中考数学试题动态问题试题及答案

一、选择题

1.如图，动点P从点4出发，沿线段A8运动至点6后，立即按原路返回，点P在运动过

程中速度大小不变，则以点4为圆心，线段4P长为半径的圆的面积S与点尸的运动时间，

之间的函数图象大致为（）

2.如图，在5x5方格纸中，将图①中的三角形甲平移到图②中所示的位置，与三角形乙拼

成一个矩形，那么，下面的平移方法中，正确的是（）

A.先向下平移3格,再向右平移1格

B.先向下平移2格,再向右平移1格

4.在平面直角坐标系中，已知线段48的两个端点分别是）,将线段

A5平移后得到线段A5,若点A'的坐标为（一2,2）,则点*的坐标为（）

A.（4,3）B.（3,4）C.（―1,—2）D.（―2,—1）

5./XABC在如图所示的平面直角坐标系中，将△A5C向右平移3个单位长度后得

△A4G再将蜴G绕点。旋转180°后得到则下列说法正确的是（）

A.A的坐标为（3,1）B・S四边形488ml=3

D.ZAC2O=45°

6.如图1,砸形MNPQ由动点R从点N出发，沿N-P-Q-M方向运动至点M处

停止.设点R运动的路程为x,△MNR的面积为y,如果y关于x的函数图象如图2所

A.N处B.尸处C.。处D.M处

7.如图，把抛物线y=/与直线），=1围成的图形OABC绕原点。顺时针旋转90°后，再沿

x轴向右平移1个单位得到图形。①蜴。则下列结论第误的是（）

A.点。1的坐标是（1,0）B.点G的坐标是（2，-1）

c.四边形O/A4是矩形D.若连接oc,则梯形0。4片的面积是3

y

/CUI二

叩。\B1

CI

8.如图，已知RSABC中，NACB=90°,AC=4,BC=3,以AB边所在的直线为轴，将A

ABC旋转一周,则所得几何体的表面积是（).

B.24%

D.124

9.将两枚同样大小的硬币放在桌上，固定其中一枚，而另一枚则沿着其边缘滚动一周，这

时滚动的硬币滚动了（）

A.1圈B.1.5圈C.2圈D.2.5圈

二、填空题

10.如图，ZACB=60°,半径为1cm的00切3c于点C,若将。。在上向右滚动,

则当滚动到。0与CA也相切时，圆心。移动的水平距离是cm.

A

11.如图，已知△ACS与△OPE是两个全等的直角三角形，量得它们的斜边长为10cm,

较小锐角为30°,将这两个三角形摆成如图（1）所示的形状，使点8、C、F。在同一

条直线上，且点。与点尸重合，将图（1）中的△AC8绕点C顺时针方向旋转到图（2）

的位置，点E在A5边上，AC交DE于点G,则绒段/G的长为cm（保留根号）.

图（1）图（2）

12.在边长为2cm的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点,

连接PB、PQ,则aPEQ周长的最小值为cm（结果不取近似值）.

13.如图，在Rt△力比中，NACff=30°,N8=60°,BC=2.点0是4。的中点，过点。的直

线,从与“1重合的位置开始，绕点0作逆时针旋转，交力8边于点〃.过点。作方〃/18交直

线,于点发设直线/的旋转角为a.

（1）①当a=度时，四边形被町是等腰梯形，此时力〃的长为:

②当a=度时，四边形被先是直角梯形，此时力。的长为；

（2）当a=90°时,判断四边形以是否为菱形，并说明理由.

B

A

（备用图）

三、解答题

14.已知RtaABC中，AC=8C,ZC=90°。为A8边的中点，NEQF=90°NE。/

绕。点旋转，它的两边分别交AC、CB（或它们的延长线）于E、F.当/EDF绕D公

旋转到）于时（如图）易证△力展CEFABC•当绕点旋转

ZE_LACE1,S4—i+SV£->1=-SZ14JV.NEDFD

到DE■和AC不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予

证明；若不成立，S^DEF、SNEF、S^sc乂有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证

明.

15.已知A48C为直角三角形，ZACB=90°,4。=8。，点4、C在x轴上，点5坐标

为（3,加）（相>0）,缎A3与y轴相交于点O,以P（1,0）为顶点的抛物线过点3、

D.

