2.6.1双曲线的标准方程教学设计高二上学期数学人教B版选择性

教学设计

课程基本信息学科数学年级高二学期秋季课题双曲线的标准方程教科书书名：数学选择性必修一教材B版出版社：人民教育出版社教学内容分析本节课选自《2019人教B版高中数学选择性必修第一册》第二章《平面解析几何》的2.6双曲线及其方程的第一课时，本节课主要学习双曲线的定义及其标准方程.学生初步认识圆锥曲线是从椭圆开始的，双曲线的学习是对其研究内容的进一步深化和提高.如果双曲线研究的透彻、清楚，那么后面抛物线的学习就会顺理成章.所以说本节课的作用就是纵向承接椭圆定义和标准方程的研究，横向加深对双曲线的定义的理解与应用.从高考大纲要求和课程标准角度来讲，双曲线的定义作为了解内容，在高考的考查当中以选择、填空为主.标准方程的考查在解答题第一问经常考查.教学内容教学重点：1.理解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程．2.掌握双曲线的标准方程及其求法．

教学难点：会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题．学生学情分析学生在学习过程当中对双曲线缺少应有的重视，成为了学生的一个失分点.而且由于学生对椭圆与双曲线的区别与联系认识不够，无法做到知识与方法的迁移，在学习双曲线时极易与椭圆混淆.在教学中要时刻注意运用类比的方法，让学生充分的类比体会椭圆与双曲线的异同点，使得椭圆与双曲线的学习能相互促进.教学目标[课标解读]1.理解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准方程.3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的应用问题．[素养目标]水平一：双曲线的定义及其标准方程的掌握.(直观想象)（数学抽象）(数学建模)水平二：双曲线标准方程的推导．(数学运算)(逻辑推理)(数据分析)水平三：利用定义过程中体现了数学建模、分类讨论思想、数形结合等思想方法.教学支持条件分析本节课由生活实例体现贴近生活性、几何画板的信息技术融入提高直观性、PPT多媒体放映.教学过程立足现实,提出问题.引导语：大家看下现实生活中的这几幅图的边缘线条是那么的优美对称，你能否感知是什么曲线吗？我们应该怎样画出这类曲线并且像以前学过的椭圆一样给出这种曲线严格定义呢？我们带着这些问题共同探索新曲线.师生活动：教师通过ppt播放现实中的有双曲线线条的图片，引导学生直观感知本节的课题《双曲线的标准方程》，学生根据教师的引导积极思考，并回答.设计意图：通过现实中的双曲线实例，让学生自己发现，说出本节课的课题，即让学生用数学的眼光观察世界.也是通过情境教学引入本节课的内容.问题1:请同学们先回顾下椭圆的定义及标准方程的学习过程是什么？师生活动：学生积极回顾回答，教师用流程图的形式回顾椭圆的研究思路.设计意图：先回顾椭圆的定义，让学生自已回答，以此来了解学生对椭圆定义的掌握情况。从已知的椭圆的定义入手探究，引起学生的思考，符合学生的认知过程，学生更加容易接受。问题2：我们知道，平面内与两个定点的距离的和等于常数（大于）的点的轨迹是椭圆，一个自然的问题是：平面内与两个定点的距离的差等于常数的点的轨迹是什么？2.探究新知，构建双曲线的概念探究：在直线上取两个定点，点P是直线上的动点，在平面内，取定点,以点为圆心、线段PA为半径作圆，再以点为圆心、线段PB为半径作圆，那么点P与线段AB的位置关系的变化与两圆交点M的轨迹的形状有怎样的关系呢？问题3：当点P在线段AB上运动时，若,则两圆是相交的，那么交点的轨迹是是什么呢？问题4：当点P在线段AB外运动时，若,则两圆的交点的轨迹又是什么呢？追问1：在演示的过程中哪些量是定量?哪些量是不定的量?追问2：动点M在运动过程中满足什么条件?追问3：动点M运动的轨迹是什么曲线？师生活动：教师通过几何画板边操作边提问如上一些问题.学生在观察教师的演示时，根据教师的引导设问积极思考回答.设计意图：利用几何画板追踪点的轨迹，让学生观察双曲线生成的整个动态的过程，学生就可以明显地看到哪些量是不变的，而哪些量是改变的，相互之间又有什么样的联系.这个过程非常能激发学生的兴趣.而且，学生可以通过演示发现双曲线的本质，自己得出双曲线的概念，自己观察习得而不是教师直接给出，体现了过程性变式.在这个过程中，降低了学生的认知难度，促进了理解，更重要的是，培养了学生的观察和思考能力，这种能力对后期的学习依然有很大的促进作用.问题5：你能否类比椭圆定义，给出双曲线的严格定义吗？追问1：若定义中去掉“绝对值”,则动点M的轨迹是什么呢？追问2：若,则动点M的轨迹又是什么呢？追问3：若定义中的“非零常数”改为0,则动点M的轨迹又是什么呢？问题6：你能用精确的数学符号语言刻画双曲线吗？双曲线定义数学表达式：.师生活动：学生尝试用精确的数学语言给出双曲线的定义.在此基础上，教师关注学生对定义中相关用语及符号表示：“平面内”“定点”“距离之差的绝对值”“非零常数”“常数小于两定点间的距离”“点的轨迹”的使用是否准确.如果学生不能准确表述教师可给出以下几个追问进行深刻理解掌握概念，在给出双曲线的概念的基础上，教师在引导学生了解焦点、焦距、半焦距等概念.设计意图：通过对问题5及3个追问、问题6强化双曲线概念的抽象与构建过程，提高学生思维的严谨性与语言表达能力；同时让学生获得焦点、焦距等概念.3.