第四章 刚体的定轴转动

刚体的定轴转动

第四章1第三节刚体定轴转动的角动量第一节刚体运动的描述

第二节刚体定轴转动的转动定律目录第四节刚体定轴转动的动能定理和机械能守恒定律第一节

刚体运动的描述

一、刚体二、刚体运动的分类三、定轴转动的运动学规律一.刚体

刚体是一种特殊的质点系统，无论它在多大外力作用下，系统内任意两质点间的距离始终保持不变。特点(1)是一个质点组(2)组内任意两点间的距离保持不变研究方法把刚体分成无数个质元

质点系

质点

刚体二.刚体运动的分类1.刚体的平动

当刚体运动时，如果刚体内任何一条给定的直线，在运动中始终保持它的方向不变，这种运动叫平动。刚体最简单的运动形式特点取参考点O

O结论：刚体平动时,其上各点具有相同的速度、加速度及相同的轨迹平动时刚体内所有点都有相同的速度和加速度.质心的运动2.刚体的定轴转动

刚体上各点都绕同一固定转轴作不同半径的圆周运动，且在相同时间内转过相同的角度。OO’世界最大的摩天轮—“伦敦眼”

定轴转动的特点(1)刚体上各点都在垂直于固定轴的平面内(转动平面)做圆周运动.其圆心都在一条固定不动的直线(转轴)上.(2)刚体上转动半径上各质元的速度、加速度大小不相同；(3)刚体上各质元的角速度、角加速度大小方向相同；用角量描述定轴转动的独立变量只有一个xOp

称角位置或角坐标.规定逆时针转向

为正.三.定轴转动的运动学规律(1)角坐标

刚体定轴转动的运动学方程(2)角位移

为t时间内刚体所转过的角度.

=

(t)(3)角速度

角速度xOP(t)P(t+

t

)

+

角速度是矢量，方向规定为沿轴方向，指向用右手螺旋法则确定：右手四指沿刚体转动方向，伸直的大拇指的指向为角速度的方向。对于刚体定轴转动，角速度的方向只有两个，规定逆时针方向为正，角速度方向可用正负号表示。(4)角加速度

可正可负角加速度方向一致方向相反加速转动减速转动匀变速转动=常量与质点匀变速直线运动公式相对应.(5)刚体定轴转动运动方程匀速转动

=常量(6)角量与线量的关系线量——质点做圆周运动的位移r、速度v、加速度a

角量——描述刚体转动整体运动的注:r的原点必须在转轴上.弧长线速度切向加速度法向加速度r

sOxy如果α为恒量相应公式

两类基本问题已知运动方程求角速度和角加速度求导数已知角加速度求角速度和运动方程求积分【例题4-1】一转动的轮子由于摩擦力矩的作用，在5s内角速度由15rad/s

匀减速地降到10rad/s

。求：(1)角加速度；(2)在此5s内转过的角度；(3)还需要多少时间轮子停止转动。解：根据题意，角加速度为恒量。(3)【例题4-2】某发动机飞轮在时间间隔t内的角位移为求t时刻的角速度和角加速度。解：1.飞轮绕定轴作匀速转动时,飞轮边缘上任一点的[]切向加速度为零,法向加速度不为零切向加速度不为零,法向加速度为零切向加速度和法向加速度均为零切向加速度和法向加速度均不为零ABCD提交单选题1分第二节

刚体定轴转动的转动定律

一、刚体定轴转动的转动定律二、转动惯量三、应用举例一、刚体定轴转动的转动定律假设刚体由N个质元组成，对刚体中任一质元应用牛顿第二定律，可得上式切向分量式为：用乘以上式左右两端并求和

根据内力性质(每一对内力等值、反向、共线,对同一轴力矩之代数和为零)

当刚体绕固定轴转动时，刚体对该轴的转动惯量与角加速度的乘积等于外力对此轴的合力距。

——定轴转动定律J越大，就越小，说明越难改变其转动状态J越小，就越大，说明越易改变其转动状态二

转动惯量1.定义

刚体的转动惯量等于刚体上各质点的质量与该点到转轴距离平方的乘积之和。2.说明

标量；

有可加性；单位：kg·m2

3.转动惯量的计算若质量连续分布若质量离散分布y

rix

zyi

ximi

Δ线分布体分布面分布质量为线分布质量为面分布质量为体分布

其中、、分别为质量的线密度、面密度和体密度。线分布面分布体分布三

应用举例1.转动惯量的相关计算2.转动定律的应用【例题4-3】如图所示，一个质量为m、长为L的均匀细棒。求通过棒中心或端点并与棒垂直的轴的转动惯量。ABLXABL/2L/2CX解：设细棒的线密度为λ，如图所示若绕C轴转动，则绕A轴转动取一距离转轴为x处的质量元

