七种零点问题-2023年新高考数学一轮复习核心考点解析版

七种零点问题

i.转化思想在函数零点问题中的应用

方程解的个数问题可转化为两个函数图象交点的个数问题；已知方程有解求参数范围问题可转

化为函数值域问题.

2.判断函数零点个数的常用方法

⑴通过解方程来判断.

(2)根据零点存在性定理，结合函数性质来判断.

⑶将函数y=f(x)—g(x)的零点个数转化为函数y=/)与y=g(x)图象公共点的个数来判断.

3.正弦型函数的零点个数问题，可先求出零点的一般形式，再根据零点的分布得到关于整数%的不等式组，

从而可求相应的参数的取值范围.

4.涉及含参的函数零点问题，利用导数分类讨论，研究函数的单调性、最值等，结合零点存在性定理，借助

数形结合思想分析解决问题.

5.函数零点的求解与判断方法：

(1)直接求零点：令yu)=o,如果能求出解，则有几个解就有几个零点.

(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间m，切上是连续不断的曲线，且火编十力〈0,还必须结

合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点.

(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不

同的值，就有几个不同的零点.

6.对于复合函数丫=的零点个数问题，求解思路如下：

(1)确定内层函数u=g(x)和外层函数y=f(u);

⑵确定外层函数y=/(“)的零点冒==1,2,3,…,n)；

a

(3)确定直线u==1,2,3,…，〃)与内层函数u=g(x)图象的父点个数分别为四、a2'<z3'n'则

函数y=/'S(x)]的零点个数为生+a2+a3+•••+an-

Q能力拓展

题型一：零点存在定理法判断函数零点所在区间

一、单选题

1.(2022•河南河南•三模(理))若实数8Zrc满足Q=[0gl4,/=7,，则()

A.a<b<cB.b<c<a

c.a<c<bD.b<a<c

【答案】A

【分析1结合对数函数、函数零点存在性定理等知识求得正确答案.

,

【详解】a=iogi4<logil=0

aa

b3=7<23,l<b<2'

对于函数/㈤=g_2>0)，

/1(%)在(0,+8)上递增‘=in2-i<0,/(e)=i-i>o'

所以f(x)存在唯一零点x=c，ce(2,e)，使〃c)=0，

所以对于ac=2,有cw(2,e)，

r

所以a<b<c.

故选：A

2.(2022•黑龙江•双鸭山一中高三期末(理))函数〃八_v12的零点所在的区间为()

j(X)=ZulX---------J

Cln2K0.693,Zn3«1.099,Zn5«1.609；

A-63,4；B-64,59C-65,6；D'68,9J

【答案】B

【分析】根据零点存在定理，先判断函数的单调性，再计算函数在端点处的函数值，即可得到答案.

【详解】1Q,由对数函数和基函数的性质可知，

J(X)=LIIIX---------0

函数在*e(0,+功时为单调增函数，

/(3)=21n3-i-3a2x1.099-J-3<0'f(4)=41n2—：一324x0.693--3=—0.478<O'

/(5)=21n5-i-3%2X1.609-1-3=0.018>0'

/(6)=21n6-i-3=2(ln2+Zn3)a2X1.792-i-3=0.414>O'

因为/'(x)在x€(0,+8)内是递增，故f(8)>0J(9)>0，

函数是连续函数，由零点判断定理知，的零点在区间(4,5)内，

故选：B.

3.(2022•北京密云•高三期末)心理学家有时使用函数“D=A(I一e-kt)来测定在时间r(加〃)内能够记忆的

量L，其中A表示需要记忆的量，k表示记忆率.假设一个学生有200个单词要记忆，心理学家测定在5min

内该学生记忆20个单词.则记忆率卜所在区间为()

A•(哈B.(.熹

c.(总今)D.C，1)

【答案】A

【分析】先根据题意解方程，解出。_弘_9,在和端点值比较大小，由函数单调性和函数连续得到结果.

6---

10

【详解】将4=200,t=5,L=2/弋入L(£)=4(1_6-内)，解得：g-5&=2，其中y=单调递减，而

10

(二)一4，(9)-4_10000v/而y=%-4在(0,+8)上单调递减，所以/9，结合单调性可

知」119，HP±±5X士「9，而。-5X0_。0_1>9，其中y=e-5x为连续函

sx5Xc

e2<e3<e4<——e10<eis<e20V——c—e———y

in1010

数，故记忆率k所在区间为(0，/).

