湖南省名校联考联合体2025届高三上学期第一次联考（暨入学检测） 数学试题（含解析）

名校联考联合体2025届高三第一次联考（暨入学检测）数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A.B.C.D.2.已知复数在复平面内对应的点为，则（）A.2B.3C.4D.53.已知等差数列中，，前5项和，则数列的公差为（）A.-2B.C.-1D.-44.马德堡半球实验是17世纪50年代由马德堡市长进行的一项实验，其主要目的是证明大气压的存在.实验使用两个直径为14英寸的半球壳，将两个半球内的空气抽掉，球不容易被分开，以证明大气压的存在.若把直径为14英寸的一个实心球分割为两个半球，则这两个半球的表面积之和为（）A.平方英寸B.平方英寸C.平方英寸D.平方英寸5.已知向量，若满足，则（）A.-3B.2C.-5D.46.已知函数在区间上有最小值，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.7.已知为双曲线的左焦点，为双曲线左支上一点，，则双曲线的离心率为（）A.3B.2C.D.8.若，且，则（）A.B.C.D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.中国作为全球最大的产茶国和茶叶消势市场，茶叶行业长期保持平稳问好发展的趋势，下表为2014年—2023年中国茶叶产量（单位：万吨），根据该表，则（）年份2014201520162017201820192020202120222023产量204.9227.7231.3246.0261.0277.7293.2318.0335.0355.0A.2015年中国茶叶产量年增长率大于B.2014年—2023年中国茶叶产量的极美是150.1C.2014年—2023年中国茶叶产量的分位数是277.7D.2019年—2023年中国茶叶产量的平均数大于31010.已知，且，则（）A.若，则B.若，则的最大值为C.若，则D.若，则11.已知首项为1的正项数列的前项和为，且，设数列的前项和为，则（）A.为等比数列B.C.D.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.的展开式中的系数为__________.13.设抛物线的焦点为，经过点的直线与抛物线相交于两点，且点恰为的中点，则__________.14.在三棱锥中，，二面角的大小为，则最小时，三棱锥的体积为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）已知中，内角所对的边分别为.（1）求；（2）若点为的中点，且，求的面积.16.（15分）某机构为了了解某地区中学生的性别和喜爱游泳是否有关，随机抽取了100名中学生进行了问卷调查，得到如下列联表：喜欢游泳不喜欢游泳合计男生25女生35合计已知在这100人中随机抽取1人，抽到喜欢游泳的学生的概率为.（1）请将上述列联表补充完整；（2）依据小概率值的独立性检验，能否认为喜欢游泳与性别有关联；（3）将样本频率视为总体概率，在该地区的所有中学生中随机抽取3人，记抽取的3人中喜欢游泳的人数为.求随机变量的分布列和期望.附：.0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.82817.（15分）已知椭圆的焦距为，且的离心率为.（1）求的标准方程；（2）若，直线交椭圆于两点，且.的面积为，求的值.18.（17分）已知正四棱柱底面为边长为3的正方形，，点分别在线段上，且，点在线段上且.（1）求锐二面角的余弦值；（2）求平面将四棱柱分割成两个多面体的体积比.19.（17分）若函数的定义域为，且存在非零常数，使得对任意，都有，则称是类周期为的“类周期函数”.（1）若函数是类周期为1的“类周期函数”，证明：是周期函数；（2）已知是“类周期函数”，求的值及的类周期；（3）若奇函数是类周期为的“类周期函数”，且，求的值，并给出符合条件的一个.名校联考联合体2025届高三第一次联考（暨入学检测）数学参考答案一､二､选择题题号1234567891011答案ADCBADDDABDACDACD1.A【解析】因为，所以.故选A.2.D【解析】复数在复平面内对应的点为，则.故选D.3.C【解析】设等差数列的公差为，，又.故选C.4.B【解析】易知球的半径，则两个半球的表面积之和为平方英寸.故选B.5.A【解析】设向量，则，因为，所以，故.故选A.6.D【解析】由可知，，又在区间上有最小值，所以在区间上有变号零点且在零点两侧的函数值左负右正，令，则在区间上有变号零点且在零点两侧的函数值左负右正，所以解得，故选D.7.D【解析】设为双曲线的右焦点，由余弦定理可得，所以，由双曲线的定义可得，即，故双曲线的离心率.故选D.8.D【解析】由，得，所以，两式平方相加得，所以，因为，且在上单调递增，所以，所以.故选D.9.ABD【解析】对于年中国茶叶产量年增长率为，A正确；对于B，2014年—2023年中国茶叶产量的极差是355.0-，B正确；对于C，所以分位数是2019年与2020年茶叶产量的平均数，即，C错误；对于D，2019年-2023年中国茶叶产量的平均数为，D正确.故选ABD.10.ACD【解析】对于A，由得，又，可得，所以，，A正确；对于B，，当且仅当时取等号，B错误；对于，，所以，所以，整理得，C正确；对于D，由，得，D正确.故选ACD.11.ACD【解析】由题意可得，即，得或，若，则，则，这与矛盾，所以不成立，若，则，所以数列是首项为1，公比为9的等比数列，即，故A正确；由可得，两式相减得，，并且时，，即，得，那么，故故B错误；当时，，当时，，当时，符合上式，故，即，故C正确；易得时，，故D正确.故选ACD.三､填空题12.21【解析】二项式的展开式的通项.所以的展开式中项的系数为.13.14【解析】由题意可得，设，抛物线的准线：，过分别作准线的垂线，垂足分别为，根据抛物线的定义，得，故，的中点为，，可得，.14.【解析】如图，取的中点，连接，设，则，，因为是二面角的平面角，所以，在中，由余弦定理可得，所以，当且仅当时取等号，此时三棱锥的体积..四､解答题15.【解析】（1）因为，设，则，联立解得，所以.（2）在中，，由余弦定理得，解得（负值舍去），所以，因为，所以，所以.16.【解析】（1）喜欢游泳不喜欢游泳合计男生252550女生351550合计6040100（2）零假设为：喜欢游泳与性别无关，，依据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可以认为成立，即认为喜欢游泳与性别无关.（3）的可能取值为.，，，.的分布列为0123.17.【解析】（1）由题意得：，即，则，所以的标准方程为：.（2）由题意设，联立消去得：，则，则，可得，设直线与轴的交点为，且，则，故，解得.18【解析】（1）如图，以点为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系.依题意可得，，，设，.平面的一个法向量，设平面的一个法向量，由可得令，则，.故锐二面角的余弦值为.（2）易知与位似，延长交于点，则，.，体积比（亦给分.19.【解析】（1）证明