广东省珠海市2024-2025学年高三上学期开学考试 数学试题（含解析）

珠海市2025届高三第一次摸底考试数学本答案共15页，分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上，1.已知全集，集合，则（）A.B.C.D.2.复数（为虚数单位），的共轭复数为（）A.B.C.D.3.在中，D是BC上一点，满足，M是AD的中点，若，则（）A.B.1C.D.4.已知点，，点是圆上任意一点，则面积的最小值为（）A.6B.C.D.5.一个内角为30°的直角三角形，分别以该三角形的斜边､两条直角边所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成3个几何体.这3个几何体的体积从小到大之比为（）A.B.C.D.6.已知函数在上没有零点，则实数a的取值范围是（）A.B.C.D.7.函数，其中，其最小正周期为，则下列说法错误的是（）A.B.函数图象关于点对称C.函数图象向右移个单位后，图象关于y轴对称，则的最小值为D.若，则函数的最大值为8.若不等式对一切恒成立，其中，为自然对数的底数，则的取值范围是（）A.B.C.D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.设A，B为随机事件，且，是发生的概率.，则下列说法正确的是（）A.若A，B互斥，则B.若，则相互独立C.若互斥，则相互独立D.与相等10.设，则下列说法正确的是（）A.函数的图象与圆有且只有两个公共点B.存在无数个等腰三角形，其三个顶点都在函数的图象上C.存在无数个菱形，其四个顶点都在函数的图象上D.存在唯一的正方形，其四个顶点都在函数的图象上11.中国结是一种手工编织工艺品，其外观对称精致，符合中国传统装饰的习俗和审美观念，中国结有着复杂曼妙的曲线，其中的八字结对应着数学曲线中的双纽线.已知在平面直角坐标系中，到两定点，距离之积为常数的点的轨迹C是双纽线.若是曲线C上一点，则下列结论正确的是（）A.曲线C的图象关于原点对称B.曲线C经过5个整点（横､纵坐标均为整数的点）C.曲线C上任意一点到坐标原点O的距离都不超过3D.曲线C上有且仅有3个点P满足三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.直线与曲线相切，则___________.13.已知点在双曲线上，，分别是双曲线C的左､右焦点，若的面积为45，则___________.14.甲､乙两班参加了同一学科的考试，其中甲班50人，乙班40人.甲班的平均成绩为72分，方差为90分；乙班的平均成绩为90分，方差为60分.那么甲､乙两班全部90名学生的平均成绩是___________分，方差是___________分.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）在中，角的对边分别为其中，，且.（1）求的值；（2）若的外接圆半径为5，求面积的最大值.16.（15分）如图，三棱柱中，侧面底面，，，点D是棱的中点.（1）证明：；（2）求面与面夹角的正切值.17.（15分）已知椭圆的左､右焦点分别为，，且，点在椭圆C上，直线.（1）若直线与椭圆有两个公共点，求实数t的取值范围；（2）当时，记直线与轴，轴分别交于两点，为椭圆上两动点，求四边形面积的最大值.18.（17分）设函数，.（1）试判断的单调性；（2）证明：对任一，有，当且仅当时等号成立.（3）已知，证明：（其中）19.（17分）对于数列，若存在常数T，，使得对任意的正整数，恒有成立，则称数列是从第项起的周期为T的周期数列.当时，称数列为纯周期数列；当时，称数列为混周期数列.记为不超过x的最大整数，设各项均为正整数的数列满足：（1）若对任意正整数都有，请写出三个满足条件的的值；（2）若数列是纯周期数列，请写出满足条件的的表达式，并说明理由；（3）证明：不论为何值，总存在使得.珠海市2025届高三第一次摸底考试答案（详解版）数学本答案共15页，分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1.【答案】B【解析】因为全集，集合，由补集的运算可得或或，对应区间为.2.【答案】B【解析】法一：，且.法二：.3.【答案】C【解析】是的中点，，又从而得到，进而可知.4.【答案】D【解析】由可得：，直线方程为，圆的圆心，半径，点到直线的距离，因此点到直线距离的最小值为，所以面积的最小值是.5.【答案】C【解析】如图所示，如图所示，中，不妨设.绕旋转得到圆锥，其体积为，绕旋转得到圆锥，其体积为，绕旋转得到两个共底面的圆锥，其体积为，显然.6.【答案】A【解析】设图象如图，函数在上没有零点，可转化为图象与函数图象没有交点，数形结合可得或，实数的取值范围是.7.【答案】D【解析】对于选项A：，最小正周期为，而，所以；对于选项B：由三角函数的对称性可知，函数的对称中心为；对于选项C：函数的图像向右平移个单位后得到，即；又关于轴对称，所以，可得，所以，当时，是最小的；对于选项D：因为，则，所以，函数的最大值为.8.