（1）求点A的坐标（用机漏）：

（2）求抛物线的解析式；

（3）设点。为抛物线上点P至点8之间的一动点，连结P。并延长交BC于点E,连结

8。并延长交AC于点尸，试证明：尸C（AC+£C）为定值.

16.在ABCD中，过点C作CE1CD交AD于点E,将线段EC绕点E逆时针旋转90,得到

线段EF（如图1）

（1）在图1中画图探究：

①当P为射线CD上任意一点（R不与C重合）时，连结EPi绕点E逆时针旋转90°得到线

段EG.判断直线FG与直线CD的位置关系，并加以证明；

②当P?为线段DC的延长线上任意一点时，连结EP2,将线段EPz绕点E逆时针旋转90°得

到线段EC?.判断直线C42与直线CD的位置关系，画出图形并直接写出你的结论.

4

⑵若AD=6,tanB=§,AE=l,在①的条件下，设CP】=x,SP]FC=y＞求y与x之间的函

数关系式，并写出自变量x的取值范围.

17.如图，在平面直角坐标系x。)，中，ABC三个机战的坐标分别为

A(-6,0),8(6,0),C(0,46),延长AC到点D,使CD=gAC,过点D作DE〃AB交

BC的延长线于点E.

(1)求D点的坐标；

(2)作C点关于直线DE的对称点F,分别连结DF、EF,若过B点的直线)，=履+匕将四

边形CDFE分成周长相等的两个四边形，确定此直线的解析式；

(3)设G为y轴上一点，点P从直线丁二履+〃与y轴的交点出发，先沿y轴到达G点，

再沿GA到达A点，若P点在y轴上运动的速度是它在直线GA上运动速度的2倍，试确

定G点的位置，使P点按照上述要求到达A点所用的时间最短。(要求：简述确定G点位

置的方法，但不要求证明)

18.在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限,斜靠在两坐标轴上,

且点4(0,2),点。(一1,0),如图所示：抛物线》="2+以一2经过点3.

(1)求点8的坐标；

(2)求抛物线的解析式；

(3)在抛物线上是否还存在点P(点3除外)，使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直

角三角形？若存在，求所有点尸的坐标；若不存在，请说明理由.

19.如图1,已知正比例函数和反比例函数的图像都经过点M(—2,-1),且P(-1,-2)

为双曲线上的一点，。为坐标平面上一动点，力垂直于x轴，Q5垂直于y轴，垂足分别是

A、B.

(1)写出正比例函数和反比例函数的关系式；

(2)当点。在直线M。上运动时，直线上是否存在这样的点Q,使得△OBQ与

△Q4P面积相等？如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由：

(3)如图2,当点。在第一象限中的双曲线上运动时，作以OP、0Q为邻边的平行

四边形OPCQ,求平行四边形。尸CQ周长的最小值.

图2

图1

20.如图1,若△ABC和△4OE为等边三角形，M,N分别EB,C。的中点，易证：CD=BE,

△4MN是等边三角形.

（1）当把ZMOE绕A点旋转到图2的位置时，CO=8E是否仍然成立？若成立请证明，

若不成立请说明理由；

（2）当△4DE绕A点旋转到图3的位置时，是否还是等边三角形？若是，请给

出证明，并求出当时，ZMOE与ZMBC及△AMN的面积之比；若不是，请说明理由.

21.如图，已知直线/:》=之X+3,它与x轴、y轴的交点分别为A、B两点.

'4

（1）求点4、点8的坐标；

（2）设尸是X轴上一动点，月尺规作图作出OP,使。P经过点B且与X轴相切于点尸

（不写作法和证明，保留作图痕迹）；

（3）设（2）中所作的。尸的圆心坐标为尸（x,y）,求y与x的函数关系式；

（4）是否存在这样的。P,既与x轴相切又与直线/相切于点儿若存在，求出圆心产

的坐标；若不存在，请说明理由.