故选：A

4.(2022•河南焦作•一模(理))设函数〃x)=2》+工的零点为与，则”。e()

A-(-4,-2)B-(-2,-1)C.(i,2)D.(2,4)

【答案】B

【分析】根据零点存在性定理进行求解.

【详解】易知/■(%)在R上单调递增且连续.由于〃_4)=±<o"(-2)=三二v0,/(-1)=A-1>0,

当*>0时，/(x)>01所以Xoe

故选：B

5.(2021・江苏•泰州中学高三阶段练习)已知。=logz3,函数〃出=短+5％_4的零点为加

8门卜/-；--光的极小值点为c，则()

A-〃a)>f(b>>f(c)B-f(b}>f(a}>f(c)

C-f(b)>f(c)>f(a)D-/(c)>/-(«)>/⑻

【答案】A

【分析】求出c的值，利用零点存在定理得出£(1三)，然后比较a、6c的大小关系，结合函数的单

调性可得出结论.

【详解】因为f(x)的定义域为(0,+8)，/(切=/+乙>0'则函数"X)在其定义域上为增函数，

.1•3>16,则、4，贝以,3.>

,ee/工。ez>4f-62+In--4>0n

因为/6=e-4<0,由零点存在定理可知万£(］三)，

2,

由g'Q)=3x-x-l=0可得Xi=i+回X2=

当VV1-E或、.>1+E时>g'(x)>0;当vYV1+尺时'g'(x)<0-

£££6

所以，1+V13,..

=log22>/2<a=log23<log24-2'所以，0<c<1<b<a，故f(a)>f®>f(c>

故选：A.

6.(2022・安徽・安庆一中高三期末(理))函数f(x)=x+log2》的零点所在的区间为()

AG)B.仔|)C.©D.由)

【答案】B

【分析】依据函数零点存在定理去判断〃x)=x+bg2》的零点所在的区间即可.

【详解】fa)=X+bg2#为(0,+8)上的递增函数，

/^=riog2-=--log23<--log22=--<0>

/(I)-7+^°92^-—~<0>

(y\725I1

^k.3j=3+1°§23=3-1O823=3^5_31O823^3^Og232-1Og227)>0

则函数〃x)=x+Eog2》的零点所在的区间为

故选：B

二、多选题

7.(2022•湖北•荆州中学高三开学考试)函数/(x)=《e4'-1)-&cosx在区间(09的最小值为-1,且在

区间G,唯一的极大值点X。.则下列说法正确的有()

Aj=lB.海已巧

CD.小。)<1

【答案】ACD

【分析】由题可得,(%)=_ae4-x+y/2sinx,由/'(三)=_1可知，/(E)=0，进而可求a=1，然后再证

明即得；再利用数形结合可得/(X)在行、上存在唯一的零点，利用零点存在定理及三角函数的性质即得.

匕，町

Cj\

【详解】：f(x)=4e4'-1-6,COSX,

"fM=—ae4-x+^2sinx'

又函数f(x)=ae4X-1-0cosx在区间(0p)的最小值为-i,

函数在区间(0，上不单调，

/7tJt\

又f(£)=ae44-1-V2cosy=-1,

44

_”时，函数在区间心n上取得最小值，

可得原条件的一个必要条件尸6)=0,

"f'(^)=-ae*-4+V2sinj=-a+1=0'即a=1'

下面证明充分性：

当a=l时，f(x)=e4-x—1—y/2cosx'f(x)=—e~x+y/2sinx'

々g(x)=-e+y/2sinx'则g'(x)=e'*~x+y/lcosx>0T

，函数/'(x)在(09上单调递增，又/(0)=-><0J'c|)=-eR+&>0,

二函数/(x)在(03上存在唯一的零点”=X且在(0,5上尸(行＜。在>0-

函数〃”)在区间(°,的最小值为/£)=_r

综上，a=1故A正确；

*f(x)=-e4~x+\l2sinx"

々尸(x)=-e4-x+\/2sinx=0,得e~^~x-\/2sinx9

由函数图象可知y='}"J=奁S。＞在区间(二百上只有一个交点，

即存在唯一X。屋㈤，使得e

34--34

又「『一…"…：4<0,故，3r

%。€(71，兀)

且当xeC，xo)时'尸G)>当*eQo,兀)时'f'M<0,

在区间C兀)上，唯一的极大值点10,

/(%)=-1-cosx0=5/2sinx0-1-\[2cosx0

=2sin(x0-^)-11

"Xn€f—7TYX——F(——9

%0tzi「叮Xn。4亡匕，J

f(x())—2sin[o-m)-1<2-1=1

故CD正确.

故选：ACD.