【答案】A【解析】法一：：不等式对一切恒成立不等式对一切恒成立，故，今，则有；故，不等式对一切恒成立恒成立，显然，.又，则，当时，在上递增，上递减，符合题意；当时，在上递减，上递增，上递减，易知当时，，故符合题意.综上，，因此.法二：不等式可化为，令，当时，，此时，直线恒过点，故，只需直线为在点处的切线即可，易得，此时.当时，亦恒过点，为使对一切恒成立，只需开口向下，且在点处与有公切线即可，故，此时.综上，的取值范围是.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，9.【答案】ABD【解析】对于选项A，B，C：根据事件互斥､事件独立的定义，可判定A和B正确，C错误；对于选项D：所以，与相等，D正确.10.【答案】ABC【解析】为奇函数，，当时，，当时，，则在上单调递增，在上单调递减，又，对于选项A：函数与圆的图象如图所示：故，函数与圆有且只有两个公共点，故，A正确；对于选项B，C：由于函数的图象关于坐标原点中心对称，过点作直线交的图象于两点，过点作的垂线交的图象于两点，则为等腰三角形，四边形为菱形，当线段绕点转动时，仍为等腰三角形，四边形仍为菱形，故选项B，C均正确；对于选项D：由于，故，要使得正方形存在，则为等腰直角三角形.显然，当时，，点在函数图象外侧，则，此时.利用极限思想，当时，，此时；当时，，此时；如图所示，故至少存在两个正方形.故D错误.11.【答案】AC【解析】对于选项A：化简得到：，将代入可得，所以曲线.把代入得，所以，曲线的图象关于原点对称，故，A正确；对于选项B：令解得，即：曲线经过，结合图象，得.今，得，令，得，因此，结合图象曲线只能经过3个整点.故，B错误；对于选项C：可得，所以，曲线上任意一点到坐标原点的距离，即：都不超过3，故C正确；对于选项D：点满足，则在垂直平分线上，则，设，则，故，只有原点满足，故，D错误.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.【答案】【解析】曲线在处的切线方程为，令，则有，从而，填.13.【答案】25【解析】由已知得，双曲线的实半轴长为，虚半轴长为，则右焦点的横坐标为，设点，则，所以.由双曲线的对称性，不妨取点的坐标为，显然，由双曲线的定义，得，所以，.14.【答案】，【解析】根据课本公式：，.四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤，15.【解答】解：解：（1）由题意可得，，由正弦定理可知，.在中，，，即：.，，即：.又，解得.（2）由正弦定理可知，，，.由余弦定理可知，，即：，由基本不等式可知，，当且仅当时等号成立，可得，即：.，.所以，面积的最大值为32.16.【解答】证明：（1）连接，是三棱柱，是平行四边形.，定等边三角形.又是的中点，又平面平面，平面平面，面解：（2）由（1）得面，两两垂直.故，以所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，设面与面的法向量分别为，面，不妨取.设，，取，得.设面与面的夹角为，所以，面与面的夹角的正切值为.17.【解答】解：（1）由题意可得，，所以，㮋圆的方程为.联立方程组，整理得.直线与椭圆有两个公共点，解得，实数的取值范围为.（2）当时，直线的方程为，.由题意可知，点或到直线距离的最大值与直线平行且与椭圆相切的直线与直线间的距离.由（1）中的，解得或，此时得直线或直线与椭圆相切，与之间的距离与之间的距离，所以，四边形面积的最大值为.18.【解答】解：（1）故，在上单调递增.（2）令，则.又在上单调递増，当时，；当时，；当时，；故，在处取最小值，即：，从而，，即：.（3），要证，只需证，即证.（*）显然，当时，不等式（*）中等号成立.令，由（2）可知：成立，即：成立，即：而成立，从而成立，19.【解答】解：（1）对任意正整数都有，①取，则，不符合题意；②取，则此时，数列为常值数列；③取，则，不符合题意；④取，则此时，数列的通项⑤取，则，此时，数列的通项综上所述，满足条件的三个分别为.（答案不唯一，符合要求即可给分）（2）按（1）的思路，取：①取，则.此时，数列为常值数列，亦为纯周期数列；②取，则，此时，数列的通项为混周期数列；③取，则，此时，数列为常值数列，亦为纯周期数列；④取，则，此时，数列的通项为混周期数列；⑤取，则，此时，数列的通项为混周期数列；⑥取，则，此时，数列的通项为混周期数列；⑦取，则，此时，数列为常值数列，为纯周期数列.根据上述计算，得出猜想：当时，数列为常值数列（亦为纯周期数列）下面进行验证：当时，，此时，数列的每一项均为，该数列此时为常值数列，亦为纯周期数列.（3）首先，根据（2）的分析，发现当时，数列为常值数列（亦为纯周期数列，满足题意；接下来，证明：当时，也存在，使得.，只需要证明数列中始终存在值为1的项即可.①当时，显然存在值为1的项；②当时，有或.（i）若为偶数，则；（ii）若为奇数，则，所以，无论为