2J

即该正方形的边长为20娓cm.

故选：D.

【点睛】

本题考查直角三角形中的边角关系，关键是要构造直角三角形，是中档题.

4.B

【解析】

甲同学所有的选择方案共有C；C：=12种，甲同学同时选择历史和化学后，只需在生物、政治、地理三科中再选择一

31

科即可，共有c：=3种选择方案，根据古典概型的概率计算公式，可得甲同学同时选择历史和化学的概率P=W=-,

124

故选B.

5.C

【解析】

判断出已知条件中双曲线C的渐近线方程，求得四个选项中双曲线的渐近线方程，由此确定选项.

【详解】

两条渐近线的夹角转化为双曲渐近线与X轴的夹角时要分为两种情况.依题意，双曲渐近线与X轴的夹角为30。或60。,

双曲线C的渐近线方程为了=土程》或丁=±百犬4选项渐近线为/=±*x，B选项渐近线为y=±"v,C选项

122

渐近线为y=±-x,D选项渐近线为y=土出x.所以双曲线C的方程不可能为5-3=1.

故选：C

【点睛】

本小题主要考查双曲线的渐近线方程，属于基础题.

6.C

【解析】

根据三视图还原为几何体，结合组合体的结构特征求解表面积.

【详解】

由三视图可知，该几何体可看作是半个圆柱和一个长方体的组合体，其中半圆柱的底面半圆半径为1,高为4,长方体

的底面四边形相邻边长分别为1,2,高为4,所以该几何体的表面积

,1

S=%x「+—x2万xlx4+lx2x2+lx4x2+2x4=5»+2(),故选C.

2

【点睛】

本题主要考查三视图的识别，利用三视图还原成几何体是求解关键，侧重考查直观想象和数学运算的核心素养.

7.C

【解析】

根据双曲线的标准方程即可得出该双曲线的渐近线方程.

【详解】

fY

由题意可知，双曲线亍―V=1的渐近线方程是丫=±^.

故选：C.

【点睛】

本题考查双曲线的渐近线方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意双曲线的简单性质的合理运用.

8.C

【解析】

根据基本几何体的三视图确定.

【详解】

正方体的三个三视图都是相等的正方形，球的三个三视图都是相等的圆，圆锥的三个三视图有一个是圆，另外两个是

全等的等腰三角形，长宽高互不相等的长方体的三视图是三个两两不全等的矩形.

故选：C.

【点睛】

本题考查基本几何体的三视图，掌握基本几何体的三视图是解题关键.

9.D

【解析】

转化条件得AB={0,1},利用元素个数为n的集合真子集个数为2"-1个即可得解.

【详解】

由题意得8={x|(x+1)(*-2)<0}={x[—l<x<2},

.•.A3={0,1},.•.集合A8的真子集的个数为22-1=3个.

故选：D.

【点睛】

本题考查了集合的化简和运算，考查了集合真子集个数问题，属于基础题.

10.B

【解析】

JT|7TTT

X+丁，要想在括号内构造一变为正弦函数，至少需要向左平移L个单位

（4J24

长度，即为答案.

【详解】

cos］对其向左平移四兀个单位长度后,

由题可知,

4

y=cos(x+?+?)=cos(x+)=-sinx,其图像关于坐标原点对称

TT

故，〃的最小值为了

故选：B

【点睛】

本题考查三角函数图象性质与平移变换，还考查了余弦的二倍角公式逆运用，属于简单题.

11.C

【解析】

求出导函数/'（X）,由/'（幻=0有不等的两实根，即/＞0可得不等关系，然后由余弦定理可及余弦函数性质可得结

论.

【详解】

22222

f(x)=-x3+—bx2+—(a+c-ac^x,f'{x)=x+bx+^a+c-ac

324、

若/（x）存在极值，则62_4*3（/+,.2-"）＞0,二。2+。2_/72＜讹.

又cosB=a+c———,；.cos8＜L.又6€（0,兀），；.＜兀.

2ac23

故选：C.

【点睛】

本题考查导数与极值，考查余弦定理.掌握极值存在的条件是解题关键.

12.C

【解析】

I「6

由图像用分段函数表示V"）,该物体在彳s~6$间的运动路程可用定积分s=J4（/）3表示，计算即得解

22

【详解】

由题中图像可得,

丫⑺-<2,1<?<3

—z+l,3</<6

由变速直线运动的路程公式，可得

(•6fl(*3

S=Jiv⑺d/=J12/力+J2dt+

22

=?(m)

4

149

所以物体在一s~6s间的运动路程是一m.

24

故选：C

【点睛】

本题考查了定积分的实际应用，考查了学生转化划归，数形结合，数学运算的能力，属于中档题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.1

【解析】

由已知数列递推式可得数列仅“｝是以16为首项，以;为公比的等比数列，再由等比数列的前〃项和公式求解.

