新教材苏教版必修第二册第12章复数

第12章复数

12.112.4综合拔高练

五年高考练

考点1复数的相关概念

L（2021浙江,2,4分,偌）已知aGR,（l+ai）i=3+i（i为虚数单位）,则a=（）

2.（2020课标全国〃雁,2,5分，然）复数匕的虚部是（）

A±C工D三

10101010

3.（2017课标全国/,3,5分,*）设有下面四个命题：

口：若复数z满足为R,则zGR；

R：若复数z满足z'GR,则z£R;

R：若复数Z1,Z2满足Z1Z2WR,则Z尸五；

口：若复数zGR,则2WR.

其中的真命题为（）

A.p\QB.px,ptC.p,,piD.

4.（2020江苏,2,5分，痔）已知i是虚数单位,则复数z=（l+i）（2-i）的实部

是.

5.（2019江苏,2,5分，承）已知复数（a+2i）（l+i）的实部为0,其中i为虚数单位,则实数

a的值是.

考点2复数的四则运算

6.（2021新高考/,2,5分，偌）已知z=2-i,贝ijzQ+i尸（）

C.6+2iD.4+2i

7.（2021全国乙理,1,5分溜）设2（z+刃+3（z-5）=4+6i,则z=（)

B.l+2iC.1+i

8.(2021全国甲理,3,5分,*&)已知(bi)2z=3+2i,则z=(

33

宜B.-1+9

22

3,.3.

-+1-1

22

9.(2020新高考/,2,5分，滔)自丁

10.(2019课标全国〃,2,5分，脩)设方i(2+i),则第()

A.l+2iB.-l+2i

考点3复数的几何意义

11.(2020北京,2,4分，例)在复平面内，复数z对应的点的坐标是(1,2),则i•2=

()

A.l+2iB.-2+i

12.(2019课标全国〃,2,5分，他)设z=-3+2i,则在复平面内2对应的点位于

()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

考点4复数的模

13.(2020课标全国/理,1,5分*)若第1+:1,则|齐22|二()

C.V2

14.(2018课标全国/,1,5分,猫)设毛畜+21,则|2|=()

D.V2

15.(2020课标全国〃理,15,5分,*。设复数zi,z?满足|z[=|Z21=2,Zi+z2=V^+i,则|z~

Zz|=.

三年模拟练

1.（2021江苏盐城大丰高级中学高一期中,*：）已知复数z=4+yi，i为虚数单位，则

5+|z|等于（）

1V3.1,V3.

---1-+—1

2222

c1,73.1V3.

C.-+—1Dn.---1

2222

„2：2020

2.（2021山东潍坊一中高一期中*）设i为虚数单位,a£R,“复数好券-皆不是纯虚

数”是匕21"的（）

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

3.（2020江苏省赣榆城头高级中学高一阶段测试,"）设复数3=-；+?i,则化简

1+3+3?+3③彳导（）

4.（2021江苏苏州高一期中,便）在a'中，配=3而/为的中点，过点£的直线

分别交直线微力。于点M,N.设荏=血和就=防礼复数个加疝（明,〃WR）,当z；取得最

小值时，实数加的值为（）

16

民

2-5-

5.（2021江苏常州高三一模*）已知复数z对应的点在复平面的第一象限内，甲、

乙、丙、丁四人对复数z的陈述如下（i为虚数单位）：

2

甲:z+5=2;乙才5=2gi;丙:z•5=4；丁£一.在甲、乙、丙、丁四人的陈述中,有且只

z2

有两个人的陈述正确，则复数z=

6.(2021浙江宁海中学高一月考,")已知sin什cosi=l,令

?cos什isin"(5)=l+9S+…+S,1W〃W2O2O,则所有的45)中，虚部不为0的共有

个,其中模最大的复数是.

7.(2021江苏如皋中学高一月考,*/1)已知关于x的实系数方程>2+加叶炉0,若

1+V21是方程X+/Z7X+77=O的一^"b复数根，求出力的值；

⑵已知zGC,z+3i,段均为实数,且复数(z+ai)2在复平面内对应的点在第一象限，求

实数a的取值范围.

8.(2020江苏耕茶中学高一阶段测试,")已知△力力的顶点分别为

/(a,4)&0,b),qc,0).

⑴若a=3,炉0,c=5,求sinJ的值；

(2)若虚数产2+ai(a>0)是实系数方程ACA+5=0的根，且N/1是钝角，求b的取值范

围.

易惜

hs须翻

9.(*)现有以下三个式子:①含;②肃;③喘(i为虚数单位)，某同学在解题时发现

以上三个式子的值都等于同一个常数.

⑴从三个式子中选择一个，求出这个常数；

(2)根据三个式子的结构特征及⑴的计算结果，将该同学的发现推广为一个复数恒

等式，并证明你的结论.

答案全解全析

第12章复数

12.1-2.4综合拔高练

五年高考练

1.C由(l+ai)i=3+i彳导-a+i=3+i,所以-a=3,即a=-3.故选C.

2.D利用复数除法法则得匕:京端才书，所以虚部为祭

3.B对于命题口，设交a+bi(a,bWR)^:=£=^GR^炉0,则安a《R成立，故命

题p、正确；

对于命题设2=a+历(a,6£R),由z?=(才-6)+2abiWR得aHO,则a=O或ZFO,复数z

可能为实数或纯虚数，故命题R错误；

对于命题R“设Zi=a+6i(a,6WR),Z2=c+di(GdGR),由ZiZ2=(ac-A)+(a小6c)iGR得

a在6c=0,不一定有©=石，故命题自错误；

对于命题0,设z=a+bi(a,beR),则由z£R得6=0,所以2=a£R成立,故命题外正确.

故选B.

