人教版九年级数学上册全册导学案3

22.1二次根式（1）

学习目标

1、若病万-百二有意义，则a的值为

1、了解二次根式的概念，能判断一个式子是不是

二次根式。

2、掌握二次根式有意义的条件。2、若Q在实数范围内有意义，则x为（）。

3、全心投入，全力以赴

A.正数B.负数C.非负数D.非正数

学习重点、难点

重点：二次根式有意义的条件；3、在实数范围内因式分解

难点：二次根式有意义的条件；x2-3=x2-（）2=（x+.）（x-_）

学习过程

-2%

一、温故知新：4、在式子〕——中，x的取值范围是.

1、数3的平方根是—,算术平方根是；1+x

2、正数a的算术平方根为,0的算术平

方根为;

3、解下列不等式并回忆解不等式的一般步骤

2x-3=3x+7

5、已知Jx?-4+J2x+y=0,则x-y=

二、自主预习，探究新知

1、式子&表示什么意义？6、已知y=j3-x+Jx-3-2,贝Uyx=

2、什么叫做二次根式？如何判断一个式子是否为

二次根式？

3、式子&20（。20）的意义是什么？如何确定一

四、反馈检测

个二次根式有无意义？

1、若卜-2|+加方=0，贝［Ia2-b=

尝试训练：

1、试一试：判断下列各式，哪些是二次根式？哪

些不是？为什么？

V3（）-V16（）V4（）2、式子寸三十+有意义的条件是（）

A.x»0B.尤＜0且xW—2

Q（）3（“'°）（）Vx2+i（）C.x^-2D.xWO

3、当x=时，代数式j4x+5有最小值,其

2、若疝再有意义，则。的取值范围是最小值是o

三、学以致用4、在实数范围内因式分解：

1.下列各式中，二次根式有（）（1）——7（2）4a2-11

07（—3片；|；③\/（a—bK；®y/-a2—l；

时，亡有意义;^

35.当%.

（§）^8.

A.2个B.3个C.4个D.5个意义的条件是

4.当x时，勺3+2了有意义.

22.1二次根式（2）

学习目标4、化简下列各式

1、掌握二次根式的基本性质：4^=\a\(1)(("3)2(«>3)

2、能利用上述性质对二次根式进行化简.

(2)yl(2X-1)2_(J2X_3)2(x>2)

3、全力以赴，做最好的自己。

学习重点、难点

重点：二次根式的性质行=时.

难点：综合运用性质行=时进行化简和计算。

学习过程5、a、b、c为三角形的三条边，则

一、温故知新：

yj(o+b-c)?+-a-c|=*

(1)二次根式、口二有意义，则x_____。

yX—56、把(2-x)［口二的根号外的(2-x)适当变形

(2)在实数范围内因式分解：Vx-2

22

X-6=x-()J(x+____)(x-____)后移入根号内，得()

二、自主严且，探究新知

1、式子,力表示什么意义?如何用A、，2-xB、Jx-2-

来化简二次根式？C>-」2-xD、—Jx-2

2、在化简过程中运用了哪些数学思想？

7、实数a、b在数轴上的位置如图所示，那么化

尝试训练：

简IafI—而的结果是()

1、计算：74?=_V02?=_

A.2a—bB.bC.—bD.-2a~\~b

b0a

8、若二次根式J-2x+6有意义,

化简Ix-4|-|7-x|=

四、反馈检测

1、计算下列各式._______

三、学以致用(1)(V15)2=(2)yT<C-1)2=

1、化简下列各式：

⑴而7=(2)^(-0.3)2=---------(3)(2^/x)2=(4)y[\6=

2.以下号式中计算正确的是()

⑶Ji)=-------(4)，(2a)2=(a<0)A.一—(—6)2=—6B.(—\[3)2=-3

C.♦(-16y=±16D.-三义

2、下列各式正确的是

(2

A.7^2)=23、化简：_4)~=

C.弋1—2)2=2

3、化简下列各式4、已知2VxV3,化简：J(X-2)2+.-3|

(1)V4?(x>0)(2)J(2X+3)2(X<-2)