8.(2022・全国•高三专题练习)设函数)，=/(x)的定义域为上如果存在常数r(T#0),对于任意xeR,都

有f(x+?)=T"(a则称函数y=/(x)是“类周期函数”，T为函数y=/(x)的''类周期".现有下面四个

命题，正确的是()

A.函数〃*)=3：是“类周期函数”

B.函数/(x)=d是“类周期函数”

C.如果函数f(x)=COS3X是“类周期函数”，那么"3=k兀，kez”

D.如果“类周期函数"y=/(x)的“类周期''为-1,那么它是周期为2的周期函数

【答案】ACD

【分析】根据类周期函数的定义，分别进行判断即可.

【详解】解：对于A,若函数f(x)=3一是“类周期函数”，

则存在非零常数7，使f(x+T)=T♦/(%)，

即3_#一7=T,3-x,

即(T_3-7)・3r=0，即T-3T=0，

令g(T)=T-3-T，

因为g(0)=o-1=-1<0,5(1)=1-；=；>0,且函数g(T)在(0,1)上连续，

所以函数g(乃=T-3-7在(0,1)上存在零点，即方程7-3-r=0在(0,1)上有解，

即存在常数7(740),对于任意xeR,都有f(x+T)=TJ(X)，

所以函数〃*)=3：是''类周期函数”，故A正确；

对于B,若函数〃x)=x3是“类周期函数”，

则存在非零常数7，使f(x+T)=T.

即a+7)3=7,3,则_a+r)3,

r3

即将=汇工=]+工对任意的％恒成立，

xr

则T=0,矛盾，所以不存在常数7(7片0)，对于任意xeR,都有〃%+门=T.f(%)，

所以函数/(x)=d不是“类周期函数”，故B错误.

对于C,若函数〃x)=cos3”是“类周期函数”，

则存在非零常数T，使〃x+7)=T,/,(%)-

即cos((i)X+d)T)=Tcos(i)xi

故T=i或7=-i>

当T=1时，cos(a)x+to)=coso)x'由诱导公式得3=2kjrk6Z!

当T=—1时，cos(3X+3)=—cos3JC由诱导公式得3=(2k+l);rkEZ;

故"3=k兀，kez”，故c正确；

对于D,如果“类周期函数"y="*)的“类周期”为-】，

则〃4一1)=-f(xy即/(xTh-faxT-Ax+DX/a+i)；

故它是周期为2的周期函数；故D正确.

故选：ACD.

9.(2021•江西•模拟预测)已知实数mv〃<1，设方程(%_m)(x-n)+(x-m)(x-1)+(x-n)(x-1)=0

的两个实数根分别为“1,七(不<处>则下列结论正确的是()

A.不等式(#一m)(x-n)+(x-m)(x-1)+(x-n)(x-1)<0的解集为(七,不)

B•不等式(%_；n)(x-n)+(x-rn)(x—1)+(x-n)(x-1)<0的解集可能为空集

CXi<m<x2<n<1

D-<Xi<n<x2<1

【答案】AD

【分析】构造二次函数=(X_m)(x-n)+(X-m)(x-l)+(x-n)(x-iy分析函数f(x)的图象特

征即可判断作答.

【详解】令/'(x)=(x-m)(x-n)+(x-m}(x-1)+(x-/i)(x-1),xeRf

因m<n<1,则函数的图象对称轴x_m+n+lc(m])，且f(x)在(_8m+n+1)上递减,在(m+n+1+②)

上递增，

又/'(m)=(m-n)(?n-1)>0'f(n)=(n-m)(n-1)<0，f(l)=(1-m)(l-n)>0T

,

于是得函数/'(x)有两个零点Xi,*2(Xi<x2y且满足m<x1<n<x2<l不等式f(x)<0的解集为

所以A正确，B不正确，C不正确，D正确.

故选：AD

三、填空题

10.(2022・全国,高三专题练习)下列命题中，正确的是.(写出所有正确命题的编号)

①在△48c中，A>8是sinA>sin3的充要条件；

②函数第一射工2,的最大值是1+2及；

③若命题“我eR，使得a/+(a-3)x+1W0”是假命题，则l<a<9；

①若函数〃*)=。/+历：+*<2>0)，/(1)=_3则函数在区间©2)内必有零点.

