2024-2025学年高中数学 第1章 计数原理 阶段综合提升 第1课 排列、组合的综合应用（教师用书）教案 新人教A版选修2-3

2024-2025学年高中数学第1章计数原理阶段综合提升第1课排列、组合的综合应用（教师用书）教案新人教A版选修2-3授课内容授课时数授课班级授课人数授课地点授课时间教学内容本节课选自2024-2025学年高中数学第1章计数原理阶段综合提升，第1课排列、组合的综合应用，新人教A版选修2-3。教学内容主要包括以下方面：

1.排列的应用：探讨排列在实际问题中的应用，如排队、编号、座位安排等。

2.组合的应用：分析组合在实际问题中的应用，如选取代表、组合物品、分配任务等。

3.排列组合的综合应用：解决同时涉及排列和组合的复杂问题，如分组分配、方案设计等。

4.习题演练：选取典型例题，巩固所学知识，提高学生解决问题的能力。

5.知识拓展：引入排列组合在其他领域的应用，激发学生学习兴趣，培养学生的创新意识。核心素养目标1.培养逻辑推理能力：通过排列组合问题的分析，使学生能够运用逻辑推理，形成解决问题的策略。

2.提升数学建模素养：引导学生将实际问题抽象为数学模型，运用排列组合知识解决，提高数学建模能力。

3.强化数据分析观念：让学生在解决排列组合问题的过程中，学会收集、整理和分析数据，培养数据分析观念。

4.激发创新意识：鼓励学生从不同角度思考问题，寻求多种解决方案，激发创新意识。

5.增强数学应用意识：通过排列组合在实际问题中的应用，使学生体会数学的价值，提高数学应用意识。教学难点与重点1.教学重点

-排列组合的综合应用：熟练掌握排列、组合的计算公式及其在实际问题中的应用。

-解决方案的设计：能够针对具体问题，设计出合理的排列组合方案。

-例题解析：通过典型例题的分析，加深对排列组合知识的理解。

举例：在解决分组问题时，学生需掌握如何运用组合知识确定分组方式，以及如何运用排列知识安排每个组内成员的具体位置。

2.教学难点

-知识迁移：将排列组合知识应用于不同背景的实际问题，实现知识的迁移。

-问题分析：在面对复杂问题时，能够正确区分并运用排列或组合的知识点。

-技巧与方法：掌握解决排列组合问题的一些常用技巧和方法，如排除法、枚举法等。

举例：在处理一些涉及排列组合的综合应用题时，学生可能会难以把握问题中哪些元素需要排列，哪些元素需要组合，如何正确运用排除法等技巧来简化问题。这些将是本节课的难点内容，需要教师通过具体案例分析、解题步骤演示等方式帮助学生突破。教学方法与策略1.选择适合的教学方法：结合本节课的核心素养目标，采用讲授与讨论相结合的教学方法。通过教师引导，使学生理解排列组合知识，并运用讨论形式，激发学生的思考与互动。

2.设计教学活动：开展案例研究，分析实际问题中的排列组合应用，促使学生将理论知识与实际问题相结合。组织小组合作，让学生在小组内进行角色扮演，共同解决问题。

3.确定教学媒体使用：运用多媒体课件展示典型例题，动态演示解题过程，帮助学生直观地理解排列组合的原理。同时，利用实物或教具进行实验，让学生在实际操作中加深对知识的掌握。此外，设计相关数学游戏，提高学生的学习兴趣和参与度。教学过程设计1.导入新课（5分钟）

目标：引起学生对排列组合的兴趣，激发其探索欲望。

过程：

开场提问：“你们知道排列组合是什么吗？它们在我们的生活中有什么关系？”

