专题1.12+有理数（全章常考考点分类专题）（培优练）-2024-2025学年七年级数学上册基础知识专项突破讲与练（人教版）

专题1.12有理数（全章常考考点分类专题）（培优练）【考点目录】【考点1】正负数的认识【考点2】有理数的分类【考点3】相反数判断及符号化简【考点4】数轴上的点与有理数【考点5】利用数轴比较大小或表示正负性【考点6】利用数轴上两点的距离求有理数（分类讨论思想、数形结合思想）【考点7】数轴上的动点问题（含分类讨论思想）【考点8】绝对值的意义【考点9】求绝对值及解绝对值方程【考点10】化简绝对值与绝对值的非负性【考点11】利用绝对值求最值【考点12】数轴、绝对值、相反数综合一、单选题【考点1】正负数的认识1．（20-21七年级上·河南新乡·期中）在下列数：，，1，，，0，中，正数有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．（20-21七年级上·河北沧州·期末）一个水库某天8：00的水位为（以警戒线为基准，记高于警戒线的水位为正）．在以后的6个时刻测得的水位升降情况如下（记上升为正，单位：m）：0.5，，0，；，●（最后一个时刻的水位升降情况被墨水污染），经过6次水位升降后，水库的水位恰好位于警戒线，则被墨水污染的数值是（

）A．0.7 B．0.8 C．0.9 D．1.0【考点2】有理数的分类3．（23-24七年级上·宁夏吴忠·期中）下列叙述正确的是（

）A．不是正数的数一定是负数 B．正有理数包括整数和分数C．整数不是正整数就是负整数 D．有理数不是整数就是分数．4．（23-24七年级上·福建泉州·阶段练习）下列各数：，，，，0，，，11，，其中负分数有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【考点3】相反数判断及符号化简5．（21-22七年级上·新疆伊犁·阶段练习）下列各对数中，是互为相反数的是（）A．﹣（+7）与+（﹣7） B．﹣与+（﹣0.5） C．与 D．+（﹣0.01）与6．（22-23七年级上·海南海口·期中）下列化简，正确的是（）A． B．C． D．【考点4】数轴上的点与有理数7．（23-24七年级上·江苏扬州·期中）如图所示，圆的周长为4个单位长度，在圆的4等分点处标上字母，先将圆周上的字母对应的点与数轴的数字0所对应的点重合，若将圆沿着数轴向右滚动（无滑动），那么数轴上的数2023所对应的点将与圆周上的字母（

）重合．

A．字母 B．字母 C．字母 D．字母8．（23-24七年级上·重庆·期中）数轴上表示数的点和表示数的点之间的整数点个数为（

）A．3 B．4 C．5 D．6【考点5】利用数轴比较大小或表示正负性9．（23-24七年级上·四川宜宾·期中）已知有理数在数轴上的位置如图所示，则，，，之间的大小关系是（

）

A． B．C． D．10．（23-24六年级下·黑龙江绥化·阶段练习）已知a、b、c三个数的位置如图所示，则下列结论不正确的是（

）A． B． C． D．【考点6】利用数轴上两点的距离求有理数（分类讨论思想、数形结合思想）11．（23-24八年级上·浙江金华·期末）如图，数轴上点表示的数分别是和2，且，则点表示的数是（

）A．3 B．4 C．5 D．612．（23-24七年级上·甘肃张掖·阶段练习）点A、B、C在同一条数轴上，其中点A、B表示的数分别为、1，若，则等于（

）A．6 B．2 C．3或6 D．2或6【考点7】数轴上的动点问题（含分类讨论思想）13．（23-24七年级上·山东菏泽·阶段练习）A为数轴上表示的点，将点A在数轴上平移3个单位长度到点B，则点B所表示的实数为（