【答案】①③④

【分析】①利用大边对大角和正弦定理可证；②变形后利用基本不等式进行求解最大值；③先把命题否定，

得到对VxeR，a/+(a_3)x+i>o恒成立，分a=0与a芸0两种情况求出a的取值范围；④先根据

得到得到〃2)=a-c，接下来分c>0与c<0,利用零点存在性定理得到答案・

【详解】在△48C中，因为A>3,所以I『I,由正弦定理得：a_b，所以sinA>sinB,同理可证，

A^inR

当sinA>sin3时，，A>B9故在△ABC中，A>3是sinA>sin5的充要条件，①正确；因为％v1，所以

X-1<°,三V所以y=*_]+三+1=-[(1-x)+2]+1W-2V2+1,9且仅当(1_%)=E'

即x=l时，等号成立，所以函数y=x+二-(xV1)的最大值是1一2a，②错误；命题'\xeR，使

得a/+(a-3)x+1<0”是假命题，则对vxe/?-ax2+(a-3)x+1>0恒成立，当&=。时--3x+1>0

不恒成立，当&丰o时，只需(a>0>解得：1<a<9，综上：若命题eR，使得a/+g-3)x+1W0”

14Vo

是假命题，贝"1<a<9；③正确；/(])=a+°+©=_£，所以匕=_K_c'因为/(°)=。，

f(2)=4a+2b+c=4a+2(-苧—c)+c=a—c'与>°时’f(0)=c>0，因为a>0，所以

〃1)=_2<0,故外0)〃1)<0，由零点存在性定理得：在区间(。,1)上，至少存在一个零点，当cwo，

f(2)=a-c>0>〃2)〃1)<0,由零点存在性定理得：在区间(1,2)上至少存在一个零点，综上：函数

在区间(0,2)内必有零点，④正确.

故答案为：①③④

11.(2022,全国•高三专题练习)已知函数〃均=(ax+2)ex-x，且a>-2,f'(x)为〃x)的导函数，下列

命题：

①存在实数a,使得导函数尸(%)为增函数；

②当a>0时，函数不单调；

③当一2<aW-l时，函数人均在R上单调递减；

④当a=1时，函数〃%)有极值.

在以上命题中，正确的命题序号是.

【答案】①②③④

【分析】求尸(X),令a=0可判断①；根据零点存性定理可判断次0e(_2-20)使得「(%0)=0'可判断

②；令g(x)=求g'(x)，由g，(x)的符号判断g(x)的单调性，可求得g(x)<0恒成立即广(X)<0恒成

立可判断③；求尸(X)的单调性，根据零点存在性定理可知€(0,1)，使得f'(Xo)=0可判断④，进而可得

正确答案.

【详解】由/'(X)=(ax+2)ex—x可得/''(x)=(ax+a+2)ex-V

对于①，若a=0时，f'(x)=2ex_l为增函数，故①对；

对于②，若a>0时，尸(_2，)=_ae-2q_i<cff'(0)=a+l>0，

孔。6(_2_三,0)'使得广("。)=0'所以函数〃%)不单调，故②对；

对于③，令g(x)=(ax+a+2)e*-1，则g'(x)=(ax+2a+2)e*，

当-2VaW-l时，由丁⑺>0得由gU)<0得x>-(2+|)

所以g(x)在卜°,-2-1)上单调递增,在1上单调递减,

从而g(x)e-(2+；)帚

要使“-(2+3-1W0,则令“一Q+9吗=/所以e±+l，

，?n(t)=1-1(-1<t<0)<?n(t)=ef-

则6(t)在(_10J)单调递减，在(也3°)单调递增，

而皿-1)=乙+%-1<0'加(°)=—0—1=0所以血⑴W°怕成乂，从而g(x)e-(2+£)即f'(*)W0

恒成立，即打灯在R上单调减.故③正确；

对于④，当。=1时，/=(%+3)e*-1，f"(x)=(%+4)靖，可知尸(%)=(x+3)e*-1在(一8,-4)单

调递减，在(_4,+幻单调递增，

因为尸(0)=2>0,

3x06(0,1)'使得尸(%)=0,所以函数〃%)有极值，故④对•

综上所述：①②③④都正确，

故答案为：①②③④.

12.(2021・福建,三明一中高三学业考试)已知函数打")=2》_*_3的零点/€(卜/+1)化€2)，则

k=-------

【答案】-3或2

【分析】对函数f（x）求导，借助导数探讨其单调性，再用零点存在性定理分析计算即得.