dm=λdx

【例题4-4】如图所示，一个质量为m、半径为R的均匀圆盘。求通过圆盘中心并与圆盘垂直的轴的转动惯量。解：取半径为r宽为dr的薄圆环,Rdrr

从理论上讲，定义式适用于所有刚体，实际上，只有形状规则的刚体才能用该式来计算转动惯量，对于那些不规则形状的刚体，往往要通过实验方法进行测定。(1)平行轴定理ABCdxmi

i

i

i

对CA轴平行C轴（质心轴）对A由图故：——平行轴定理平行轴定理若有任一轴与过质心的轴平行，相距为d，刚体对其转动惯量为J，则有——平行轴定理说明：1)通过质心轴线的转动惯量最小2)可用来计算刚体的转动惯量ABLXABL/2L/2CXc

codJJcoJ＝JC＋md

2(2)垂直轴定理

yxz

圆盘R

Cm条件：厚度为无穷小的薄板?(3)组合定理

z

若刚体由有限部分组成，则刚体对Z轴的转动惯量为JZ，为各个部分对Z轴的转动惯量之和。z

杆

圆盘(4)影响刚体转动惯量的因素刚体的总质量刚体的质量分布转轴位置(5)转动惯量与质量

任何刚体都有质量，无论是作平动，还是作转动，刚体的质量都是固有属性，不会消失也不会变化（指低速而言）。但转动惯量只在转动时才有意义，对于平动是无转动惯量可言的。

一定形状的刚体其质量是恒定的，但其转动惯量却不是惟一的，它不仅取决于总质量，还取决于质量的分布和转轴的位置。对于不同的转轴来说，由于质量对转轴的分布情况不同，转动惯量值就不相同了。因此，必须建立起这样的概念：一提到转动惯量，马上应想到它是对哪个转轴而言的。【例题4-5】

两物体质量分别为、()，滑轮质量和半径分别为、,

可看成质量均匀的圆盘,轴上的摩擦力矩为（设绳轻且不伸长,与滑轮无相对滑动）。求:物体的加速度及绳中张力。m1m2mRf例题4-5图解：分别对、和分析运动、受力，设各量如图所示因绳不伸长因轻绳对m1有对m2有对滑轮m由转动方程再从运动学关系上有联立以上几式解得：讨论：当不计滑轮质量和摩擦力矩时:1.刚体的转动惯量只决定于[]刚体质量刚体质量的空间分布刚体质量对给定转轴的空间分布转轴的位置ABCD提交单选题1分2.关于刚体的转动惯量J,下列说法中正确的是[]轮子静止时其转动惯量为零若mA＞mB,则JA＞JB只要m不变,则J一定不变以上说法都不正确ABCD提交单选题1分3.下列各因素中,不影响刚体转动惯量的是[]外力矩刚体质量刚体质量的分布转轴的位置ABCD提交单选题1分4.关于刚体的转动惯量,以下说法中错误的是[]转动惯量是刚体转动惯性大小的量度转动惯量是刚体的固有属性,具有不变的量值转动惯量是标量,对于给定的转轴,刚体顺时针转动和逆时针转动时,其转动惯量的数值相同转动惯量是相对量,随转轴的选取不同而不同ABCD提交单选题1分5.两个质量分布均匀的圆盘A和B的密度分别为ρA和ρB,如果有ρA＞ρB,但两圆盘的总质量和厚度相同．设两圆盘对通过盘心垂直于盘面的轴的转动惯量分别为JA和JB,则有[]JA＞JB

JA＜JBJA＝JB

不能确定JA、JB哪个大ABCD提交单选题1分6.两个半径相同、质量相等的细圆环A和B，A环的质量均匀分布，B环的质量分布不均匀,它们对通过环心并与环面垂直的轴的转动惯量分别为JA和JB,则有[]JA＞JBJA＜JBJA＝JB

不能确定JA、JB哪个大ABCD提交单选题1分7.一个可绕定轴转动的刚体,若受到两个大小相等、方向相反但不在一条直线上的恒力作用,而且力所在的平面不与转轴平行,刚体将怎样运动?[]静止匀速转动匀加速转动变加速转动ABCD提交单选题1分8.绕定轴转动的刚体转动时,如果它的角速度很大,则[]作用在刚体上的力一定很大作用在刚体上的外力矩一定很大作用在刚体上的力和力矩都很大难以判断外力和力矩的大小ABCD提交单选题1分4-13作业题：4-104-14第三节

