清单15 相似三角形的性质与判定（3个考点梳理+17种题型解读+提升训练）

清单15相似三角形的性质与判定（3个考点梳理+17种题型解读+提升训练）【知识导图】【知识清单】考点一相似三角形的判定判断定理一：三边成比例的两个三角形相似，即：若ABA'B'【技巧】判断网格中三角形是否相似，先运用勾股定理计算出三边的长度，再看对应边的比例是否相等.判断定理二：两边成比例并且夹角相等的两个三角形相似.即：若ACA'C'=BC判断定理三：两个角分别相等的两个三角形相似.

即：若∠C=∠C'，∠B=∠判断定理四：斜边和直角边成比例的两个直角三角形相似.即：在Rt△若ABA'B则Rt【考试题型1】添加条件使两个三角形相似1．（2023上·吉林长春·九年级校考阶段练习）在Rt△ABC和Rt△A'B'CA．∠A=∠A' B．ACA'C'2．（2023上·全国·九年级专题练习）如图，点P在△ABC的边AC上，添加一个条件可判断△ABP∼△ACB，下列不满足的条件是（）A．∠ABP=∠C B．∠APB=∠ABC C．APBP=AC3．（2023上·河北保定·九年级统考期中）如图，添加下列一个条件，不能判断△ABD与△ABC相似的是（

）

A．∠ABD=∠C B．∠ADB=∠ABC C．ABAC=AD4．（2023上·广西百色·九年级统考期中）如图示，已知∠1=∠2，那么添加下列一个条件后，能判定△ABC∽△ADE的是（请填写序号）①∠D=∠B②∠C=∠AED③ABAD=5．（2019·黑龙江佳木斯·九年级统考学业考试）如图，E,F,G是正方形ABCD边上的点，添加一个条件，使ΔEBF∽ΔFCG(填一个即可)．【考试题型2】根据图形数据判断两个三角形相似1．（2023上·全国·九年级专题练习）判断图中的两个三角形是否相似，并说明理由．

2．（2023上·北京通州·九年级统考期中）如图，△ABC的高AD，BE相交于点O．

(1)写出一个与△ACD相似的三角形（不添加其他线段），这个三角形是______；(2)请任选一对进行证明．【考试题型3】确定相似三角形的对数1．（2021上·陕西汉中·九年级统考期中）如图，AD、CE分别是△ABC的边BC、AB上的高，那么图中相似三角形的对数为（

）

A．3 B．4 C．5 D．62．（2022上·河南洛阳·九年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AD⊥CB，两两相似的三角形对数为（）A．2 B．3 C．4 D．53．（2021下·全国·九年级专题练习）如图，把△ABC绕点A旋转得到△ADE，当点D刚好落在BC上时，连接CE，设AC、DE相交于点F，则图中相似三角形的对数是（

）．A．3对 B．4对 C．5对 D．6对4．（2023上·江苏南通·九年级校联考期中）如图，AD⊥BC于D，CE⊥AB于E，交AD于F，则图中相似三角形的对数是（）A．3对 B．4对 C．5对 D．6对【考试题型4】证明两个三角形相似1（2023上·安徽滁州·九年级统考期中）如图，已知点D在△ABC边BC上，点E在△ABC外，∠BAD=(1)求证：△ABC∽△ADE．(2)若AD=4，AB=5，BC=8，求DE的长．2．（2023上·湖南常德·九年级校联考期中）（1）如图1，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，连接AC，过点A作AE⊥AC交CB的延长线于点E，求证：∠E=∠ACD．

（2）如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，（1）中的其它条件不变，点M，N分别是BD，EC的中点，连接AN，

①求证：AE=AC﹔②求证：△ABE∽△AMN．3．（2023上·山东聊城·九年级统考期中）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC和△DEF的顶点都在格点上．求证：△ABC∽△DEF．