【详解】对函数〃*）=2*-丫-3求导得：f'（x'）=2xln2-1-由/''（x）=0得2工=log?e，解得

x=log2（log2ep

当x<1。92（1。92e）时，f'（x）<0，当%>logzQo&e）时，f'（x）>0»于是得“x）在（—8,log?（log?e））上

递减,在（Yog2（log?e）,+s）上递增，

显然，/（_3）=：>0j（_2）=_：vo'则函数在区间（一3「2）上存在一个零点，

又/'（2）=-1<0J（3）=2>0>即函数f（x）在区间（2,3）上存在一个零点，

因函数〃x）=2丫一%-3的零点/e（k.k+l^kezy则上=-3或4=2-

所以&=-3或k=2-

故答案为：-3或2

13.（2022.全国.高三专题练习）已知〃方均为正实数，且满足「丫，厂则下面四个

u2

a⑺=log2a-logio

判断：①①（a-/f）>0；②2-a<1；④log2a>0>】og2b.其中一定成立的有一（填序号即可）.

nh

【答案】②③④

【分析】令/（x）=（；）'-log2X,利用零点存在性定理可得ae（l,夜），be（03,从而可得<夜，然后

利用不等式的性质和函数的单调性逐个分析判断

【详解】令/（©=（3）*-108/,则f（x）在（o,+8）上单调递减，

因为f⑴⑵=G）隹-32在=自叫<0，G）a=l°g2（J>

所以ae（l,夜）.

I.],,]i

冈，b>0，Inq..。£（0,5）,

・-<a-b<\/2,

"2

①：・.・5（Q—b）可能小于等于0，.・・①错误，

②：・・・b—QV0，/.zj<2°=1，，②正确，

③：・.・a>b>0,.*.11,o11,...③正确，

ahnh

（4）：vaed,^）,log,a>0,

,.,be（0,；）,loga<0,.1log2a>0>log2b....④正确，

故答案为：②③④.

14.（2020•湖南邵阳•三模（理））在数学中，布劳威尔不动点定理是拓朴学里一个非常重要的不动点定理，

它可应用到有限维空间并构成了一般不动点定理的基石，简单来讲就是对于满足一定条件的连续函数〃”）,

存在一个点x°，使〃X。）=%,那么我们称该函数〃X）为“不动点”函数，给出下列函数:①〃x）=*2+2*_4；

②_(2x2,x<1③/'(x)=e*+2。—1)；®f(x)=ax-Inx-a0<a<1⑤f(x)=x+?；其

f(x)=(|3-2x|,x>1r

中为“不动点”函数的是.（写出所有满足条件的函数的序号）

【答案】①②③④

【分析】对于选项①②⑤，直接代入求解即可判断；对于选项③④，先根据条件构造函数，判断函数的单

调性，利用零点存在性定理判断即可.

【详解】®f(x)=x2+2x-4=X,

得2,4-1+g或-1-g满足条件，

X2+X_4=Qn^X=___X=—^

故①满足题意；

②〃赤=[2x2,x<1>

/W-(|3-2x|.x>l

当x<1时，2x2=xnx=0或％—

当x>1时，|3-2x|=x=>(3-2x)2=x2=>x=1或x=3,即x=3;

满足条件，故②满足题意；

③=靖+2(x-1)=》，

令g(x)=e*+x-2，易知g(x)为"上的增函数，

又g(0)=e°+0-2<0,g(l)=e1+1-2>0，

由零点存在性定理得g(X)在区间(0,1)存在唯一的零点.

故③满足题意；

④/'(x)=ax-Inx-a(。<。<1)，

ax-Inx-a=x=>Inx+(1—a)x+a=0，

令h(x)=Inx+(1-a)x+cr

Xo<a<l,则i_a>0，

易知似x)为(0,+8)上的增函数，

‘h(：)-In：+—a)+a――2，n2+ja+；v0,力(1)=In1+1—a+a-1>0

由零点存在性定理得/〈X）在区间G0存在唯一的零点.

故④满足题意；

⑤“乃二”+:二^一::^无实数解，

故⑤满足题意；

故答案为：①②③④.

【点睛】本题主要考查了对布劳威尔不动点定理的理解，考查了零点存在性定理；考查学生的逻辑推理能

力，运算求解能力.属于中档题.

15.(2020・全国•高三专题练习(理))函数火x)=l+x--+《，^(x)=l-x+^-—,若函数F(x)=/(x+

73T3

3)g(x—4),且函数F(x)的零点均在［a,h］(a<hta,Z?£Z)内，则b—。的最小值为.

【答案】10

【分析】分别求出7U)、g(x)零点所在区间，即可得到次x+3)、g(x—4)的零点所在区间，结合题意，即可得

到b—a的最小值.

【详解】；/(x)=1+X-/+4，

T3

•,f(x)=1一%+%2，

.fG)=1-X+/=(X_今2+：>0怛成立，

.W)=l+x—/+二在R上是单调递增函数.