22.)如图，在平面直角坐标系my中,抛物线y='一一［1一］0与《轴的交点为点A,与y

轴的交点为点B.过点6作x轴的平行线BC,交抛物线于点C,连结AC.现有两动点P,。分

别从A,C两点同时出发，点〃以每秒4个单位的速度沿0A向终点力移动，点0以每秒1个单

位的速度沿或向点6移动,点尸停止运动时,点。也同时停止运动，线段0C,图相交于点D,

过点〃作龙〃例交。于点£射线比交才轴于点发设月。移动的时间为X单位:秒)

(1)求力,B,C三点的坐标和抛物线的顶点的坐标；

⑵当i为何值时，四边形呼4为平行四边形?请写出计算过程；

(3)当OVtV三9时,APQF的面积是否总为定值?若是,求出此定值,若不是,请说明理由；

2

(4)当t为何值时,/制尸为等腰三角形?请写出解答过程.

23.已知NABC=90°,AB=2,BC=3,ADABC,P为线段BD上的动点，点Q在射线AB上，且

满足£2=42(如图1所示.

PCAB

(1)当AD=2,且点。与点8重合时(如图2所示)，求线段PC的长；

3

(2)在图8中，联结AP.当4。=一，且点。在线段上时，设点B、。之间的距离

2

S△八户0

为x,=y»其中SAAPQ表示△APQ的面积,S.PBC表示4PBe的面积，求y关于

SfBC

x的函数解析式，并写出函数定义域；

(3)当且点。在线段A8的延长线上时(如图3所示)，求NQPC的大小.

24.如图，已知抛物线y=a(x—1)2+36(4/0)经过点A(—2,0),抛物线的顶点为。，

过。作射线OM〃AO.过顶点。平行于x轴的直线交射线OM于点C,B在x轴正半

轴上，连结8C.

(1)求该抛物线的解析式；

(2)若动点尸从点。出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM运动，设点P运动的

时间为«s).问当，为何值时，四边形D4OP分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？

(3)若。。=。8,动点P和动点0分别从点。和点5同时出发，分别以每秒1个长度单

位和2个长度单位的速度沿。。和8。运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止

运动.设它们的运动的时间为f(s),9P。，当，为何值时，四边形BCP。的面积最小？

并求出最小值及此时的长.

25.如图，二次函数y=a/+bx+c（。工0）的图象与x轴交于4、8两点，与y轴相交

于点C.连结AC、BGAC两点的坐标分别为A（-3,0）、。（0,百），且当x=-4和

x=2时二次函数的函数值y相等.

（1）求实数a,bc的值；

（2）若点M、N同时从8点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿BA、8C边运动,

其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动.当运动时间为，秒时，连结MN,将

△8MN沿翻折，8点恰好落在4c边上的尸处，求f的值及点P的坐标；

（3）在（2）的条件下，二次函数图象的对称轴上是否存在点Q,使得以8,NQ为项点

的三角形与△A5C相似？如果存在，请求出点。的坐标；如果不存在，请说明理由.

26.如图，已知△4BC中，A8=4C=10厘米，8C=8厘米，点。为A8的中点.

（1）如果点尸在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段C4

上由。点向A点运动.

①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△8PO与/\CQP是否全等，

请说明理由；

②若点Q的运动速度与点尸的运动速度不相等，当点。的运动速度为多少时，能够使ABPD

与△CQP全等？

（2）若点。以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都

逆时针沿8c三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△A8C的哪条边上相

遇？

A

27.如图，在平面直角坐标系中，矩形A04C在第一象限内，E是边上的动点(不包括

端点)，作N4E尸=90。，使石产交矩形的外角平分线8尸于点凡设C(〃i,n).

(1)若m=〃时，如图，求证：EF=4E；

(2)若MW〃时，如图，试问边。8上是否还存在点E,使得EF=4E?若存在，清求

出点E的坐标：若不存在，请说明理由.

(3)若相=[〃)时,试探究点E在边OR的何处时,使得内产=(/+I)AE成立？

28.如图，在梯形A8CO中，AD//BG,AD=2=4点M是A3的中点，4MBC

是等边三角形.

(1)求证：梯形A5co是等腰梯形；

(2)动点P、。分别在线段5c和MC上运动，且NMPQ=60。保持不变.设

PC=x,=y求丁与x的函数关系式；

(3)在(2)中：①当动点尸,。运动到何处时，以点P、M和点A、B、C、。中

的两个点为顶点的四边形是平行四边形？并指出符合条件的平行四边形的个数；

②当y取最小值时，判断△PQC的形状，并说明理由.

