专项突破10　线段、角的计算的四种常见类型

第六章ꢀ几何图形初步专项突破10ꢀ线段、角的计算的四种常见类型类型1线段、角的和差关系在计算中的应用1.【情境题·方案策略型】如图，某公司员工住在A，B，C三个住宅区，A区有30人，B区有15人，C区有10人.三个住宅区在同一条直线上，为接送员工方便，公司打算在三个住宅区的某区设一个班车停靠站，为使所有员工步行到停靠站的路程之和最小，那么停靠站的位置应设在哪个区？HYPERLINK\l"br2"1HYPERLINK\l"br5"2HYPERLINK\l"br7"3HYPERLINK\l"br10"4HYPERLINK\l"br12"5HYPERLINK\l"br15"6HYPERLINK\l"br17"7HYPERLINK\l"br18"8解：当停靠站设在A区时，所有员工步行到停靠站的路程之和为30×0＋15×100＋10×(100＋200)＝4500(m).当停靠站设在B区时，所有员工步行到停靠站的路程之和为30×100＋15×0＋10×200＝5000(m).HYPERLINK\l"br2"1HYPERLINK\l"br5"2HYPERLINK\l"br7"3HYPERLINK\l"br10"4HYPERLINK\l"br12"5HYPERLINK\l"br15"6HYPERLINK\l"br17"7HYPERLINK\l"br18"8当停靠站设在C区时，所有员工步行到停靠站的路程之和为30×(100＋200)＋15×200＋10×0＝12000(m).因为4500＜5000＜12000，所以停靠站的位置应设在A区.HYPERLINK\l"br2"1HYPERLINK\l"br5"2HYPERLINK\l"br7"3HYPERLINK\l"br10"4HYPERLINK\l"br12"5HYPERLINK\l"br15"6HYPERLINK\l"br17"7HYPERLINK\l"br18"82.[2024淮北第二中学月考]如图，已知∠BOC＝3∠AOB，OD平分∠AOC，且∠BOC＝120°，求∠BOD的度数.HYPERLINK\l"br2"1HYPERLINK\l"br5"2HYPERLINK\l"br7"3HYPERLINK\l"br10"4HYPERLINK\l"br12"5HYPERLINK\l"br15"6HYPERLINK\l"br17"7HYPERLINK\l"br18"8解：因为∠BOC＝3∠AOB，∠BOC＝120°，所以∠AOB＝ꢀ×120°＝40°.ꢁ所以∠AOC＝∠AOB＋∠BOC＝120°＋40°＝160°.因为OD平分∠AOC，ꢀꢀ所以∠AOD＝×∠AOC＝×160°＝80°.ꢂꢂ因为∠BOD＝∠AOD－∠AOB，所以∠BOD＝80°－40°＝40°.HYPERLINK\l"br2"1HYPERLINK\l"br5"2HYPERLINK\l"br7"3HYPERLINK\l"br10"4HYPERLINK\l"br12"5HYPERLINK\l"br15"6HYPERLINK\l"br17"7HYPERLINK\l"br18"8类型2线段、角的倍分关系在计算中的应用3.【新考法·分类讨论法】如图所示，数轴上有两点A，B，动点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为t秒.(1)线段AB的长为8；HYPERLINK\l"br2"1HYPERLINK\l"br5"2HYPERLINK\l"br7"3HYPERLINK\l"br10"4HYPERLINK\l"br12"5HYPERLINK\l"br15"6HYPERLINK\l"br17"7HYPERLINK\l"br18"8(2)当t＝1时，线段的长是4；此时线段与线段PB的数量关系是；相等ꢀ(3)当＝2PB时，求t的值.解：(3)如图①，当点P在点B左侧时，①HYPERLINK\l"br2"1HYPERLINK\l"br5"2HYPERLINK\l"br7"3HYPERLINK\l"br10"4HYPERLINK\l"br12"5HYPERLINK\l"br15"6HYPERLINK\l"br17"7HYPERLINK\l"br18"8ꢃ根据题意可得，2t＋2＝2(6－2t)，解得t＝.ꢁ如图②，当点P在点B右侧时，②根据题意可得，2t＋2＝2(2t－6)，解得t＝7.ꢃ综上，t的值为或7.ꢁHYPERLINK\l"br2"1HYPERLINK\l"br5"2HYPERLINK\l"br7"3HYPERLINK\l"br10"4HYPERLINK\l"br12"5HYPERLINK\l"br15"6HYPERLINK\l"br17"7HYPERLINK\l"br18"84.[2024烟台期末]如图，将直角三角板OMN的直角顶点O放在直线AB上，射线OC平分∠AON.(1)当∠BON＝60°时，求∠COM的度数；解：(1)30°.HYPERLINK\l"br2"1HYPERLINK\l"br5"2HYPERLINK\l"br7"3HYPERLINK\l"br10"4HYPERLINK\l"br12"5HYPERLINK\l"br15"6HYPERLINK\l"br17"7HYPERLINK\l"br18"8(2)若∠AOM＝2∠COM，求∠AON的度数.解：(2)135°.HYPERLINK\l"br2"1HYPERLINK\l"br5"2HYPERLINK\l"br7"3HYPERLINK\l"br10"4HYPERLINK\l"br12"5HYPERLINK\l"br15"6HYPERLINK\l"br17"7HYPERLINK\l"br18"8类型3线段的中点在计算中的应用5.