73

・"0)=1>0,"1)=5"

--《U

£

，兀0在区间［―1,0］上存在唯一零点，

.\/(x+3)在区间［―4,一刃上存在唯一零点；

又•/g(x)=1—x+/一二，

T3

."dM=—1+x—x2'

=-l+x-x2=-(x-i)2-；<o恒成立，

，g(x)=l—x+*z—土在R上是单调递减函数，

T3

；g(2)=_三<0,©1)=2>0，

R£

.♦.g(x)在区间［1,2］上存在唯一零点，

•••g(x—4)在区间［5,6］上存在唯一零点，

由F(x)=/(x+3)g(x-4)=0,得犬x+3)=0或g(x-4)=0,

故函数尸(x)的零点均在［—4,6］内，

则b-a的最小值为10.

故答案为：10.

【点睛】本题考查利用导数判断函数的单调性、函数零点与方程，考查分析理解，求值计算的能力，属中

档题.

四、解答题

16.(2022•陕西西安•高三阶段练习(文))已知函数〃刈=2-2*_&-(e为自然对数的底数，。eR).

(1)若a=_l，求证：f'(x)在区间(0/)内有唯一零点；

(2)若〃")在其定义域上单调递减，求a的取值范围.

【答案】⑴证明见解析；⑵02e].

【分析】(I)把a=_1代入，求出f(x)并探讨其单调性，再结合零点存在性定理判断作答.

(2)利用给定单调性建立不等式，再分类分离参数，构造函数，讨论求解作答.

(1)当a=—1时，/(%)=e~2x+x2'求导得:f'(x)=-2e~2x+2x'<p(.x)=—2e~2x+2xf

则W'(x)=4e-2x+2>0,则函数0(为在R上单调递增，即函数/(%)在R上单调递增，

而r(0)=_2<0,r(i)=_2eT+2=2(l—之)>0'由函数零点存在性定理知，存在唯一工。€(0,1)，

有f'(%)=0'

所以f'(x)在区间(0,1)内有唯一零点.

(2)函数〃%)=©-2*_的定义域是R,依题意，vx€R，f'(x)=­2e-2x_2axW0成立，

当x=0时，一2M湃立，aWR，

当x>0时，&2-三^^g(x)=--x>0，g'(x)=竽卷>0'即函数g(x)在(0,+力)上单调递增，

又当x>0时，g(x)<。恒成立，于是得aNO，

2x

当X<0时，e->令人，、e-2K,X<0,.2x+l,当v々1时，〃(x)<(),当1,

a<---九(x)=---=-；<x<0

力’(x)>0)

因此，Mx)在/“1、上单调递减，在,1的上单调递增，当v1时，，于是得a<2e，

(_oo__)(--,0)X=h{x)-eminaaze

综上得：0WaW2e，

所以a的取值范围是[■0,2e].

【点睛】思路点睛：涉及函数不等式恒成立问题，可以探讨函数的最值，借助函数最值转化解决问题.

17.(2022・贵州遵义•高三开学考试(理))已知函数〃*)=(/_3、+3冲-"2+以-2>。)-

(1)讨论〃X)的导函数尸(划零点的个数；

(2)若〃x)的最小值为e，求。的取值范围.

【答案】⑴答案见解析；(2%<6_2e.

【分析】⑴对/■(%)求导有尸(x)=(x—l)(rex-d)(x>0>再研究g(%)=xex-a(x>0)的单调性,结

合尸(1)=0及零点存在性定理，讨论〃的范围判断尸(%)零点的个数•

(2)讨论a<O'0<a<e'a=e、a>e结合/(%)的符号研究/'(*)的单调性并结合f(i)=e求参数a

的范围.

(Df'(x)=(x2—x)ex—a(x—1)=(x—l)(xex—a)(x>0)，

令g(x)=xe*—a(x>0)，则g'(x)=(x+l)e*>0，故g(x)在(0,+8)上单调递增，而/1'(1)=0，

当a<。时，xe*=a无解；

当0<a<e时，由g(°)=—“<°，,g(l)=e_a>0，故xe^=a有一个在(°,1)上的解；

当a=e时，山g(l)=0，故xe*=a的解为1；

当a>e时，由g⑴=e-a<0，g(a)=a(ea-1)>0,故*/=(2有-一个在。，口)上的解；

综上，当aw湃a=e时，导函数/''(%)只有一个零点.

当0<a<e或a>e时，导函数/(%)有两个零点•

(2)当.<0时，x/一a>0,则函数在x=1处取得最小值〃1)=e.