22.2二次根式的乘除法

二次根式的乘法

一、学习目标

1、掌握二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质。

2、熟练进行二次根式的乘法运算及化简。

二、学习重点、难点

重点：掌握和应用二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质。

难点：正确依据二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质进行二次根式的化简。

三、学习过程

(―)复习回顾

1、计算：

(1)74XV9=_____J4x9=_____

(2)XV25=____716x25=—

(3)TwoxV36=一7100x36=_

2、根据上题计算结果，用或“="填空：

(1)74XM____74^9

(2)V16XV25___716x25

(3)V100XV36_V100x36

(二)提出问题

1、二次根式的乘法法则是什么？如何归纳出这一法则的？

2、如何二次根式的乘法法则进行计算？

3、积的算术平方根有什么性质？

4、如何运用积的算术平方根的性质进行二次根式的化简。

(三)自主学习

自学课本第5—6页“积的算术平方根”前的内容，完成下面的题目:

1、用计算器填空：

(1)V2XV3___V6(2)V5XV6____而

(3)^2xV5___V10(4)V4XV5____V20

2、由上题并结合知识回顾中的结论，你发现了什么规律?

能用数学表达式表示发现的规律吗？

3、二次根式的乘法法则是：

（四）合作交流

1、自学课本6页例1后，依照例题进行计算：

（1）V9XV27（2）275X3V2

(3)扃•⑷百•岳•

2、自学课本第6—7页内容，完成下列问题:

（1）用式子表示积的算术平方根的性质：

（2）化简:

①后②dl2a2b2

③J25>49@7100x64

（五）展示反馈

展示学习成果后，请大家讨论：对于的Xa的运算中不必把它变成国后再进行计算,

你有什么好办法？

（六）精讲点拨

1、当二次根式前面有系数时;可类比单项式乘以单项式法则进行计算：即系数之积作为积的

系数，被开方数之积为被开方数。

2、化简二次根式达到的要求：

(1)被开方数进行因数或因式分解。

(2)分解后把能开尽方的开出来。

(七)拓展延伸

1、判断下列各式是否正确并说明理由。

(1)J(-4)x(-9)=4-^x7^9

(2)Sa2b3=abH

(3)678X(-276)=6x(-2)7876=-12^/48

(4)J4—xV16=4xJ—xV16=4x3=12

V16V16

2、不改变式子的值，把根号外的非负因式适当变形后移入根号内。

⑴玷⑵一2心

(八)达标测试:

A组

1、选择题

(1)等式JU=G-1成立的条件是()

A.x，lB.x，-lC.一IWxWlD.x21或x〈-l

(2)下列各等式成立的是().

A.4后X2亚=8炳B.5石X4V2=20V5

C.473X3A/2=7V5D.573X4A/2=20V6

(3)二次根式J(-2>x6的计算结果是()

A.2V6B.-276C.6D.12

2、化简：

(1)V360；(2)432/；

3、计算:

(])V18xV30.(2)V3x

B组

1、选择题

(1)若,一2|+〃+4b+4+Jc2_c+；=0,则历・□&=()

A.4B.2C.-2D.1

(2)下列各式的计算中，不正确的是()

A.7(-4)x(-6)=7^=(-2)X(-4)=8

B.J4a"-V4x=A/^-x-J(a2)2—2a2

C.732+42=79+16=V25=5

D.V132-122=7(13+12)(13-12)=713+12xJ13-12=4x1

2、计算：(1)6次X(-276)；(2)

二次根式的除法

一、学习目标

1、掌握二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质。

2、能熟练进行二次根式的除法运算及化简。

~~、号r习审^点、点

重点：,纂握和混用二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质。

难点：正确依据二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质进行二次根式的化简。

三、学习过程

(―)复习回顾

1、写出二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质

2、计算：(1)378X(-476)(2)dllabx飞6ab3

9

3、填空：(1)4=

V1616

（二）提出问题：

1、二次根式的除法法则是什么？如何归纳出这一法则的？

2、如何二次根式的除法法则进行计算？

3、商的算术平方根有什么性质？

4、如何运用商的算术平方根的性质进行二次根式的化简?