29如图，在矩形A8CO中，8C=20cm,P,Q,M,N分别从A,B,C,。出发沿40,BC,

CB,D4方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动

即停止.已知在相同时间内，若8Q=xcm(xwO),贝ij4P=2xcm,C"=3xcm,DN=x2cm.

(1)当x为何值时，以PQ,MN为两边,以矩形的边(A。或BC)的一部分为第三边

构成一个三角形；

(2)当x为何值时，以P,Q,M,N为顶点的四边形是平行四边形；

(3)以P,Q,M,N为顶点的四边形能否为等腰梯形?如果能，求x的值：如果不能,

请说明理由.

A,"f

B

QM

30.如图，已知射线DE与x轴和j轴分别交于点0(3,0)和点E(0,4).动点C从点M(5,0)

出发，以1个单位长度/秒的速度沿工轴向左作匀速运动，与此同时，动点尸从点〃出发，

也以1个单位长度/秒的速度沿射线应'的方向作匀速运动.设运动时间为，秒.

(1)请用含f的代数式分别表示出点C与点尸的坐标；

(2)以点C为圆心、个单位长度为半径的。。与x轴交于力、8两点(点力在点乡的左

2

侧)，连接川、PB.

①当＜3。与射线应'有公共点时，求I的取值范围；

②当△P48为等腰三角形时，求f的值.

3

31.直线y=--x+6与坐标轴分别交于A、B两点,动点尸、。同时从。点出发，同时到

4

达A点，运动停止.点。沿线段04运动，速度为每秒1个单位长度，点尸沿路线O-

8-A运动.

(1)直接写HIA、8两点的坐标；

(2)设点。的运动时间为f秒，AOP。的面积为S,求出S与f之间的函数关系式；

48

(3)当S=q■时，求出点尸的坐标，并直接写出以点0、P。为顶点的平行四边形的第

四个顶点M的坐标.

32.如图所示，菱形ABCO的边长为6厘米，ZB=60°.从初始时刻开始，点P、。同

时从A点出发，点尸以1厘米/秒的速度沿Cf8的方向运动，点。以2厘米/秒的速

度沿AfC-。的方向运动，当点。运动到。点时，P、。两点同时停止运动，设

P、。运动的时间为x秒时，尸。与△A8C惠号邮分的面积为y平方厘米(这里规定:

点和线段是面积为。的三角形)，解答下列问题：

(1)点尸、。从出发到相遇所用时间是秒；

(2)点P、Q从开始运动到停止的过程中，当XAPQ是等边三角形时式的值是秒;

(3)求y与x之间的函数关系式.

33.已知点A,B分别是x轴、y轴上的动点，点C、D是某个函数图像上的点，当四边形

ABCD(A、B、C、D各点依次排列)为正方形时，称这个正方形为此函数图像的伴侣正方

形。例如：如图，正方形ABCD是一次函数)，=%+1图像的其中一个伴侣正方形。

(1)若某函数是一次函数y=x+l,求它的图像的所有伴侣正方形的边长；

(2)若某函数是反比例函数)，=8(2>0),他的图像的伴侣正方形为ABCD,点D(2,m)

x

(m<2)在反比例函数图像上，求m的值及反比例函数解析式；

(3)若某函数是二次函数丁=蹂2+以。工0),它的图像的伴侣正方形为ABCD,C、D中

的一个点坐标为(3,4).写出伴侣正方形在抛物线上的另一个顶点坐标,写出符

合题意的其中一条抛物线解析式,并判断你写出的抛物线的伴侣正方形的个数是

奇数还是偶数？(本小题只需直接写出答案)

34.如图,直线I与工轴、y轴分别交于点M(8,0),点N(0,6).点尸从点N出发，以

每秒1个单位长度的速度沿N一。方向运动，点Q从点。出发，以每秒2个单位长度的速

度沿O-M的方向运动.已知点P、。同时出发，当点Q到达点M时，尸、Q两点同时

停止运动，设运动时间为，秒.

(1)设四电心MNP。的面积为S,求S关于f的函数关系式，并写出f的取值范围.

(2)当f为何值时，PQ与/平行？

35.(如图，在△ABC中，ZC=90°,BC=8,AC=6,另有一直角梯形OEF”(Hr〃OE,Z

HDE=90n)的底边落在C8上，腰。，落在CA上，且DE=4,NDEF=NCBA,

AH:AC=2：3

(1)延长HF交AB于G,求AAHG的面积.

