第十二章全等三角形复习讲义-2024-2025学年人教版数学八年级上册

第1页（共1页）第12章全等三角形复习讲义-数学八年级上册人教版eq\o\ac(○,热)eq\o\ac(○,点)eq\o\ac(○,考)eq\o\ac(○,点)eq\o\ac(○,解)eq\o\ac(○,读)高频考点梳理高频考点梳理全等三角形的判定（1）判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等．（2）判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．（3）判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．（4）判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．（5）判定定理5：HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等．方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．全等三角形的性质（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．角平分线的性质角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE清易错清易错1．如图，已知A，D，C，E在同一直线上，BC和DF相交于点O，AD＝CE，AB∥DF，AB＝DF．（1）求证：△ABC≌△DFE；（2）连接CF，若∠BCF＝54°，∠DFC＝20°，求∠DFE的度数．【解答】（1）证明：∵AB∥DF，∴∠A＝∠EDF，∵AD＝CE，∴AD+CD＝CE+CD，即AC＝DE，在△ABC和△DFE中，，∴△ABC≌△DFE（SAS）；（2）解：∵∠BCF＝54°，∠DFC＝20°，∴∠DOC＝∠BCF+∠DFC＝54°+20°＝74°，∵AB∥DF，∴∠B＝∠DOC＝74°，∵△ABC≌△DFE，∴∠DFE＝∠B＝74°．2．已知：如图，点D在AB边上（不与点A，点B重合），E在AC边上（不与点A，点C重合），连接BE，CD，BE与CD相交于点O，AB＝AC，∠B＝∠C．有以下四个结论：①BE＝CD；②BO＝CO；③DO＝EO；请选一个正确结论进行证明．【解答】解：正确的结论是①②③．选择①证明如下：在△ABE和△ACD中，，∴△ABE≌△ACD（ASA），∴BE＝CD；选择②证明如下：在△ABE和△ACD中，，∴△ABE≌△ACD（ASA），∴AD＝AE，∵AB＝AC，∴AB﹣AD＝AC﹣AE，即BD＝CE，在△BOD和△COE中，，∴△BOD≌△COE（AAS），∴BO＝CO；选择③证明如下：在△ABE和△ACE中，，∴△ABE≌△ACD（ASA），∴BE＝CD，∵AB＝AC，∴BD＝CE，在△BOD和△COE中，，∴△BOD≌△COE（AAS），∴EO＝DO．3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE⊥AB于点D，交AC于点M，且ED＝AC，过点E作EF∥BC分别交AB，AC于点F，N．求证：AB＝EF．【解答】证明：∵DE⊥AB，∴∠EDF＝90°，∵∠C＝90°，∴∠EDF＝∠C＝90°，∵EF∥BC，∴∠EFD＝∠B，在△ABC和△EFD中，，∴△ABC≌△EFD（AAS），∴AB＝EF．eq\o\ac(

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,学)精选好题精选好题一．选择题（共8小题）1．如图所示，在△ABC和△DCB中，AB＝DC，要使△ABO≌△DCO，可以添加的条件是（）A．AO＝DO B．BO＝OC C．∠ACB＝∠DBC D．∠A＝∠D2．如图，AD是△ABC的边BC上的中线，AB＝7，AD＝5，则AC的取值范围为（）A．3＜AC＜17 B．3＜AC＜15 C．1＜AC＜6 D．2＜AC＜123．如图，BD与CE交于O，AE＝AD，添加一个条件，仍不能使△ABD≌△ACE的是（）A．BE＝DC B．CE＝BD C．∠1＝∠2 D．∠ABC＝∠ACB4．如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，AB＝8cm，AC＝6cm，则S△ABD：S△ACD为（）A．9：16 B．3：4 C．16：9 D．4：35．如图，在平面直角坐标系中，C（4，4），点B、A分别在x轴正半轴和y轴正半轴上，∠ACB＝90°，则OA+OB等于（）A．8 B．9 C．10 D．116．已知图中的两个三角形全等，则∠α的度数是（）A．72° B．60° C．58° D．50°7．如图所示，△ABC≌△DEF，AD＝8，AE＝2，则AB的长是（）A．10 B．8 C．6 D．48．已知：如图，在△ABC，△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，点C，D，E三点在同一条直线上，连接BD，BE．