热学6,4-6 能量均分定理 理想气体内能

第六章气体动理论

第二篇热学6-4能量均分定理理想气体内能6-5麦克斯韦气体速率分布律气体分子热运动的速率分布规律6-6分子平均碰撞次数和平均自由程

复习气体动理论的基本观点理想气体的微观模型理想气体压强公式理想气体的温度6－4能量均分定理理想气体内能一、自由度定义：确定一个物体的空间位置所需要的独立坐标数目——自由度。质点的自由度直线运动x

一个自由度i=1平面运动x,y

两个自由度i=2空间运动x,y,z

三个自由度i=3自由刚体i=63个平动3个转动一个坐标q决定刚体转过的角度两个独立的a，b决定转轴空间位置三个独立的坐标x,y,z决定转轴上一点xyzOA(x,y,z)xyzabq刚性杆：x,y,z,α,βi=5刚体定轴转动：θi=1

分子的自由度单原子i=3自由质点双原子i=5刚性杆多原子i=6自由刚体说明：一般来说，n≥3个原子组成的分子，共有3n个自由度，其中3个平动自由度，3个转动自由度，(3n-6)个振动自由度。当气体处于低温状态时，可把分子视为刚体。A(x,y,z)xyzabq一、自由度

一个分子的平均平动能为二、能量均分定理：结论：分子的每一个平动自由度上具有相同的平均平动动能，都是kT/2，或者说分子的平均平动动能3kT/2是均匀地分配在分子的每一个自由度上平方项的平均值平动自由度能量按自由度均分定理：说明：是统计规律，只适用于大量分子组成的系统。气体分子无规则碰撞的结果。统计物理可给出严格证明。推广：在温度为T的平衡态下，分子的每一个转动自由度上也具有相同的平均动能，大小也为kT/2。在温度为T的平衡态下，气体分子每个自由度的平均动能都相等，都等于kT/2。这就是能量按自由度均分定理，简称能量均分定理。单原子分子i=3εk=3kT/2

双原子分子i=5εk=5kT/2多原子分子i=6εk=6kT/2热力学系统的内能

气体分子各种形态的动能与势能的总和。即系统所包含的全部分子的能量总和称为系统的内能。三、理想气体的内能1、理想气体的内能：理想气体内能公式理想气体内能是分子平动动能与转动动能之和

分子的自由度为i，则一个分子能量为ikT/2，1摩尔理想气体，有个NA分子，内能m/M摩尔理想气体，内能说明：理想气体的内能与温度和分子的自由度有关。内能仅是温度的函数，即E=E(T)，与P，V无关。状态从T1→T2,不论经过什么过程，内能变化为三、理想气体的内能【例题6-5】当温度为00C时，求：（1）氧分子的平均平动动能与平均转动动能；（2）4.0g氧气的内能。解：（1）氧气分子是双原子分子，平动自由度为3，转动自由度为2，因而平均平动动能为

平均转动动能为（2）4.0g氧气的内能为1.理想气体的压强公式可理解为（

）是一个力学规律是一个统计规律仅是计算压强的公式仅由实验得出ABCD提交单选题1分2.一个容器内贮有1mol氢气和1mol氦气，若两种气体各自对器壁产生的压强分别为p1和p2，则两者的大小关系是：（

）p1>p2

p1<p2

p1＝p2不确定的ABCD提交单选题1分3.压强为p、体积为V的氢气（视为理想气体）的内能为（

）ABCD提交单选题1分6－5麦克斯韦气体速率分布律引言：气体分子处于无规则的热运动之中，由于碰撞，每个分子的速度都在不断地改变，所以在某一时刻，对某个分子来说，其速度的大小和方向完全是偶然的。然而就大量分子整体而言，在一定条件下，分子的速率分布遵守一定的统计规律——气体速率分布律。

气体分子按速率分布的统计规律最早是有麦克斯韦于1859年在概率论的基础上导出的，1877年玻耳兹曼由经典统计力学中导出，1920年斯特恩从实验中证实了麦克斯韦分子按速率分布的统计规律。麦克斯韦（JamesClerkMaxwell1831——1879)19世纪伟大的英国物理学家、数学家。经典电磁理论的奠基人，气体动理论的创始人之一。他提出了有旋电场和位移电流概念，建立了经典电磁理论，预言了以光速传播的电磁波的存在。1873年，他的《电磁学通论》问世，这是一本划时代巨著，它与牛顿时代的《自然哲学的数学原理》并驾齐驱，它是人类探索电磁规律的一个里程碑。在气体动理论方面，他还提出气体分子按速率分布的统计规律。显示屏狭缝恒温箱一、测定气体分子速率的实验

当圆盘以角速度

转动时，只有满足下列关系式的分子才能通过C的狭缝射到屏P上。

而其他速率的分子则将沉积在槽壁上，小孔充分小，改变角速度

，用光度学方法测量各次在胶片上所沉积的金属层厚度，可得到分子射线在速率

区间

内的分子数，即气体分子按速率的分布。显示屏狭缝恒温箱Ov粒子速率分布实验曲线粒子速率分布实验曲线如下所示：相对粒子数实验结果1.分子数在总分子数中所占的比率与速率和速率间隔的大小有关；2.速率特别大和特别小的分子数的比率非常小；3.在某一速率附近的分子数的比率最大；4.改变气体的种类或气体的温度时，上述分布情况有所差别，但都具有上述特点。Ov相对粒子数二、麦克斯韦气体分子速率分布律速率分布函数的定义：一定量的气体分子总数为N，dN表示速率分布在某区间

