第30讲函数y＝Asin(ωx＋φ)（思维导图3知识点8考点过关检测）

第30讲函数y=Asin(ωx+φ)模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1．理解参数A,ω,φ对函数y=Asin(ωx+φ)的图象的影响；2．掌握y=sinx与y=Asin(ωx+φ)图象间的变换关系，并能正确地指出其变换步骤；3．会用“五点法”画函数y=Asin(ωx+φ)的简图，能根据函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象，确定其解析式；4．掌握函数y=Asin(ωx+φ)的性质，并能熟练运用.知识点1五点法作图“五点法”画函数，的图象的步骤（1）列表：令，依次得到相应的的值，列表如下：x－eq\f(φ,ω)－eq\f(φ,ω)＋eq\f(π,2ω)eq\f(π－φ,ω)eq\f(3π,2ω)－eq\f(φ,ω)eq\f(2π－φ,ω)ωx＋φ0eq\f(π,2)πeq\f(3π,2)2πy＝Asin(ωx＋φ)0A0－A0（2）描点：在直角坐标系中描出各点；（3）连线：用干光滑的曲线连接这些点，得到函数，在一个周期内的图象.知识点2A，ω，φ对函数y＝Asin（ωx＋φ）图象的影响1、φ对函数图象的影响（平移变换）函数（其中）的图象，可以看作是把正弦曲线上所有的点向左（当时）或向右（当时）平移个单位长度而得到（可简记为“左加右减”）.φ决定了x=0时的函数值，通常称φ为初相，ωx＋φ为相位.2、对函数图象的影响（周期变换）函数的图象，可以看作是把的图象上所有的点的横坐标缩短（当）或伸长（当时）到原来的（纵坐标不变）而得到.ω决定了函数的周期3、对函数图象的影响（振幅变换）函数的图象，可以看作是把图象上所有点的纵坐标伸长（当时）或缩短（当时）到原来的倍而得到.A决定了函数的值域以及函数的最大值和最小值，通常称A为振幅.知识点3三角函数图象变换1、函数y＝sinx的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的两种途径2、三角函数图象变换中的三个注意点（1）变换前后，函数的名称要一致，若不一致，应先利用诱导公式转化为同名函数；例如：QUOTE或QUOTE（2）要弄清变换的方向，即变换的是哪个函数图象，得到的是哪个函数图象，切不可弄错方向；（3）要弄准变换量的大小，特别是平移变换中函数y＝Asinx到y＝Asin(x＋φ)的变换量是|φ|个单位，函数y＝Asinωx到y＝Asin(ωx＋φ)时，变换量是eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(φ,ω)))个单位．考点一：“五点法”作正（余）弦型函数图象例1．（2223高一下·云南昆明·月考）（1）利用“五点法”画出函数在长度为一个周期的闭区间的简图.列表:

xy作图:

（2）并说明该函数图象可由的图象经过怎么变换得到的.【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析.【解析】（1）先列表，后描点并画图.0xy0100

（2）把的图象上所有的点向左平移个单位，得到的图象，再把所得图象的点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象.【变式11】（2223高一下·江西上饶·月考）已知函数.(1)利用“五点法”完成下面表格，并画出在区间上的图象；0(2)解不等式.【答案】(1)答案见解析；(2)【解析】（1）由题意，列表如下：0画出在区间上的图象如图：（2）不等式，即，所以，所以，即，故的解集为.【变式12】（2324高一上·湖北·期末）已知函数(1)填写下表，并用“五点法”画出在上的图象；x0

(2)将的图象向下平移1个单位，横坐标扩大为原来的4倍，再向左平移个单位后，得到的图象，求的对称中心．【答案】(1)表格见解析，图象见解析；(2)【解析】（1）x000（2）的图象向下平移1个单位得的图象，横坐标扩大为原来的4倍得，，再向左平移个单位后，得，令，得，所以函数的对称中心为【变式13】（2223高一上·福建福州·期末）已知函数（其中，，）的图象过点，且图象上与点最近的一个最低点的坐标为．(1)求函数的解析式并用“五点法”作出函数在一个周期内的图象简图；(2)将函数的图象向右平移个单位长度得到的函数是偶函数，求的最小值．【答案】(1)，图象见解析；(2)【解析】（1）由题意可得，，且周期，则，又，解得，，，（2），函数是偶函数，则，解得又，则当时，的最小值为．考点二：同名三角函数间的图象变换例2.（2324高一下·辽宁本溪·期中）要得到函数的图像，只需将函数的图像（