4．（2023上·广西桂林·九年级校考期中）在△ABC中，AB=22，∠B=45°，以点A为直角顶点作等腰Rt△ADE．点D在BC上，点E在AC上，点F在BC上，且(1)求证△ABD∽△DFE(2)若CE=5，求CD5．（2023·陕西渭南·统考二模）如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的格点上．

(1)∠ABC=___________°；(2)判断△ABC与△DEF是否相似，若相似，请给出证明；若不相似，请说明理由．6．（2023上·福建泉州·九年级统考期中）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AC、AB上，AB=3AD，AC=3AE．(1)求证：△ADE∽△ABC；(2)如果△ADE的面积为10，则四边形BCDE的面积为______．【考试题型5】找网格中的相似三角形1．（2023上·陕西西安·九年级西安市东方中学校联考期中）如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，三角形的顶点都在格点（网格线的交点）上，则与△ABC相似的是（

）

A．

B．

C．

D．

2．（2023上·上海普陀·九年级校考期中）如图，△ABC是正方形网格中的格点三角形（顶点在格点上），点D、E、F、

A．以点A、B、D为顶点的三角形C．以点A、B、F为顶点的三角形3．（2023上·河北保定·九年级保定市第十七中学校考期中）如图是由40个边长为1的等边三角形组成的网格图，△ABC的三个顶点和线段DE的两个端点都在等边三角形的顶点上，若点F也在等边三角形的顶点上，能使△DEF与△ABC相似的点F有（

）个．

A．2 B．3 C．4 D．64．（2022上·广东梅州·九年级校考阶段练习）如图，在正方形网格上有6个斜三角形：①△ABC，②△CDB，③△DEB，④△FBG，⑤△HGF，⑥△EKF．在②～⑥中，与①相似的三角形有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个考点二相似三角形的性质1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等.2）相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.3）相似三角形周长的比等于相似比.4）相似三角形面积比等于相似比的平方.【考试题型6】利用相似三角形的性质求解1．（2023上·黑龙江哈尔滨·九年级统考阶段练习）已知△ABC∽△DEF，AB=2，DE=4，则△ABC与△DEF的周长比值是（

）A．2 B．4 C．13 D．2．（2023上·湖南邵阳·九年级统考期中）如果△ABC∽△DEF，且△ABC的三边长分别为3、5、6，△DEF的最短边长为9，那么△DEF的周长等于（

）A．4 B．1265 C．21 D．3．（2023上·广东佛山·九年级校联考期中）两个相似三角形的相似比为1:2，较小的三角形的面积为4，则另一个三角形的面积为（

）A．2 B．8 C．16 D．14．（2023上·湖南常德·九年级校联考期中）如图，在△ABC中，若点D，E分别是AB，AC的中点，则△ADE与四边形BCED的面积比为（

A．1:2 B．1:3 C．1:4 D．3:45．（2023上·四川成都·九年级四川省蒲江县蒲江中学校考期中）若△ABC与△DEF相似，且对应边之比2:3，则△ABC与△DEF的面积比为（

）A．2:3 B．2:5 C．4:9 D．4:256．（2023上·福建莆田·九年级校考阶段练习）如图，已知AB∥CD，AD与BC相交于点O．若BOOC=2

7．（2023上·河北石家庄·九年级石家庄市第二十五中学校考期中）如图，在四边形ABCD中，连接AC，其中AD=2，AC=4，BC=6，∠B=36°，∠D=107°，△ABC∽△DAC，(1)求AB的长；(2)求CD的长；(3)求∠BAD的大小；【考试题型7】利用相似求坐标1．（2023上·山东青岛·九年级青岛大学附属中学校考期中）如图，点A、B、C、D的坐标分别是1,0、5,0、①2,1