刚体定轴转动的角动量

一、刚体对轴的角动量二、刚体定轴转动的角动量定理三、刚体定轴转动的角动量守恒定律一、刚体对轴的角动量刚体上的一个质元,绕固定轴做圆周运动角动量为：刚体绕此轴的角动量为：刚体对固定转动轴的角动量L,等于它对该轴的转动惯量和角速度的乘积。mioo

Lrivi由转动定律得积分得

当转轴给定时，作用在刚体上的冲量矩等于刚体角动量的增量，这称为刚体定轴转动的角动量定理二、刚体定轴转动的角动量定理

若刚体所受的外力对轴的力矩和为零角动量守恒定律：当刚体所受的合外力矩为零，或者不受合外力矩的作用，则刚体的角动量保持不变。三、刚体定轴转动的角动量守恒定律转速与转动惯量成反比

1

2跳水运动员茹可夫斯基凳直升飞机花样滑冰运动员的旋转表演【例题4-6】长为L质量为m1的均匀细棒能绕其上端在竖直平面内转动，开始时，细棒静止于竖直位置。现有一质量为m2的子弹，以水平速度v0射入细棒下端而不复出，求子弹和棒开始一起运动时的角速度。v0m1Lv0m1解：由于子弹射入细杆到二者开始一起运动历时很短，可认为在该过程中杆的位置不变，即仍为竖直位置。因此，对于细杆和子弹系统，在子弹射入过程中，系统所受外力（重力和轴支持力）对轴的力矩都是零，故系统的角动量守恒。

由角动量守恒定律：利用关系式：

即得：L【练习】一水平均质圆形转台，质量为m0，半径为R，可绕铅直的中心轴转动，质量为m的人相对转台以不变的速度u，在转台上沿逆时针方向行走，且与轴的距离始终保持为r(r小于R)，，开始时，转台与人均静止。若不计轴的摩擦，试问转台将以多大的角速度绕轴转动？解：取人和转台为一个系统。转台所受的重力和底架对转台的支撑力均与轴平行，故它们对转轴的力矩为零，因此系统的角动量守恒。以地面为参照系设人对转台的角速度为转台对地的角速度为则人对地的角速度为由角动量守恒即式中为人对轴的转动惯量，J为转台对轴的转动惯量。负号表示与人的角速度方向相反。1.刚体角动量守恒的充分而必要的条件是[]刚体不受外力矩作用刚体所受的合外力和合外力矩均为零刚体所受合外力矩为零刚体的转动惯量和角速度均保持不变ABCD提交单选题1分2.几个力同时作用在一个具有固定转轴的刚体上．如果这几个力的矢量和为零,则刚体[]必然不会转动转速必然不变转速必然改变转速可能不变,也可能变ABCD提交单选题1分第四节

刚体定轴转动的动能定理和机械能守恒定律

一、力矩的功二、刚体定轴转动的动能定理三、刚体的重力势能四、刚体定轴转动的机械能守恒定律对有限角位移作用于刚体的外力的功，可用外力对转轴的力矩所做的功来计算.力矩的功率：刚体中P点在力的作用下位移则力元功OzP

一、力矩的功二、刚体定轴转动的动能定理

当刚体绕定轴转动时,其动能为所有质点作圆周运动动能的总和.任意质元的动能为：（1）定轴转动刚体的动能刚体的动能（2）定轴转动刚体的动能定理由于刚体是质点系，满足质点系的动能定理。即（1）一对内力所做元功的代数和等于一个力与两质点间相对距离的乘积（2）一对内力作功之和与参考系无关；内力功内力功=0