v~v+dv内的分子数，

dN/N表示分布在此区间内的分子数占总分子数的比率。实验规律：dN/N

是

v

的函数；当速率区间足够小时（宏观小，微观大），dN/N还应与区间大小成正比。1、速率分布函数速率分布函数物理意义：速率在

v附近，单位速率区间的分子数占总分子数的概率，或概率密度。表示速率分布在v→v+dv内的分子数占总分子数的概率表示速率分布在v1→v2内的分子数占总分子数的概率速率分布曲线归一化条件2、麦克斯韦速率分布律在平衡态下，当气体分子间的相互作用可以忽略时，分布在任一速率区间

v~v+dv的分子数占总分子数的比率为麦克斯韦速率分布函数m——分子的质量T——热力学温度k——玻耳兹曼常量vPvv+dvv面积=dN/Nf(v)f(vP)曲线下面宽度为dv的小窄条面积等于分布在此速率区间内的分子数占总分子数的概率dN/N。定义：与f(v)极大值相对应的速率，称为最概然速率。物理意义：若把整个速率范围划分为许多相等的小区间，则分布在vP所在区间的分子数比率最大。

vP的值：

三、三种统计速率1、最可几速率2、平均速率定义：大量气体分子速率的算术平均值叫做平均速率。计算：3、方均根速率定义：大量气体分子速率的平方平均值的平方根叫做方均根速率。计算：4、讨论vp

随

T升高而增大，随m增大而减小。三种速率的大小顺序为三种速率的意义讨论速率分布时——用最概然速率讨论分子碰撞时——用平均速率讨论分子平均平动动能时——用方均根速率都含有统计的平均意义，反映大量分子作热运动的统计规律。m2m1T1T2【例题6-6】说明下列各量的物理意义：——分布在速率v

附近v~v+dv速率区间内的分子数。——单位体积内分子速率分布在速率v

附近v~v+dv速率区间内的分子数。解：——分布在速率v

附近v~v+dv

速率区间内的分子数占总分子数的比率。——分布在有限速率区间v1~v2内的分子数占总分子数的比率。——分布在有限速率区间v1~v2内的分子数。——分布在0～∞速率区间内的分子数占总分子数的比率。（归一化条件）——v2的平均值。6-5设N个粒子的系统的速率分布函数为：（1）画出分布函数图（2）用N和v0定出常量k（3）用v0表示出平均速率和方均根速率。1.关于麦克斯韦速率分布函数f(v)的适用条件,下列说法中正确的说法是[]f(v)适用于各种气体f(v)只适用于理想气体的各种状态只要是理想气体，f(v)就一定适用f(v)适用于理想气体系统的平衡态ABCD提交单选题1分2.图示两条曲线分别表示在相同温度下氧气和氢气分子的速率分布曲线；令和分别表示氧气和氢气的最概然速率，则（

）a表示氧气分子的速率分布曲线,a表示氧气分子的速率分布曲线,b表示氧气分子的速率分布曲线,b表示氧气分子的速率分布曲线,ABCD提交

单选题1分3.一定量的理想气体贮于某一容器中，温度为T，气体分子的质量为m0．根据理想气体的分子模型和统计假设，分子速度在x方向的分量平方的平均值（

）ABCD提交单选题1分6-6

分子平均碰撞次数和平均自由程分子碰撞的引入：分子热运动速率很大，平均速率可达几百米/秒，而扩散运动却进行得很慢。克劳修斯为了说明这个问题，提出了分子碰撞次数与自由程的概念。分子碰撞的概念不仅解决了上述问题，气体动理论在更加坚实的基础上向前推动了一步。研究碰撞的意义：分子间通过碰撞，实现动量与动能的交换；分子间通过碰撞交换能量达到能量按自由度均分；分子间通过碰撞，由非平衡状态向平衡状态过渡；分子间通过碰撞交换速度，使速度分布达到稳定。一、平均自由程和平均碰撞次数的定义2、平均碰撞频率

在单位时间内一个分子与其它分子碰撞的平均次数，叫做分子的平均碰撞次数或平均碰撞频率。3、二者关系1、平均自由程分子两次相邻碰撞之间自由通过的路程，叫做自由程；分子在连续两次碰撞之间所经过的路程的平均值叫做平均自由程。假设只有一个分子以平均速度运动，其余分子看成不动。分子A的运动轨迹为一折线，以A的中心运动轨迹为轴线，以分子有效直径d为半径，作一曲折圆柱体。凡中心在此圆柱体内的分子都会与A相碰。二、平均自由程和平均碰撞次数的计算1、分子碰撞模型

（1）分子可看作具有一定体积的刚球；（2）分子间的碰撞是弹性碰撞；（3）两个分子质心间最小距离的平均值认为是刚球的直径，称为分子的有效直径，用d表示。2、平均碰撞次数A在t内，A所走过的路程为，相应圆柱体的体积为，设气体分子数密度为n。则中心在此圆柱体内的分子总数，亦即在t时间内与A相碰的分子数为圆柱体的截面积为

=d2

，叫做分子的碰撞截面。平均碰撞次数修正：对于实际气体，各个分子都在运动，且运动速率服从麦克斯韦分布率，对上式加以修正后，得A3、平均自由程在标准状态下，多数气体平均自由程

~10-8m，只有氢气约为10-7m。一般d~10-10m，故

d。可求得平均碰撞次数~109/秒。平均自由程与平均速率无关，与分子有效直径及分子数密度有关。P1.013×1051.33×1021.331.33×10-21.33×10-4

6×10-85×10-55×10-30.550

练习：容器内盛有氮气，压强为10atm、温度为27ºC，氮分子的摩尔质量为28g/mol,氮气分子直径为3

10-10m。①.分子数密度；