）A．3 B．2 C．2或3 D．2或14．（23-24七年级上·广西南宁·阶段练习）在数轴上，把表示的点往右移动个单位长度后，所得到的对应点表示的数为（

）A． B． C．或 D．无法确定【考点8】绝对值的意义15．（2023·四川巴中·模拟预测）的绝对值的相反数是（

）A． B． C． D．16．（23-24七年级上·江苏徐州·阶段练习）已知、为有理数，，且，当、取不同的值时，的值等于（

）A． B．或 C．或 D．或【考点9】求绝对值及解绝对值方程17．（23-24七年级上·浙江台州·期末）已知，，则的值为（

）A．2 B．3 C．1或3 D．2或318．（23-24七年级上·广东佛山·阶段练习）适合的整数的值有（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【考点10】化简绝对值与绝对值的非负性19．（22-23七年级上·广东汕尾·期末）已知有理数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，则的化简结果为（）A． B． C． D．20．（22-23七年级上·河南洛阳·阶段练习）若，则的值为（

）．A．9 B．5 C． D．【考点11】利用绝对值求最值21．（20-21七年级上·四川遂宁·阶段练习）对于代数式，下列说法正确的是（

）A．当x=–5时，有最小值是7 B．当x=0时，有最大值是7C．当x=–5时，有最大值是7 D．当x=0时，有最小值是722．（22-23七年级上·江苏无锡·期中）规定：，．例如，．下列结论中，正确的个数是（）①能使成立的的值为或；②若，则；③式子的最小值是；④式子的最大值是．A． B． C． D．【考点12】数轴、绝对值、相反数综合23．（20-21七年级上·浙江温州·期末）在数轴上有间隔相等的四个点，所表示的数分别为，其中有两个数互为相反数，若的绝对值最大，则数轴的原点是（）A．点 B．点C．点或，的中点 D．点或，的中点24．（18-19七年级·全国·课后作业）如果数轴上的两点所表示的数互为相反数，点E在原点的左侧，并且E，F之间的距离是8，那么点F所表示的数是（

）A．8 B．6 C．4 D．2二、填空题【考点1】正负数的认识25．（23-24七年级上·山东青岛·阶段练习）下表列出了国外几个市与北京的时差（带正号的数表示同一时刻比北京时间早的点时数）如果现在的东京时间时8:00，那么北京时间是，伦敦的时间是，纽约的时间是．城市纽约伦敦东京巴黎时差/时726．（20-21七年级上·山西吕梁·期中）如果电梯上升米，记作+5米，那么-3米表示．【考点2】有理数的分类27．（23-24七年级上·山西太原·阶段练习）在，，3.14，0，，，、，中，属于非负整数的有．28．（19-20七年级上·浙江嘉兴·阶段练习）a是最小的正整数，b是最小的非负数，m是最大的负整数，则a+b+m=．【考点3】相反数判断及符号化简29．（19-20七年级上·广西玉林·期末）下列各组式子：①a﹣b与﹣a﹣b，②a+b与﹣a﹣b，③a+1与1﹣a，④﹣a+b与a﹣b，互为相反数的有．30．（22-23七年级上·河南安阳·阶段练习）化简：，，．【考点4】数轴上的点与有理数31．（23-24七年级上·广东珠海·期中）如图所示，将圆的周长分为个单位长度，在圆的等分点处标上数字，，，，先让圆周上数字所对应的点与数轴上的数所对应的点重合，再让圆沿着数轴按逆时针方向滚动，那么数轴上的数将与圆周上的数字重合．32．（23-24七年级上·河南信阳·阶段练习）如图，小芳在写作业时，不慎将墨水滴在数轴上，根据图中的数值，判断墨水盖住部分的整数个数有个．