展示一些生活中的排列组合实例，如彩票抽奖、球队阵容安排等，让学生初步感受排列组合的魅力。

简短介绍排列组合的基本概念和重要性，为接下来的学习打下基础。

2.排列组合基础知识讲解（10分钟）

目标：让学生了解排列组合的基本概念、组成部分和原理。

过程：

讲解排列组合的定义，包括排列的顺序性和组合的无序性。

详细介绍排列组合的计算公式，使用图表或示意图帮助学生理解。

通过实例，如座位安排、抽奖问题等，让学生更好地理解排列组合的实际应用。

3.排列组合案例分析（20分钟）

目标：通过具体案例，让学生深入了解排列组合的特性和重要性。

过程：

选择几个典型的排列组合案例进行分析，如分组问题、旅游路线规划等。

详细介绍每个案例的背景、特点和意义，让学生全面了解排列组合的多样性。

引导学生思考这些案例对实际生活或学习的影响，以及如何应用排列组合解决实际问题。

小组讨论：让学生分组讨论排列组合在未来生活中的应用，并提出创新性的想法或建议。

4.学生小组讨论（10分钟）

目标：培养学生的合作能力和解决问题的能力。

过程：

将学生分成若干小组，每组选择一个与排列组合相关的主题进行深入讨论。

小组内讨论该主题的现状、挑战以及可能的解决方案。

每组选出一名代表，准备向全班展示讨论成果。

5.课堂展示与点评（15分钟）

目标：锻炼学生的表达能力，同时加深全班对排列组合的认识和理解。

过程：

各组代表依次上台展示讨论成果，包括主题的现状、挑战及解决方案。

其他学生和教师对展示内容进行提问和点评，促进互动交流。

教师总结各组的亮点和不足，并提出进一步的建议和改进方向。

6.课堂小结（5分钟）

目标：回顾本节课的主要内容，强调排列组合的重要性和意义。

过程：

简要回顾本节课的学习内容，包括排列组合的基本概念、基础知识、案例分析等。

强调排列组合在现实生活或学习中的价值和作用，鼓励学生进一步探索和应用排列组合。

布置课后作业：让学生撰写一篇关于排列组合应用的小短文或报告，以巩固学习效果。拓展与延伸1.拓展阅读材料

-《趣味组合数学》：本书通过大量实例和问题，深入浅出地介绍了组合数学的基本概念和应用，有助于学生更全面地理解组合知识。

-《数学建模与实际问题》：该书涵盖了许多数学建模的案例，包括排列组合在解决实际问题中的应用，适合学生了解数学知识在实际问题中的运用。

-《逻辑推理与数学问题》：本书介绍了逻辑推理在解决数学问题中的应用，特别是排列组合问题，有助于提高学生的逻辑思维能力。

2.课后自主学习和探究

-研究排列组合在其他学科中的应用，如物理中的排列组合原理在量子力学中的体现，化学中的分子结构排列等。

-探索排列组合在生活中的应用，如服装搭配、饮食搭配、旅游路线规划等，将数学知识应用于实际生活。

-尝试解决一些具有挑战性的排列组合问题，如涉及多个条件的组合问题、有限制条件的排列问题等，提高解题能力。

-深入研究排列组合的数学理论，如组合恒等式的证明、排列组合的生成函数等，提升数学素养。

-鼓励学生参加数学竞赛或研究性学习，将所学排列组合知识应用于竞赛题目或研究项目中，锻炼自己的创新能力和实践能力。反思改进措施（一）教学特色创新

1.结合实际案例教学：本节课通过引入生活中的实际案例，让学生更好地理解排列组合的应用，提高了学生的学习兴趣和积极性。

2.小组合作与互动：采用小组讨论、课堂展示等形式，促进学生之间的合作与交流，培养学生的表达能力和团队合作精神。

（二）存在主要问题

1.教学组织方面：在小组讨论环节，部分学生参与度不高，可能是因为对讨论主题不感兴趣或对知识掌握不够扎实。

2.教学方法方面：对于一些难度较大的排列组合问题，讲解和引导不够细致，导致部分学生难以跟上课堂节奏。

（三）改进措施

1.针对教学组织方面的问题，可以尝试增加课堂互动，鼓励学生提问和发表观点，提高他们的参与度。同时，关注学生的知识掌握情况，针对性地进行辅导。

2.针对教学方法方面的问题，可以采用更加直观的教具或多媒体辅助教学，帮助学生更好地理解复杂问题。此外，注重分层教学，针对不同水平的学生设置不同难度的练习和问题，让每个学生都能得到有效的提升。板书设计1.重点知识点

①排列的定义

②组合的定义

③排列的计算公式

④组合的计算公式

⑤排列组合的综合应用

2.重点词句

①排列：有序的选取元素

②组合：无序的选取元素

③排列公式：P(n,k)=n!/(n-k)!

④组合公式：C(n,k)=n!/[k!(n-k)!]

3.艺术性和趣味性

①使用不同颜色的粉笔，突出重点知识。

②采用图表、示意图等形式，直观展示排列组合的概念。

③创设趣味性的课堂练习，如猜谜游戏、分组竞赛等，激发学生的学习兴趣。

④利用板书空间，展示一些排列组合的实际应用案例，让学生感受数学与生活的紧密联系。重点题型整理题目：有7个不同的球，要求分3组，每组至少一个球，有多少种不同的分法？

解答：首先，我们可以从7个球中选出3个球作为第一组，有C(7,3)种方法。然后从剩余的4个球中选出2个球作为第二组，有C(4,2)种方法。最后，剩下的2个球自动成为第三组。因此，总共有C(7,3)×C(4,2)=210种分法。

2.题型二：组合问题

题目：从数字1到9中，任取3个不同的数字组成一个三位数，求共有多少个不同的三位数？

解答：首先，我们需要从1到9中选取3个不同的数字，有C(9,3)种方法。选取好3个数字后，我们可以将这3个数字进行排列，共有3!种排列方式。因此，总共有C(9,3)×3!=60480个不同的三位数。

3.题型三：排列组合的综合应用

题目：有4个人要分配到3个不同的部门，每人只能分配到一个部门，求有多少种不同的分配方法？

解答：首先，我们可以从4个人中选出3个人分配到3个部门，有C(4,3)种方法。然后，对于剩下的1个人，我们有3个部门可以选择。因此，总共有C(4,3)×3=12种分配方法。

4.题型四：排列组合的计数问题

题目：有5个不同的字母，要求排列成3个字母的单词，有多少种不同的排列方法？

解答：这是一个典型的排列问题。从5个字母中选取3个字母进行排列，有P(5,3)种方法。计算得到P(5