陕西省咸阳市2024年高考模拟检测（三）数学（文科）试题【含答案解析】

咸阳市2024年高考模拟检测（三）数学（文科）试题注意事项：1.本试题共4页，满分150分，时间120分钟.2.答卷前，务必将答题卡上密封线内的各项目填写清楚.3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.4.考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试题不回收.第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数满足，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据给定条件，利用复数模及除法运算求得，再求出共轭复数.【详解】由，得，则，所以.故选：D2.已知全集为，集合，集合，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出集合中元素范围，然后根据补集和交集的概念得答案.【详解】，则或，所以.故选：C.3.数列中，，，则（）A.43 B.46 C.37 D.36【答案】C【解析】【分析】由递推公式用累加法公式求出，再求即可.【详解】法一：由题得，所以.法二：由题，，所以.故选：C.4.已知，，，则是的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】D【解析】【分析】分别求得为真时，，为真时，,可得结论.【详解】为真时，可得，所以，为真时，，又所以，所以，所以为真时，,所以是的即不充分又不必要条件.故选：D.5.在中，分别为的内角的对边，为边上一点，满足，若，，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由已知条件求出，由余弦定理求出，再由正弦定理求出，进而求出，在中，由余弦定理即可求出详解】由已知，，则，因为，所以，又，，代入，解得，因为为边上一点，满足，所以，由正弦定理，即，解得，所以，设，则在中，由余弦定理，得，解得，即.故选：A.6.随机取实数，则关于的方程有两个负根的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】考查几何概率，求出关于的方程有两个负根的p的取值范围即可求所求概率.【详解】方程有两个负根，则，或，所以所求概率为.故选：C.7.已知各棱长都为1的平行六面体中，棱、、两两的夹角均为，则异面直线与所成角为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据给定条件，结合平行六面体的结构特征，利用几何法求出异面直线与所成角.【详解】在平行六面体中，连接，，则四边形是平行四边形，，于是是异面直线与所成角或其补角，由，棱两两的夹角均为，得都是正三角形，即，则，所以异面直线与所成角为.故选：C8.为了进一步提升城市形象，满足群众就近健身和休闲的需求，2023年某市政府在市区多地规划建设了“口袋公园”.如图，在扇形“口袋公园”中，准备修一条三角形健身步道，已知扇形的半径，圆心角，是扇形弧上的动点，是半径上的动点，，则面积的最大值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】设，在中利用正弦定理及三角形面积公式列出函数关系，再求出函数最大值即得.【详解】设，由，得，在中，由正弦定理得，即，则的面积，显然，因此当，即时，，所以面积的最大值为.故选：A9.某校组织知识竞赛，已知甲同学答对第一题的概率为，从第二题开始，甲同学回答第题时答错的概率为，，当时，恒成立，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据给定条件，求出数列的通项，再借助单调性求出的最小值即可得解.【详解】依题意，，当时，由，得，而，因此数列是首项为，公比为的等比数列，则，即，显然数列是递增数列，当时，，而当时，恒成立，于是，所以的最大值为.故选：A10.已知一个圆锥的三视图如图，该圆锥的内切球也是棱长为的正四面体的外接球，则此正四面体的表面积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先由三视图获取圆锥的高、底面半径和母线的长，从而求出圆锥内切球，再结合正四面体和正方体的关系即可探究正四面体棱长和该内切球半径的关系，进而即可求出正四面体的表面积.