）A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度： D．问右平移个单位长度【答案】D【解析】，故将的图象向右平移个单位长度，得到的图象，故D正确；经检验，ABC错误.故选：D【变式21】（2324高一上·江苏淮安·期末）为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（

）A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度【答案】C【解析】由函数，，将函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象.故选：C.【变式22】（2324高一上·陕西西安·期末）要得到函数的图象，只需要将函数的图象（

）A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度【答案】D【解析】由题意只需要将函数的图象向左平移个单位长度即可得到函数的图象.故选：D.【变式23】（2324高一下·新疆乌鲁木齐·月考）（多选）为了得到函数的图象，只需要将的图象上所有的点（

）A．向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变B．向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C．把横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再将所得图象向右平移个单位长度D．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变【答案】AC【解析】对于A，将的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的解析式为，再把所得各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，所得图象对应的解析式，故A正确.对于B，将的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的解析式为，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，所得图象对应的解析式，故B错误.对于C，将图象上的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，所得图象对应的解析式为，再向右平移个单位长度，所得图象对应的解析式，故C正确.对于D，将的图象向左平移个单位长度，所得图象对应的解析式为，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，所得图象对应的解析式，故D错误.故选：AC.考点三：异名三角函数间的图象变换例3.（2324高一上·广东湛江·期末）将函数的图象平移后所得的图象对应的函数为，则进行的平移是（

）A．向左平移个单位 B．向右平移个单位C．向右平移个单位 D．向左平移个单位【答案】D【解析】设平移距离为，将函数图象上的各点的横坐标平移个单位，可得，因为，则，即，当时，可得，所以D正确.故选：D．【变式31】（2324高一上·重庆·期末）为了得到函数的图象，可以将函数的图象（

）A．向左平移个单位 B．向右平移个单位C．向左平移个单位 D．向右平移个单位【答案】A【解析】，所以需要将函数的图象向左平移个单位，故选：A【变式32】（2324高二上·云南昆明·期末）要得到函数的图象，只需将函数的图象（

）A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度【答案】D【解析】因为，所以，为了得到函数的图象，只需将函数的图象向右平移个单位长度，故选：D.【变式33】（2324高一上·黑龙江·期末）要得到函数的图象，可以将函数的图象（

）A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度【答案】A【解析】因为，且，所以，将的图象向右平移个单位长度得到函数的图象.故选：A.考点四：与三角恒等变换有关的图象变换例4.为了得到函数图象，只需把函数的图象（

）A．向左平移个长度单位 B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位 D．向右平移个长度单位【答案】C【解析】，故将其向左平移个长度单位可得故选：C【变式41】（2324高三下·山东青岛·三模）为了得到的图象，只要把的图象上所有的点（

）A．向右平行移动个单位长度 B．向左平行移动个单位长度C．向右平行移动个单位长度 D．向左平行移动个单位长度【答案】A【解析】，由诱导公式可知：又则，即只需把图象向右平移个单位.故选：A【变式42】（2122高一下·江西景德镇·期末）函数的图象可以由函数的图象（

）A．向右平移单位得到 B．向左平移单位得到C．向右平移单位得到 D．向左平移单位得到【答案】D【解析】因为，，所以函数向左平移单位得到函数的图像，故选：D【变式43】（2324高三上·广东湛江·期末）已知函数，要得到函数的图象，只需将的图象（

）A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度【答案】D【解析】，，故将的图象向右平移个单位长度可得，即为的图象.故选：D考点五：求图象变换前后的解析式例5.（2324高一下·江苏南京·期末）将函数的图象上所有的点向左平移个单位长度，得到的图象所对应的函数的解析式为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】将函数的图象上所有的点向左平移个单位长度得到.故选：B【变式51】（2324高一上·安徽·期末）将函数向右平移个单位，再将所得的函数图象上的各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】将函数向右平移个单位，得到，再将所得的函数图象上的各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象.故选：A.【变式52】（2324高一上·湖南岳阳·期末）把函数的图象上各点向右平移个单位，再把横坐标伸长到原来的2倍，再把纵坐标缩短到原来的倍，所得图象的解析式是，则的解析式是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】将上所有点的纵坐标伸长到原来的倍，得到，再将上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到，将上所有点向左平移个单位，得到，故选：A.【变式53】（2324高一上·河南商丘·期末）若把函数的图象向左平移个单位长度，再向下平移4个单位长度，最后把图象上各个点的横坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图象，则的解析式为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】函数的图象上各个点的横坐标缩短为原来的得到，然后向上平移4个单位长度得到，向右平移个单位长度得到，所以，故A正确.故选：A.考点六：根据三角函数部分图象求解析式例6.（2324高一下·江西上饶·月考）下图是函数的部分图象，则该函数的解析式可以是（