②3,1

③4,2

④5,2

A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②③④2．（2022上·河南三门峡·九年级统考期末）如图，在直角坐标系xOy中，A-4,0，B0,2，连接AB并延长到点C，连接CO，若△COB∽△CAO，则点C的坐标为3．（2022上·陕西西安·九年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，已知△OAB，点A的坐标为a,a，点B的坐标为b,0．若a，b的值是关于x的一元二次方程x2-5x+6=0的两个根，且(1)直接写出a=___________，b=___________(2)若点P在y轴上，且△POA∽△AOB，求点P的坐标．4．（2021·全国·九年级专题练习）直线y＝kx+b与反比例函数y=6x（x＞0）的图象分别交于点A（m，3）和点B（6，n），与坐标轴分别交于点C和点（1）求直线AB的解析式；（2）若点P是x轴上一动点，当△COD与△ADP相似时，求点P的坐标．5．（2023上·山西运城·九年级山西省运城市实验中学校考期中）综合与探究：如图，一次函数y1=k1x+b与反比例函数y2=k2x交于A，B两点，与两坐标轴分别交于C，D两点，其中(1)求y1(2)反比例函数L是否存在一点P，使得3S△POD=(3)在y轴上是否存在一点M，使得△MDC与△ODB相似？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【考试题型8】在网格中画与已知三角形相似的三角形1．（2023上·上海长宁·九年级上海市娄山中学校考期中）在每个小正方形的边长都为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都是格点的三角形称为格点三角形．如图，已知△ABC是4×6的网格图形中的格点三角形，则该图中所有与△ABC相似的格点三角形中，最大的三角形面积是．

2．（2023上·江苏无锡·九年级校考阶段练习）如图，格点图形中每一个最小正方形的边长为1单位长度，△ABC的顶点都在格点上．

(1)画格点三角形△A'B'C'，(2)利用格点在边AB上求作M、N两点，使得CM、CN将3．（2023下·吉林长春·九年级校考开学考试）图①、图②为4×6的正方形网格，△ABC的顶点都在格点上，在图①、图②中各画一个与△ABC相似的三角形，所画三角形顶点都在格点上，且有一个顶点为点B：所画三角形与△ABC不全等，且彼此之间也不全等．

考点三相似三角形性质与判定综合【考试题型9】尺规作图与相似三角形综合运用1．（2023上·浙江·九年级专题练习）在△ABC中，∠ACB=90°，用直尺和圆规在AB上确定点D，使△ACD∽△CBD（

）A．B．C．D．2．（2023·江苏常州·常州市第二十四中学校考一模）在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=8，以点A为顶点作三角形（阴影部分），使这个三角形与△ABC相似，且相似比为1:2，根据下列选项图中标注的条件，不符合要求的作图是（

）A． B．C． D．3．（2023上·福建泉州·九年级统考期中）如图，在△ABC中，∠A=90°，BD是∠ABC的平分线，交AC于点D．

(1)在斜边BC上求作点E，使△BDE∽△BAD；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）(2)在（1）的条件下，若AB=6，BE=8，求DE的长．【考试题型10】三角板与相似三角形综合运用1．（2023上·山西晋中·九年级统考期中）如图，一副三角板（∠C=∠E=90°，∠B=30°，∠D=45°），AD=BC，顶点A重合，将△ADE绕其顶点A旋转，在旋转过程中（不添加辅助线），以下4种位置不存在相似三角形的是（

）A．

B．

C．

D．

2．（2023上·江苏苏州·九年级校考阶段练习）如图，边长为10的等边△ABC中，点D在边AC上，且AD=3，将含30°角的直角三角板∠F=30°绕直角顶点D旋转，DE、DF分别交边AB、BC于P、Q，连接PQ，当EF∥PQ时，DQ的长为（

）

A．6 B．39 C．213 D．3．（2023上·山东济南·九年级统考期中）【问题背景】△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，P为BC上的动点，小熙拿含45°角的透明三角板，使45°角的顶点落在点P，三角板可绕P【用数学的眼光观察】（1）如图1，当三角板的两边分别交AB、AC于点E、F时，以下结论正确的是：_______；①△BPE≌△CFP；②△BPE∽△CFP；③∠BEP=∠CPF；【用数学的思维思考】（2）将三角板绕点P旋转到图2情形时，三角板的两边分别交BA的延长线、边AC于点E、F．△BPE与△CFP相似吗？请说明理由；【用数学的语言表达】（3）在（2）的条件下，动点P运动到什么位置时，△BPE∽△PFE？说明理由．