【考点5】利用数轴比较大小或表示正负性33．（23-24七年级上·广东汕头·期中）如下图所示，在数轴上的位置，用“”“”“”填空：

（）；（）．34．（22-23七年级上·江西宜春·期中）在数轴上有P，M，N三点，点P在点M左侧，M，N两点所表示的数分别是1，，点P到与点M，N其中一点距离等于点P到另一点距离的2倍，则满足条件的点P所表示的数是．【考点6】利用数轴上两点的距离求有理数（分类讨论思想、数形结合思想）35．（22-23七年级上·湖南衡阳·期末）已知数轴上两点A和B，点A表示数是1，点B与A相距3个单位长度，则点B表示的数是．36．（2023·江苏盐城·模拟预测）在数轴上有一段线段，长度为，，该线段在数轴上运动，除原点外，这条线段覆盖的整数点最少为.【考点7】数轴上的动点问题（含分类讨论思想）37．（23-24七年级上·重庆巴南·期末）如图，边长为3的正方形的边在数轴上，数轴上的点表示的数为，将正方形在数轴上水平移动，移动后的正方形记为，点、的对应点分别为，点是线段的中点，当面积为9时，点表示的数为．38．（23-24七年级上·四川成都·阶段练习）绝对值大于1而小于4的整数是．【考点8】绝对值的意义39．（23-24七年级上·浙江杭州·期中）对于一个数，我们用表示小于的最大整数，例如，．（1）填空：；（2）如果和互为相反数，那么代数式的最大值为．40．（23-24七年级上·江苏泰州·阶段练习）已知b是a的相反数，c的绝对值是3，则的值为【考点9】求绝对值及解绝对值方程41．（22-23七年级上·四川内江·期中）数轴上表示1和的两点之间的距离是；若，则x=42．（23-24六年级下·上海·阶段练习）比较大小：【考点10】化简绝对值与绝对值的非负性43．（2024七年级·全国·竞赛）有理数在数轴上的位置如图所示，化简．

44．（23-24七年级上·四川成都·期末）如果，那么的值为．【考点11】利用绝对值求最值45．（21-22七年级上·广西南宁·期中）已知，，都是不等于0的有理数，且的最大值是，最小值是，则．46．（20-21七年级上·四川成都·阶段练习）当时，式子取得最大值，有最小值为．【考点12】数轴、绝对值、相反数综合47．（23-24七年级上·山东济南·阶段练习）数轴上有A、B两点，点A表示5的相反数，点B表示绝对值最小的数，一动点P从点B出发，沿数轴负方向以1单位长度/秒的速度运动，秒后，点P到点A的距离为3单位长度．48．（2019七年级上·浙江杭州·专题练习）若与互为相反数，则的值在数轴上对应的数应为．参考答案：1．B【分析】利用正数和负数的定义解答即可．【详解】解：是正数，是负数，1是正数，是负数，负数，0既不是正数也不是负数，是负数，∴总共有2个正数，故选B．【点拨】本题考查了正数和负数的定义，掌握0就不是正数也不是负数是解答本题的关键．2．C【分析】用减去前5次各数与8：00的水位和，然后即可做出判断．【详解】解：0-（0.5-0.8+0-0.2-0.3-0.1）=0.9．故选：C．【点拨】此题主要考查正负数在实际生活中的应用，根据题意列出算式是解题的关键．3．D【分析】本题考查了有理数的分类、整数．根据有理数的分类和整数逐项判断即可得．【详解】解：A、不是正数的数可能是负数，也可能是0，则此项错误，不符合题意；B、正有理数包括正整数和正分数，则此项错误，不符合题意；C、整数包含正整数、0和负整数，则此项错误，不符合题意；D、有理数不是整数就是分数，则此项正确，符合题意；故选：D．4．C【分析】根据负分数的定义逐个判断即可．【详解】解：是负整数，不是负分数，是负分数，是正整数，不是负整数，是正分数数，不是负分数，0不是分数，，是负分数，，是负分数，不是负分数，所以负分数有3个．故选：C．【点拨】本题考查了有理数，注意：整数和分数统称有理数，整数包括正整数，0和负整数，分数包括正分数和负分数．5．C【分析】根据相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．【详解】解：−（＋7）＝−7，＋（−7）＝−7，故这对数不互为相反数，故本选项错误；B、﹣与+（﹣0.5）不互为相反数，故本选项错误；C、，与互为相反数，故本选项正确；D、＋（−0.01）＝−0.01，＝−0.01，故这对数不互为相反数，故本选项错误；故选：C．【点拨】本题考查了相反数的知识，解答本题的关键是掌握相反数的定义．6．A【分析】本题考查了相反数，掌握一个数的前面加上负号就是这个数的相反数成为解题的关键．根据相反数的定义逐层去括号，然后判断即可解答．【详解】解；A、，故A选项正确，符合题意；B、，故B选项错误，不符合题意；C、，故C选项错误，不符合题意；D、，故D选项错误，不符合题意．故选：A．7．D【分析】本题考查了数轴，一次求出与数，，，，…对应的点重合的字母，发现规律即可解决问题，能根据题中圆的运动方式，发现字母，，，分别与数轴上表示数字，，，，…，的点重合，是解此题的关键．【详解】解：圆的周长为4个单位长度，将圆沿着数轴向右滚动（无滑动）时，字母与数字所对应的点重合，字母与数字所对应的点重合，字母与数字所对应的点重合，字母与数字所对应的点重合，字母与数字所对应的点重合，…，依次类推，字母，，，分别与数轴上表示数字，，，，…，的点重合，余，数轴上的数2023所对应的点将与圆周上的字母重合，故选：D．8．C【分析】本题考查了用数轴上的点表示数，根据题意得到和之间的整数有，0，1，2，3共5个，据此即可求解．【详解】解：和之间的整数有：，0，1，2，3，共5个，数轴上表示数的点和表示数的点之间的整数点个数为5．故选：C9．B【分析】本题考查的是利用数轴比较有理数的大小，在数轴上画出和，然后根据数轴上越靠右边越大判断即可．【详解】和在数轴上大致位置如图，