【详解】

由an+Sn=32,得2%=32,：.ax=16.

且an-\+Sn-\=32（九.2）,

则4,—+S“—S,i=O,即3=［（”••2）.

U

n-\乙

，数列仅“｝是以16为首项，以;为公比的等比数列，

16(1-

则$5二——f=31.

1一一

2

故答案为：1.

【点睛】

本题主要考查数列递推式，考查等比数列的前〃项和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

【解析】

先换元，令/nsinx,将原方程转化为44+(=乙利用参变分离法转化为研究两函数的图像交点，观察图像，即可

求出.

【详解】

因为关于x的方程〃|sinx|+；=sinx在区间［0,2%］上恰有两个解，令/usinx,所以方程。卜|+；=，在

1

12

t——0</<1

re(-l,O)U(O,l)上只有一解,即有a=#=<

_1

-2

-1</<0

-t

1

直线y=a与y1在re(-l,0)(0,1)的图像有一个交点,

综上实数。的取值范围是(-士3」1).

22

【点睛】

本题主要考查学生运用转化与化归思想的能力，方程有解问题转化成两函数的图像有交点问题，是常见的转化方式.

15.12821

【解析】

令x=0,求得/+6+4++/+%的值•利用[3—(l+x)J展开式的通项公式，求得4的值.

【详解】

令x=0,得/+4++%=27=128.[3—(1+x)了展开式的通项公式为C；37T[―(l+x)J,当厂=6时，为

d3(l+x)6=2I(l+x)6,即4=21.

【点睛】

本小题主要考查二项式展开式的通项公式，考查赋值法求解二项式系数有关问题，属于基础题.

16.4108

【解析】

(/-2光-3)”的展开式中所有项的系数之和为256,r.4"=256，...〃=4，

(x2-2X-3)H=(X2-2X-3)4=(X-3)4(X+1)\..印项的系数是《(―3丫+C：x(—31+C：x(—3丫xC：=108,

故答案为(1)4.(2)108.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1)。“=3”(〃=1,2,),"=3〃+2"T(〃=l,2,)；(2)彳〃(〃+1)+2"-1

【解析】

试题分析：(D利用等差数列，等比数列的通项公式先求得公差和公比，即得到结论；(2)利用分组求和法，由等差

数列及等比数列的前n项和公式即可求得数列也“｝前n项和.

试题解析：

(I)设等差数列｛an｝的公差为d,由题意得

aj-a112~3..

d=----------=--------=1・••an=ai+(n-1)d=ln

33

设等比数列｛bn-an｝的公比为q,贝!I

-nlnn1

bnan=(bi-ai)q=2-1,/.bn=ln+2

(II)由(I)知bn=ln+2n-i,•数列｛In｝的前n项和为小(n+1),

1-on

数列｛2n-1｝的前n项和为1x2_二=2n-1,

1-2

二数列｛bn｝的前n项和为；S”=[忒〃+1)+2”-1

考点：1.等差数列性质的综合应用；2.等比数列性质的综合应用；1.数列求和.

18.(1)曲线C1的直角坐标方程为y2=2x；直线的直角坐标方程为x+y-4=0(2)60

【解析】

X-OCOS0

(1)由公式《.八可化极坐标方程为直角坐标方程，消参法可化参数方程为普通方程；

y=psin，

(2)联立两曲线方程，解方程组得两交点坐标，从而得两点间距离.

【详解】

解：(1)QCOS。(夕cos6+2)

p=pcos?6+2cos。

p2=p1cos?6+2pcos。

x2+y2=x2+2x

曲线G的直角坐标方程为v2=2x

直线的直角坐标方程为x+y-4=0

y=-x+4x=2fx=8

⑵据2c解，得c或4)

、J=2xj=2[y=-4

二|阴二J(2—8『+[2—(一4)了=672

【点睛】

本题考查极坐标与直角坐标的互化，考查参数方程与普通方程的互化，属于基础题.

9

19.(1)f(x)极大值为——2In2；极小值为-6+21n2；(2)见解析

4

【解析】

(1)对函数fM求导，进而可求出单调性，从而可求出函数的极值；

(2)构造函数F(x)=/(x)-/(l-x),xefo,1j，求导并判断单调性可得F(x)<0,从而/(x)</(I-x)在]上

恒成立，再结合X,f(x2)=/(x,)</(l-xl)，可得到%>1-凡,即可证明结论成立.

【详解】

(1)函数/(X)的定义域为(0,+8)J(x)=2x-5+，=(2xT,-2)->0),

所以当xe(0,g)(2,-KO)时J'(x)>0；当xe6,2)时,f\x)<0,

则f(x)的单调递增区间为(0,；]和(2,+8),单调递减区间为2.

故/(%)的极大值为/[1]=!-2+21n1=-g—21n2；〃x)的极小值为/(2)=4—10+21n2=-6+21n2.