4．（2023上·山西临汾·九年级校考期中）综合与探究问题解决如图1，Rt△ABC中，∠ACB=90°,∠A=30°，过点C作CD⊥AB于点D，小明把一个三角板的直角顶点放置在点D处，两条直角边分别交线段AC于点E，交线段BC于点F，在三角板绕着点D旋转的过程中，若点E是AC的中点，则点F也是BC“阳光”小组的解答是：若点E是AC的中点，则点F也是BC的中点．理由如下：∵CD⊥AB于点D，∠ADC=90°．∵点E是AC的中点，∴ED=CE=EA．∵∠A=30°，∴∠ACD=60°．∴△CDE是等边三角形．∴∠CDE=60°，∴∠CDF=∠DCF=90°-60°=30°．∴FC=FD．又∵∠B=∠FDB=90°-30°=60°，FB=FD．∴FC=BF．即若点E是AC的中点，则点F也是BC的中点．反思交流（1）“群星”小组认为在这个题中，可以去掉条件“∠A=30°”，其他条件不变（如图2），若点E是AC的中点，则点F也是BC的中点．请你根据条件证明这个结论；拓广探索（2）去掉条件“∠A=30°”，其他条件不变旋转过程中，若DE⊥AC（如图3），那么等式AEC（3）去掉条件“∠A=30°”，其他条件不变．若点E是AC上任意一点（如图4），（2）中的结论还成立吗？请说明理由．5．（2022上·安徽·九年级校联考期中）已知：∠ACB=90°，CD是∠ACB的平分线，点P在CD上，CP=2.将三角板的直角顶点放置在点P处，绕着点P旋转，三角板的一条直角边与射线CB交于点E，另一条直角边与直线CA，直线CB分别交于点F，点G(1)如图1，当点F在射线CA上时，①求证：PF=PE；②设CF=a0<a<1，试求CG的值（用含a(2)如图2，点F在AC延长线上，连接EF，当△CEF与△EGP相似时，求EG的长.【考试题型11】裁剪与相似三角形综合运用1．（2023下·吉林长春·九年级统考开学考试）如图，在△ABC中，∠A=68°,AB=8,AC=4，将△ABC沿图中的线剪开，下列四种剪开的方法中，剪下的阴影三角形与原三角形相似的是（

）A．①② B．③④ C．①③ D．①③④2．（2023·河北邯郸·统考一模）如图，将△ABC沿着DE剪成一个小三角形ADE和一个四边形D'E'CB，若DE∥BC四边形DA． B． C． D．3．（2022上·江西吉安·九年级校考阶段练习）数学实践活动，是一种非常有效的学习方式．通过活动可以激发我们的学习兴趣，提高动手动脑能力，拓展思推空间，丰富数学体验．让我们一起动手来折一折、转一转、剪一剪，体会活动带给我们的乐趣．折一折：将正方形纸片ABCD折叠，使边AB，AD都落在对角线AC上，展开得折痕AM，AN，连接1．

转一转：将图1中的∠MAN绕点A旋转，使它的两边分别交边BC，CD于点E，F，连接EF，如图剪一剪：将图3中的正方形纸片沿对角线BD剪开，如图4．(1)∠MAN=______°，写出图中两个等腰三角形：______（不需要添加字母）；(2)线段BE，EF，(3)连接正方形对角线BD，若图2中的∠EAF的边AE，AF分别交对角线BD于点G、点H．如图3，求【考试题型12】平移与相似三角形综合运用1．（2022下·河北邯郸·七年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD各顶点的坐标分别为A0,3，B-1,0，C4,0，D5,3，现将四边形ABCD经过平移后得到四边形A'B'