∴，故选：B．10．C【分析】本题考查了利用数轴上点对应的数确定代数式的符号，解答本题的关键是熟练掌握有理数的加法法则中对于符号的确定方法．同号两数相加，取与加数相同的符号，并把绝对值相加；绝对值不等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数相加得0；任何数与0相加仍得原数．根据a、b、c三个数的位置，结合有理数的加法法则逐项分析即可．【详解】解：∵从数轴可知：，，∴A．，∴，正确，故本选项不符合题意；B．∵，∴，正确，故本选项不符合题意；C．∵，，∴，错误，故本选项符合题意；D．∵，，∴，正确，故本选项不符合题意；故选：C．11．C【分析】本题主要考查数轴上点之间的距离，根据线段相等列出方程是解题的关键．设点C表示的数为x，根据列出方程即可求得点C表示的数．【详解】解：设点C表示的数为x；因为表示的数分别是和2；所以；；因为；所以；解得：；所以点C表示的数为：5；故选：C．12．D【分析】本题考查了数轴，渗透了分类讨论的思想，体现了思维的严密性，解题的关键是分类讨论．要求学生分情况讨论，，三点的位置关系，即点在线段内，点在线段外．【详解】解：此题画图时会出现两种情况，即点在线段内，点在线段外，所以要分两种情况计算．点、表示的数分别为、1，．第一种情况：在线段外，；第二种情况：在线段内，．故选：D．13．D【分析】分点A在数轴上向左移动和向右移动两种情况，分别分解平移规律即可解答．【详解】解：点A为数轴上表示的点，当将点A在数轴上向右平移3个单位长度到点B，则点B所表示的实数为2；当将点A在数轴上向左平移3个单位长度到点B，则点B所表示的实数为．故选：D．【点拨】本题主要考查了实数与数轴，掌握利用点的坐标左移减右移加的平移规律是解题关键．14．B【分析】通过数轴上“右加左减”的规律，即可求得平移后的点表示的数．【详解】解：把表示的点往右移动个单位长度后，所得到的对应点表示的数为：，故选：．【点拨】本题考查了数轴上的动点，根据正负数在数轴上的意义来解答，熟练掌握在数轴上，向右为正，向左为负是解答本题的关键．15．C【分析】本题考查了相反数的定义和绝对值的意义，根据意义即可求解，解题的关键是正确理解表示一个数的点到原点的距离叫做这个数的绝对值，一个正数的绝对值等于它的本身，零的绝对值还是零，一个负数的绝对值等于它的相反数，熟练掌握相反数的定义，只有符号不同的两个数是互为相反数，正数的相反数是负数，的相反数是，负数的相反数是正数．【详解】根据绝对值的定义可得：的绝对值是，根据相反数的定义可得：的相反数是，故选：．16．D【分析】本题考查了绝对值的含义，分四种情况讨论即可得到结果，不重不漏是解题的关键．【详解】解：∵，∴当时，，当时，，当时，，当时，，∴的值等于或，故选：D．17．C【分析】本题主要考查了绝对值的意义，解题的关键是熟练掌握绝对值的性质．根据，，得出，，然后分情况进行讨论即可得出答案．【详解】解：∵，，∴，，∴，，当，时，；当，时，；当，时，；当，时，；综上分析可知，的值为1或3．故选：C．18．C【分析】本题考查解绝对值方程，可理解为到和5的距离的和，由此可得出的值，进而可得出答案．