专题2.1等式性质与不等式

TOC\o"12"\h\u知识点1：不等关系 2知识点2：比较大小 2知识点3：等式性质与不等式性质 2题型1：用不等式表示不等关系 2题型2：比较两数（式）的大小关系 4角度1：作差法比较大小关系 4角度2：作商法比较大小关系 5题型3：不等式性质的应用 8角度1：运用不等式的性质判断命题的真假 8角度2：运用不等式的性质证明不等式 9角度3：运用不等式的性质求代数式的取值范围 12题型4：不等式在实际问题中的应用 13学习目标导航关键词1.梳理等式的性质，理解不等式的概念，理解等式与不等式的共性与差异.(重点)2.类比等式的基本性质及其蕴含的思想方法，研究不等式的基本性质，掌握不等式的性质.(难点)（1）不等关系（2）不等式（3）不等式的性质知识点1：不等关系1．不等关系的建立在用不等式(组)表示实际问题中的不等关系时，先通过审题，设出未知量，找出其中的不等关系，再将不等关系用不等式表示出来，即得不等式或不等式组．知识点2：比较大小1．两个实数大小的比较如果a－b是正数，那么a>b；如果a－b等于零，那么a＝b；如果a－b是负数，那么a<b.反过来也对．这个基本事实可以表示为：a>b⇔a－b>0，a＝b⇔a－b＝0，a<b⇔a－b<0.从上述基本事实可知，要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小．知识点3：等式性质与不等式性质1．等式的基本性质性质1如果a＝b，那么b＝a；性质2如果a＝b，b＝c，那么a＝c；性质3如果a＝b，那么a±c＝b±c；性质4如果a＝b，那么ac＝bc；性质5如果a＝b，c≠0，那么eq\f(a,c)＝eq\f(b,c).2．不等式的性质(1)如果a>b，那么b<a；如果b<a，那么a>b.即a>b⇔b<a.(2)如果a>b，b>c，那么a>c.即a>b，b>c⇒a>c.(3)如果a>b，那么a＋c>b＋c.(4)如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac<bc.(5)如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d.(6)如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd.(7)如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n≥2)．题型1：用不等式表示不等关系【典例1】（2324高一上·全国·课后作业）用不等式表示下列关系.(1)为实数，而且大于1不大于6；(2)与的平方和不小于2且不大于10.【答案】(1)(2)【分析】（1）不大于即小于等于，用符号可表示为，即；（2）不小于即大于等于，平方和可表示为，即.【详解】（1）为实数且大于1可表示为，不大于6可表示为，所以用不等式可表示为；（2）与的平方和不小于2可表示为，不大于10可表示为；所以用不等式可表示为.【变式11】（2324高一上·云南曲靖·期中）下列说法正确的是（

）A．某人的月收入元不高于元可表示为“”B．小明的身高为，小华的身高为，则小明比小华矮可表示为“”C．变量不小于可表示为“”D．变量不超过可表示为“”【答案】C【分析】利用不等式表示不等关系逐个选项判断即可.【详解】对于A，某人的月收入元不高于元可表示为“”，A错；对于B，小明的身高为，小华的身高为，则小明比小华矮可表示为“”，B错；对于C，变量不小于可表示为“”，C正确；对于D，变量不超过可表示为“”，D错.故选：C【变式12】（2324高一上·广东深圳·阶段练习）公司运输一批木材，总重600吨，车队有两种货车，A型货车载重量30吨，型货车载重量24吨，设派出A型货车辆，型货车辆，则运输方案应满足的关系式是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据已知列出不等式，化简即可得出答案.【详解】由已知可得，，所以有.故选：B.【变式13】（2324高一上·贵州遵义·阶段练习）持续的高温干燥天气导致某地突发山火，现需将物资运往灭火前线．从物资集散地到灭火前线共，其中靠近灭火前线的山路崎岖，需摩托车运送，其他路段可用汽车运送．已知在可用汽车运送的路段，运送的平均速度为，设需摩托车运送的路段平均速度为，为使物资能在1小时内到达灭火前线，则x应该满足的不等式为（

）．A． B．C． D．【答案】D【分析】根据总时长小于1列不等式，即汽车所用时间加上摩托车所用时间小于1小时即得．【详解】由题意汽车所用时间加上摩托车所用时间小于1小时，即，故选：D．题型2：比较两数（式）的大小关系角度1：作差法比较大小关系【典例2】（2024高三·全国·专题练习）若a＝（x＋1）（x＋3），b＝2（x＋2）2，则a与b的大小关系为．【答案】a＜b【详解】解析：因为b－a＝2（x＋2）2－（x＋1）（x＋3）＝2x2＋8x＋8－（x2＋4x＋3）＝x2＋4x＋5＝（x＋2）2＋1＞0，所以a＜b.【考查意图】作差比较法比较大小．【变式21】（2324高一上·云南昆明·期中）设，，则与的大小关系为（