以下四个结论：①BD＝CE；②∠ACE+∠DBC＝45°；③BD⊥CE；④∠BAE+∠DAC＝180°．其中结论正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4二．填空题（共8小题）9．如图，△ABC中，D为BC的中点．若AB＝5，AC＝4，则AD的取值范围．10．如图，AB＝AC，点D，E分别在AB与AC上，CD与BE相交于点F．只填一个条件使得△ABE≌△ACD，添加的条件是：．11．如图，BC、AE是锐角△ABF的高，相交于点D，若AD＝BF，AF＝7，CF＝2，则BD的长为．12．如图，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∠BAD＝25°，∠ACE＝30°，则∠ADE＝°．13．如图，已知△ABC的周长是22，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD＝3，△ABC的面积是．14．如图，在△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点C的坐标为（﹣2，0），点A的坐标为（﹣8，3），点B的坐标是．15．如图，AB∥CD，DF＝EF，AB＝12，CD＝9，则AE等于．16．如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，△ABC的角平分线AD，相交于点P，过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H，则下列结论①∠APB＝135°；②PF＝PA；③∠F＝30°；④S△ACD：S△ABD＝AC：AB；⑤AH+BD＝AB，正确的序号是．三．解答题（共5小题）17．如图，已知点A、D、C、F在同一条直线上，AB＝DE，AD＝CF，BC＝EF，求证：（1）△ABC≌△DEF；（2）BC∥EF．18．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D在BC的延长线上，且BD＝AB．过点B作BE⊥AC，与BD的垂线DE交于点E．（1）求证：△ABC≌△BDE（2）若AB＝12，DE＝5，求CD的长．19．如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD、BE＝CF，（1）求证：AD平分∠BAC；（2）已知AC＝20，BE＝4，求AB的长．20．如图所示，在△ABC和△ADE中，∠BAD＝∠EAC，∠E＝∠ACB，AD＝AB．（1）求证：△ABC≌△ADE；（2）若BC的延长线交DA于点F，交DE于点G，∠B＝60°，∠GCA＝80°，∠CAF＝15°，求∠1的度数．21．如图，AD＝AC，AB＝AE，∠DAB＝∠CAE．（1）如图1，求证：DE＝BC．（2）如图2，设BC与DE交于点O，连接AO，在不添加任何辅助点的情况下，请直接写出图中所有的全等三角形（不包含（1）中的全等三角形）．

第12章全等三角形复习讲义-数学八年级上册人教版参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．如图所示，在△ABC和△DCB中，AB＝DC，要使△ABO≌△DCO，可以添加的条件是（）A．AO＝DO B．BO＝OC C．∠ACB＝∠DBC D．∠A＝∠D【解答】解：AB＝DC（已知），∠AOB＝∠DOC（对顶角相等），A、当AO＝DO时，SSA无法证明△ABO≌△DCO，不符合题意；B、当BO＝OC时，SSA，无法证明△ABO≌△DCO，不符合题意；C、当∠ACB＝∠DBC时，有BO＝OC，SSA无法证明△ABO≌△DCO，不符合题意；D、∠A＝∠D，利用AAS证明△ABO≌△DCO，符合题意；故选：D．2．如图，AD是△ABC的边BC上的中线，AB＝7，AD＝5，则AC的取值范围为（）A．3＜AC＜17 B．3＜AC＜15 C．1＜AC＜6 D．2＜AC＜12【解答】解：延长AD至E，使DE＝AD，连接CE．在△ABD与△ECD中，，∴△ABD≌△ECD（SAS），∴CE＝AB．在△ACE中，AE﹣EC＜AC＜AE+CE，即5+5﹣7＜AC＜5+5+7，3＜AC＜17．故选：A．3．如图，BD与CE交于O，AE＝AD，添加一个条件，仍不能使△ABD≌△ACE的是（）A．BE＝DC B．CE＝BD C．∠1＝∠2 D．∠ABC＝∠ACB【解答】解：∵∠A＝∠A，AE＝AD，∴当BE＝CD时，则AB＝AC，依据SAS即可得到△ABE≌△ACD；当CE＝BD时，则△ABD和△ACE全等条件是SSA，不能判定△ABD≌△ACE；当∠1＝∠2时，由于∠EOB＝∠DOC，则∠ABD＝∠ACE，依据ASA即可得到△ABE≌△ACD；当∠ABC＝∠ACB时，则AB＝AC，依据SAS即可得到△ABE≌△ACD；故选：B．4．如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，AB＝8cm，AC＝6cm，则S△ABD：S△ACD为（）A．9：16 B．3：4 C．16：9 D．