【详解】解：，该方程表示到和5的距离的和为12，，，整数的值有，，0，1，共4个，故选C．19．C【分析】本题主要考查了数轴和绝对值，理解绝对值的意义是解答此题的关键．先根据各点在数轴上的位置判断出其符号及绝对值的大小，再去绝对值符号，合并同类项即可．【详解】解：由图可知，所以，，所以，原式．故选：C．20．B【分析】根据非负数的性质列式求出x、y的值，然后相加即可得解．【详解】解：根据题意得，，，解得，所以，．故选：B．【点拨】本题考查了非负数的性质，掌握“几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0”是解题的关键．21．A【分析】根据绝对值的非负性可直接进行求解．【详解】解：，，当时，有最小值7；故选A．【点拨】本题主要考查绝对值的非负性，熟练掌握绝对值的非负性是解题的关键．22．B【分析】利用题目的新规定和绝对值的意义对每个结论进行判断，即可得出结论．【详解】解：∵，，∴，∴或，∴或，∴①的结论正确；∵，，∴，∵当时，∴，∴②的结论正确；∵，又∵当时，有最小值，∴③的结论错误；∵，又∵当时，，当时，，当时，|，∴当时，式子的最大值是，∴④的结论正确，综上，正确的结论有：①②④，故选：B．【点拨】本题考查了绝对值的意义，求代数式的值，应用新定义和绝对值的性质解题是解答本题的关键．23．D【分析】本题考查了数轴、相反数、绝对值的意义，由题意综合分析，原点位置应该是中点或点，解题的关键是理解相反数和绝对值的意义．【详解】解：的绝对值最大，∴点离原点最远，∵有两个数互为相反数，∴原点在某两点的中点，综上，原点是的中点或点，故选：D．24．C【分析】根据数轴上表示相反数的两个点关于原点对称.【详解】因为数轴上的两点所表示的数互为相反数，点E在原点的左侧，并且E，F之间的距离是8，所以OE=OF=4所以点F所表示的数是4故选C【点拨】考核知识点：相反数.理解相反数的定义是关键.25．【分析】根据正负数的意义，结合表格数据，即可求解．【详解】解：∵东京与北京的时差是则如果现在的东京时间时，那么北京时间是∵伦敦与北京的时差是，∴伦敦的时间是前一天的∵纽约与北京的时差是∴纽约的时间是前一天的【点拨】本题考查了正负数在实际生活中的意义，熟练掌握正负数的意义是解题的关键．26．电梯下降3米【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．【详解】解：“正”和“负”相对，∵电梯上升5米，记作+5米，∴-3表示电梯下降3米．故答案为：电梯下降3米．【点拨】本题考查了正数和负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．27．，0，【分析】根据有理数的概念，不小于0的整数就是非负整数．【详解】解：，，，，，，，是负数，，3.14，0，是非负数，，不是有理数，故答案为：，0，．【点拨】此题考查了有理数分类的应用，关键是准确理解非负整数．28．0．【分析】a是最小的正整数,则为1，b是最小的非负数则为0，m是最大的负整数，则为-1，代入求值即可.【详解】解：a是最小的正整数,则为a=1.b是最小的非负数则为b=0.m是最大的负整数，则为c=-1.a+b+m=1+0+(-1)=0