(2)操作：固定△ABC,将直角梯形DEFH以每秒1个单位的速度沿CB方向向右移动,

直到点D与点B重合时停止，设运动的时间为，秒,运动后的直角梯形为(如右图).

探究1：在运动中，四边形CDH/H能否为正方形？若能，请求出此时t的值；若不

能，请说明理由.探究2：在运动过程中，△4BC与直角梯形。EF4，重叠部分的面积

36.已知直角坐标系中菱形48C。的位置如图，C,。两点的坐标分别为(4,0),(0,3).现有两

动点尸。分别从4C同时出发，点P沿线段AO向终点。运动，点。沿折线C8A向终点A

运动，设运动时间为，秒.

(1)填空：菱形A8CO的边长是—、面积是—、高5E的长是—；

(2)探究下列问题：

①若点尸的速度为每秒1个单位,点。的速度为每秒2个单位.当点。在线段BA上时,

求aAP。的面积S关于，的函数关系式，以及S的最大值；

②若点尸的速度为每秒1个单位，点。的速度变为每秒k个单位，在运动过程中，任何

时刻都有相应的k值，使得AAP。沿它的一边翻折，翻折前后两个三角形组成的四边形为

菱形.请探究当仁4秒时的情形，并求出k的值.

37.如图，在平面直角坐标系中，已知矩形40?的三个顶点8(4,0)、C(8,0)、〃(8,8).

抛物线过4C两点.

(1)直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；

(2)动点尸从点力出发.沿线段48向终点6运动，同时点。从点。出发，沿线段切

向终点。运动.速度均为每秒1个单位长度，运动时间为£秒.过点/作PELAB交于点

E

①过点£作夕」49于点F,交抛物线于点G.当t为何值时，线段用最长？

②连接£0.在点只。运动的过程中，判断有几个时刻使得△力?是等腰三角形？

请直接写出相应的£值.

O8X

38.如图1,在等腰梯形A5CZ)中，AD//BC,七是AB的中点，过点E作后尸〃8C交CZ)

于点尸.AB=4,BC=6,ZB=60°.

(1)求点£到6c的距离；

(2)点P为线段E尸上的一个动点，过尸作PM_LE/交BC于点M,过M作

交折线AOC于点N,连结PN,设EP=x.

①当点N在线段4。上时(如图2),的形状是否发生改变？若不变，求由△PMN

的周长；若改变，请说明理由；

②当点N在线段OC上时(如图3),是否存在点P,使为等腰三角形？若存在，

请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由.

图1图2图3

39.在平面直角坐标中，边长为2的正方形O48C的两顶点A、C分别在y轴、x轴的正

半轴上，点。在原点.现将正方形0A8C绕。点顺时针旋转，当A点第一次落在直线y=x

上时停止旋转，旋转过程中，AB边交直线y=x于点M,BC边交x轴于点N(如图).

(1)求边OA在旋转过程中所扫过的面积；

(2)旋转过程中，当MN和AC平行时，求正方形

048C旋转的度数；

(3)设AM8N的周长为p,在旋转正方形0A8C

的过程中，〃值是否有变化？请证明你的结论.

x

40.如图，&48C中，ZC=90°.AC=4,8C=3.半径为1的圆的圆心P以1个单位

/s的速度由点A沿AC方向在AC上移动，设移动时间为，(单位：5).

(1)当£为何值时，。「与力8相切；

(2)作「O1AC交AB于点O,如果0P和线段8C交于点E,证明：当，时,

5

四边形P08E为平行四边形.

图1图2

41.如图，AB是。0的直径，弦BC=2cm,ZABC=60°.

（1）求。O的直径；

（2）若D是AB延长线上一点，连结CD,当BD长为多少时，CD与OO相切；

（3）若动点E以2cm/s的速度从A点出发沿着AB方向运动，同时动点F以lcm/s的

速度从B点出发沿BC方向运动，设运动时间为f（s）（0<f<2）,连结EF,当f为

何值时，4BEF为直角三角形.

42.如图，直线），=-X+4与两坐标轴分别相交于A、B点，点M是线段AB上任意一

点（A、B两点除外），过M分别作MC_LOA于点C,MD_LOB于D.

