专题1.1 正数和负数（知识梳理与考点分类讲解）（人教版）（解析版）

专题1.1正数和负数（知识梳理与考点分类讲解）第一部分【知识点归纳】【知识点一】认识正数、负数（1）正数：像+5，+，，2.86这样大于0的数（“+”通常省略不写）叫做正数，正数大于0；（2）负数：像-5，-4，-0.68这样正数前面加个符号“-”（负号）的数叫做负数，负数小于0；（3）0：既不是正数也不是负数，正负数以0为界。规定：0是最小的自然数。【例1】（23-24六年级下·山东菏泽·期中）在，9，，，0，，中，正数有，负数有，既不是正数也不是负数．【答案】、9、、、0【分析】本题主要考查了正负数的知识，熟练掌握相关概念是解题关键．比0大的数叫正数，正数前面常有一个符号“”，通常可以省略不写；比0小的数叫做负数，负数用负号“”和一个正数标记．利用正数、负数和0的意义可得出答案．解：在，9，，，0，，中，正数有、9、，负数有、、，0既不是正数也不是负数．故答案为：、9、；、、；0．【知识点二】正、负数的意义（1）具有相反意义的量：我们把某种量的一种意义规定为正的，而把与它相反的一种意义规定为负的，负数是根据实际需要而产生的。（2）具有相反意义的量的表达：描述一对具有相反意义的量的词语一般是有一对反义词，习惯上，把“上升、增加、盈利、收入”等规定为正，“下降、减少、亏损、支出”等规定为负。【例2】（22-23七年级上·贵州铜仁·阶段练习）把下列具有相反意义的量用线连接起来．前进米

收入元运出吨

盈利元上升C

后退米支出元

运进吨亏损元

下降【分析】相反意义的量指的是：具有相反意义，有数量（数量可以相等，也可以不相等），成对出现，由此即可求解．解：根据相反意义的量的含义得，【点拨】“具有相反意义的量”内涵：一是必须是同类量，二是意义必须完全相反，且要有同类量，这是初学者易错的地方。第二部分【题型展示与方法点拨】【题型1】正负数的判定【例1】（2023七年级上·全国·专题练习）读一读下列各数，并指出哪些是正数，哪些是负数．．【答案】读法见解析，正数有：5，，；负数有：，，，【分析】根据正负数的概念判定即可．解：5读着正五或五，读着负七分之五，读着负三点五，读着正1又三分之一或1又三分之一，读着负零点零一，读着正二点五或二点五，读着负七佰；正数有：5，，；负数有：，，，．【点拨】本题考查正负数及其读法，熟记正负数的概念是解题的关键．【举一反三】【变式1】（2024·江苏常州·一模）下列实数中，负数是（

）A． B． C． D．2024【答案】B【分析】本题主要考查实数的基本概念，熟练掌握实数的基本概念是解题的关键．根据负数的概念得出结论即可．解：A、是正数，故本选项不符合题意；B、是负数，故本选项符合题意；C、是正数，故本选项不符合题意；D、2024是正数，故本选项不符合题意．故选：B．【变式2】（23-24六年级下·黑龙江绥化·期中）在、、、、、、中正数有()个．【答案】【分析】本题考查了正数的概念，根据正数的意义即可求解，熟练掌握有理数的有关概念是解题的关键．解：根据正数大于零，则正数为：、、，共个，故答案为：．【题型2】正负数的意义【例2】某水泥厂计划每月生产水泥1000t，一月份实际生产了950t,二月份实际生产了1000t,三月份实际生产了1100t,用正数和负数表示每月超额完成计划的吨数各是多少？【答案】一月份超额完成计划－50t，二月份超额完成计划0t，三月份超额完成计划100t.【分析】本题考查的是正数和负数。先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义；再根据题意作答，此题可以以1000t为基准数，多于此数为+号表示，小于此数为-号表示．解：由题意得，一月份超额完成计划－50t，二月份超额完成计划0t，三月份超额完成计划100t.解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．【举一反三】【变式1】（23-24七年级上·河南南阳·期末）邓州市12月20日的最高气温是，最低气温是．这里的实际意义是．【答案】零下【分析】本题主要考查正数与负数，属于基础题．根据正数与负数的意义可直接求解．解：的实际意义是零下，故答案为：零下．【变式2】（23-24七年级上·浙江温州·期中）如图所示，算筹是我国古代的计算工具之一，摆法有纵式和横式两种．古人在个位数上划上斜线以表示负数．如“”表示．则“”所表示的数是（

