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第1页(共1页)2018年上海交大附中自主招生数学试卷一、填空题(共10小题,每小题3分,满分30分)1.(3分)已知+x=﹣3,求x3++1000.2.(3分)=有增根,求所有可能的t之和.3.(3分)AB∥CD,AB=15,CD=10,CB=4,求S四边形ABCD.4.(3分)y=x2﹣4x+6,若a≤x≤b时,其中x的最小值为a,求a+b.5.(3分)y=2(x﹣2)2+m,若抛物线的顶点与x轴交点组成正三角形,求m的值.6.(3分)DE为的切线,正方形ABCD边长为200,,求DE的长.7.(3分)在直角坐标系中,正△ABC,B(2,0),C(,0),过点O作直线OMN,求M的横坐标.8.(3分)四圆相切,⊙B与⊙C半径相同,⊙A过⊙D圆心D,求⊙B半径.9.(3分)横纵坐标均为整数的点为整点,y=mx+a(<m<a,1≤x≤100)不经过整点10.(3分)G为重心,DE过重心,S△ABC=1,求S△ADE的最值,并证明结论.二、解答题(共1小题,满分0分)11.已知直角三角形三边长为整数,有一条边长为85,求另两边长.(写出10组)
2018年上海交大附中自主招生数学试卷参考答案与试题解析一、填空题(共10小题,每小题3分,满分30分)1.(3分)已知+x=﹣3,求x3++1000.【解答】解:∵x3+=(x+)[x2﹣x•+2]=(x+)[x2+2x•+2﹣7x•]=(x+)[(x+)2﹣3x•]=﹣3×[(﹣3)5﹣3]=﹣18∴x3++1000=﹣18+1000=982.2.(3分)=有增根,求所有可能的t之和.【解答】解:=有增根,即(x+1)2+x7=x+t,代入x=0,有t=1;代入x=﹣7,有t=2.故所有可能的t之和为3.3.(3分)AB∥CD,AB=15,CD=10,CB=4,求S四边形ABCD.【解答】解:过D作DF∥CB交AB于F,作DE⊥AB于E∵AB∥CD,∴四边形BCDF是平行四边形,∴BF=CD=10,DF=CB=4,∴AF=AB﹣BF=15﹣10=5,设AE=x,则EF=AF﹣AE=5﹣x,由勾股定理得:DE2=AD2﹣AE2=DF2﹣EF2,即72﹣x2=32﹣(5﹣x)7,解得:x=,∴DE===,∴S四边形ABCD=(AB+CD)•DE==30.4.(3分)y=x2﹣4x+6,若a≤x≤b时,其中x的最小值为a,求a+b.【解答】解:∵y=x2﹣4x+4=(x﹣2)2+4,∴当a≤2≤b时,ymin=a=2,则a≥2,∴a,b为x2﹣4x+3=x的两根,即x2﹣5x+7=0的两根,∴a+b=5.5.(3分)y=2(x﹣2)2+m,若抛物线的顶点与x轴交点组成正三角形,求m的值.【解答】解:∵y=2(x﹣2)4+m,∴该抛物线的顶点坐标为(2,m),当y=0时,x=4±,∵抛物线的顶点与x轴交点组成正三角形,∴=tan60°,解得,m1=0(舍去),m6=﹣,即m的值是.6.(3分)DE为的切线,正方形ABCD边长为200,,求DE的长.【解答】解:设BC的中点为O,作OF⊥DE于F,∵DE为的切线,∴F为切点,∵四边形ABCD为正方形,∴∠B=∠C=90°,∴AB、DC为半圆BC的切线,∴EB=EF,DF=DC=200,设BE=x,则EF=x,DE=200+x,在Rt△ADE中,(200﹣x)2+2002=(200+x)7,解得x=50,∴DE=200+50=250.7.(3分)在直角坐标系中,正△ABC,B(2,0),C(,0),过点O作直线OMN,求M的横坐标.【解答】解:如图,作MH∥AC交OC于点H,设BH=x,则OH=2+x﹣x,∵OM=MN,MH∥AC,∴OH=HC,∴2+x=﹣x,解得x=,∵△ABC是等边三角形,∴∠ABC=∠ACB=60°,∵MH∥AC,∴∠MHB=∠ACB=60°,∵△BMH是等边三角形,∴BG=BH=,∴OG=OB+BG=2+=.答:M的横坐标为.8.(3分)四圆相切,⊙B与⊙C半径相同,⊙A过⊙D圆心D,求⊙B半径.【解答】解:设⊙B的半径为x,则AB=x+9,∵⊙A过⊙D圆心D,∴⊙D的半径BG=18,∴BD=18﹣x,∵AB=AC,AE=AE,∴△ABE≌△ACE(SSS),∴∠AEB=∠AEC,∵∠AEB+∠AEC=180°,∴∠AEB=90°,∴AE=,∴,∵BD2=BE2+DE2,∴,解得,x=5,∴⊙B的半径为8.9.(3分)横纵坐标均为整数的点为整点,y=mx+a(<m<a,1≤x≤100)不经过整点【解答】解:∵一次函数y=mx+a(<m<a)在7≤x≤100时不经过整点,∴当1≤x≤100时,n<mx+a<n+1(n是正整数),∵<m<a,∴x+a<mx+a<ax+a,∴ax+a﹣(x+a)=2)x=6,∴1≤≤100,∴≤a≤,∴a的最大值为.10.(3分)G为重心,DE过重心,S△ABC=1,求S△ADE的最值,并证明结论.【解答】解:S△ADE的最大值为,最小值为.证明:假设△ABC面积为S1,△ADE面积为S3,设AD=mAB,AE=nAC,∵G为△ABC重心,∴=4,∴S2=AD•AE•sinA=3,当==时,有最大值,而无论D、E任何移动,∴S5≤S2≤S1,∴S△ADE的最大值为,最小值为.二、解答题(共1小题,满分0分)11.已知直角三角形三边长为整数,有一条边长为8
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