4：3【解答】解：作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∵AD是∠BAC的平分线，∴DE＝DF，∴S△ABD：S△ACD＝AB•DE：AC•DF＝AB：AC＝8：6＝4：3．故选：D．5．如图，在平面直角坐标系中，C（4，4），点B、A分别在x轴正半轴和y轴正半轴上，∠ACB＝90°，则OA+OB等于（）A．8 B．9 C．10 D．11【解答】解：过C作CM⊥y轴于M，CN⊥x轴于N，则∠CMA＝∠CNB＝90°，∵C（4，4），∴CN＝CM＝4，∵∠MON＝∠CNO＝∠CMO＝90°，∴∠MCN＝360°﹣90°﹣90°﹣90°＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠MCN，∴∠ACM＝∠BCN，在△ACM和△BCN中，，∴△ACM≌△BCN（ASA），∴AM＝BN，∴OA+OB＝OA+0N+BN＝OA+ON+AM＝ON+OM＝4+4＝8．故选：A．6．已知图中的两个三角形全等，则∠α的度数是（）A．72° B．60° C．58° D．50°【解答】解：∵图中的两个三角形全等，∴a与a，c与c分别是对应边，那么它们的夹角就是对应角，∴∠α＝72°．故选：A．7．如图所示，△ABC≌△DEF，AD＝8，AE＝2，则AB的长是（）A．10 B．8 C．6 D．4【解答】解：∵△ABC≌△DEF，∴AB＝ED，∵AD＝8，AE＝2，∴DE＝AE+AD＝8+2＝10，∴AB＝ED＝10．故选：A．8．已知：如图，在△ABC，△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，点C，D，E三点在同一条直线上，连接BD，BE．以下四个结论：①BD＝CE；②∠ACE+∠DBC＝45°；③BD⊥CE；④∠BAE+∠DAC＝180°．其中结论正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：①∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，即∠BAD＝∠CAE，∵在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝CE，本选项正确；②∵△ABC为等腰直角三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∴∠ABD+∠DBC＝45°，∵△BAD≌△CAE，∴∠ABD＝∠ACE，∴∠ACE+∠DBC＝45°，本选项正确；③∵∠ABD+∠DBC＝45°，∴∠ACE+∠DBC＝45°，∴∠DBC+∠DCB＝∠DBC+∠ACE+∠ACB＝90°，则BD⊥CE，本选项正确；④∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAE+∠DAC＝360°﹣90°﹣90°＝180°，故此选项正确，故选：D．二．填空题（共8小题）9．如图，△ABC中，D为BC的中点．若AB＝5，AC＝4，则AD的取值范围．【解答】解；如图所示，延长AD到E使得AD＝DE，连接BE，∵D为BC的中点，∴CD＝BD，又∵∠ADC＝∠EDB，∴△ADC≌△EDB（SAS），∴BE＝AC＝4，在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE，∴5﹣4＜AE＜5+4，即1＜AE＜9，∴，故答案为：．10．如图，AB＝AC，点D，E分别在AB与AC上，CD与BE相交于点F．只填一个条件使得△ABE≌△ACD，添加的条件是：∠B＝∠C（答案不唯一）．【解答】解：∵∠B＝∠C，AB＝AC，∠A＝∠A，∴△ABE≌△ACD（ASA），故答案为：∠B＝∠C（答案不唯一）．11．如图，BC、AE是锐角△ABF的高，相交于点D，若AD＝BF，AF＝7，CF＝2，则BD的长为3．【解答】解：∵BC、AE是锐角△ABF的高，∴∠DCA＝∠BCF＝∠AEF＝90°，∵∠DAC+∠ADC＝90°，∠EAF+∠F＝90°∴∠ADC＝∠F，在△ADC和△BFC中，，∴△ADC≌△BFC（AAS），∴CD＝CF＝2，BC＝AC＝AF﹣CF＝7﹣2＝5∴BD＝BC﹣CD＝5﹣2＝3，故答案为：3．12．如图，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∠BAD＝25°，∠ACE＝30°，则∠ADE＝55°．【解答】解：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，∴∠1＝∠EAC，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS）；∴∠ABD＝∠2＝30°，∵∠1＝25°，∴∠3＝∠1+∠ABD＝25°+30°＝55°，故答案为：55．13．如图，已知△ABC的周长是22，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD＝3，△ABC的面积是33．