V2)4224

(2)证明油(1)知0<%<3<%2<2<工3，

设函数b(x)=/(x)-/(I-尤),xe(0,g),

则F(x)=无2—5x+21nx—(1-x)--5(l-jc)+21n(l-x),

中,、(2x-l)(x-2)^(2x-l)(x+l)2(2元—I)?

尸(x)=------------+------------=---------,

x1-xx(l-X)

则9(x)>0在[(),；)上恒成立，即F(x)在(0,；)上单调递增，

故F(x)〈尸出，

又则Ea)=/a)_/(i_x)<°'xe[°'；)，

即/(x)</(I一x)在J上恒成立.

因为％所以/(玉)</(1一%),

又"七)="%)，则/(w)<F。-石)，

因为々,1-词g,2),且f(x)在(g，2)上单调递减，

所以x2>1-%,故为+x2>1.

【点睛】

本题考查函数的单调性与极值，考查了利用导数证明不等式,构造函数是解决本题的关键，属于难题.

27

20.（1）—+^v-=1；（2）存在，—.

161248

【解析】

（1）由条件建立关于。为工的方程组，可求得“,力,c,得出椭圆的方程；

（2）①当直线/穴的斜率不存在时，可求得|Aq=6,忸q=&,求得2,②当直线/阳的斜率存在且不为o时，设

lAC-y=k{x+2）联立直线与椭圆的方程，求出线段|的=24（1+公）,再由4_L4得出线段怛4=24（、+J）,根

据等差中项可求得2,得出结论.

【详解】

。一_C—_1

a2[«2=16

(1)由条件得<—^+77=1=12,所以椭圆E的方程为：—+^=1；

ab2,1612

=4

a2=b2c1

(2)片(—2,0),

①当直线的斜率不存在时，MC"1—6,IBDI-8,：：+：：——1———此时/=_Z_,

111\AC\\BD\6824,见)48

fr2v2

A|^-1

设联立-消元得

②当直线lAC的斜率存在且不为0时,，c：y=^x+2),1612

.y=Z(x+2)

(4k2+3)/+16人+16二—48=09

16公16/-48

设A(%,%),(7(冗2,%)，Xj+--

z伏2+3'*”—以2+3

/.|AC|=V1+^21%|-x|=>/l+^2•、

2/(%+/)4X,X2-，

^TKID

直线的斜率为-，，同理可得

4(--)2+34+J”

114炉+34+3&27(1+公)7

------------------------------------------

|AC||BD|24(1+/)24(/+1)24(1+/)24

77

2X=—，所以丸=—>

2448

71,1

综合①②，存在常数％=加，使得由，九所成等差数列.

【点睛】

本题考查利用椭圆的离心率求椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系中的弦长公式的相关问题，当两直线的斜率具

有关系时，可能通过斜率的代换得出另一条线段的弦长，属于中档题.

21.(1)证明见解析；(2)m=2.

【解析】

⑴令F(x)=g(x)—"x)=e*-ln(x+2),求导尸(力=/一白，可知?(x)单调递增，且小⑼=g,

F'(-l)=--l<0,因而尸(x)在(一1,0)上存在零点a,网力在此取得最小值，再证最小值大于零即可.

e

(2)根据题意得到“X)在点A&,/(/))(0<X。<1)处的切线/的方程y=-4-------工+In(X。+m)①，再设

直线/与g(x)相切于点a，e&),有/'=展三，即X=-ln&+M，再求得g(x)在点(芭,e")处的切线直线/的

方程为尸」_+处叱包+'_②由①②可得吧叱⑹+」_=。+1”/+机)，即

%+加xQ+mx0+m/+加玉)+mx0+m

(题根据()加一转化为(玉)+“)=“0+1

+m-l)ln(%)+m)=/+l,x+1>(),In0<x0<1,令

x0+m-1

V*1|

/z(x)=ln(x+w)----------(0<%<1),转化为要使得〃(x)在(0,1)上存在零点，则只需//(())=ln〃z--------<0,

x+加一1m—1

2

/z(l)=ln(m+l)一一>0求解.

m

【详解】

(1)证明：设F(x)=g(x)_"x)=eX_ln(x+2),

则尸(x)="-——,尸(x)单调递增，且尸(O)=L尸(一1)=1一1<0,

x22e

因而小(X)在(—1,0)上存在零点a,且尸(x)在(一2,〃)上单调递减，在(a,物)上单调递增,

1。+1)2

从而尸(x)的最小值为F{a)=ea-ln(a+2)>0-

a+2a+2

所以*x)>0,即f(x)<g(力.

故切线/的方程为y=」-------0+1”4+加)①

x0+mx0+m

设直线l与g(x)相切于点(M),注意到g'(%)=",

从而切线斜率为-'=」一，

x0+m

因此％=-ln(x0+m),

而g(xj=e",从而直线/的方程也为y=