（三）自主学习

自学课本第7页一第8页内容，完成下面的题目：

1、由“知识回顾3题”可得规律：

2、利用计算器计算填空:

⑴亲——⑵鲁——⑶导

规律：言

3、根据大家的练习和解答，我们可以得到二次根式的除法法则:

把这个法则反过来，得到商的算术平方根性质:

（四）合作交流

1、自学课本例3,仿照例题完成下面的题目:

计算：（1）相

(2)

2、自学课本例4,仿照例题完成下面的题目:

化简:⑴旧

（五）精讲点拨

1、当二次根式前而有系数时,，类比单项式除以单项式法则进行计算：即系数之商作为商的系

数，被开方数之商为被开方数。

2、化简二次根式达到的耍求:

（1）被开方数不含分母；

（2）分母中不含有二次根式。

（六）拓展延伸

阅读下列运算过程：

1_62_275_275

百一昌6-3'亚一小x亚-5

数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化工

2

利用上述方法化简:⑴__ZZ

V6

1

(3).ZZ

V12⑷骋

（七）达标测试：

A组

1、选择题

（1）计算出+居+旧的结果是（）.

A.-V5B.-C.V2D.—

777

(2)化简的结果是（)

V27

A..也c.-近

B.~^=D.-V2

33

2,计算：

飞2炉

(1)-nL(2)

V48

9x

64y

用两种方法计算:

最简二次根式

一、学习目标

1、理解最简二次根式的概念。

2、把二次根式化成最简二次根式.

3、熟练进行二次根式的乘除混合运算。

二、学习重点、难点

重点：最简二次根式的运用。

难点：会判断二次根式是否是最简二次根式和二次根式的乘除混合运算。

三、学习过程

（-）复习回顾

】、化简（1）后⑵息

2、结合上题的计算结果，回顾前两节中利用积、商的算术平方根的性质化简二次根式达到

的要求是什么？

（二）提出问题：

1、什么是最简二次根式？

2、如何判断一个二次根式是否是最简二次根式?

3、如何进行二次根式的乘除混合运算？

（三）自主学习

自学课本第9页内容，完成下面的题目:

1＞满足于,

_______________________________的二次根式称为最简二次根式.

2、化简：

⑴3^^-⑵y]x2y4+x4y2

⑶府7⑷告

(四)合作交流

1、计算:桂加飞

2、比较下列数的大小

(1)而与花(2)-7后与-6万

3、如图，在RtaABC中，ZC=90°,

AC=3cm,BC=6cm,求AB的长.

(五)精讲点拨

1、化简二次根式的方法有多种，比较常见的是运用积、商的算术平方根的性质和分母有理化。

2、判断是否为最简二次根式的两条标准：

(1)被开方数不含分母；

(2)被开方数中所有因数或因式的累的指数都小于2.

(六)拓展延伸

观察下列各式，通过分母有理化，把不是最简二次根式的化成最简二次根式：

1_1x(行—1)_血7二£1,

V2+1-(V2+1)(V2-1)-2-1-，

1_lx(V3-V2)_V3-V2_c£

=(6+扬(百_扬=

1

同理可得:=2—V3，

2-V3

从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算

+厂1厂+……+I-----------।（V2009+1）的值.

V2+1V3+V2V2009+V2008

（七）达标测试：

A组

1、选择题

（1）如果斤（y>0）是二次根式，化为最简二次根式是（）.

A.半(y>0)B.历(y>0)C.也(y>0)D.以上都不对

yjyy

（2）化简二次根式/_亭的结果是

A、y/-a-2B>-V-a-2C>Ja-2D、7a-2

2、填空：

(1)化简｛x"+x?y2=.(x20)

(2)已知x=一—,则x-4的值等于_________.