【解答】解：如图，连接OA，∵OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，∴点O到AB、AC、BC的距离都相等，∵△ABC的周长是22，OD⊥BC于D，且OD＝3，∴S△ABC＝×22×3＝33．故答案为：33．14．如图，在△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点C的坐标为（﹣2，0），点A的坐标为（﹣8，3），点B的坐标是（1，6）．【解答】解：过A和B分别作AD⊥OC于D，BE⊥OC于E，∵∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠CAD＝90°∠ACD+∠BCE＝90°，∴∠CAD＝∠BCE，在△ADC和△CEB中，∵，∴△ADC≌△CEB（AAS），∴DC＝BE，AD＝CE，∵点C的坐标为（﹣2，0），点A的坐标为（﹣8，3），∴OC＝2，AD＝CE＝3，OD＝8，∴CD＝OD﹣OC＝6，OE＝CE﹣OC＝3﹣2＝1，∴BE＝6，∴则B点的坐标是（1，6）故答案为（1，6）15．如图，AB∥CD，DF＝EF，AB＝12，CD＝9，则AE等于3．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠D＝∠FEB，在△DFC与△EFB中，，∴△DFC≌△EFB（ASA），∴CD＝BE，∵AB＝12，CD＝9，∴AE＝AB﹣BE＝12﹣9＝3，故答案为：3．16．如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，△ABC的角平分线AD，相交于点P，过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H，则下列结论①∠APB＝135°；②PF＝PA；③∠F＝30°；④S△ACD：S△ABD＝AC：AB；⑤AH+BD＝AB，正确的序号是①②④⑤．【解答】解：在△ABC中，AD、BE分别平分∠BAC、∠ABC，∵∠ACB＝90°，∴∠BAC+∠ABC＝90°，∵AD、BE分别平分∠BAC、∠ABC，∴∠BAD+∠ABE＝（∠A+∠B）＝45°，∴∠APB＝135°，故①正确．∴∠BPD＝45°，∵PF⊥AD，∴∠FPB＝90°+45°＝135°，∴∠APB＝∠FPB，∵∠ABP＝∠FBP，BP＝BP，∴△ABP≌△FBP（ASA），∴∠BAP＝∠BFP，AB＝FB，PA＝PF，故②正确．在△APH和△FPD中，∵∠APH＝∠FPD＝90°，∠PAH＝∠BAP＝∠BFP，PA＝PF，∴△APH≌△FPD（ASA），∴AH＝FD，∵AB＝FB，∴AB＝FD+BD＝AH+BD．故⑤正确，若∠F＝30°，则∠CAD＝∠BAD＝30°，∴∠CAB＝60°，显然不符合条件，故③错误．过点D作DR⊥AB于点R，∵AD平分∠BAC，DC⊥AC，DR⊥AB，∴DC＝DR，∴S△ACD：S△ABD＝•AC•DC：•AB•DR＝AC：AB，故④正确．故答案为：①②④⑤．三．解答题（共5小题）17．如图，已知点A、D、C、F在同一条直线上，AB＝DE，AD＝CF，BC＝EF，求证：（1）△ABC≌△DEF；（2）BC∥EF．【解答】证明：（1）∵AD＝CF∴AC＝DF，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SSS）；（2）由（1）△ABC≌△DEF，∴∠ACB＝∠F∴BC∥EF．18．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D在BC的延长线上，且BD＝AB．过点B作BE⊥AC，与BD的垂线DE交于点E．（1）求证：△ABC≌△BDE（2）若AB＝12，DE＝5，求CD的长．【解答】（1）证明：∵BE⊥AC，∴∠A+∠ABE＝90°，∵∠ABC＝90°，∴∠DBE+∠ABE＝90°，∴∠A＝∠DBE，在△ABC和△BDE中，，∴△ABC≌△BDE（ASA）；（2）解：AB＝DE+CD，理由：由（1）证得，△ABC≌△BDE，∴AB＝BD，BC＝DE，∵BD＝CD+BC，∴AB＝CD+DE．∵AB＝12，DE＝5，∴CD＝AB﹣DE＝12﹣5＝7．19．如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD、BE＝CF，（1）求证：AD平分∠BAC；（2）已知AC＝20，BE＝4，求AB的长．【解答】（1）证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠E＝∠DFC＝90°，∴在Rt△BED和Rt△CFD中，，∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），∴DE＝DF，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴AD平分∠BAC；（2）解：∵∠AED＝∠AFD＝90°，AD＝AD，DE＝DF，∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL）∴AE＝AF，∵AC＝20，CF＝BE