）A．223 B． C．263 D．【答案】D【分析】本题主要考查了正数和负数，解题的关键是读懂题目，找出数筹和数字的对应关系．根据题干描述的算筹计数法计数即可．解：根据算筹计数法，表示的数是：．故选：D．【题型3】相反意义的量【例3】假期中小明和父母一起到甲、乙两个城市旅游，小明发现两个城市中使用的人民币的新旧程度不同：在甲城市中，面值10元、50元和100元的三种人民币的新旧程度基本相同；在乙城市中，面值10元的人民币比较旧，而面值50元和100元的人民币比较新．你能通过这些信息判断两个城市的发展水平哪个更高吗？【答案】甲城市的发展水平更高【分析】根据面值10元、50元和100元的三种人民币的新旧程度，可得面值10元、50元和100元的三种人民币的使用程度，依此可得两个城市的发展水平哪个更高．解：在甲城市中，面值10元、50元和100元的三种人民币的新旧程度基本相同；在乙城市中，面值10元的人民币比较旧，而面值50元和100元的人民币比较新；在甲城市中，面值50元和100元的三种人民币的使用程度多，甲城市的发展水平更高．【点拨】考查了数学常识，关键是理解面值10元、50元和100元的三种人民币的使用程度．【举一反三】【变式1】（22-23七年级下·黑龙江绥化·期中）在下列选项中，具有相反意义的量是（

）A．向东走3千米与向北走3千米 B．收入100元与支出200元C．气温上升与上升 D．5个老人与5个小孩【答案】B【分析】本题主要考查相反意义的量，根据相反意义的量的概念，逐一判断选项，即可得到答案，熟练掌握相反意义的量的概念，是解题的关键．解：A、向东走3千米与向北走3千米，不是具有相反意义的量，故A不符合题意；B、收入100元与支出200元，具有相反意义的量，故B符合题意；C、气温上升与上升，不是具有相反意义的量，故C不符合题意；D、5个老人与5个小孩，不是具有相反意义的量，故D不符合题意，故选：．【变式2】中国人很早开始使用负数，中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章中，在世界数学史上首次正式引入负数．如果收入100元记作元，那么支出80元可表示为．【答案】元【分析】根据题意得出：收入记作为正，支出记作为负，表示出来即可．解：如果收入100元记作+100元，那么支出80元记作-80元，故答案为：-80元．【点拨】本题考查了正数和负数，能用正数和负数表示题目中的数是解此题的关键．【题型4】正负数的实际运用【例4】（22-23七年级上·宁夏银川·阶段练习）如图，一名跳水运动员参加跳台的跳水比赛（跳台是指跳台离水面的高度为），这名运动员举高手臂时身长为，跳水池池深为（规定向上为正）．(1)若以水面为基准，则这名运动员指尖的高度及池底的深度分别如何表示？(2)若以跳台为基准，则池底的深度与水面的高度分别如何表示？【答案】(1)这名运动员指尖的高度为，池底的深度为；(2)池底的深度为，水面的高度为．【分析】（1）利用正数和负数的意义来表示；（2）利用正数和负数的意义来表示．（1）解：（米）∴以水面为基准，这名运动员指尖的高度为，池底的深度为；（2）解：（米）∴以跳台为基准，池底的深度为，水面的高度为．【点拨】本题考查了正负数的意义，解题的关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．【举一反三】【变式1】（2024九年级下·山西·专题练习）2024年5月3日17时27分，嫦娥六号探测器开启世界首次月球背面采样返回之旅，月球表面的白天平均温度零上，记作，夜间平均温度零下，应记作（）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查利用正负数表示相反意义的量．据正负数表示相反意义的量，平均温度零上表示正，平均温度零下表示负，即可求解．解：平均温度零上，记作，夜间平均温度零下，应记作，故选：B．【变式2】（2024·甘肃庆阳·二模）某品牌酸奶外包装上标明“净含量：”，现随机抽取四种口味的这种酸奶，它们的净含量如下表所示，其中，净含量不合格的是口味的酸奶．种类原味草莓味香草味巧克力味净含量/mL175180190185【答案】香草味【分析】本题主要考查了正数和负数等知识点，根据正数和负数的实际意义求得合格酸奶的重量范围，据此进行判断即可，理解正数和负数的实际意义是解决此问题的关键．解：由题意可得：合格酸奶净含量的最小值为:，合格酸奶净含量的最大值为:，∴合格酸奶的重量范围为，则净含量不合格的是香草味，故答案为：香草味．第三部分【中考链接与拓展延伸】1、直通中考【例1】（2023·甘肃武威·中考真题）近年来，我国科技工作者践行“科技强国”使命，不断取得世界级的科技成果，如由我国研制的中国首台作业型全海深自主遥控潜水器“海斗一号”，最大下潜深度10907米，填补了中国水下万米作业型无人潜水器的空白；由我国自主研发的极目一号Ⅲ型浮空艇“大白鲸”，升空高度至海拔9050米，创造了浮空艇原位大气科学观测海拔最高的世界记录．如果把海平面以上9050米记作“米”，那么海平面以下10907米记作“米”．【答案】【分析】根据正负数表示相反的意义解答即可．解：把海平面以上9050米记作“米”，则海平面以下10907米记作米，故答案为：．【点拨】此题考查了正负数的理解：在一个事件中，规定一个量为正，则表示相反意义的量为负，正确理解正负数表示一对相反的意义的量是解题的关键．【例2】（2023·湖南永州·中考真题）我国古代数学名著《九章算术》中对正负数的概念注有“今两算得失相反，要令正负以名之”、如：粮库把运进30吨粮食记为“”，则“”表示（

