2018年上海交大附中自主招生数学试卷

第1页（共1页）2018年上海交大附中自主招生数学试卷一、填空题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．（3分）已知+x＝﹣3，求x3++1000．2．（3分）＝有增根，求所有可能的t之和．3．（3分）AB∥CD，AB＝15，CD＝10，CB＝4，求S四边形ABCD．4．（3分）y＝x2﹣4x+6，若a≤x≤b时，其中x的最小值为a，求a+b．5．（3分）y＝2（x﹣2）2+m，若抛物线的顶点与x轴交点组成正三角形，求m的值．6．（3分）DE为的切线，正方形ABCD边长为200，，求DE的长．7．（3分）在直角坐标系中，正△ABC，B（2，0），C（，0），过点O作直线OMN，求M的横坐标．8．（3分）四圆相切，⊙B与⊙C半径相同，⊙A过⊙D圆心D，求⊙B半径．9．（3分）横纵坐标均为整数的点为整点，y＝mx+a（＜m＜a，1≤x≤100）不经过整点10．（3分）G为重心，DE过重心，S△ABC＝1，求S△ADE的最值，并证明结论．二、解答题（共1小题，满分0分）11．已知直角三角形三边长为整数，有一条边长为85，求另两边长．（写出10组）

2018年上海交大附中自主招生数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．（3分）已知+x＝﹣3，求x3++1000．【解答】解：∵x3+＝（x+）[x2﹣x•+2]＝（x+）[x2+2x•+2﹣7x•]＝（x+）[（x+）2﹣3x•]＝﹣3×[（﹣3）5﹣3]＝﹣18∴x3++1000＝﹣18+1000＝982．2．（3分）＝有增根，求所有可能的t之和．【解答】解：＝有增根，即（x+1）2+x7＝x+t，代入x＝0，有t＝1；代入x＝﹣7，有t＝2．故所有可能的t之和为3．3．（3分）AB∥CD，AB＝15，CD＝10，CB＝4，求S四边形ABCD．【解答】解：过D作DF∥CB交AB于F，作DE⊥AB于E∵AB∥CD，∴四边形BCDF是平行四边形，∴BF＝CD＝10，DF＝CB＝4，∴AF＝AB﹣BF＝15﹣10＝5，设AE＝x，则EF＝AF﹣AE＝5﹣x，由勾股定理得：DE2＝AD2﹣AE2＝DF2﹣EF2，即72﹣x2＝32﹣（5﹣x）7，解得：x＝，∴DE＝＝＝，∴S四边形ABCD＝（AB+CD）•DE＝＝30．4．（3分）y＝x2﹣4x+6，若a≤x≤b时，其中x的最小值为a，求a+b．【解答】解：∵y＝x2﹣4x+4＝（x﹣2）2+4，∴当a≤2≤b时，ymin＝a＝2，则a≥2，∴a，b为x2﹣4x+3＝x的两根，即x2﹣5x+7＝0的两根，∴a+b＝5．5．（3分）y＝2（x﹣2）2+m，若抛物线的顶点与x轴交点组成正三角形，求m的值．【解答】解：∵y＝2（x﹣2）4+m，∴该抛物线的顶点坐标为（2，m），当y＝0时，x＝4±，∵抛物线的顶点与x轴交点组成正三角形，∴＝tan60°，解得，m1＝0（舍去），m6＝﹣，即m的值是．6．（3分）DE为的切线，正方形ABCD边长为200，，求DE的长．【解答】解：设BC的中点为O，作OF⊥DE于F，∵DE为的切线，∴F为切点，∵四边形ABCD为正方形，∴∠B＝∠C＝90°，∴AB、DC为半圆BC的切线，∴EB＝EF，DF＝DC＝200，设BE＝x，则EF＝x，DE＝200+x，在Rt△ADE中，（200﹣x）2+2002＝（200+x）7，解得x＝50，∴DE＝200+50＝250．7．（3分）在直角坐标系中，正△ABC，B（2，0），C（，0），过点O作直线OMN，求M的横坐标．【解答】解：如图，作MH∥AC交OC于点H，设BH＝x，则OH＝2+x﹣x，∵OM＝MN，MH∥AC，∴OH＝HC，∴2+x＝﹣x，解得x＝，∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∵MH∥AC，∴∠MHB＝∠ACB＝60°，∵△BMH是等边三角形，∴BG＝BH＝，∴OG＝OB+BG＝2+＝．答：M的横坐标为．8．（3分）四圆相切，⊙B与⊙C半径相同，⊙A过⊙D圆心D，求⊙B半径．【解答】解：设⊙B的半径为x，则AB＝x+9，∵⊙A过⊙D圆心D，∴⊙D的半径BG＝18，∴BD＝18﹣x，∵AB＝AC，AE＝AE，∴△ABE≌△ACE（SSS），∴∠AEB＝∠AEC，∵∠AEB+∠AEC＝180°，∴∠AEB＝90°，∴AE＝，∴，∵BD2＝BE2+DE2，∴，解得，x＝5，∴⊙B的半径为8．9．（3分）横纵坐标均为整数的点为整点，y＝mx+a（＜m＜a，1≤x≤100）不经过整点【解答】解：∵一次函数y＝mx+a（＜m＜a）在7≤x≤100时不经过整点，∴当1≤x≤100时，n＜mx+a＜n+1（n是正整数），∵＜m＜a，∴x+a＜mx+a＜ax+a，∴ax+a﹣（x+a）＝2）x＝6，∴1≤≤100，∴≤a≤，∴a的最大值为．10．（3分）G为重心，DE过重心，S△ABC＝1，求S△ADE的最值，并证明结论．【解答】解：S△ADE的最大值为，最小值为．证明：假设△ABC面积为S1，△ADE面积为S3，设AD＝mAB，AE＝nAC，∵G为△ABC重心，∴＝4，∴S2＝AD•AE•sinA＝3，当＝＝时，有最大值，而无论D、E任何移动，∴S5≤S2≤S1，∴S△ADE的最大值为，最小值为．二、解答题（共1小题，满分0分）11．已知直角三角形三边长为整数，有一条边长为8