）

A． B．C． D．【答案】C【解析】由图可得：，即，即，观察各选项可知，本题考虑即可，则，把点代入中，可得：，故，即，所以.故选：C.【变式61】（2324高一下·江西·月考）函数（，，）的部分图象如下图，则下列选项中为的图象的对称中心的有（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由图象知，又，，，由图象可知，，得，，，，，首先对称中心的纵坐标为1，故排除C，D，令，，得，，当时，，即A错B对.故选：B.【变式62】（2324高一上·天津南开·月考）已知函数的部分图象如图所示，则函数的解析式为（

）

A． B．C． D．【答案】D【解析】，故，则，又，故，，故，，解得，，又，故，则，故，即.故选：D.【变式63】（2324高一下·广东湛江·月考）（多选）已知函数的部分图象如图所示，则（

）

A． B．C． D．【答案】AC【解析】由图象可知：，周期，故．由，解得，故函数，选项A正确；选项B，，B错误；选项C，，C正确；选项D，，D错误．故选：AC．考点七：根据图象变换研究三角函数性质例7.（2324高一下·江苏连云港·期中）将函数的图象向右平移个单位长度后得到曲线．若曲线关于原点对称，则的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】将函数的图象向右平移个单位长度后函数解析式为：，即，又因为曲线关于原点对称，所以，，解得，，因为，所以当时，取得最小值，的最小值是.故选：C【变式71】（2324高一下·江苏苏州·月考）已知函数的图像关于直线对称，且图像上相邻最高点的距离为，将函数的图像向右平移个单位后，得到的图像，则的单调递减区间为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因为的图像上相邻最高点的距离为，所以的最小正周期，从而．又的图像关于直线对称，所以，因为，所以，所以，所以，将的图像向右平移个单位后，得到，所以，当，即时，单调递减．因此的单调递减区间为，故D正确.故选：D.【变式72】（2324高一下·内蒙古赤峰·月考）（多选）已知函数，将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则（

）A．函数的周期为B．函数的图象关于直线对称C．函数在区间上单调递减D．函数在区间上的最小值为【答案】AD【解析】，，故数的周期为，A正确，对于B.函数，故不关于直线对称，B错误，对C.当则，故函数在区间不是单调递减，C错误，对于D.则，故当时，取最小值故D正确，故选：AD【变式73】（2324高一下·河北张家口·月考）（多选）将函数的图象向左平移个单位长度后，函数图像关于y轴对称，则下列说法正确的是（