）A．运出30吨粮食 B．亏损30吨粮食 C．卖掉30吨粮食 D．吃掉30吨粮食【答案】A【分析】根据题意明确“正”和“负”所表示的意义，再根据题意即可求解．解：粮库把运进30吨粮食记为“”，则“”表示运出30吨粮食．故选：A【点拨】本题考查了正负数的意义，理解“正”和“负”分别表示相反意义的量是解题关键．2、拓展延伸【例1】下列说法正确的是（

）A．“向东10米”与“向西10米”不是相反意义的量B．如果气球上升25米记作+25米，那么－15米的意义就是下降－15米C．如果气温下降6℃，记为-6℃，那么+8℃的意义就是下降8℃D．若将高1米设为标准0，高1.20米记作+0.20米，那么－0.05米所表示的高是0.95米【答案】D【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示，依次判断各可．解：A.“向东10米”与“向西10米”是相反意义的量，故本选项错误；B.如果气球上升25米记作+25米，那么－15米的意义就是下降15米，故本选项错误；C.如果气温下降6℃，记为-6℃，那么+8℃的意义就是气温上升8℃，故本选项错误；D.若将高1米设为标准0，高1.20米记作+0.20，那么－0.05米所表示的高是0.95米，故本选项正确，故选：D．【点拨】本题考查了正数和负数，关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．【例2】纽约、悉尼与北京的时差如下表（正数表示同一时刻比北京时间早的时数，负数表示同一时刻比北京晚的时数）：城市悉尼纽约时差/时+2-13当北京10月1日23时，悉尼、纽约的时间分别是（

）A．9月30日21时；9月30日10时 B．10月1日10时；10月2日10时C．10月2日1时；10月1日10时 D．9月30日21时；10月2日12时【答案】C【分析】由统计表得出：悉尼时间比北京时间早2小时，也就是10月2日1时．纽约比北京时间要晚13个小时，也就是10月1日10时．解：悉尼的时间是：10月1日23时+2小时，即10月2日1时，纽约时间是：10月1日23时-13小时，即10月1日10时．故选：C．【点拨】本题考查了正数和负数．解决本题的关键是根据图表得出“时差”正确信息，再结合题意计算．【例3】（1）桌子上有5只杯口朝上的茶杯，每次翻转3只，经过次翻转可使这5只杯子的杯口全部朝下，则的最小值为．（2）桌子上有11只杯口朝上的茶杯，每次翻转3只，经过次翻转可使这11只杯子的杯口全部朝下，则的最小值为．【答案】35【分析】（1）用“正”表示杯口朝上，用“负”表示杯口朝下，根据翻转要求逐步罗列即可得；（2）用“正”表示杯口朝上，用“负”表示杯口朝下，根据翻转要求逐步罗列即可得．解：（1）用“正”表示杯口朝上，用“负”表示杯口朝下，刚开始时：正、正、正、正、正，