当a>0时，由(1)知：g(x)在(0,+8)上单调递增，则必存在正数x。使得与靖。_。=0

右a>e则X。>1'在(0,1)上右。*。-a<0'则f'(x)>0,在(1,%)上/靖。一a<0,则f'(x)>0,在(x(),+8)

上*0。*。—a>0,则尸(x)<0)

所以〃x)在(0,1)和(Xo,+8)上单调递增，在(l,x0)上单调递减，又〃i)=e，不合题意―

若a=e则*0=1，在(0,+8)上r(x)w0，则在(0,+8)上单调递增，又(⑴=e，不合题意.

若0<a<e则0<x0<1>在W上-a<0,则/(x)>0>在(x(),1)上与靖。—a>0»则/(%)<0>

在(1,+8)上与靖。一a>0，则f'(*)>(?

所以〃*)在(0,七)和上单调递增，在|可|上单调递减,则〃o)=3,2〃l)=e'

解得aW6-2"即0<aW6-2e-

综上，Q<6—2e-

题型二：方程法判断零点个数

一、单选题

1.(2022•福建福州•三模)已知函数〃亦_丝至，以下结论中错误的是()

A.是偶函数B.有无数个零点

C.〃*)的最小值为D.f(x)的最大值为1

【答案】C

【分析】由奇偶性定义可判断出A正确；令f(x)=0可确定B正确；根据〃*)定义域为距〃])=_1,可

知若最小值为则％=1是/'(x)的一个极小值点，根据尸(1)：5to可知C错误；由*=0时，cos兀％取得最

大值，/+1取得最小值可确定D正确.

【详解】对于A,.../'(X)定义域为R，cos(-7TX)_cosnx

f(一%)=(-x)2+lx2+l=f^y

为偶函数，A正确；

对于B，令/1⑺=。，即cos/rx=0，.•.兀X=7+kW)'解得：*;+k(kez)'

...f(x)有无数个零点，B正确；

对于C,若f(x)的最小值为_三，则x=1是〃*)的一个极小值点，则f(1)=0

2

(7rx+7r)sinnx+2xcosnxf2nsinTT+2COSIT1c，

•••/'(*)=3+1)2--7#0

-x=I不是f(x)的极小值点，C错误；

对于D,...<cosnx<1'x2+1>1!

则当C0S7TX=1，*2+1=1，即x=0时，取得最大值1，D正确.

故选：C.

2.(2022・北京.模拟预测)已知函数〃*)=COS2X+COSX，且xe［0,2兀］，则〃*)的零点个数为()

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【分析】解三角方程求得的零点即可解决

【详解】由cos2x+cosx=2cos2x+cosx—1=(cosx+1)(2cosx-1)=0

可得cosx=—1或cosx=：'又xe［0,2兀>则x=zr或*=£，或*=史

则的零点个数为3

故选：C

3.(2022•安徽•芜湖一中一模(理))声音是由物体振动产生的声波，我们听到的声音中包含着正弦函数.若

某声音对应的函数可近似为〃丫、_sinx+%E2£则下列叙述正确的是()

7

A.丫=2为“工)的对称轴B.(卫0)为/■(*)的对称中心

7

C.〃灯在区间［gio］上有3个零点D.在区间［文卫］上单调递增

【答案】D

【分析】利用/•(%+&)=〃&_*)知〃*)关于直线*=(1对称的性质验证人；求得/(巴)=_i#0可判断B；

化筒f(*)=sin*(1+cosx)，令/'(x)=0，得x=k兀(keZ)，进而判断C；利用导数研究函数的单调性可

判断D.

【详解】对于A,由已知得/(兀-%)=5)(衣一乃+卜加2(兀一%)=5出彳—、力2£即〃兀一%)羊f(x)，

故f(x)不关于x=¥对称，故A错误；

对于B,rTF.3?r1.，故B错误；

f(/3^―\J=sin--^-sinQ3n=-11.0

对于C,利用一倍角公式知=sinx(l+cos%)'令f(x)=0得sizix=0或cosx=—lf即-=kn(keZ>

所以该函数在区间［0,10］内有4个零点，故C错误；

对于D,求导尸(x)=cosx+cos2x=2cos2*+COSX-r令I-由xc［空卫］'知tE［二］］'即

g(t)=2r+t-\,利用二次函数性质知g(t)>0,即广3)2:0,可知〃X)在区间Xe[2X]上单调递增，故

D正确；

故选：D.

4.(2022・全国.高三专题练习)已知函数(|x|+2x<l，则函数y=/(x)Txl零点个数为()

/)=x+，Nl.’