V5-2x

B组

1、计算：(a>0,b>0)

b2Vci

2、若x、y为实数，且y=x-4++1,求“+y・“一y的值。

22.3二次根式的加减法

二次根式的加减法

一、学习目标

1、了解同类二次根式的定义。

2、能熟练进行二次根式的加减运算。

二、学习重点、难点

重点：二次根式加减法的运算。

难点：快速准确进行二次根式加减法的运算。

三、学习过程

(-)复习回顾

1、什么是同类项？

2、如何进行整式的加减运算？

3、计算：(1)2x-3x+5x(2)a2b+2ba2-3ab

(二)提出问题

1、什么是同类二次根式？

2、判断是否同类二次根式时应注意什么？

3、如何进行二次根式的加减运算？

(三)自主学习

自学课本第10—11页内容，完成下面的题目：

1、试观察下列各组式子，哪些是同类二次根式：

(1)2痣与3夜(2)叵与6

(3)百与病(4)屈与历

从中你得到：_______________________________________________

2、自学课本例1,例2后，仿例计算：

(1)V8+V18(2)币+2力+3际i

(3)3V48-9^1+3V12

通过计算归纳：进行二次根式的加减法时，应.

（四）合作交流，展示反馈

小组交流结果后，再合作计算，看谁做的又对又快！限时6分钟

(2)(V48+V20)+(V12-V5)

(4)^xy/9x-(x2-6-^^-)

（五）精讲点拨

1、判断是否同类二次根式时，一定要先化成最简二次根式后再判断。

2、二次根式的加减分三个步骤：

①化成最简二次根式；

②找出同类二次根式；

③合并同类二次根式，不是同类二次根式的不能合并。

（六）拓展延伸

1、如图所示，面积为48cm?的正方形的四个角是

面积为3cm2的小正方形，现将这四个角剪掉，制

作一个无盖的长方体盒子，求这个长方体的高和底

面边长分别是多少？

2、已知4x2+y2-4x-6y+10=0,

求+y?g)一(x?般际下)的值.

3AlyyxVx

（七）达标测试:

A组

1、选择题

（1）二次根式：①J区；②万；③岛④居中,

与於是同类二次根式的是（）.

A.①和②B.②和③

C.①和④D.③和④

(2)下列各组二次根式中,是同类二次根式的是（）.

B-新片与Ji"，户

A.\[2x与y/2y

C.y/rnn与yjnD.Nm+n与+

2、计算：

（2）|回+6信2军

(1)772+3>/8-5750

B组

1、选择：已知最简根式。而百与〃斫是同类二次根式，则

满足条件的a,b的值（）

A.不存在B.有一组

C.有二组D.多于二组

2、计算：

（1）3^90+4J木（2）42x-y]Sx3+2^2xy2（x>0,y>0）

二次根式的混合运算

一、学习目标

熟练应用二次根式的加减乘除法法则及乘法公式进行二次根式的混合运算。

—学JI重占难占

重点：蔡练进行二次根式的混合运算。

难点：混合运算的顺序、乘法公式的综合运用。

三、学习过程

(―)复习回顾：

1、填空

(1)整式混合运算的顺序是：________________________________

(2)二次根式的乘除法法则是：________________________________

(3)二次根式的加减法法则是：________________________________

(4)写出已经学过的乘法公式：

①②.

