浅议磁偏转问题确定圆心的方法

巧用圆性质，妙解磁偏转问题七法浙江省诸暨市学勉中学何锋311811vABθ带电粒子（不计重力）在磁场中的偏转问题，是常见的力学、电磁学知识结合的典型综合题，各地高考几乎每年必考。如：08年高考浙江卷(全国I)25题（22分）、10年高考浙江卷24题（22分）等，带电粒子的运动轨迹是圆周或圆弧，物理上通常把这种运动称为圆偏转，又叫磁偏转。分析磁偏转问题要注意两个因素：第一是带电粒子运动的环境——有界磁场，常见的有界磁场形状有圆形、三角形、矩形；第二是运动对象——带电粒子的入射和出射速度（大小和方向）、粒子的电量和质量等相关量。求解这类问题的关键是：在综合分析以上两个因素的基础上，充分运用圆周的知识（平面几何），确定轨迹圆圆心、半径和粒子的偏转角，获得半径r的长度，再由r=mv/qB求解某些量；或根据r=mv/qB求得半径，找准圆心的位置，作出粒子的运动轨迹（圆周或圆弧），再根据长度、角度关系和物理规律确定有关答案；即：找圆心、求半径、画轨迹。vABθ问题1（简化模型）：如图1所示，离子带负电，与AB成θ角射入磁场区域，A为入射点，B为出射点，请作出粒子在磁场中运动的轨迹图。图11.垂直平分线法图1vAvABθO图2C（1）过A作直线AC垂直于入射速度v矢量[因为圆心一定在直线AC上，以下各种作法的第一步均与此法（1）相同]；（2）作线段AB的垂直平分线交AC于O；（3）以O为圆心，OA为半径作圆；（4）连接OB，作OB的垂线即为出射速度的方向，弧AB为粒子在磁场中的运动轨迹。此法定圆心是（1）、（2）两步，而作弦AB的垂直平分线是确定圆心的关键，故取名垂直平分线法。vABvABθO图3C如图3所示，此法作图步骤为：（1）过A点作直线AC垂直于入射速度v矢量；（2）过B点作∠ABO=∠CAB，且BO交AC于O点，O点即为圆心。（3）以O为圆心，OA为半径作圆，弧AB即为带电粒子在磁场中的运动轨迹。vDABvDABθO图4C3.直角三角形法如图4所示，此法作图步骤为：（1）过A作直线AC垂直于入射速度v矢量；（2）过B点作BD⊥AB，交AC于D，AD必为圆的直径；（3）取AD的中点O，O必为圆心；（4）以O为圆心，OA为半径作圆，弧AB即为粒子在磁场中的运动轨迹。此法的依据是半圆上的圆周角为直角，此直角的两边与圆的两个交点和直角顶点构成的三角形为直角三角形，而直角三角形的斜边即为直径，故此法的关键是作出一个符合条件的直角三角形，因此该法命名为直角三角形法。4.切线半径法如图5所示，此法的作图步骤为：vCvCABθO图5（2）在AC上截取AO=r=mv/qB，O点即为圆心；（3）以O为圆心，AO为半径作圆，弧AB即为粒子的运动轨迹，θvθvvCABθO图6D5.角平分线法如图6所示，此法作图步骤为：（1）过A点作直线AC垂直于入射速度v矢量；（2）过B点作出射速度v矢量与AB的延长线成θ角；（由圆的几何性质可知出射速度v矢量与AB延长线必定夹θ角）（3）将入射速度v矢量延长，将出射速度v延长，两延长线相交于D，作∠ADB的角平分线与AC交于O点，O点即为圆心；（4）以O点为圆心，OA为半径作圆，弧AB即为粒子的运动轨迹。θvθvvCABθO图76.半径相交法如图7所示，半径相交法的作图步骤为：（1）过A点作直线AC垂直于入射速度v矢量；（2）过B点作出射速度v矢量与AB的延长线成θ角；（3）过B点作出射速度v矢量的垂线交AC于O点，O点即为圆心；（4）以O点为圆心，OA为半径作圆弧，弧AB即为粒子的运动轨迹；此法根据半径的交点即为圆心作图，故取名为半径相交法。以上诸法在已知磁场区域，已知带电粒子的入射点和出射点时，使用起来均很方便，（现以10年高考浙江卷24题（1、2小题）为例）BBⅡⅠ在一个放射源水平放射出和三种射线，垂直射入如图所示磁场。区域Ⅰ和Ⅱ的宽度均为d，各自存在着垂直纸面的匀强磁场，两区域的磁感强度大小BBⅡⅠ（2）若B=0.0034T，v1=0.1c（c是光速度），则可得d；粒子的速率为0.001c，计算和射线离开区域Ⅰ时的距离；并给出去除和射线的方法。已知：电子质量，粒子质量，电子电荷量，（时）。BBⅡⅠ解析：（1）要粒子能够进入区域II，则临界轨道的半径r=d，由法4BBⅡⅠ由，又r=d得（2）由（1）对电子：BBⅡⅠyBBⅡⅠy仍由法4切线半径法作出轨道如右竖直方向上的距离区域Ⅰ的磁场不能将射线和射线分离，可用薄纸片挡住射线，用厚铅板挡住射线。但遇到磁场区域未知及粒子的入射点或出射点未知时，就不那么得心应手，如以下问题问题2：（10年全国卷I25题(18分)）如图所示，在0≤x≤a、o≤y≤范围内有垂直手xy平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。坐标原点0处有一个粒子源，在某时刻发射大量质量为m、电荷量为q的带正电粒子，它们的速度大小相同，速度方向均在xy平面内，与y轴正方向的夹角分布在0～范围内。己知粒子在磁场中做圆周运动的半径介于a／2到a之间，从发射粒子到粒子全部离开磁场经历的时间恰好为粒子在磁场中做圆周运动周期的四分之一。求最后离开磁场的粒子从粒子源射出时的(1)速度的大小：(2)速度方向与y轴正方向夹角的正弦。此时可以应用第七种方法：轨迹法。7.轨迹法如图8所示，其步骤为：（1）求出半径r=mv/qB；（2）在A点的下方作与入射速度v矢量相距为r的平行线；（3）在B点的左方作与出射速度v矢量相距为r的平行线，两平行线相交于O，O点即为圆心。此法的依据是与直线相距为r的点都在和直线相距为r的平行线上，此题也可以先作一条平行线，再作两速度矢量的夹角的平分线，两线的交点即为圆心。以下是问题2的解析设粒子的发射速度为v，粒子做圆周运动的轨道半径为R，根据牛顿第二定律和洛伦兹力得：，解得：（≤R≤a）设最后离开磁场的粒子的发射方向与y轴正方向的夹角为α，由法7轨迹法作图如右所示：yxOvDPαAO’yxOvDPαAO’L2RααL1R（2）在