【详解】由圆锥的三视图如图可知圆锥的高为，底面半径为2，则母线长，由圆锥结构特征可知：圆锥的轴过其内切球（半径设为r）球心O，所以过圆锥的轴截圆锥及其内切球得到的截面图如下：由上可知，故有，即，，将棱长为a的正四面体补形为正方体，如图，则正方体的棱长为，且该正四面体的外接球即为正方体的外接球，所以，即，所以正四面体的表面积为.故选：C.11.已知函数，若在区间内有且仅有4个零点和4条对称轴，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用辅助角公式化简函数，再结合正弦函数的零点及对称性列式求解即得.【详解】函数，当时，，由在区间内有且仅有4个零点，得，解得，由在区间内有且仅有4条对称轴，得，解得，所以的取值范围是.故选：C12.已知双曲线（，）的左右焦点分别为、，左右顶点分别为、，为（为原点）中点，为双曲线左支上一点，且，直线的斜率为，为的内心，则下列说法正确的是（）A.的离心率为B.的渐近线方程为：C.平分D.【答案】C【解析】【分析】由题设及双曲线性质可得且，即可判断A、B；根据角平分线性质只需判断、是否相等判断C；设的内切圆的半径为，由三角形面积公式计算即可判断D.【详解】由题设且，又，所以，而，故，由，则，故，所双曲线的离心率为，故A正确；由上可得，故C的渐近线方程为，B错误；由，则，故，而为的中点，则，，故，由角平分线性质易知：平分，C正确；设的内切圆的半径为，，可得，由勾股定理可得，所以，，故D不正确.故选：C.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知椭圆的左、右焦点分别为、，为椭圆上任意一点，为曲线上任意一点，则的最小值为______.【答案】【解析】【分析】求出点的坐标，求出圆的圆心和半径，再利用圆的性质求出最小值.【详解】椭圆中，右焦点，圆的圆心，半径，显然椭圆与圆相离，由点在圆上，得，于是，当且仅当分别是线段与椭圆、圆的交点时取等号，所以的最小值为.故答案为：14.，满足约束条件，则的最大值为______.【答案】5【解析】【分析】作出约束条件表示的平面区域，再利用目标函数的几何意义求出最大值.【详解】约束条件表示的平面区域，如图中阴影，其中，目标函数，即表示斜率为，纵截距为的平行直线系，画直线，平移直线到直线，当直线经过点时，的纵截距最大，最大，，所以的最大值为5.故答案为：515.已知函数为偶函数，满足，且时，，若关于的方程有两解，则的值为______.【答案】49或【解析】【分析】由已知可得是以为周期的周期函数，结合已知可作出函数的图象，关于的方程有两解，可得与的图象有两个交点，数形结合可求的值.【详解】由，可得，所以是以为周期的周期函数，又为偶函数，且，故可作出函数的图象如图所示：若关于的方程有两解，则与的图象有两个交点，当，则过点,所以，解得，当，则过点,所以，解得，综上所述：的值为或.故答案为：或.16.关于的不等式恒成立，则的最小值为__________．【答案】【解析】【分析】由，得，利用导数证明，则问题转化为恒成立，即可得解.【详解】令，则，当时，，当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，由，得，而，令，则，所以，若，如图作出函数的图象，由函数图象可知，方程有唯一实数根，即，由，得，即，当时，，即，又，，所以，所以不成立，即当时，不恒成立，综上所述，最小值为.故答案为：.【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：（1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；（2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．（3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.数列满足，.（1）求数列通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）变形给定等式，利用等差数列求出通项即得.（2）利用（1）的结论，求出，按为奇数和偶数并结合并项求和法分别求和.【小问1详解】数列中，，，显然，则，数列是首项为1，公差为1的等差数列，，所以数列通项公式.【小问2详解】由（1）知，，当时，，，当时，，所以.18.阅读是人类获取知识、启智增慧、培养道德的重要途径.1995年，联合国教科文组织宣布4月23日为“世界读书日”，致力于向全世界推广阅读、出版和对知识产权的保护.