(1)请直接写点A'，C'，(2)求四边形ABCD与四边形A'(3)在y轴上是否存在点P，连接PB，PC，使S△PBC=S4．（2021上·湖北省直辖县级单位·九年级校考阶段练习）如图①，△ABC与△DEF是将△ACF沿过A点的某条直线剪开得到的（AB，DE是同一条剪切线）．平移△DEF使顶点E与AC的中点重合，再绕点E旋转△DEF，使ED，EF分别与AB，BC交于M，N两点．(1)如图②，△ABC中，若AB＝BC，且∠ABC＝90°，则线段EM与EN有何数量关系？请直接写出结论；(2)如图③，△ABC中，若AB＝BC，那么（1）中的结论是否还成立？若成立，请给出证明：若不成立，请说明理由；(3)如图④，△ABC中，若AB：BC＝m：n，探索线段EM与EN的数量关系，并证明你的结论．【考试题型13】折叠与相似三角形综合运用1．（2023上·江苏无锡·九年级校考阶段练习）△ABC中，AB=6，AC=4，BC=5．

(1)如图1，若AD是∠BAC的平分线，DE∥AB，求CE的长与(2)如图2，将边AC折叠，使得AC在AB边上，折痕为AM，再将边MB折叠，使得MB'与MC'重合，折痕为2．（2023上·陕西西安·九年级西安市第三中学校考期中）数学活动课上，老师让同学们根据下面情境提出问题并解答．问题情境：在▱ABCD中，点P是边AD上一点，将△PDC沿直线PC折叠，点D的对应点为E．数学思考：(1)“兴趣小组”提出的问题是：如图1，若点P与点A重合，过点E作EF∥AD，与PC交于点F，连接DF，则四边形AEFD是拓展探究：(2)“智慧小组”提出的问题是：如图2，当点P为AD的中点时，延长CE交AB于点F，连接PF．试判断PF与PC的位置关系，并说明理由；问题解决：(3)“创新小组”在前两个小组的启发下，提出的问题是：如图3，当点E恰好落在AB边上时，AP=6，PD=8，DC=20，求AE的长．

3．（2023上·浙江杭州·九年级杭州外国语学校校考阶段练习）综合与实践

(1)【操作发现】如图1，诸葛小组将正方形纸片ABCD沿过点A的直线折叠，使点B落在正方形内部的点M处，折痕为AE，再将纸片沿过点A的直线折叠，使AD与AM重合，折痕为AF，请写出图中的一个45°角：______．(2)【拓展探究】如图2，孔明小组继续将正方形纸片沿EF继续折叠，点C的对应点恰好落在折痕AE上的点N处，连接NF交AM于点P．①∠AEF=______度；②若AB=3，求线段PM(3)【迁移应用】如图3，在矩形ABCD，点E，F分别在边BC、CD上，将矩形ABCD沿AE，AF折叠，点B落在点M处，点D落在点G处，点A，M，G恰好在同一直线上，若点F为CD的三等分点，AB=3，AD=5，请直接写出线段1．（2023上·河南南阳·九年级统考期中）如图1，在Rt△ABC中，∠ABC=90，AB=6，BC=4，D是AB上一点，过点D作DE∥BC交AC于E，将△ADE绕A点顺时针旋转到图2的位置．求图22．（2023上·辽宁沈阳·九年级校考阶段练习）（1）如图1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，点D是边AC上一点，过点D作DE⊥AB，垂足为点E①若AD=5，求线段DE的长度．②若点D是边AC上任意一点，请判断DEAD（2）如图2，四边形ABCF中，AB=3+3，BC=6，∠ABC=45°，∠FAB=60°，AF=22，点D（3）如图3，在（1）的条件下，AD=5，将△ADE绕点A逆时针旋转，得到△AMN，当点AN⊥AC时，请直接写出线段MC的长．【考试题型14】利用相似三角形性质与判定求线段比值1．（2023上·河南南阳·九年级统考期中）如图1，在Rt△ABC中，∠ABC=90，AB=6，BC=4，D是AB上一点，过点D作DE∥BC交AC于E，将△ADE绕A点顺时针旋转到图2的位置．求图22．（2023上·辽宁沈阳·九年级校考阶段练习）（1）如图1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，点D是边AC上一点，过点D作DE⊥AB，垂足为点E①若AD=5，求线段DE的长度．②若点D是边AC上任意一点，请判断DEAD（2）如图2，四边形ABCF中，AB=3+3，BC=6，∠ABC=45°，∠FAB=60°，AF=22，点D（3）如图3，在（1）的条件下，AD=5，将△ADE绕点A逆时针旋转，得到△AMN，当点AN⊥AC时，请直接写出线段MC的长．3．（2023·湖北襄阳·统考中考真题）【问题背景】人教版八年级下册数学教材第63页“实验与探究”问题1如下：如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O又是正方形A1B1C1D1O九年级数学兴趣小组对上面的问题又进行了拓展探究、内容如下：正方形ABCD的对角线相交于点O，点P落在线段OC上，PAPC=k（