[2024温州一模]已知点C为线段AB上一动点，点D，E分别是线段AC和BC的中点.(1)如图，若线段AB＝10cm，AC＝4cm，求线段DE的长；HYPERLINK\l"br2"1HYPERLINK\l"br5"2HYPERLINK\l"br7"3HYPERLINK\l"br10"4HYPERLINK\l"br12"5HYPERLINK\l"br15"6HYPERLINK\l"br17"7HYPERLINK\l"br18"8解：(1)因为AB＝10cm，AC＝4cm，所以BC＝AB－AC＝6(cm).因为点D，E分别是线段AC和BC的中点，ꢀꢀ所以CE＝CB＝3cm，DC＝AC＝2cm，ꢂꢂ所以DE＝DC＋CE＝2＋3＝5(cm).HYPERLINK\l"br2"1HYPERLINK\l"br5"2HYPERLINK\l"br7"3HYPERLINK\l"br10"4HYPERLINK\l"br12"5HYPERLINK\l"br15"6HYPERLINK\l"br17"7HYPERLINK\l"br18"8ꢆ(2)若线段AB的长为a，则线段DE的长为(用含ꢂa的代数式表示).点拨：因为点D，E分别是线段AC和BC的中点，所ꢀꢀ以CE＝CB，DC＝AC.因为AB＝a，所以DE＝ꢂꢂꢀꢄꢅꢆDC＋CE＝(AC＋BC)＝＝.ꢂꢂꢂHYPERLINK\l"br2"1HYPERLINK\l"br5"2HYPERLINK\l"br7"3HYPERLINK\l"br10"4HYPERLINK\l"br12"5HYPERLINK\l"br15"6HYPERLINK\l"br17"7HYPERLINK\l"br18"86.[2024西安高新区一模]如图，已知线段AB和CD的公共部ꢀꢀ分为BD，且BD＝AB＝CD，线段AB，CD的中点ꢁꢇE，F之间距离是20，求AB，CD的长.HYPERLINK\l"br2"1HYPERLINK\l"br5"2HYPERLINK\l"br7"3HYPERLINK\l"br10"4HYPERLINK\l"br12"5HYPERLINK\l"br15"6HYPERLINK\l"br17"7HYPERLINK\l"br18"8解：设BD＝x，则AB＝3x，CD＝4x，AC＝6x.因为点E，F分别为AB，CD的中点，ꢀꢀ所以AE＝AB＝1.5x，CF＝CD＝2x.ꢀꢂꢂ所以EF＝AC－AE－CF＝2.5x.ꢀ因为EF＝20，所以2.5x＝20，解得x＝8.所以AB＝24，CD＝32.HYPERLINK\l"br2"1HYPERLINK\l"br5"2HYPERLINK\l"br7"3HYPERLINK\l"br10"4HYPERLINK\l"br12"5HYPERLINK\l"br15"6HYPERLINK\l"br17"7HYPERLINK\l"br18"8类型4角平分线在计算中的应用7.[2024青岛市北区期末]如图，已知∠AOB∶∠BOC＝3∶2，OD是∠BOC的平分线，OE是∠AOC的平分线，且∠BOE＝12°，求∠DOE的度数.解：36°.HYPERLINK\l"br2"1HYPERLINK\l"br5"2HYPERLINK\l"br7"3HYPERLINK\l"br10"4HYPERLINK\l"br12"5HYPERLINK\l"br15"6HYPERLINK\l"br17"7HYPERLINK\l"br18"88.【新趋势·学科内综合】已知：∠AOB＝120°，∠COD＝90°，OE平分∠AOD.HYPERLINK\l"br2"1HYPERLINK\l"br5"2HYPERLINK\l"br7"3HYPERLINK\l"br10"4HYPERLINK\l"br12"5HYPERLINK\l"br15"6HYPERLINK\l"br17"7HYPERLINK\l"br18"8(1)如图①，当∠COD的边OD在∠AOB内部时，若∠COE＝40°，求∠BOD的度数；HYPERLINK\l"br2"1HYPERLINK\l"br5"2HYPERLINK\l"br7"3HYPERLINK\l"br10"4HYPERLINK\l"br12"5HYPERLINK\l"br15"6HYPERLINK\l"br17"7HYPERLINK\l"br18"8解：(1)因为∠COD＝90°，∠COE＝40°，所以∠DOE＝∠COD－∠COE＝90°－40°＝50°.因为OE平分∠AOD，所以∠AOD＝2∠DOE＝100°.因为∠AOB＝120°，所以∠BOD＝∠AOB－∠AOD＝120°－100°＝20°.HYPERLINK\l"br2"1HYPERLINK\l"br5"2HYPERLINK\l"br7"3HYPERLINK\l"br10"4HYPERLINK\l"br12"5HYPERLINK\l"br15"6HYPERLINK\l"br17"7HYPERLINK\l"br18"8(2)如图②，当∠COD的边OD在∠AOB外部，且0°＜∠BOD＜60°时，设∠COE＝，∠BOD＝，用等式表示与之间的数量关系，并证明.HYPERLINK\l"br2"1HYPERLINK\l"br5"2HYPERLINK\l"br7"3HYPERLINK\l"br10"4HYPERLINK\l"br12"5HYPERLINK\l"br15"6HYPERLINK\l"br17"7HYPERLINK\l"br18"8解：(2)数量关系：2＋＝60°.证明：因为∠COD＝90°，∠COE＝，所