某学校为了打造“书香校园”，使学生养成好的阅读习惯，健康成长，从学校内随机抽取了200名学生一周的课外阅读时间进行调查，了解学生的课外阅读情况，收集了他们阅读时间（单位：小时）等数据，并将样本数据分成，，，，，，，，九组，绘制成如图所示的频率分布直方图：（1）求的值及200名学生一周课外阅读时间的平均数；（2）为进一步了解这200名学生一周课外阅读时间的情况，从课外阅读时间在，两组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了6人，选取其中两人组成小组，现求其中两名组员全在内的概率.【答案】（1），小时；（2）.【解析】【分析】（1）利用给定的频率分布直方图，结合各小矩形面积和为1求出，再估计一周课外阅读时间的平均数.（2）求出指定的两组内各抽取的人数，利用列举法、结合古典概率求解即得.【小问1详解】由频率分布直方图得：，解得，平均数（小时），所以，200名学生一周课外阅读时间的平均数为小时.【小问2详解】在这两组采用分层抽样的方法抽取6人，则从课外阅读时间在内的学生中抽取5人，记为，课外阅读时间在内的学生中抽取1人，记为，于是有，共15种，且每种结果的发生是等可能的，而满足两名组员都在内的情况有，共10种，所以两名组员全在内的概率为.19.已知平行四边形中，，，且.若为边上一点，满足，若将三角形沿着折起，使得二面角为.（1）求证：平面；（2）求四棱锥的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）在平行四边形中结合余弦定理证明，在几何体中，由二面角结合余弦定理证明，再利用线面垂直的判定推理即得.（2）在线段DE上取一点，使得，证明平面ABED，再利用锥体体积公式计算即得.【小问1详解】在中，连接BE，，且，在中，，又，则，由余弦定理得：，解得，因为，则，即，在折叠后的几何体中，由，且平面CDE，则平面CDE，又平面CDE，则，由，及二面角为，得为二面角的平面角，即，在中，，由余弦定理得，于是，则，即，因为平面BCE，所以平面BCE.【小问2详解】如图，在线段DE上取一点，使得，连接CO，在中，，由余弦定理得，于是，则，即，由（1）知平面平面DCE，则，又，且平面ABED，则平面ABED，即四棱锥的高为OC，又，则，所以四棱锥的体积为.20.已知函数.（1）当时，求函数极值；（2）若对任意，恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）极大值，无极小值；（2）.【解析】【分析】（1）把代入，并求出函数，再利用导数探讨极值即可得解.（2）变形给定不等式，证明并分离参数，构造函数，利用导数求出最小值即得.【小问1详解】函数的定义域为，当时，，求导得，由，得，由，得，由，得，因此在上单调递增，在上单调递减，所以在处取得极大值，无极小值.【小问2详解】函数，，，设，，求导得，函数在上单调递减，则，即，因此，令，，求导得，令，，求导得，当时，，当时，，即在上单调递减，在上单调递增，则，即，因此函数在上是增函数，，所以，即实数的取值范围为.【点睛】关键点点睛：涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，构造函数，利用导数探求函数单调性、最值是解决问题的关键.21.已知直线过定点，动圆过点，且在轴上截得的弦长为4，设动圆圆心轨迹为曲线.（1）求曲线的方程；（2）点，，为上的两个动点，若，，恰好为平行四边形的其中三个顶点，且该平行四边形对角线的交点在上，记平行四边形的面积为，求证：.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）设出点的坐标，利用圆的弦长公式列式化简即得.（2）设出点的坐标，结合给定条件，探讨直线的斜率，表示出该直线方程，再与抛物线方程联立，建立四边形的面积的函数关系，利用导数求出最大值即得.【小问1详解】设圆心坐标为过定点，依题意，，化简得，所以曲线的方程为.【小问2详解】显然点不在曲线上，设，直线PQ的斜率为，线段PQ的中点为，由平行四边形PAQB对角线的交点在上，得线段PQ的中点在直线上，设，显然，两式相减得，又，即，设直线PQ的方程为，即，由消去x并整理得，，则，解得，则，又点到直线PQ的距离为，所以，，记，由，得，则，令，求导得，令，得，当时，在区间内单调递增，所以当，即时，取得最大值，即，所以.【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：①几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；②代数法，若题目条件和