A.0B.1C.2D.3

【答案】A

【分析】当x<1时和％>1时，分别化简函数y=/(x)-l*l的解析式可直接判断零点的个数.

【详解】当“<1时，y=|x|+2_|x|=2,所以不存在零点；

当X>1时，,_丫+2|“_2,也不存在零点，所以函数y=/(x)-|x|的零点个数为0.

―L—X---X---->U

XY

故选：A.

二、多选题

5.(2022•海南海口.模拟预测)已知函数〃、1x1+1,则()

ra)=

A.的定义域为RB.是奇函数

C./•(%)在(0,+8)上单调递减D.〃%)有两个零点

【答案】BC

【分析】根据函数解析式，结合函数性质，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.

【详解】对A：/'(x)的定义域为｛x|x于0)，A错误；

对B：n闺+1_/对,且定义域关于原点对称’故f(x)是奇函数，B正确；

对C：当x>0时，〃幻=注=1+2,单调递减，C正确；

对口：因为x彳0，|x|+1>0，所以/■(*)=()无解，即f(x)没有零点，0错误.

故选：BC

6.(2022•全国•高三专题练习)已知函数”x)=(sEx+cosx).|sEx—cosx|，下列说法正确的是().

A.是周期函数

B-若|f(Xi)|+|f(*2)l=2，则西+马=修(k€Z)

C.〃%)在区间|_2勺上是增函数

D.函数g(x)=fM+1在区间027rl上有且仅有一个零点

【答案】AB

【分析】写出f(x)的分段函数形式，A应用正余弦函数的性质判断的周期性，B由已知可得

\cos2xr\=\cos2x2\=1,则2*i=的兀，2八=心兀(储,七eZ),即可判断正误；根据解析式，应用特殊

值法判断C、D的正误.

【详解】将函数化作分段函数,即_c—cos2x,sinx>cosx^

八-Icos2x.sinx<cosx

A，f(x+2JT)=[sin(x+2zr)+cos(x+2TT)1•\sin(x+2TT)-cos(x+2兀)|=f(x)'

是周期为2兀的函数，对；

B，山|f(》i)|+|f(X2)l=2得=|〃X2)1=「则|cos2%i|=|cos2%2l=「

此时2%1=3小2七=k27r(的,k2WZ)，可得X]।x?—(M+叼加，对；

c,由解析式得,(0)=/6)=-“X)在[_工口上不单调，错；

D，由解析式知“7r)=/(玄)=_1，即0(%)=〃；0+1在02川上至少有两个零点，错・

故选：AB.

7.(2022・全国•高三专题练习)若〃x)和勺口)都是定义在R上的函数，且方程/}(*)]=*有实数解，则下列

式子中可以为gV(x)]的是()

A./+2x*+1

C.ecosxD.ln(|x|+l)

【答案】ACD

【分析】由方程f}(*)]=x有实数解可得gVb(x)]}=g(x)，再用工替代g(x)，即x=g[/(x)]有解，逐个

判断选项即可得出答案.

【详解】

由方程fb(x)]=x有实数解可得g{/ba)])=g(x)，再用工替代g(x)，即x=g[/(x)]有解•

对于A,x=x2+2x,即％2+x=0,方程有解，故A正确；

对于B，x=x+i-即0=1，方程无解，故B错误；

对于C,当面怜力(x)=es--x,因为〃0)=e>0，=

由零点的存在性定理可知，h(x)在(0,上存在零点，所以方程有解，故选项C正确;

对于D,当|冈]时,%=0为方程的解，所以方程有解，故选项D正确.

故选：ACD.

8.(2022・全国•高三专题练习(理))关于函数f(x)=sin|x|+|cosx|有下述四个结论，贝U()

A.是偶函数B.的最小值为-1

C.在「2兀,2泪上有4个零点D,〃*)在区间C#单调递增

【答案】ABC

【分析】对A：根据偶函数的定义即可作出判断;对B：由有界性O<|C0SX|<i，-i<Sin|x|w1，且*=空

时+|cosx|=-1即可作出判断；对C：当％E。2兀］时，(sinx+cosx,0<xf可得

/(x)=<sinx-cosx<x<y

ysinx+cosx,§vxv27r

函数〃%）有两个零点，根据偶函数的对称性即可作出判断；对D：当代停,兀）时'

一、.（Try利用三角函数的图象与性质即可作出判断.

【详解】解：对A：因为f（T）=sin|T+|cos（r）|=sin|x|+|co川=f（x）,