【特例证明】（1）如图1，将Rt△PEF的直角顶点P与点O重合，两直角边分别与边AB，BC相交于点M，N①填空：k=______；②求证：PM=PN．（提示：借鉴解决【问题背景】的思路和方法，可直接证明△PAM≅△PBN；也可过点P分别作AB，BC的垂线构造全等三角形证明．请选择其中一种方法解答问题②．）【类比探究】（2）如图2，将图1中的△PEF沿OC方向平移，判断PM与PN的数量关系（用含k的式子表示），并说明理由．【拓展运用】（3）如图3，点N在边BC上，∠BPN=45°，延长NP交边CD于点E，若EN=kPN，求k的值．4．（2023上·山东青岛·九年级统考期中）某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究，提出下列问题，请你给出证明：(1)【图形认知】如图①，在正方形ABCD中，AF⊥DE，AF交DE于点G，则AFDE=(2)【探究证明】如图②，在矩形ABCD中，EF⊥GH，EF分别交AD、BC于点E、F，GH分别交AB、DC于点G、H，求证：EFGH(3)【结论应用】如图③，将矩形ABCD沿EF折叠，使得点B和点D重合，若AB=2，BC=3，则折痕EF的长；(4)【拓展运用】如图④，四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=AD=8，BC=CD=4，AM⊥DN，点M、N分别在边BC、AB上，则DNAM的值为【考试题型15】利用相似三角形性质与判定求最值1．（2023上·安徽亳州·九年级统考阶段练习）如图，正方形ABCD边长为10，△CEF是直角三角形，∠CEF=90°，点E是AD边的动点，点F在AB边上，当点E在线段AD上移动时（点E不与A、D重合），设AE=x，△BCF的面积为y．