探究新知，推导双曲线的标准方程问题7：类比椭圆标准方程的推导过程，我们又如何用坐标法建立恰当的坐标系，推导出双曲线的标准方程呢？追问1:如何合理建系？追问2：如何处理两个根式、绝对值呢？师生活动：学生独立思考、讨论，教师教室巡查，并引导学生回顾椭圆的方程推导思想.并在此找学生代表推导，并在此引导提问学生如何建系、如何去绝对值，等推导难点,学生积极参与.设计意图：让学生运用类比思想完成方程的推导，提升学生的运算素养、逻辑推理的数学核心素养.问题8：我们该怎样理解“双曲线的方程”与“双曲线的方程”的关系呢？师生活动：学生在老师提问下，回顾曲线与方程的等价关系积极思考讨论老师的问题，教师引导规范。设计意图：意在让学生再次体会坐标法的严谨性，再次体会了曲线与方程关系的必要性，从而提升了学生的逻辑推理的数学核心素养.问题9：那么焦点在y轴上的双曲线的标准方程又是什么呢？师生活动：学生独立思考、讨论，教师引导学生类比椭圆得出答案，对学生的回答及时回馈鼓励.设计意图：让学生运用类比思想完成两种方程的推导.问题10：你是如何从双曲线的标准方程中，来判断焦点位置的？师生活动：教师引导，学生积极回顾椭圆回答.最后教师总结“化标准、找正项、焦点跟正者。”学生做好理解和记忆.设计意图：让学生能够很好的区分方程的两种形式，为后面求方程做好铺垫.问题11：你能否对比椭圆的定义及其标准方程，他们的区别及联系是什么呢？师生活动：学生回顾思考、讨论，积极回答老师的问题，教师完善，作总结，以表格的形式说明他们的区别及联系.设计意图：让学生有梳理的好习惯，更有利于区分两类圆锥曲线，为后面的应用打好基础.4、及时巩固，熟练运用.例1已知双曲线的两个焦点为，双曲线上一点到的距离的差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程.师生活动：学生独立思考、讨论，教师教室巡查,教师给出规范解答.设计意图：让学生能够很好的区分方程的两种形式，并且能够会用待定系数法求解方程.变式1：若||=10，求||的值？变式2：若||||=6，则点的轨迹是什么？变式3：若到距离的差的绝对值等于10呢，点的轨迹是什么？变式4：若到距离的差的绝对值等于0呢，点的轨迹是什么？变式5：已知双曲线的两个焦点为，且过点，求其标准方程；变式6:中心在原点，焦点在坐标轴上，两焦点的距离为8，实轴长为6，求其标准方程.师生活动：教师提问，学生积极思考，口答.设计意图：通过变式探究，让学生对定义辨析练习，加深定义理解，另外这几个变式的设置，从易到难，这样有“梯度”的设置才更符合学生的认知发展，有利于知识的接受，这是我们在进行变式教学需要注意的.在这个地方利用变式，既拓宽了学生的思路，又对方程的应用加以巩固.最后总结一下求双曲线标准方程的步骤:定焦点设方程求方程.例2已知两地相距，在地听到炮弹爆炸声比在地晚，且声速为则爆炸点M的位置形成的轨迹是什么？轨迹方程是什么？师生活动：学生独立思考、讨论，教师教室巡查，对于个别有困难学生给予合适引导指点，选派学生代表呈现结果.如果时间允许的话，教师可适当追问：如何改条件使得爆炸点的位置形成的轨迹是双曲线呢？能否求出轨迹方程呢？问题12：请大家思考，如何将例题中的条件修改，使得爆炸点M的位置形成的轨迹是双曲线呢？设计意图：设计意在考查学生数学建模思想，把所学运用到实际生活中，就是所谓的“用数学思维思考世界并用数学语言表达世界.”另外例的追问为后面学习双曲线的方程推导埋下伏笔.5.梳理课堂，形成小结.问题13：请回顾梳理双曲线的构建探究过程，你从本节课获得哪些知识？获得哪些基本活动经验？获得哪些思想方法？哪方面的数学核心素养获得提升？师生活动：学生积极思考、回答，教师给予补充完善，进一步深化理解双曲线定义以及构建过程及思想.教师从三个层面与同学共同总结梳理：1、研究思路；2、知识层面；3、思想方法层面；4、数学核心素养方面.设计意图：通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括梳理能力.6.目标检测，布置作业请同学们认真完成：基础作业：1、教科书P141课后练习A的第1、2、3、4题；P141练习B的第2、4两题。探究作业：1、完成P138拉链实验，探究其与几何画板画出的双曲线的内在联系及区别；2、与同学合作归纳椭圆与双曲线的探究过程，谈谈你的发现。实践作业（自愿完成）：1、采用探究式合作式学习方式，折纸法得双曲线步骤1：准备一张A4纸，并且画一个圆心为O半径为4的圆，圆外取一点A;步骤2：开始折纸，将点A折起落于圆上，用笔划出折痕;步骤3：重复步骤1、2至少20次;步骤4：观察折痕勾勒出的曲线.2、用类比思想总结梳理双曲线与椭圆的定义及标准方程的区别与联系。设计意图：设计不同层次的作业是根据学生的基础不同分层布置的，这样就会满足每个层次的学生.教学反思在本节教学中，从实际生活中的情境提出问题，引入课题，让学生用数学的眼光观察世界，通过类比椭圆定义学习双曲线，更符合学生的认知特点和心理发展规律．双曲线第一定义的学习，对于高中生目前的认知规律是适合的．通过几何画板中的拉链模型直观感知双曲线的特性及画的过程，学生可以更加形象地理解双曲线的定义．其次设置一连串的问题链层层探究，共同问题驱动学生高质量的思维活动，然后得出双曲线的定义，并用数形结合思想、分类讨论思想展开对定义的深刻辨析，最后通过实际生