黑龙江省龙东十校2024-2025学年高二上学期开学考试 数学试题（含解析）

2023级高二上学年入学考试数学注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第二册第六章至第九章，选择性必修第一册第一章.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知空间向量，且，则（）A.10B.6C.4D.-42.若，则（）A.B.C.D.3.若向量，且，则（）A.-8B.8C.-2D.24.某校为了了解学生的体能情况，于6月中旬在全校进行体能测试，统计得到所有学生的体能测试成绩均在内.现将所有学生的体能测试成绩按分成三组，绘制成如图所示的频率分布直方图.若根据体能测试成绩采用按比例分层随机抽样的方法抽取20名学生作为某项活动的志愿者，则体能测试成绩在内的被抽取的学生人数为（）A.4B.6C.8D.105.已知是两个不同的平面，是内两条不同的直线，则“，且”是“”的（）A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件6.已知圆台的上底面半径为1，下底面半径为5，侧面积为，则该圆台的体积（）A.B.C.D.7.如图，在九面体中，平面平面，平面平面，底面为正六边形，下列结论错误的是（）A.平面B.平面C.平面平面D.平面平面8.如图，在棱长为12的正方体中，分别是棱的中点，平面与直线交于点，则（）A.10B.15C.D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知甲组数据为，乙组数据为，将甲､乙两组数据混合后得到丙组数据，则（）A.丙组数据的中位数为5B.甲组数据的分位数是2C.甲组数据的方差等于乙组数据的方差D.甲组数据的平均数小于乙组数据的平均数10.记的内角的对边分别为，且，的面积为，则的周长可能为（）A.8B.C.9D.11.已知边长为的正三角形的三个顶点都在球的表面上，为球表面上一动点，且不在平面上，当三棱锥的体积最大时，直线与平面所成角的正切值为2，则下列结论正确的是（）A.球的表面积为B.的最大值为10C.三棱锥体积的最大值为D.当三棱锥的体积最大时，若点与点关于点对称，则三棱锥的体积为三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上.12.已知空间向量，若共面，则__________.13.已知数据的极差为6，且分位数为，则__________.14.如图，平行六面体的所有棱长均为两两所成夹角均为，点分别在棱上，且，则__________；直线与所成角的余弦值为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）7月23日，第8届中国一南亚博览会暨第28届中国昆明进出口商品交易会在昆明滇池国际会展中心隆重开幕.本届南博会以“团结协作､共谋发展”为主题，会期从23日至28日，共设15个展馆，展览面积15万平方米，吸引82个国家､地区和国际组织参会，2000多家企业进馆参展.某机构邀请了进馆参展的100家企业对此次展览进行评分，分值均在内，并将部分数据整理如下表：分数频数10102020（1）估计这100家企业评分的中位数（保留小数点后一位）；（2）估计这100家企业评分的平均数与方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表），16.（15分）记的内角的对边分别为.已知.（1）求；（2）若，在边上存在一点，使得，求的长.17.（15分）如图，在三棱锥中，为的中点，平面平面是等腰直角三角形，.（1）证明：.（2）求二面角的正弦值.18.（17分）如图，甲船在点处通过雷达发现在其南偏东方向相距20海里的处有一艘货船发出供油补给需求，该货船正以15海里/时的速度从处向南偏西的方向行驶.甲船立即通知在其正西方向且相距海里的处的补给船，补给船立刻以25海里/时的速度与货船在处会合.（1）求的长；（2）试问补给船至少应行驶几小时，才能与货船会合？19.（17分）将菱形绕直线旋转到的位置，使得二面角的大小为，连接，得到几何体.已知分别为上的动点且.（1）证明：平面.（2）求的长.（3）当的长度最小时，求直线到平面的距离.2023级高二上学年入学考试数学参考答案1.C因为，所以，则.2.A由题意得.3.B由题意得.因为，所以，即.4.A根据题意可得体能测试成绩在内的被抽取的学生人数为.5.C若，则不一定平行；若，则，且.故“，且”是“”的必要不充分条件.6.B设该圆台的母线长为，根据题意可得，解得，所以该圆台的高为，则.7.D取的中点的中点，连接.因为平面平面，平面平面，所以平面平面，C正确.因为，所以，又平面平面，所以平面.同理可得平面，则，因为，所以四边形为平行四边形，所以.因为平面平面，所以平面正确.连接，易得，则平面，则.因为，所以平面.因为，所以平面，B正确.连接，则，若平面平面成立，则平面，所以.因为，所以平面，这显然不成立，所以平面平面不成立，D错误.8.A分别在棱上取点，使得，连接（图略），易证平面截该正方体所得的截面图形是五边形.由题中数据可得.9.ACD将丙组数据从小到大排列为，可得丙组数据的中位数为A正确.将甲组数据从小到大排列为，因为，所以甲组数据的分位数是4，B错误.易得甲组数据的方差等于乙组数据的方差，C正确.甲组数据的平均数为，乙组数据的平均数为，D正确.10.AB由正弦定理得，得，则.由，得，得.由余弦定理，得或17，即或，所以的周长为8或.11.BCD如图，设正三角形的外心为，当三棱锥的体积最大时，三点共线.设球的半径为，易得.直线与平面所成的角为，得.由得球的表面积为，A错误.的最大值为，B正确.三棱锥体积的最大值为，C正确.三棱锥的体积为，D正确.12.0因为共面，所以，即，则13.5因为，所以.当时，数据的分位数为4，由，得，不符合题意，舍去.当时，数据的分位数为，由，得（负根舍去），符合题意.故.14.；连接（图略）.，则，故直线与所成角的余弦值为.15.解：（1）由题意得这100家企业评分在内的频数为设这100家企业评分的中位数的估计值为，因为评分在内的频数之和为，评分在内的频数之和为，所以，由，得.（2）这100家企业评分的平均数的估计值为这100家企业评分的方差的估计值为.16.解：（1）由余弦定理得，因为，所以.因为，所以，解得，因为，所以.（2）因为，所以.设，在中，由正弦定理得，则，由解得或（舍去），故的长为.17.（1）证明：因为是等腰直角三角形，为的中点，所以.又因为平面平面，平面平面，所以平面因为平面，所以所以是等腰三角形，.（2）解：作的延长线，垂足为，连接.，所以..因为平面，所以.因为，所以平面.易得四边形为正方形，所以.以为坐标原点，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则..设平面的法向量为，则即取，可得.设平面的法向量为，则即取，可得.设二面角的大小为，则.故二面角的正弦值为.18.解：（1）根据题意可得.因为海里，海里，所以根据余弦定理可得海里.（2）由余弦定理可得，则所以.设当补给船与货船会合时，补给船行驶的最少时间为小时，则海里，海里.在中，解得或（舍去），故当补给船与货船会合时，补给船行驶的时间至少为2小时.19.（1）证明：在上取点，使得，连接，如图1.因为，所以.因为平面平面，所以平面.因为，所以.又因为，所以.因为平面平面，所以平面.因为，所以平面平面.因为平面，所以平面.（2）解：取的中点，连接，如图2.由题意可得是边长为4的正三角形，则，且，所以为二面角的平面角，即，则为正三角形，所以.（3