（1）当点M在AB上运动时，你认为四边形0cMD的周长是否发生变化？并说明理

（2）当点M运动到什么位置时，四边形OCMD的面积有最大值？最大值是多少？

（3）当四边形OCMD为正方形时，将四边形OCMD沿着x轴的正方向移动，设平移

的距离为。（0<a<4）,正方形OCMD与aAOB重叠部分的面积为S.试求S

与。的函数关系式并画出该函数的图象.

43.(2009年包头)如图，已知△A8C中，A8=AC=10厘米，8C=8厘米，点D为AB

的中点.

(1)如果点P在线段3c上以3厘米/秒的速度由8点向。点运动，同时，点Q在线段C4

上由C点向A点运动.

①若点。的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△3PO与△CQ尸是否全等，

请说明理由；

②若点Q的运动速度与点尸的运动速度不相等,当点。的运动速度为多少时，能够使4BPD

与△CQP全等？

(2)若点Q以②中的运动速度从点C出发，点尸以原来的运动速度从点B同时出发，都

逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在AABC的哪条边上相

遇？

44.(2009年包头)已知二次函数了=。/+^+。(。/0)的图象经过点A(l,0),3(2,0),

0(0,-2),直线x=〃z(m>2)与x轴交于点Q.

(1)求二次函数的解析式；

(2)在直线x=m(加>2)上有一点E(点E在第四象限)，使得E、D8为顶点的三

角形与以4、OC为顶点的三角形相似，求E点坐标(用含加的代数式表示)；

(3)在(2)成立的条件下，抛物线上是否存在一点尸，使得四边形48EF为平行四边形？

若存在，请求出m的值及四边形A8EF的面积；若不存在，请说明理由.

A

oX

45.（2009年本溪）在△ABC中，A8=AC,点O是直线8c上一点（不与8、。重合）,

以4。为一边在4。的有创作△△/）£：,使AO=AE,NDAE=NBAC,连接CE.

（1）如图1,当点。在线段3c上，如果NA4C=90°,则N3CE=度；

（2）设N6AC=a,ZBCE=p.

①如图2,当点。在线段BC上移动，则。，夕之间有怎样的数量关系？请说明理由;

②当点。在直线BC上移动，则a,〃之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论.

图1

备用图备用图

46.（2009宁夏）如图1、图2,是一款家用的垃圾桶，踏板AB（与地面平行）或绕定点产

（固定在垃圾桶底部的某一位置）上下转动（转动过程中始终保持

AP=A'P,BP=B'P）.通过向下踩踏点A到A（与地面接触点）使点3匕升到点B',

与此同时传动杆8”运动到B'"'的位置，点〃绕固定点。旋转（0”为旋转半径）至点

从而使桶盖打开一个张角NHOH'.

如图3,桶盖打开后，传动杆所在的直线分别与水平直线48、。”垂直，垂足为点

M、C,设H'C=B'M.测得AP=6cm,PB=12cm。/7'=8cm.要使桶盖张开的角

度NHD/T不小于60°,那么踏板48离地面的高度至少等于多少cm?（结果保留两位有

效数字）

（参考数据：及.转G1,73）

（图1）

47.（2009宁夏）已知：等边三角形ABC的边长为4厘米，长为1厘米的线段MN在△ABC

的边AB上沿AB方向以1厘米/秒的速度向B点运动（运动开始时，点M与点A重合，点

N到达点B时运动终止），过点M、N分别作4B边的垂线，与△A3C的其它边交于

P、。两点，线段MN运动的时间为f秒.

（1）线段MN在运动的过程中，r为何值时，四边形MNQP恰为矩形？并求出该矩形的面

积：

（2）线段MN在运动的过程中，四边形MNQP的面积为S,运动的时间为"求四边形

MN。尸的面积S随运动时间，变化的函数关系式，并写出自变量£的取值范围.

48.（2009年湖州）如图，在平面直角坐标系中，直线/:），=-21-8分别与"曲，y轴相交

于4B两点，点P（0,k）是y轴的负半轴上的一个动点，以尸为圆心，3为半径作O尸.

（1）连结PA,若尸A=试判断。P与x轴的位置关系，并说明理由；

（2）当％为何值时，以。P与直线/的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形？

49.（2009年温州）如图，在平面直角坐标系中，点A（V3,0）,B（3行,2）,（0,2）.动

点D以每秒1个单位的速度从点0出发沿0C向终点C运动，同时动点E以每秒2个单位的

速度从点A山发沿AD向终点B运动.过点E作EF上AD,交DC于点F,连结DA、DF.设运

动时间为t秒.