(1)当点E在线段AD上移动时，△CDE与△EAF的关系会不会发生变化？请简要说明理由；(2)用含有x的代数式表示y；(3)当点E运动到什么位置时，△BCF的面积有最值？最值是多少？2．（2022上·四川攀枝花·九年级统考期中）阅读理解题，阅读材料，解决问题：配方法是一种重要的数学方法，我们已经学习了用配方法解一元二次方程，并在此基础上得出了一元二次方程的求根公式．其实配方法还有很多重要的应用，例如我们可以用配方法求函数的最值以及取得最值的条件，见下面的例子：例：求函数y=-x解：y=-∵x+322≥0，∴-x+∴y的最大值为174，此时x+32仿照上面的方法，请你解决下面的问题：(1)已知函数y=-2x2-8x+1，当x=______(2)如图，在△ABC中，BC=20，高AD=16，内接矩形EFGH的顶点E、F在BC上，G、H分别在AC、AB上，设HG=x，矩形EFGH的面积为y，求：①y关于x的函数关系式；②矩形EFGH的面积的最大值．【考试题型16】利用相似三角形性质与判定解决动点问题1．（2023下·九年级课时练习）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OA、OC分别在x轴和y轴上，OA=8cm,OC=6cm，现有两动点P、Q分别从点O、C同时出发，P在线段OA上沿OA方向以4cm/s的速度匀速运动，Q在线段2．（2023上·河南郑州·九年级校考期中）如图，Rt△ABC的两条直角边AB=4cm，AC=3cm，点D沿AB从A向B运动，速度是1cm/秒，同时，点E沿BC从B向C运动，速度为2cm/秒．动点E到达点C时运动终止．连接(1)当动点运动时间t=秒时，△BDE与△ABC(2)在运动过程中，当CD⊥DE时，t为何值？请说明理由．3．（2020·四川绵阳·统考二模）△ABC中，BC=12，高AD=8，矩形EFGH的一边GH在BC上，顶点E、F分别在AB、AC上，AD与EF交于点M．(1)求证：AMAD(2)矩形EFGH可以为正方形吗?若能，请求出正方形的面积，若不能，请说明理由；(3)设EF=x，EH=y，设矩形EFGH的面积为S，求S与x之间的函数表达式，并求出S的最值．【考试题型17】利用相似三角形性质与判定解决存在性问题1．（2023上·海南儋州·九年级儋州市第一中学校联考期中）如图1，在等腰三角形ABC中，AB=AC=10，BC=12，有两动点P、Q分别在边AB、BC上运动，点P的速度为每秒1个单位长度，点Q的速度为每秒2个单位长度，它们分别从点A和点B同时出发，点P沿线段AB按A→B方向向终点B运动，点Q沿线段BC按B→C方向向终点C运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为(1)如图1，当t为何值时，PQ∥AC；(2)当t为何值时，以点P、B、Q为顶点的三角形与△ABC相似；(3)点P、Q在运动过程中，是否存在这样的t，使得△PCQ的面积等于4？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．2．（2022上·广东深圳·九年级校考期中）如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm．点P沿BA边从点B开始向点A以1cm/s的速度移动；点Q沿AD边从点交于点O．如果P、Q同时出发，用t(s)表示移动的时间(0≤t≤3).那么：(1)求证：△ABQ∽△BCP；(2)证明：在运动过程中，不论t取何值，总有CP⊥BQ；(3)连接CQ，PQ在运动过程中，是否存在某一时刻，使得SΔ【提升练习】1．（2023下·江西上饶·九年级统考阶段练习）已知△ABC∽△A1B1C1，若S△ABCA．1 B．4 C．8 D．162．（2023上·广东广州·九年级广州市天河区汇景实验学校校考期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，点E在AB边上由点A向点B运动（不与点A，点B重合），过点E作EF垂直AB交直角边于F．设AE=x，△AEF面积为y，则y关于x的函数图象大致是（）A． B．C． D．3．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考三模）如图，在△ABC中，∠ABC=∠C=∠BDC=∠AED=72∘

A．2对 B．3对 C．4对 D．5对4．（2023·上海·九年级假期作业）根据下列条件，能判定△ABC和△DEF相似的个数是（）（1）∠ABC=35°，∠ACB=75°，∠EDF=80°，∠DEF=35°；（2）AB=3，BC=2，∠ABC=30°，DE=6，EF=4，∠EDF=30°；（3）AB=2，BC=3，AC=4，DE=12，EF=1（4）AB=6，CB=2，AC=2，DE=3，EF=1A．1个 B．2个 C．3个 D．4个5．（2023下·福建福州·九年级统考期中）如图，△A'B'C'由△ABC沿射线AB方向平移得到，A'C'与BC交于点G，已知△ABC的边BC=4A．4 B．6 C．8 D．106．（2023·山东日照·日照市田家炳实验中学校考一模）如图，在正方形ABCD中，AB=6，AE=13AB，点F在AD上运动（不与A，D重合）过点F作FG⊥EF交CD于点GA．4.5 B．4 C．3.5 D．37．（2023·辽宁辽阳·辽阳市第一中学校联考一模）如图，菱