2、计算：

(1)V6•V3a•

(3)2V3-V8+-V12+-V50

25

(二)合作交流

1、探究计算：

(1)(V8+V3)XV6(2)(472-376)4-2A/2

2,自学课本11页例3后，依照例题探究计算：

(1)(V2+3)(V2+5)(2)(2V3-V2)*2

(三)展示反馈

计算：(限时8分钟)

(1)(|V27-V24-3^|)-712(2)(2V3-V5)(V2+V3)

(3)(3V2+2V3)2(4)(V10-V7)(-V10-V7)

(四)精讲点拨

整式的运算法则和乘法公式中的字母意义非常广泛，可以是单项式、多项式，也可以

代表二次根式，所以整式的运算法则和乘法公式适用于二次根式的运算。

(五)拓展延伸

同学们，我们以前学过完全平方公式5±勿2=/±2"+62,你一定熟练掌握了吧!现

在，我们又学习了二次根式，那么所有的正数(包括0)都可以看作是一个数的平方，如

3=(V3)2,5=(V5)2,下面我们观察：

(V2-1)2=(V2)2-2xlxV2+12=2-272+1=3-272

反之，3-272=2-272+1=(V2-1)2

3-2及=(0-1)2

?.73-272=V2-1

仿上例，求：(1)；"4+2百

(2)你会算14—疝吗?

(3)若)a±2而=诟+&，则m、n与a、b的关系是什么？并说明理由.

（六）达标测试:

A组

1、计算:

(1)(780+90)-75(2)V24-V3-V6x2V3

(3)(4a^b-3ab+ToF)4-)(a>0,b>0)(4)(276-5五)(-276-5扬

1

2、已知a=——,b-求J）+从+10的值。

V2-1V2+1

B组

1、计算：（1）（6+后一i）（6-夜+1）（2）（3-Vio）2009（3+Vio）2009

2、母亲节到了，为了表达对母亲的爱，小明做了两幅大小不同的正方形卡片送给妈妈，其中

一个面积为8cm2,另一个为18cm2,他想如果再用金彩带把卡片的边镶上会更漂亮，他现在

有长为50cm的金彩带，请你帮忙算一算，他的金彩带够用吗？

《二次根式》复习

一、学习目标

1、了解二次根式的定义，掌握二次根式有意义的条件和性质。

2、熟练进行二次根式的乘除法运算。

3、理解同类二次根式的定义，熟练进行二次根式的加减法运算。

4、了解最简二次根式的定义，能运用相关性质进行化简二次根式。

二、学习重点、难点

重点：二次根式的计算和化简。

难点：二次根式的混合运算，正确依据相关性质化简二次根式。

三、复习过程

（一）自主复习

自学课本第13页“小结”的内容，记住相关知识，完成练习:

1.若a>0,a的平方根可表示为

a的算术平方根可表示

2.当a时，Jl-2a有意义,

当a_____时，J3a+5没有意义。

3.J-）?=2>=

4.V14xV48=;V724-V18=

5.V12+V27=;V125-V20=

（二）合作交流，展示反馈

1、式子目=2^成立的条件是什么？

Vx-5y[x^5

2,计算：⑴2瓦)6+56(2)

4

3.(1)V2-5V3-3V75(2)(-3V2-2V3)2

（三）精讲点拨

在二次根式的计算、化简及求值等问题中，常运用以下几个式子:

（1）（6）2=N0）与a=（夜）“420）

aa>0

(2)=同=<0a=0

-aa<0

(3)\[a•s[h=\[ab(a>0,b>0)与«•4h(a>0,b>0)

⑷gjf"力>。)与4=%a2b>0)

(5)(a±b)2-a2±2ah+b2^(a+b)(a-b)-a2-b2

（四）拓展延伸

1、用三种方法化简（

解：第一种方法：直接约分

第二种方法：分母有理化

第三种方法：二次根式的除法

VM2-9++4

2、已知m,m为实数，满足用=

〃一3

求6m-3n的值。

（五）达标测试：

A组

1、选择题：

（1）化简■yO7的结果是（）

A5B-5C±5D25

（2）代数式中，x的取值范围是（）

Jx-2

Ax>-4Bx>2

Cx>-4且xw2Dx>-4且尤w2

（3）下列各运算，正确的是（）

A275-375=675

c7^5x7-125=7~5x(-125)

D后j=席+柠=x+y

（4）如果J|（），＞0）是二次根式，化为最简二次根式是（）

B而（y＞0）

D.以上都不对

（5）化简二答的结果是（）

V27

A.包c普D

3Eg

2、计算.