⑴求NABC的度数；

（2）当t为何值时,AB/7DF；

（3）设四边形AEFD的面积为S.①求S关于t的函数关系式；

②若一抛物线y'x'mx经过动点E,当时，求m的取值范围（写出答案即可）.

50.（2009年哈尔滨）如图1,在平面直角坐标系中，点。是坐标原点，四边形A8C。是菱

形，点A的坐标为（-3,4）,点C在x轴的正半轴上，直线AC交），轴于点M,A8边交y

轴于点H.

（1）求直线4c的解析式；

（2）连接8M,如图2,动点P从点A出发，沿折线ABC方向以2个单位/秒的速度

向终点C匀速运动，设△尸MB的面积为S（SW0）,点尸的运动时间为f秒，求S与，之

间的函数关系式（要求写出自变量，的取值范围）；

（3）在（2）的条件下，当t为何值时，NMPB与/BCO互为余角，并求此时直线

OP与直线AC所夹锐角的正切值.

51.(2009年中山)正方形ABCQ边长为4,M、N分别是3C、CD上的两个动点，当M

点在BC上运动时，保持AM和MN垂直，

(1)证明：RtAAWRtMCN；

(2)设梯形48CN的面积为y,求y与％之间的函数关系式；当用点运动到

什么位置时，四边形A3CN面积最大，并求出最大面积；

(3)当M点运动到什么位置时Rt△用/MRtAMN、求x的值.

52.(2009年兰州)如图①，正方形ABCD中，点、A、8的坐标分别为(0,10),(8,4),

点C在第一象限.动点尸在正方形力版的边上，从点4出发沿力一八。一。匀速运动，

同时动点。以相同速度在x轴正半轴上运动，当尸点到达〃点时，两点同时停止运动，

设运动的时间为1秒.

(D当尸点在边力8上运动时，点。的横坐标x(长度单位)关于运动时间t(秒)的函数图

象如图②所示，请写出点0开始运动时的坐标及点P运动速度；

(2)求正方形边长及顶点C的坐标；

(3)在(1)中当t为何值时，的面积最大，并求此时尸点的坐标；

(4)如果点入。保持原速度不变，当点一沿力匀速运动时，。与月0能否相等，

若能，写出所有符合条件的方的值；若不能，请说明理由.

53.(2009年济南)如图，在梯形ABCD中，

AD//BG泊。N3.DC=5AB=4728=45。动点M从6点出发沿线段BC以

每秒2个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点出发沿线段CQ以每秒1个单

位K度的速度向终点。运动.设运动的时间为f秒.

(1)求5。的长.

(2)当MN〃48时，求/的值.

54.(2009年河北)如图，在RtaA8c中，ZC=90°,AC=3,A3=5.点P从点C出发沿C4

以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回：点Q

从点A出发沿48以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动.伴随着P、。的运动，OE保

持垂直平分PQ,且交PQ于点D,交折线QB-BC-CP于点E.点P、Q同时出发，当点。

到达点5时停止运动，点P也随之停止.设点P、。运动的时间是，秒(/>0).

(1)当/=2时，AP=，点。到4c的距离是；

(2)在点尸从C向A运动的过程中，求△APQ的面积S与

，的函数关系式；(不必写出，的取值范围)

(3)在点E从8向C运动的过程中，四边形QBE。能否成

为直角梯形？若能，求，的值.若不能，请说明理由；

(4)当。七经过点C时，请真谈写出/的值.

55.(09湖北宜昌)已知：如图1,把矩形纸片人BCD折叠，使得顶点4与边OC上的动点

P重合(P不与点。，C重合)，MN为折痕，点M,N分别在边BC,40上，连接4P,

MP,AM,AP与MN相交于点凡。。过点M,C,P.

(1)请你在图1中作出。。(不写作法，保留作图痕迹)；

(2)竺与竺是否相等？请你说明理由；

ANAD

(3)随着点P的运动，若。。与AM相切于点M时，。。又与相切于点”.