）A． B．C． D．无法确定【答案】A【分析】利用作差法分析判断.【详解】因为，所以.故选：A.【变式22】（2324高一上·重庆长寿·期末）设，为正数，且，记，，则（

）A． B．C． D．，大小关系不确定【答案】C【分析】利用作差法判断即可.【详解】，∵，为正数，且，，则，∴，∴，故选：C【变式23】（2425高一上·上海·假期作业）（1）;

（2）;（3）;

（4），;（5）【答案】<<<>>【分析】利用作差法和分母有理化的方法即可比较大小.【详解】（1）因为，所以;（2）因为，所以;（3）因为，所以;（4），因为，所以，则;（5），因为，所以，则.故答案为:（1）;（2）;（3）;（4）;（5）.角度2：作商法比较大小关系【典例4】，则的大小关系为．【答案】≥【分析】用作商法比较的大小关系，化简即可得结果.【详解】因为，则由所以故答案为：【变式41】（2324高一·江苏·假期作业）已知，试比较和的大小.【答案】【分析】方法1：采用作商比较法，结合分母有理化即可求解；方法2：先计算，从而可得，进而可求解.【详解】（方法1）因为，所以.所以.因为，所以，即；（方法2）所以，又，所以，所以.【变式42】设，比较与的大小【答案】【分析】先判断两个式子的符号，然后利用作商法与1进行比较即可.【详解】，，，.【变式43】试比较下列组式子的大小：(1)与，其中；(2)与，其中，；(3)与，．【答案】(1);(2);(3).【分析】(1)通过比较与的大小来确定与的大小；(2)通过作差法来比较的大小；(3)通过作差法或作商法比较与的大小.【详解】（1）解：，，因为，所以，即；（2）解：．因为，，所以，，所以，即；（3）方法一（作差法）．因为，所以，，，．所以，所以．方法二（作商法）因为，所以，，，所以，所以．题型3：不等式性质的应用角度1：运用不等式的性质判断命题的真假【典例4】（2324高一上·云南昆明·期末）已知，则下列命题为真命题的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】C【分析】根据题意，结合不等式的基本性质，以及特例和作差比较法，逐项判定，即可求解.【详解】对于A中，例如：，满足，但，所以A不正确；对于B中，例如：，满足，但，所以B不正确；对于C中，由，因为，可得且，所以，所以C正确；对于D中，由，可得，可得，所以，所以D不正确.故选：C.【变式41】（2324高一上·北京·期中）能说明“若，则”为假命题的一组的值依次为;．【答案】1（答案不唯一）（答案不唯一，只要或或均可）【分析】根据不等式的性质判断．【详解】若，则由，因此假命题时，只要满足或或即可，如，故答案为：1；．（答案不唯一）【变式42】对于任意实数，，，，命题①若，，则；②若，则；③若，则；④若，则；⑤若，，则．其中真命题的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】根据不等式的性质，可通过举反例的方式判断命题真假.【详解】命题①若，，当时，，故命题①为假命题；命题②若，当时，则，故命题②为假命题；命题③若，则，正确，故命题③为真命题；命题④若，当时，，故命题④为假命题；命题⑤若，，当，，，时，则，故命题⑤为假命题;有1条真命题.故选：A.【变式43】已知a、b都是实数，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件【答案】A【分析】利用不等式性质，结合充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】当时，不等式成立，而当时，满足，不等式不成立，所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A角度2：运用不等式的性质证明不等式【典例5】（2324高一上·河北保定·阶段练习）设，，.(1)证明：；(2)若，证明.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）先根据表示出，结合的符号可证结论；（2）利用作差比较法得，进而可证结论.【详解】（1）证明:∵，∴.a，b，c不同时为，则，∴；（2）.∵，取等号的条件为，而，∴等号无法取得，即，又，∴，∴.【变式51】（2324高一上·福建泉州·阶段练习）（1）已知，设，，比较与的大小；（2）证明：已知，且，求证：.【答案】（1）；（2）证明见解析.【分析】（1）作差法比较大小；（2）根据不等式的性质可证.【详解】（1），则；（2）因为，且，则，则，则，则，则，则，又则.命题得证.【变式52】（2324高一上·陕西榆林·期中）证明下列不等式：(1)已知，求证：；(2)已知，求证：.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）依题意可得，再根据不等式的性质证明；（2）利用作差法证明即可.【详解】（1），即，，则.