刚体是一种特殊的质点系统，无论它在多大外力作用下，系统内任意两质点间的距离始终保持不变()。

作用于刚体的外力对固定轴的力矩所做的功等于刚体绕定轴转动动能的改变量.三、刚体的重力势能

刚体的重力势能与质量集中在质心上的一个质点的重力势能相同.刚体的重力势能

四、定轴转动的机械能守恒定律条件：刚体所受力中只有保守力做功动能+势能=常数

若势能是重力势能【例题4-7】均质杆的质量为m，长为l,一端为光滑的支点.最初处于水平位置，释放后杆向下摆动，如图所示.求杆在图示的竖直位置时，其下端点的线速度v。OCEp=0解:由机械能守恒得联立得思考：杆末端固结一个质量也为m的小球，重解上题，结果多大？例题4-9图解：把子弹和杆看作一个系统。系统所受的力有重力和轴对杆的约束力。在子弹射入杆的极短时间内，重力和约束力均通过轴，因而它们对轴的力矩均为零，系统的角动量守恒，于是有【例题4-8】如图所示，一长为l、质量为的杆可绕支点O自由转动。一质量为m、速度为v的子弹射入距支点为a的杆内。若杆的偏转角为300，问子弹的初速为多少子弹射入杆内，在摆动过程中只有重力作功，故以子弹、杆和地球为系统，系统的机械能守恒。于是有解上述方程，得【例题4-9】如图所示，一个质量为，半径为R的定滑轮上面绕有细绳。绳的一端固定在滑轮边上，另一端挂一质量为m的物体而下垂。忽略轴处摩擦，求物体m由静止下落h高度时的速度和此刻滑轮的角速度。例题4-10图解：选取滑轮、物体和地球为研究系统，在质量为m的物体下降的过程中，滑轮轴对滑轮的作用力（外力）的功为零（无位移）。因此，系统只有重力（保守力）做功，所以机械能守恒。例题4-10图滑轮的重力势能不变，可以不考虑；取物体的初始位置为零势能点，则系统的初态的机械能为零，末态的机械能为：由机械能守恒，得将关系式代入上式，可得：故滑轮的角速度为1.两个质量相同、飞行速度相同的球A和B,其中A球无转动,B球转动,假设要把它们接住，所做的功分别为A1和A2,则[]A1＞A2A1＜A2A1=A2无法判定ABCD提交单选题1分2.银河系中一均匀球体天体,其半径为R,绕其对称轴自转的周期为T．由于引力凝聚作用,其体积在不断收缩.则一万年以后应有[]自转周期变小,动能也变小自转周期变小,动能增大自转周期变大,动能增大自转周期变大,动能减小ABCD提交单选题1分3.一人手拿两个哑铃,两臂平伸并绕右足尖旋转,转动惯量为J,角速度为

．若此人突然将两臂收回,转动惯量变为J/3．如忽略摩擦力,则此人收臂后的动能与收臂前的动能之比为[]1：91：39：13：1ABCD提交单选题1分4.有两个力作用在一个有固定转轴的刚体上，在下述说法中正确的是[]：这两个力都平行于轴作用时，它们对轴的合力矩一定是零这两个力都垂直于轴作用时，它们对轴的合力矩可能是零当这两个力的合力为零时，它们对轴的合力矩也一定是零当这两个力对轴的合力矩为零时，它们的合力也一定是零ABCD提交多选题1分5.如图所示，一圆盘正绕垂直于盘面的水平光滑固定轴O转动，如图射来两个质量相同、速度大小相同，方向相反并在一条直线上的子弹，子弹射入圆盘并且留在盘内，则子弹射入后的瞬间，圆盘的角速度[]增大不变减小不能确定ABCD提交单选题1分6.一位溜冰者伸开双臂来以1.0r/s绕身体中心轴转动，此时的转动惯量为1.33kg.m2,她收起双臂来增加转速，如收起双臂后的转动惯量变为0.48kg.m2

,她收起双臂后的转速[填空1]

r/s（保留2位小数）；她收起双臂前后绕身体中心轴的转动动能为[填空2]J

和[填空3]J（保留1位小数）。作答填空题6分7.质量为0.50kg，长为0.40m的均匀细棒，可绕垂直于棒的一端的水平轴转动.如将此棒放在水平位置，然后任其落下，求：(1)当棒转过60°时的角加速度[填空1]rad/s2和角速度[填空2]rad/s；(2)下落到竖直位置时的动能[填空3]J；(3)下落到竖直位置时的角速度[填空4]rad/s

（本题答案保留2位小数）。作答填空题8分作业题：4-124-17习题4-14质量为2.97kg，长为1.0m的匀质等截面细杆可绕水平光滑的轴线o转动，最初杆静止于铅直方向。一弹片质量为10g，以水平速度200m/s射出并嵌入杆的下端，和杆一起运动，求杆的最大摆角θ.题4-13图总结一、刚体

刚体是一种特殊的质点系统，无论它在多大外力作用下，系统内任意两质点间的距离始终保持不变。二、刚体的运动形式1.刚体的平动当刚体运动时，如果刚体内任何一条给定的直线，在运动中始终保持它的方向不变，这种运动叫平动。特点：刚体平动时,其上各点具有相同的速度、加速度及相同的轨迹2.刚体的定轴转动

刚体上各点都绕同一固定转轴作不同半径的圆周运动，且在相同时间内转过相同的角度。定轴转动的特点(1)刚体上各点都在垂直于固定轴的平