设48为4,请你通过计算，画中这时的图形.(图2,3供参考)

图1图2图3

56.(09湖北宜昌)已知：直角梯形048C的四个顶点是0(0,0),A(-,1),B(s,C(-,

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0),抛物线的顶点尸是直角梯形O4BC内部或边上的一个动点，m为常

数.

⑴求s与f的值，并在直角坐标系中顾中直角梯形0ABe

(2)当抛物线y=x1+mx-m与直角梯形048c的边AB相交时，求m的取值范围.

57.(09湖南邵阳)如图，直线/的解析式为y=-x+4,它与x轴、y轴分别相交于A、B

两点.平行于直线/的直线团从原点。出发，沿x轴的正方形以每秒1个单位长度的速度运

动，它与x轴、y轴分别相交于M、N两点，设运动时间为/秒(0<fW4).

(1)求A、8两点的坐标；

(2)用含，的代数式表示△MCW的面积，；

(3)以MN为对角线作矩形OMPN,记和AOAB重合部分的面积为$2，

①当2<fW4时，试探究S2与f之间的函数关系式;

②在直线m的运动过程中，当r为何值时，S2为AOAB面积的3?

58.(09湖南怀化)如图，在直角梯形OA8C中，OA〃C8,4、8两点的坐标分别为4(15,

0),B(10,12),动点尸、。分别从。、8两点出发，点P以每秒2个单位的速度沿OA向

终点A运动，点。以每秒1个单位的速度沿BC向C运动，当点P停止运动时，点。也同

时停止运动.线段。8、PQ相交于点O,过点。作。后〃。4,交48于点E,射线。石交X

轴于点F.设动点P、。运动时间为/(单位：秒).

(1)当，为何值时，四边形以8。是等腰梯形，请写出推理过程；

(2)当仁2秒时，求梯形OFBC的面积；

(3)当f为何值时，尸是等腰三角形？请写出推理过程.

59.(2009年湖北十堰市)如图①，已知抛物线)，=〃/+bx+3QW0)与x轴交于点4(1,

0)和点8(—3,0),与)，轴交于点C.

(1)求抛物线的解析式；

(2)设抛物线的对称轴与X轴交于点M，问在对称轴上是否存在点以使acMP为等腰三

角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.

(3)如图②，若点E为第二象限脑物线上一动点，连接BE、CE,求四边形8OCE面积的

最大值，并求此时E点的坐标.

60.(2009年山东青岛市)如图，在梯形A8C0中，AD//BCfAD=6cm,CD=4cm,

8C=80=10cm,点P由B出发沿SO方向匀速运动，速度为Icm/s；同时，线段E尸由

OC出发沿04方向匀速运动，速度为lcm/s,交BQ于。，连接PE.若设运动时间为f(s)

(0<r<5).解答下列问题：

(1)当，为何值时，PE//AB?

(2)设△尸EQ的面积为y(cn?),求y与，之间的函数关系式;

2

(3)是否存在某一时刻f,使以"Q=钎SBCD?若存在，求出此时f的值；若不存在，

25

说明理由.

(4)连接尸尸，在上述运动过程中，五边形PFCOE的面积是否发生变化？说明理由.

61.(2009年新疆乌鲁木齐市)如图，在矩形OABC中，已知A、。两点的坐标分别为

44,()卜C(02),。为04的中点.设点尸是NAOC平分线上的一个动点(不与点。重

合.

(1)试证明：无论点P运动到何处，PC总与尸。相等；

(2)当点尸运动到与点8的距离最小时，试确定过O、R。三点的抛物线的解析式：

(3)设点E是(2)中所确定抛物线的顶点，当点尸运动到何处时，APOE的周长最小？

求出此时点P的坐标和XPDE的周长；

(4)设点N是矩形O48C的对称中心，是否存在点尸，使NCPN=90°?若存在，请直

接写出点P的坐标.

62.(2009年山西省)在△A8C中，AB=BC=2,ZA8C=120将△ABC绕点8顺

时针旋转角。(0°<a<90°)得△A|3C1交AC于点E,4a分别交

AC.BC于。、F两点.

(1)如图1,观察并猜想，在旋转过程中，线段ER与/C有怎样的数量关系？并证明你

的结论；

(2)如图2,当a=30°时，试判断四边形8GD4的形状，并说明理由；

(3)在(2)的情况下，求EO的