(1)V27-2V3+V45⑵16x25

64

(3)(Vo+2)(Vo—2)⑷(6-3)2

—1V3—5/2,V3+V2t111V1/古

3、已知a=-------,b=-------求-----的值

22ab

B组

1＞选择:

(1)a=4,b=叵,则

)

V55

Aa,b互为相反数Ba,b互为倒数

Cah=5Da=b

(2)在下列各式中，化简正确的是()

A4=3而B=

Cda4b=a24bD7x3-x1=xy/x-1

(3)把(a-l)J-—匚中根号外的(a-1)移入根号内得(

)

Va-

AyjQ—\

c-V^T

2、计算：

(1)2遥—M—旦

(3)(372-2A/3)2(-372-2V3)2

3、归纳与猜想：观察下列各式及其验证过程:

（1）按上述两个等式及其验证过程的基本思路,

猜想4右的变化结果并进行验证.

（2）针对上述各式反映的规律，写出n（n为任意自然数,

且n22）表示的等式并进行验证.

参考答案

二次根式（一）

（五）拓展延伸

1、(1)》4',且》。一1⑵±6(3)-8

2

2、(1)(±6y(±V035)2

(2)(x+g)(x-V7)(2a+VH)(2a-而)

(六)达标测试

(A组)(一)填空题：

1>-2>(1)x2-9=x2-(3)=(x+3)(x-3);

5

(2)x2-3=x2-(V3)2=(x+V3)(x-V3).

(二)选择题：

1、D2、C3、D

(B组)(一)选择题：

1、B2、A

(二)填空题：

1、12、(X2+2)(X+V2)(X-V2)3、--,Oo

二次根式(二)

(五)展示反馈

1、(1)2x(2)x22、(1)a-3(2)-2x-3

(七)拓展延伸

(l)2a(2)D⑶-3

(八)达标测试：

A组1、(1)、2(2),4-万2、1

2后

B组1、2x2、---a

3

22.2二次根式的乘除法

二次根式的乘法

(七)拓展延伸

1、(1)错(2)错(3)错⑷错

2、(1)-V6(2)-42a

(八)达标检测：

A组1、(1)A(2)D(3)A

2、(1)6V10(2)4岳2；

3、(1)6V15(2)—

5

B组1、(1)B(2)A

2、(1)-486(2)±4百加;

二次根式的除法

(六)拓展延伸

(1)—(2)变(3)走V2

3662

(七)达标测试：

A组1、(1)A(2)C

3A/X

2、(1)—(2)-(3)2(4)

62

V2

B组⑴2V2(2)

4

最简二次根式

(四)合作交流

1、1

2、(1)后)同

(2)-776<-6A/7

3、AB=3A/5.

(六)拓展延伸

+/)(72009+1)=2008.