）A．可能等于3 B．的周期可以是C．一定为奇函数 D．在上单调递减【答案】BC【解析】函数的图象向左平移个单位得：，因为图像关于y轴对称，所以为偶函数，所以解得；若，则，解得，因为，所以不成立，A错误；若的周期可以是，则，解得，又因为，即，解得符合，B正确；，因为，所以，令，，所以，所以一定为奇函数，C正确；令，则因为，则，所以化为，在上单调递增，在上单调递减，所以在上不单调，D错误.故选：BC考点八：y=Asin(ωx+φ)图象性质综合例8.（2324高一上·山东枣庄·期末）已知函数的部分图象如图所示.若的图象上所有点的纵坐标不变，把横坐标扩大到原来的2倍，得到函数的图象.(1)求的解析式；(2)求在上的单调递减区间.【答案】(1)；(2)【解析】（1）由题可得，，则，则，当时，取得最大值，则，解得，又因为，故，所以，则.（2）由（1）可知，令，则，故的单调递减区间为.则时，在上的单调递减区间为.【变式81】（2324高一上·河北衡水·期末）已知函数的部分图象如图所示.(1)求函数的解析式；(2)求函数在区间上的最大值和最小值.【答案】(1)；(2)最小值；最大值【解析】（1）由函数图象观察可知：函数的周期，由周期公式可得：函数的解析式为：.（2），，，则当时，取得最小值；当时，取得最大值.【变式82】（2324高一下·四川达州·期末）已知函数的部分图象如图所示，图象与x轴正半轴的第一个交点（从左至右）为，图象与y轴的交点为．(1)求的解析式及对称中心；(2)将的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短为原来的倍，再将所得图象上各点向右平移个单位长度，得到的图象，求在区间上的单调递减区间．【答案】(1)；，.(2)【解析】（1）∵过，∴，由，∴，∴，又过，∴，∴∴，∵，∴∴，∴，令，∴的对称中心为，.（2）函数的图象上各点的的纵坐标保持不变，横坐标缩短为原来的倍，得到；再将所得图象上各点向右平移个单位长度，得到的图象，所以，，∴，∵，∴，∴在上单调递减区间为.【变式83】（2324高一上·甘肃白银·期末）已知函数的部分图象如图所示.(1)求函数的解析式及其图象的对称轴所在直线的方程；(2)先把函数的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数的图象，若当时，关于的方程有实数根，求实数的取值范围.【答案】(1)，；(2)【解析】（1）由题意可得，可得，所以.因为，所以，可得，所以.由，可得.因为，所以，所以.令，可得，所以其图象的对称轴所在直线的方程为.（2）由题意可得，当时，.若关于的方程有实数根，则有实根，所以，可得.所以实数的取值范围为.一、单选题1．（2324高一上·天津滨海新·期末）把函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象所对应的函数的解析式是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，则.故选：A2．（2324高一下·江西景德镇·期中）为了得到的图象，只需将（

）A．向右平移个单位 B．向左平移个单位C．向右平移个单位 D．向左平移个单位【答案】D【分析】根据三角函数图象变换和诱导公式，即可得出结果.【解析】因为，所以将的图象向左平移个单位，可得的图象.故选：D3．（2324高一下·陕西渭南·月考）已知函数的一段图象过点，如图所示，则函数（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由图知，，则.由图知，在取得最大值，且图象经过，故，所以，故，又因为，所以，函数又经过，故，得.所以函数的表达式为．故选：D.4．（2324高一上·江苏镇江·期末）将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，若函数为偶函数，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意是偶函数，所以，解得，又，所以.故选：A.5．（2324高一下·河南南阳·期末）将函数的图象向左平移个单位长度后，与函数的图象重合，则的最小值为（

）A．6 B．3 C． D．【答案】B【解析】将的图象向左平移个单位长度，得到，其图象与的图象重合，则，所以，又，所以的最小值为3.故选：B6．（2324高一上·浙江丽水·期末）已知函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则的一个可能值是（

）A．0 B． C． D．【答案】A【解析】的图象向左平移个单位长度后的解析式为，由题知，，所以，所以，即，由题知，当时，.故选：A二、多选题7．（2324高一下·黑龙江齐齐哈尔·月考）要得到函数的图象，不能将函数的图象（

）A．向左平移个单位长度，再把图象上的各个点的纵坐标扩大到原来的2倍B．向右平移个单位长度，再把图象上的各个点的纵坐标缩小到原来的C．向右平移个单位长度，再把图象上的各个点的纵坐标扩大到原来的2倍D．向左平移个单位长度，再把图象上的各个点的纵坐标缩小到原来的.【答案】ABC【解析】因为.对A：将的图象向左平移个单位，得，再把图象上的各个点的纵坐标扩大到原来的2倍，得，得不到.对B：将的图象向右平移个单位，得，再把图象上的各个点的纵坐标缩小到原来的，得，得不到.对C：将的图象向右平移个单位，得，再把图象上的各个点的纵坐标扩大到原来的2倍，得，得不到.对D：将的图象向左平移个单位，得，再把图象上的各个点的纵坐标缩小到原来的，得.故选：ABC8．（2324高一下·江苏苏州·月考）将函数的图象上所有点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，再将图象向右平移个单位.得到函数的图象.则下列结论正确的是（

）A．B．是图象的一条对称轴C．是图象的一个对称中心D．在上单调递减【答案】ABD【解析】将函数的图象上所有点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，可得，再将图象向右平移个单位，可得，对于A，，故A正确；对于B，，所以是图象的一条对称轴，故B正确；对于C，，所以不是图象的一