4.答案3

解析z=(l+i)(2-i)=2-i+2i+l=3+i,

，z的实部为3.

5.答案2

解析由题可得(a+2i)(l+i)=a+ai+2i+2i'=a-2+(a+2)i,令w2=0,解得a=2.

6.C'：z=2-i,：.z=2+i,

：.z0+i)=(2-i)(2+i+i)=(2-i)(2+2i)=4+4i-2i-2i2=6+2i.

故选C.

7.C设z=a+6i(a,b£R),则斤=a-6i,代入2(z+z)+3(z-z)=4+6i,4护6历=4+6i,所以

a=l,Z;=l,故z=l+i.故选C.

8.B解法一：由题意得好串=胃=警产号=-1+九

(1-j)z-21(-21)•122

解法二:设z=a+6i(a,6WR).

由(1-i谬3+2i得(l-iy(a+bi)=3+2i,

r.-2i(^Z;i)=2Zr2ai=3+2i,

.,.a=T,归,•，.2=-l+1i.故选B.

9・D粉黑端等7故选D.

10.D由题意可得度i(2+i)=2i+iJ-l+2i,所以2=-1-2i.故选D.

11.B由复数的几何意义可知,z=l+2i,所以i•2=i•(l+2i)=-2+i,

故选B.

12.C•.Z-3+2i,；.2=-3-2i,

...在复平面内,2对应的点的坐标为(-312),位于第三象限.

13.D*.*z=l+i,：.z-2z=(l+i)2-2(l+i)=l+2i+i-2-2i=-2,：.|z-2z\=\-2\=2.

14.C•.f+2i=7iS^+2i=£F+2i=i，，lzl=l，故选C,

15.答案2百

解析设复数Zi-a+bi,z2-c+di(a,b,c,R),Ijll]

又Zi+z2=(a+c)+(〃*a)i=V5+i,

9

..a^c=V31t^-d=l,

贝ij(卅cp+(Z?+4=才+/+/+2母汁2AL4,

，8+2ac+2AM,

即2a计2b*-4,

222222

|Z-Z21=J(a-c)+(b-d)=y/a+b+c+d-(2ac+2bd)=78-(-4)=2V3.

三年模拟练

应用实践

1.D因为--鸿i,所以,=春乳所以H|z|=胃-争+J(-)+(身上算

故选D.

9卜，-。2」2020_次_i_。2_1+i_a2_1_1.

•TTTT5(1-0(l+i)-1-25，

由z不是纯虚数,得勺了0,所以才W1,即aW±l,

所以“复数毛片蜉不是纯虚数”是ZW1”的充分而不必要条件.

2.

故选A.

3.A•；32=(二+£)2=q-争，

\22722

1+6>+GJ(l+3-)+(3+6/)

=(1+2(i+口)

=(沙股+学)

=H=1-

4.D在中,因为玩=3方，

PJT^AD=AB+BD=AB+^BC=AB+^(AC-AB)~AB+^AC,

y.AB=/liAM^AC=nAN,

所以而=|〃漏+剑丽L

因为“为/〃的中点，

所以旗=4而W/7^+5俞.

236

因为.队£、/V三点共线,所以;研7=1,即〃=6-2加.

36

因为复数z=M~ni(m,nGR),

所以z\=y/m2+n2-Jm2+(6-2m)2=>j5m2-24m+36,

令尸5济24研36=5(m-g)2+拳

所以当炉亭寸，函数y取得最小值，此时|z|取得最小值.

故选D.

5.答案1+i

解析设斤:K，i(a,Z?£R,且a>0,6>0),则方年历，

/.z+z=2a,z-z=2bi,z•z-a^lf2

za+b^

''z•2=4与公《不可能同时成立，

7.2

...丙、丁的陈述不能同时正确；

•.•当.2=2百i时力2=3>2,二|=]不成立,，乙、丁的陈述不能同时正确；

当甲、乙的陈述正确时,a=l,炉V3,则丙的陈述也正确，不合题意；

当甲、丙的陈述正确时,a=l,为K，则乙的陈述也正确，不合题意；

当乙、丙的陈述正确时，反百,a=l,则甲的陈述也正确，不合题意，

...甲、丁陈述正确，此时不比I,...z=l+i.

6.答案1010;2021

解析由sini+cosQl彳导l+2sin力cosQl,则sirUcosZ=0,.，.｛需：/或｛需二：

则91或9i,

①若启，则力5)=1+外3+...+6=研1,虚部为0,模为加1,

②若SM,则«5)=l+i+i2+i3+...+i",注意到i+i2+i3+i，=0,4个为1组,所以需要考虑n

除以4的余数，设炉44+如产0,1,2,3,贝ijl+i+i^i^...+i^l+Ci+i^i^iy..+(i4M+

严2+j，g+[U)+(产4…+产)

当炉1或折2时，虚部不为0,即〃被4除余1或余2时，虚部不为0,1到2020中共

1010个这样的数,所以虚部不为0的有1010个，模最大的复数是2021.

7.解析⑴由题意得(l+&i)'+〃i(l+近i)+/7=T+〃汁加2鱼i+或%i=0,

•(-1+m+n=0,Anz(m=-2,

,•l2V2+V2m=0,W1^Bln=3.

⑵设z=Ayi(x,yWR),：z+3i=；f+(^3)i为实数,.•.广-3.•.•看=守系厂

3i)•(3+i)=4[(3户3)+(x-9)i]为实数，二尸9,...z=9-3i,.•.(z+ai)2=[9+(a-3)ir=81-(^r

3)2+18(a-3)i=72+6a-a2+18(/3)i,

由已知得需肾”:°，解得3<a<12,

故a的取值范围是(3,12).

8.解析(1)因为a=3,Z>=0,c=