V2+173+72V2009+V2008

(七)达标测试：

A组1、(1)C(2)B2、(1)x^x1+y2(2)4

3、⑴也(2)--

22

377

B组1、a2b2y[^b2、

22.3二次根式的加减法

二次根式的加减法

(四)合作交流，展示反馈

⑴也出⑵673+75

9

⑶乎-3万

(4)4x4

(六)拓展延伸

6

1、高：为底面边长2、—+35/6

4

(七)达标测试：

A组1、(1)C(2)D

2、(1)一120(2)-4x

2

B组1、B2、(1)9710(2)(2y-x)V2x

二次根式的混合运算

(三)展示反馈

(1)6-1872(2)2V6+6-V10-V15

(3)30+12后(4)-3

(五)拓展延伸

(1)1+>/3(2)>/3-1(3)a=m+n,b=inn

(六)达标测试：

A组1、(1)4+1875(2)-4痣

(3)a+b-3y[ab(4)26

2、4

B组1、(1)272(2)-12、够用

《二次根式》复习

(-)自主复习

1.2.a<一,a4—

23

3.万-3;2-64.4742;2

5.5A/3;375

(-)合作交流，展示反馈

1、x>52、(1)延(2)豆豆

103y

3.(1)V2-20A/3(2)30+1276

(四)拓展延伸

kV62、5

(五)达标测试：

A组1、(1)A(2)B(3)B(4)C(5)C

2、(1)6+3旧(2)-

2

(3)a-4(4)x+9-2房

3、472

B组1、(1)D(2)C(3)D

2、(1)至-百(2)(3)36

220

第二十三章一元二次方程

23.1一元二次方程（1课时）

学习目标：

1、会根据具体问题列出一元二次方程，体会方程的模型思想，提高归纳、分析的能力。

2、理解一元二次方程的概念；知道一元二次方程的一般形式；会把一个一元二次方程化为一

般形式；会判断一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项。

重点：由实际问题列出一元二次方程和一元二次方程的概念。

难点：由实际问题列出一元二次方程。准确认识一元二次方程的二次项和系数以及一次项和

系数还有常数项。

导学流程：

自学课本导图，走进一元二次方程

分析：现设长方形绿地的宽为X米，则长为米，可列方程

X()=,去括号得①.

你知道这是一个什么方程吗？你能求出它的解吗？想一想你以前学过什么方程，它的特

点是什么？

探究新知

［例1］小明把一张边长为10cm的正方形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，

再折合成一个无盖的长方体盒子，如果要求长方体的底面积为81cm2,那么剪去的正方形的边

长是多少？

设剪去的正方形的边长为xcm,你能列出满足条件的方程吗？你是如何建立方程模型的？

合作交流

动手实验一下，并与同桌交流你的做法和想法。

列出的方程是②.

自主学习

【做一做】根据题意列出方程：

1、一个正方形的面积的2倍等于50,这个正方形的边长是多少？

2、一个数比另一个数大3,且这两个数之积为这个数，求这个数。

3、一块面积是150cm2长方形铁片，它的长比宽多5cm,则铁片的长是多少？

观察上述三个方程以及①②两个方程的结构特征，类比一元一次方程的定义，自己试着

归纳出一元二次方程的定义。

展示反馈

【挑战自我】判断下列方程是否为一元二次方程。

(04/=81；②-D=3。浮-1=5

⑵缶rh(6)3x£x-1)=5<x+2X

美于X的方程

«0?-3工+2=0；

⑥关分的方程

+DV+(2a-。/+5-。=0.

【我学会了】

1、只含有个未知数，并且未知数的最高次数是，这样的

方程，叫做一元二次方程。

2、一元二次方程的一般形式：，其中二次项，

是一次项，是常数项，二次项系数，一次项系数。

【例2】将下列一元二次方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项、一次项和常数

项及它们的系数。

(1)4/=81(2)3x(x-l)=5(x+2)

【巩固练习】教材第19页练习

归纳小结

1、本节课我们学习了哪些知识？

2、学习过程中用了哪些数学方法？

3、确定一元二次方程的项及系数时要注意什么？

达标测评

(A)1、判断下列方程是否是一元二次方程；

[n

(1)2x——%2--=0()(2)2x2-y+5=0()

32

(3)ax2+bx+c=0()(4)4x2--+7=0()

x

2、将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和

常数项：

(1)3/一尸2；(2)7^-3=27;

(3)(2x—l)—3x(x—2)=0(4)2x(x—l)=3(x+5)—4.

3、判断下列方程后面所给出的数，那些是方程的解；

(1)2x(x+l)=4(x+l)±1+2；

(2)/+2x-8=0±2,±4

(B)1、把方程〃比2一〃》+用工+〃，=q-p(〃?+"。0)化成一元二次方程的一般形式，再写

出它的二次项系数、一次项系数及常数项。

2、要使(k+l)x|i|+|+(——l)x+2=0是一元二次方程，则k=.