（2），，，则，【变式53】（2324高一上·安徽·阶段练习）（1），其中x，y均为正实数，比较a，b的大小；（2）证明：已知，且，求证：【答案】（1）；（2）证明见解析．【分析】（1）利用作差法判断即可；（2）根据不等式的性质证明即可．【详解】（1）因为，作差得，因为，，所以，，所以，即；（2）因为，且，，，所以，所以所以，所以，所以，故.角度3：运用不等式的性质求代数式的取值范围【典例6】（2324高一上·山东菏泽·阶段练习）已知，，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】设，利用待定系数法求得，利用不等式的性质即可求的取值范围．【详解】设，所以，解得，即可得，因为，，所以，故选：A．【变式61】（多选）（2324高一上·吉林延边·阶段练习）已知实数x，y满足，，则（）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】由不等式的性质直接求解.【详解】因为，，则，，故A、C正确；由题，故，B错误；，则，故，D正确；故选：ACD.【变式62】（2425高一上·全国·假期作业）已知，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据不等式倒数性质求的范围，然后同向不等式相乘可解．【详解】因为，所以，，又，所以.故选：D.【变式63】（2324高一下·江西宜春·开学考试）设，定义运算“”和“”如下：，若正数m，n，p，q满足，则（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】取特值验证即可排除错误选项.【详解】对于AC，不妨取，则，排除AC；对于B，取，则，可排除B；对于D，假设且，则（矛盾），故m，n至少有一个大于等于2，所以.假设且，则（矛盾），故p，q至少又一个小于等于2，故.综上，D正确.故选：D题型4：不等式在实际问题中的应用【典例7】（2223高一上·广东·期末）一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于10%，而且这个比值越大，采光效果越好．设某所公寓的窗户面积与地板面积分别为，．(1)若这所公寓的窗户面积与地板面积的总和为，求这所公寓的窗户面积至少为多少平方米；(2)若同时增加窗户面积和地板面积各，判断这所公寓的采光效果是否变好了，并说明理由．【答案】(1)20；(2)变好了，详细见解析.【分析】（1）设公寓窗户面积与地板面积分别为，则，化简得即得解；（2）设a和b分别表示公寓原来窗户面积和地板面积，表示窗户和地板所增加的面积，再比较和的大小即得解.【详解】（1）设公寓窗户面积与地板面积分别为，则，所以，所以，所以.所以这所公寓的窗户面积至少为20平方米.（2）设a和b分别表示公寓原来窗户面积和地板面积，表示窗户和地板所增加的面积（面积单位都相同），由题意得：，则.因为，所以.又因为，所以.因此，即.所以窗户和地板同时增加相等的面积，住宅的采光条件变好了.【变式71】（2223高一上·湖北武汉·阶段练习）不等关系是数学中一种最基本的数量关系.请用所学的数学知识解决下列生活中的两个问题：(1)已知b克糖水中含有a克糖（），再添加m克糖（假设全部溶解），糖水变甜了.请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式(2)甲每周都要去超市购买某种商品，已知第一周采购时价格是p1，第二周采购时价格是p2.现有两种采购方案，第一种方案是每次去采购相同数量的这种商品，第二种方案是每次去采购用的钱数相同.哪种采购方案更经济，请说明理由.【答案】(1)，证明见解析(2)见解析【分析】（1）根据题意列出不等式，然后用作差法证明即可；（2）根据题意表示出来每种方案的平均价格，然后用作差法比较大小，即可判断哪种方案经济.【详解】（1）该不等式为证明：因为，所以，于是.（2）若按第一种方案采购，每次购买量为，则两次购买的平均价格为，若按第二种方案采购，每次用的钱数是，则两次购买的平均价格为，又，所以当时，两种方案一样；当时，第二种方案比较经济.【变式72】（2223高一上·广东东莞·阶段练习）（1）已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（假设全部溶解），糖水变甜了.请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式成立．（2）东东和华华拿着钱去超市买糖，超市里面提供两种糖：种糖每千克元，种糖每千克元（两种糖价格不相等）.东东买了相同质量的两种糖，华华买了相同价钱的两种糖.请问两人买到糖的平均价格分别是多少？谁买的糖的平均价格比较高？请证明你的结论.（物品的平均价格物品的总价钱物品的总质量）【答案】（1）不等式为，证明见解析；（2）答案见解析.【分析】（