故答案为0.【点拨】本题考查的知识为整数，非负数的理解，掌握即可.29．②④【分析】直接利用互为相反数的定义分析得出答案．【详解】解：①a-b与-a-b=-（a+b），不是互为相反数，②a+b与-a-b，是互为相反数，③a+1与1-a，不是相反数，④-a+b与a-b，是互为相反数．故答案为：②④．【点拨】本题考查了互为相反数，正确把握相反数的定义是解题的关键．30．7【分析】根据相反数的意义化简即可解答．【详解】解：，，．故答案为：7，，．【点拨】本题主要考查了相反数的意义，只有符号不同的两个数叫做相反数．31．【分析】本题考查了数轴，解题的关键是找到数轴上的数与圆周上数字之间的对应关系．根据周长为个单位长度，利用除以，进而可得答案．【详解】解：根据题意得：，圆周上数字所对应的点与数轴上的数所对应的点重合，数轴上的对应圆周上的，数轴上的数将与圆周上的数字重合，故答案为：．32．7【分析】分别得出原点左边、右边盖住的整数，进而得出答案．【详解】原点左边盖住的整数有，原点右边盖住的数有因此共有7个；故答案为：7．【点拨】本题考查数轴表示数的意义，理解数轴上数的特点和规律是关键．33．【分析】本题考查了数轴，有理数的运算，由数轴判断出符号和大小，根据有理数的运算法则即可求解，通过数轴判断出符号和大小是解题的关键．【详解】解：由数轴可得，，∴，，故答案为：，．34．，或【分析】本题主要考查数轴的知识，解题的关键是利用掌握分类讨论思想，以及两点间的距离表示方法．利用分类讨论思想，当点在线段上时且时，设点表示的数为，用代数式表示出的长度，即可求出点所表示的数；当点在线段上时且时，用代数式表示出的长度，即可求出点所表示的数；当点运动到点的左边时，那只有，用代数式表示出的长度，即可求出点所表示的数．【详解】设点表示的数为，当点在线段上时且时，如图所示，∵M，N两点所表示的数分别是1、，，，，，解得：；当点在线段上时且时，如图所示，，解得：；当点运动到点的左边时，那只有，如图所示，，解得：；故点表示的数为，或．故答案为：，或．35．或【分析】本题考查了数轴上两点之间的距，一元一次方程的应用；设点表示的数是，根据点的位置进行分类：①当点在点的左侧时，②当点在点的右侧时，列方程求解即可；掌握“数轴上的两点之间的距离为右边点表示的数减去左边点表示的数．”是解题的关键．【详解】解：设点表示的数是，①当点在点的左侧时，，解得：，所以此时点表示的数是；②当点在点的右侧时，，解得：，所以此时点表示的数是；故答案：或．36．【分析】本题考查了数轴，解题的关键是注意数形结合．根据可得当，且这条线段的起点不在整数点时，这条线段覆盖的整数点最少，即可求解．【详解】解：，当，且这条线段的起点不在整数点时，这条线段覆盖的整数点最少，最少整数点为个，故答案为：．37．14或【分析】本题考查了数轴上的动点问题，三角形的面积，解题的关键是根据正方形平移后正确地表示出各线段的长度．分两种情况讨论：①当正方形沿数轴向右移动时，②当正方形沿数轴向左移动时根据面积为9，正方形的边长为3，求出的长再求出的长，再根据是的中点求出的长，然后由点表示的数为，从而得出结论．【详解】解：∵正方形的边长为3，点表示的数为，①当正方形沿数轴向右移动时，如图，∵，∴，∴，∵点是线段的中点，∴，∵点表示的数为，∴点表示的数为；②当正方形沿数轴向左移动时，如图，∴，∵点是线段的中点，∴，∵点表示的数为，∴点表示的数为．综上，数轴上点表示的数是14或；故答案为：14或．38．，【分析】本题考查绝对值的性质和有理数比较大小，根据绝对值的性质和有理数比较大小写出即可．【详解】绝对值大于而小于的整数是，．故答案为：，．39．2【分析】本题考查绝对值、相反数的意义；（1）根据表示的意义进行计算即可；（2）分均为小数；与中有一个是小数，一个是整数以及都是整数三种情况解答即可．【详解】解：（1）根据表示的意义得，，故答案为：；（2）当均为小数时，如，则，则，和互为相反数，，解得，即的值是两个小于1的小数的和，即；当与中有一个是小数，一个是整数时，的值是1与一个小于1的小数的和，即；当都是整数时，，和互为相反数，，即，综上所述，代数式的最大值为2．故答案为：2．40．【分析】根据互为相反数的两个数的和为0，正数的绝对值有两个，绝对值和它的相反数，计算