3、已知关于x的一元二次方.程(〃2-2)x，+3x+/”2-4=0有一个解是0,求m的值。

拓展提高

1、已知关于x的方程(Z-2)/-匕=/-1。问

(1)当k为何值时，方程为一元二次方程？

(2)当k为何值时，方程为一元一次方程？

2、思考题：你能给出一元三次方程的概念及一般形式吗？

23.2一元二次方程的解法(5课时)

第1课时

学习目标：1、初步掌握用直接开平方法解一元二次方程，会用直接开平方法解形如-=a(a

20)或(mx+n)2=a(a»0)的方程；会用因式分解法(提公因式法、公式法)解某些一元二次

方程；

2、理解元二次方程解法的基本思想及其与元一次方程的联系，体会两者之间相互比较和

转化的思想方法；

3、能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性。

重点：掌握用直接开平方法和因式分解法解一元二次方程的步骤。

难点：理解并应用直接开平方法和因式分解法解特殊的一元二次方程。

导学流程：

自主探索

试一试解下列方程，并说明你所用的方法，与同伴交流.

(1)x=4；(2)/—1=0;

解:x=—解：左边用平方差公式分解因式，得

A==0,

必有*—1=0,或=0,

得为=_，•

精讲点拨

(1)这种方法叫做直接开平方法.

(2)这种方法叫做因式分解法.

合作交流

(1)方程f=4能否用因式分解法来解？要用因式分解法解，首先应将它化成什么形

式？

(2)方程第一1=0能否用直接开平方法来解？要用直接开平方法解，首先应将它化成

什么形式？

课堂练习反馈调控

1.试用两种方法解方程*—900=0.

(1)直接开平方法(2)因式分解法

2.解下列方程：

(1)7-2=0;(2)16/-25=0.

解(1)移项，得产=2.(2)移项，得.

直接开平方，得x=±五.方程两边都除以16,得—

所以原方程的解是直接开平方，得X=—.

X]=一V2，x=V2.

2所以原方程的解是不=—，x2=_

3.解下列方程：

(1)3x+2x=Q；(2)x=3x.

解(1)方程左边分解因式,得________________

所以________,或_____________

原方程的解是*=______，%2=

(2)原方程即=0.

方程左边分解因式，得___________=0.

所以，或

原方程的解是%,=_____，Xz=

总结归纳

以上解方程的方法是如何使二次方程转化为一次方程的？用直接开平方法和因式分解

法解一元二次方程的步骤分别是什么？

巩固提高

解下列方程：

(1)(x+1)2—4=0；(2)12(2—才)2—9=0.

分析两个方程都可以转化为()的形式，从而用直接开平方法求解.

解：(1)原方程可以变形为()2=—,

(2)原方程可以变形为，

有.

所以原方程的解是%,=,及=•

课堂小结

你今天学会了解怎样的一元二次方程？步骤是什么？它们之间有何联系与区别？(学生

思考整理)

达标测评

(A)k解下列方程：

(1)X2=169；(2)45-X2=0；(3)12y2-25=0；

(4)x2—2x=0；(5)(t—2)(t+1)=0；(6)x(x+1)—5x=0.

(7)x(3x+2)-6(3x+2)=0.

(B)2、小明在解方程x?=3x时，将方程两边同时除以x,得x=3,这样做法对吗？为什么会

少一个解？

拓展提高

1、解下列方程：

(1)X2+2X-3=0(2)x2-50x+225=0

(教师引导学生用十字相乘法分解因式。)

2、构造一个以2为根的关于x的一元二次方程。

第2课时

学习目标：

1、掌握用配方法解数字系数的一元二次方程；

2、理解解方程中的程序化，体会化归思想。

重点：用配方法解数字系数的一元二次方程；

难点：配方的过程。

导学流程

自主学习

自学教科书例4,完成填空。

精讲点拨

上面，我们把方程f—4x+3=0变形为(x—2”=1,它的左边是一个含有未知数的

式，右边是一个常数.这样，就能应用直接开平方的方法求解.这种解一元二

次方